Universidade Estadual de Santa Cruz. Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas. Especialização em Matemática. Disciplina: Estruturas Algébricas

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1 1 Universidade Estadual de Santa Cruz Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas Especialização em Matemática Disciplina: Estruturas Algébricas Profs.: Elisangela S. Farias e Sérgio Motta Operações Binárias 0.1 Definição. Seja A um conjunto. Uma operação binária é uma aplicação de AA em A, ou seja, é uma regra que associa a cada par ordenado de elementos de A, algum elemento em A: : A A! A (a; b) 7! a b Observe que a operação binária num conjunto A é uma regra de nida para todos os pares ordenados de elementos de A. Observe também o seguinte : uma operação binária em A é uma regra que associa a cada par de elementos em A algum elemento que também está em A. Esta exigência de que o elemento associado ou resultante pela regra também esteja em A é conhecida como condição de fechamento. Dizemos assim que A é um conjunto fechado sob a operação binária. E a operação binária é também chamada lei de composição interna. Exemplos e Contraexemplos Exemplo 0.1. A operação usual de adição no conjunto dos números reais, R (e também em C ou Z) é uma operação binária. Exemplo 0.2. A operação usual de multiplicação no conjunto dos números reais, R é uma operação binária. operação Exemplo 0.3. Seja M(R) o conjunto de todas as matrizes com entradas reais. + : M(R) M(R)! M(R) A

2 2 (A; B) 7! A + B não é uma operação binária. Exemplo 0.4. Seja M = M mn (R) o conjunto das matrizes de tamanho m n com elementos reais, então a adição usual de matrizes é uma operação binária. Exemplo 0.5. Seja M = M n (R) o conjunto das matrizes quadradas de ordem n com elementos reais, a operação multiplicação de matrizes é uma operação binária. Exemplo 0.6. A subtração em Z (e também em Q,R e C) é uma operação binária. Exemplo 0.7. A subtração em N não é uma operação binária. Exemplo 0.8. Consideremos + : R R! R (a; b) 7! a + b: Agora, analisemos se esta é uma operação binária. Exemplo 0.9. Consideremos : N N! N dada por (a; b) 7! a b, a operação de potenciação em N é uma operação binária em N : Consideremos os exemplos abaixo, analisando se apresentam uma operação binária: Exemplo A operação de potenciação em Z: Exemplo A operação de potenciação em Q: Exemplo A operação de potenciação em R: Exemplo A operação de divisão em Q e em R. Exemplo A operação de divisão em N, Z, Q, R, N e em Z Exemplo Seja F = F (R) o conjunto das funções de R em R. Para cada par ordenado de funções (f; g) 2 F F, de nimos as seguintes operações binárias: ADIÇÃO DE FUNÇÃO + : F F! F

3 3 (f; g) 7! f + g MULTIPLICAÇÃO DE FUNÇÃO : F F! F (f; g) 7! f g SUBTRAÇÃO DE FUNÇÃO : F F! F (f; g) 7! f g COMPOSIÇÃO DE FUNÇÃO : F F! F (f; g) 7! f g Exemplo Vamos de nir em Z + uma operação * por : Z + Z +! Z + (a; b) 7! a b onde a b é igual ao menor valor de a e b ou o valor comum se a = b. Exemplo Seja 0 : Z + Z +! Z + (a; b) 7! a 0 b onde a 0 b = (a b) + 2 e é a operação de nida no exemplo anterior. Exemplo : Z + Z +! Z + (a; b) 7! a 00 b onde a 00 b = a. 0.2 Definição. Uma operação binária em A é comutativa se a b = b a para todo a; b 2 A

4 4 Exemplo Analisando os exemplos anteriores, temos operações comutativas em...(responder). 0.3 Definição. Seja : AA! A uma operação binária sobre um conjunto A. O elemento a 1 a 2 a 3 é o elemento obtido determinando primeiramente (a 1 a 2 ) e daí (a 1 a 2 ) a 3. De nimos por indução a 1 a 2 ::: a n = (a 1 ::: a n 1 ) a n : Costuma-se usar os parênteses para enfatizar que vamos primeiro determinar a 1 a 2 (= a 4 ) e então operar a 4 a 3 Esta convenção para a notação é referida como associação à esquerda. 0.4 Definição. Uma operação binária em A é associativa se (a b) c = a (b c) para todo a; b; c 2 A. Se a operação binária for associativa, quaisquer expressão do tipo a 1 a 2 ::: a n serão consideradas sem ambiguidade. Qualquer modo de inserir parênteses para reduzir o cálculo a uma sequência com operações binárias resultará sempre no mesmo elemento de A. E nesse caso, não há necessidade de usar os parênteses. Exemplo A operação de adição em Z é associativa (a + b) + c = a + (b + c) Exemplo A operação de subtração em Z não é associativa. Exemplo Analisemos os exemplos anteriores e veri quemos quais apresentam operação binária associativa. Exemplo Analisemos os exemplos anteriores e veri quemos quais apresentam operação binária não associativa. 0.5 Definição. Dizemos que e 2 A é um elemento neutro à esquerda para a operação quando e x = x para todo x 2 A: E dizemos que e 2 A é um elemento neutro à direita para a operação quando x e = x

