Números Complexos. Capítulo Unidade Imaginária. 1.2 Números complexos. 1.3 O Plano Complexo

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1 Capítulo 1 Números Complexos 11 Unidade Imaginária O fato da equação x = 0 (11) não ser satisfeita por nenhum número real levou à denição dos números complexos Para solucionar (11) denimos a unidade imaginária, denotada 1 por i, como sendo o número tal que i 2 = 1 Obviamente este não é um número real, uma vez que seu quadrado é negativo 12 Números complexos Um número complexo z é um número da forma z = x + iy (12) Em (12) observamos que um número complexo é composto de duas partes: dizemos que x é a parte real de z, e escrevemos Re(z) = x Por outro lado, y é a parte imaginária de z, e escrevemos Im(z) = y Exemplo 11 Dado o número complexo z = 3 + 2i, temos Re(z) = 3 e Im(z) = 2 Ainda em (12), se x = 0, dizemos que z é um número imaginário puro; por outro lado, se y = 0 temos que z é um número real puro (ou simplesmente um número real) 13 O Plano Complexo Os números complexos podem ser representados através de pontos em um plano cartesiano Este plano é denominado plano complexo, ou diagrama de Argand 2 No plano complexo grafamos a parte imaginária do número complexo sobre o eixo vertical (chamado eixo imaginário) e a parte real sobre o eixo horizontal (chamado eixo real) A Figura 11 ilustra tal representação 1Em textos de Eletricidade a unidade imaginária é normalmente denotada pela letra j, uma vez que a letra i é geralmente utilizada para representar correntes elétricas 2Jean Robert Argand ( ), Matemático francês Seu artigo sobre o plano complexo apareceu em

2 eixo imaginário b z = a + bi a Figura 11: O plano complexo eixo real Assim, cada número complexo z = a + bi está associado biunivocamente 3 ao ponto (a, b) do plano complexo Por esta razão, uma outra maneira de se denotar um número complexo z = x + iy é através de um par ordenado (x, y), onde ca implícito que a primeira componente é a parte real real do número complexo e a segunda componente é sua parte imaginária Também é comum associarmos cada número complexo a um vetor do R 2 Exemplo 12 O número complexo z = 3 + 2i pode ser escrito como z = (3, 2) 14 Conjugado de um Número Complexo Dado z = x + iy, seu conjugado, denotado z, é dado por z = x iy Ou seja, conjuga-se um número complexo simplesmente mudando o sinal de sua parte imaginária No plano complexo um número e seu conjugado são simétricos em relação ao eixo real (Figura 12) eixo imaginário b z = a + bi a eixo real b z = a bi Figura 12: O conjugado de um número complexo 3A cada número complexo está associado um único ponto do plano, e a cada ponto do plano está associado um único número complexo Lembre-se que em coordenadas polares tal associação não é biunívoca, uma vez que um dado ponto do plano possui innitas coordenadas polares 2

3 15 Operações com Números Complexos Considerando os números complexos z 1 = x 1 + iy 1 e = x 2 + iy 2, temos: Igualdade 4 : dizemos que z 1 = se suas respectivas partes real e imaginária são iguais, ou seja, se x 1 = x 2 e y 1 = y 2 Adição: a soma z 1 + é obtida pelas somas das respectivas partes real e imaginária, ou seja z 1 + = (x 1 + x 2 ) + i(y 1 + y 2 ) Subtração: de modo análogo à adição, temos z 1 = (x 1 x 2 ) + i(y 1 y 2 ) Multiplicação: aplicamos a distributividade e agrupamos as partes real e imaginária (lembrar que i 2 = 1) z 1 = (x 1 + iy 1 )(x 2 + iy 2 ) = x 1 x 2 + ix 1 y 2 + iy 1 x 2 + i 2 y 1 y 1 = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) + i(x 1 y 2 + x 2 y 1 ) Divisão: a razão z1 é obtida multiplicando-se o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador 5, isto é z 1 = z 1 = (x 1 + iy 1 )(x 2 iy 2 ) (x 2 + iy 2 )(x 2 iy 2 ) = (x 1x 2 + y 1 y 2 ) + i(x 2 y 1 x 1 y 2 ) x y2 2 = x 1x 2 + y 1 y 2 x y2 2 + i x 2y 1 x 1 y 2 x y2 2 (13) Evidentemente não é necessário memorizar a fórmula em (13); a razão deve ser obtida simplesmente multiplicando-se o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador e simplicando-se ao máximo o resultado Exemplo 13 Dados z 1 = 3 + 2i e = 4 i, temos (a) z 1 + = (3 + 2i) + (4 i) = 7 + i (b) z 1 = (3 + 2i) (4 i) = 1 + 3i (c) z 1 = (3 + 2i)