5 5 para todo x 2 A: Se e é um elemento neutro à direita e à esquerda para, então dizemos que e é elemento neutro para esta operação. Exemplo A subtração em Z admite 0 como elemento neutro à direita pois x 0 = x; 8x 2 Z, mas não possui elemento neutro à esquerda pois não existe e tal que e x = x; 8x 2 Z Exemplo A divisão em R admite 1 como elemento neutro à direita pois x : 1 = x; 8x 2 R mas não possui elemento neutro à esquerda pois não existe e tal que e : x = x; 8x 2 R : Exemplo Considerando a operação : R R! R (x; y) 7! y; percebemos que ela tem in nitos elementos neutros à esquerda pois e y = y; 8y 2 R é satisfeita por qualquer elemento de R, mas não existe e tal que x e = x; 8x 2 R 0.6 Teorema. Se a operação tem um elemento neutro e, ele é único. 0.7 Definição. Seja uma operação binária com elemento neutro e. Dizemos que x 2 A é um elemento simetrizável se existe y 2 A tal que x y = e = y x: O elemento y é chamado simétrico de x para a operação. Quando a operação é uma adição, +, o simétrico de x também é chamado oposto de x e indicado por x. Quando a operação é uma multiplicação,, o simétrico de x é chamado inverso de x e indicado por x 1. Exemplo é um elemento simetrizável para a adição em Z e seu simétrico é 2 pois 2 + ( 2) = 0 = ( 2) + 2: Exemplo é um elemento simetrizável para a multiplicação em Q e seu simétrico é 1 = 0; 5 pois 2 0; 5 = 1 = 1 2: 2 2

6 6 Exemplo não é simetrizável para a multiplicação em Q pois não há elemento y 2 Q tal que 0 y = 1 = y 0 Exemplo não é simetrizável para a multiplicação em Z pois não existe y 2 Z tal que 2 y = 1 = y 2: 0 1 Exemplo 1 2 A é simetrizável para a adição em M 22 (R) e seu simétrico é A 1 2 A 1 2 A 0 0 A 1 2 A 1 2 A Exemplo 1 3 A é simetrizável para a multiplicação em M 2 (R) e seu simétrico 5 3 A A 1 0 A 5 3 A A. 1 2 A não é simetrizável para a mesma operação De um modo geral, toda matriz B 2 M 2 (R) 0 cujo1determinante é igual a zero não é simetrizável, enquanto, se det(b) 6= 0, para B a b A, B é simetrizável e seu simétrico c d 1 é dado d b A : ad bc c a Exemplo Todo elemento1 é simetrizável para a adição em0 M mn (R). Seja A 2 a 11 a 12 ::: a 1n a 11 a 12 ::: a 1n a M mn (R); A = 21 a 22 ::: a 2n a. B.... e seu simétrico é B = ( A) = 21 a 22 ::: a 2n.. C a m1 a m2 ::: a mn a m1 a m2 ::: a mn onde a ij ; 1 6 i 6 m e 1 6 j 6 n é o simétrico de a ij para a adição em R. 1 C A Exemplo A função f(x) = 2x + 1 é bijetora de R em R, logo existe a função inversa de f, f 1 (x) = x 1 2 tal que f 1 f = id = f f 1 ; onde id é a função identidade de R em R. Então f é um elemento simetrizável para a composição em F (R). Já a função g(x) = x 2 não é uma bijeção e consequentemente, não é um elemento simetrizável para a mesma operação. 0.8 Teorema. Se a operação em A é associativa, tem elemento neutro e, e um elemento x 2 A é simetrizável, então o simétrico de x é único.

7 7 0.9 Teorema. Seja uma operação em A com elemento neutro e. (a) Se x 2 A é simetrizável, então x 1 também é e (x 1 ) 1 = x: (b)se é associativa, x; y 2 A são simetrizáveis, então xy é simetrizável e (xy) 1 = y 1 x 1 : 0.10 Definição. Sendo uma operação sobre A, com elemento neutro e, indica-se por [ (A) = fx 2 A; 9x 1 2 A; x 1 x = e = x x 1 g o conjunto dos elementos simetrizáveis para esta operação em A. Exemplo [ + (N) = f0g Exemplo [ + (Z) = Z Exemplo [ (Z) = f1; 1g Exemplo [ (R) = R Exemplo [ + (M mn (R)) = M mn (R) Exemplo [ (M 22 (R)) = f@ a b Ag; a; b; c; d 2 R e ad c d geral, [ (M n (R)) = fa 2 M n (R); det(a) 6= 0g: bc 6= 0. De forma Note que U (A) 6= ; pois e 2 U (A) uma vez que e e = e: 0.11 Definição. Um elemento 2 A é um elemento absorvente para uma operação se a = = a ; 8a 2 A: Exemplo = 0 é elemento absorvente em R com a multiplicação pois 0 a = 0 = a 0; 8a 2 R: Exemplo De nindo : R R! R (a; b) 7! a b = a + b ab: Temos = 1 elemento absorvente Definição. Dizemos que um elemento a 2 A é regular (ou simpli cável) em relação à operação se:

8 8 (1) a x = a y ) x = y; 8x; y 2 A e (2) x a = y a ) x = y; 8x; y 2 A Se temos apenas (1), dizemos que a é regular à esquerda. Se temos apenas (2), dizemos que a é regular à direita. Exemplo é regular para a adição em N pois 3 + x = 3 + y ) x = y; 8x; y 2 N Exemplo é regular para a multiplicação em Z pois 3x = 3y ) x = y; 8x; y 2 N Exemplo não é regular para a multiplicação em Z. Exemplo 1 2 A é regular para a adição em M 22 (R): 3 4 Exemplo A não é regular para a multiplicação em M 2 (R): 0.13 Teorema. Se a operação é associativa, tem neutro e, e um elemento a 2 A é simetrizável, então a é regular Definição. Sendo uma operação sobre A, indica-se por R (A) = fa 2 A; a x = a y ) x = y e x a = y a ) x = y; 8x; y 2 A: o conjunto dos elementos regulares para esta operação em A. Exemplo R + (N) = N Exemplo [ (Z) = Z Exemplo [ + (M mn (R)) = M mn (R) Exemplo Identi quemos para a operação de potenciação em N, os elementos regulares. Note que se tem elemento neutro em A, então e 2 R (A); portanto, R (A) 6= ;: Além disso, se é associativa, então [ (A) R (A); conforme proposição 0.13.

9 Definição. Sejam e 4 duas operações sobre A. Dizemos que 4 é distributiva em relação a se: (1) x4(y z) = (x4y) (y4x) (2) (y z)4x = (y4x) (z4x); 8x; y; z 2 A: Se vale (1), dizemos que 4 é distributiva à esquerda de. Se vale (1), dizemos que 4 é distributiva à direita de. Se 4 é comutativa, então distributiva à esquerda e distributiva à direita são equivalentes. Exemplo A multiplicação em Z é distributiva em relação à adição em Z pois para todos x; y; z 2 Z temos x(y + z) = xy + xz e (y + z)x = yx + zx Exemplo A multiplicação é distributiva em relação à adição em M n (R): Exemplo A potenciação é distributiva à direita em relação à multiplicação em N; mas não é distributiva à esquerda Definição. Seja uma operação sobre um conjunto A 6= ;: Seja B um subconjunto não vazio de A: Dizemos que B é uma parte fechada para a operação (ou simplesmente que B é fechado ), se a restrição de a B B é uma operação sobre B, isto é, se para todos x; y 2 B temos x y 2 B. Exemplo O conjunto Q dos números racionais é fechado para a operação de adição sobre R. Exemplo O conjunto dos números irracionais não é fechado para a operação de adição sobre R. Exemplo Z + = fx 2 Z; x > 0g; o conjunto dos números inteiros estritamente positivos é fechado sob a operação de adição e não é fechado sob a operação de subtração. Exemplo O conjunto dos números reais positivos, R +, é fechado para multiplicação sobre R: Exemplo O conjunto R de multiplicação sobre R: dos números negativos não é fechado para a operação Exemplo As funções bijetoras de R em R formam um subconjunto A fechado de F para a operação composição.

10 10 Tábua de uma operação Se A é um conjunto nito, uma operação binária em A pode ser de nida através de uma tábua. Vejamos como construir e analisar essa tábua para identi carmos características e propriedades da operação no conjunto apresentado. Seja A = fa 1 ; a 2 ; :::; a n g; (n > 1) um conjunto com n elementos. Cada operação sobre A é uma aplicação : A A! A que associa a cada par (a i ; a j ); 1 6 i; j 6 n o elemento a i a j = a ij : Vamos apresentar esse elemento a ij por meio de uma tabela de dupla entrada, fazendo: 1 o ) Chamando a 1 a linha e a 1 a coluna, respectivamente de linha fundamental e coluna fundamental, colocamos tanto nesta linha como na coluna, todos os elementos do conjunto A ordenadamente. E chamamos de i-ésima linha aquela que começa com a i e de j-ésima coluna aquela que começa com a j : 2 o ) Dado um elemento a i na coluna fundamental e um elemento a j na linha fundamental, marcamos na interseção da linha i com a coluna j; o elemento correspondente a ij : a 1 a 2 ::: a i ::: a j ::: a n a 1 a 11 a 12 a 1i a 1j a 1n a 2 a 21 a 22 a 2i a 2j a 2n. a i a i1 a i2 a ii a ij a in. a j a j1 a j2 a ji a jj a jn. a n a n1 a n2 a ni a nj a nn Montemos a tabela dos seguintes exemplos: Exemplo Seja A = f 1; 0; 1g com a operação de multiplicação usual. mdc(a; b): Exemplo Seja A = f1; 3; 5; 15g e : A A! A dada por (a; b) 7! a b =

11 11 Exemplo Seja A = ff 1 ; f 2 ; f 3 g onde as f i ; 1 6 i 6 3 são funções assim descritas: f 1 = f(a; a); (b; b); (c; c)g; f 2 = f(a; b); (b; c); (c; a)g e f 3 = f(a; c); (b; a); (c; b)g: Propriedades Vejamos agora como se pode estudar as propriedades de uma operação binária sobre A = fa 1 ; a 2 ; :::; a n g quando é dada por meio de uma tábua. COMUTATIVA Chamamos de diagonal principal da tábua de uma operação o conjunto formado pelos compostos a 11 ; a 22 ; a 33 ; :::; a nn : Sabemos que uma operação é comutativa se: a i a j = a j a i ; isto é, se a ij = a ji para todo i; j = 1; :::; n: Mas a ij e a ji ocupam posições simétricas relativamente à diagonal principal, portanto uma operação é comutativa desde que sua tábua seja simétrica em relação à diagonal principal, isto é, compostos colocados simetricamente em relação à diagonal principal são iguais. Exemplo Observando as tabelas, temos que os 3 exemplos anteriores apresentam operações comutativas. Exemplo Analisemos a tábua para a operação no conjunto A = fa; b; cg a b c a a b c b b c a c c b a : ELEMENTO NEUTRO Sabemos que um elemento e é neutro para a operação quando: (I) e x = x; 8x 2 A e (II) x e = x; 8x 2 A Da condição (I) decorre que a linha de e é igual à linha fundamental. Da condição (II) decorre que a coluna de e é igual à coluna fundamental. Assim, uma operação tem neutro

12 12 desde que exista um elemento cuja linha e coluna são respectivamente iguais à linha e coluna fundamentais. Exemplo Analisemos as tábuas dos últimos exemplos, observando que os elementos neutros são respectivamente 1; 15; f 1 e a: Exemplo A tábua abaixo nos mostra uma operação sem neutro. Observe que a é neutro à esquerda. a b c a a b c b c a b c b a c : ASSOCIATIVA É a propriedade cuja veri cação exige maior trabalho. Pode ser feita de dois modos: 1 o ) Calcula-se todos os compostos do tipo a i (a j a k ) e (a i a j ) a k com i; j; k 2 f1; 2; :::; ng e compara-os. Notemos que este método exige o cálculo de 2n 3 compostos. 2 o ) Encontra-se um conjunto F dotado de uma operação que se sabe ser associativa, de tal forma que exista f : A! F com as seguintes propriedades: (a) f é bijetora. (b) f(x y) = f(x) f(y); 8x; y 2 A: Neste caso, a lei também será associativa. ELEMENTOS SIMETRIZÁVEIS Sabemos que um elemento a i 2 A é simetrizável para a operação que tem elemento neutro e; quando existe um a j 2 A tal que (I) a i a j = e(= a ij ); (II) a j a i = e(= a ji ): a e: Da condição (I) decorre que a linha de a i deve apresentar ao menos um composto igual igual a e: Da condição (II) decorre que a coluna de a i deve apresentar ao menos um composto

13 13 Como a ij = a ji = e decorre que o neutro deve aparecer em posições simétricas relativamente à diagonal principal. Assim, um elemento a i é simetrizável quando o elemento neutro aparece ao menos uma vez na linha i e na coluna i da tábua ocupando posições simétricas em relação à diagonal principal. Exemplo A tábua abaixo de ne uma operação sobre A = fe; a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 g que tem neutro e. e a 1 a 2 a 3 a 4 e e a 1 a 2 a 3 a 4 a 1 a 1 a 2 a 3 a 4 e a 2 a 2 a 3 a 4 a 1 a 2 Os elementos simetrizáveis são e; a 1 ; a 4 : a 3 a 3 a 4 a 1 a 2 a 1 a 4 a 4 e a 3 a 4 a 1 ELEMENTOS REGULARES Sabemos que um elemento a 2 A é regular em relação à operação quando (I) x 6= y ) a x 6= a y (II) x 6= y ) x a 6= y a onde x e y são elementos quaisquer de A: Isto signi ca que a é regular quando, composto com elementos distintos (à esquerda deles ou à direita), produz resultados distintos. Assim, um elemento a é regular quando na sua linha não aparecem elementos iguais, ou seja, repetidos e também na sua coluna não aparecem elementos iguais. Exemplo A tábua abaixo de ne uma operação sobre A = fe; a; b; c; dg onde os elementos regulares são e; a; c:

14 14 e a b c d e e a b c d a a b d e c b b c c b b c c d e a b d d e b d b Exemplo Vamos analisar os exemplos 0.61 até Exemplo Sejam P (A) o conjunto das partes de um conjunto qualquer A e consideremos a operação união de conjuntos, [; dada por B [ C = fx; x 2 B ou x 2 Cg; 8B; C 2 P (A): Então [ : P (A) P (A)! P (A) (C 1 ; C 2 ) 7! C 1 [ C 2 é uma operação binária em P (A): Ela é associativa, comutativa, possui elemento neutro, não possui elementos simetrizáveis além do neutro, e possui elemento absorvente. Exemplo De namos agora, \ : P (A) P (A)! P (A) (C 1 ; C 2 ) 7! C 1 \ C 2 : A interseção de conjuntos também é uma operação binária. Vamos analisar quais propriedades ela possui. Exemplo Analisemos agora a operação diferença de conjuntos : P (A) P (A)! P (A) (C 1 ; C 2 ) 7! C 1 C 2 : Exemplo Analisemos agora a operação diferença simétrica 4 : P (A) P (A)! P (A) (C 1 ; C 2 ) 7! C 1 4 C 2 :

15 15 Exemplo Seja Z m = f0; 1; 2; :::; m 1g a classe residual dos inteiros módulo m: E analisemos a operação binária de nida por : Z m Z m! Z m (a; b) 7! a b = a + b Exemplo Consideremos agora a operação binária de nida por : Z m Z m! Z m (a; b) 7! a b = a b Grupóide, Semigrupo e Monóide 0.17 Definição. Um grupóide é um conjunto com uma operação binária Definição. Um semigrupo é um grupóide que satisfaz a propriedade associativa Definição. Um monóide é um semigrupo que possui elemento neutro. Os conjuntos nos quais de nimos uma operação binária são todos grupóides. Veri quemos entre eles quais são semigrupo e quais são monóide. OBS.: Esta apostila têm como objetivo orientar o decorrer da aula, onde os conceitos e resultados aqui descritos serão devidamente desenvolvidos, explicados e exempli cados, sendo portanto imprescindível o acompanhamento da aula para que esta apostila seja, de fato, elucidativa. Referência Bibliográ ca: Birkho e Maclane. Álgebra Moderna Básica. Rio de Janeiro: Editora Guanabara, Dean. Elementos de Álgebra Abstrata. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e cientí cos Editora S.A.,1974 Domingues e Iezzi. Álgebra Moderna. São Paulo: Atual, Fraleigh. A rst course in Abstract Algebra. USA: Addison-Wesley Publishing Company, 1994(5 a ed).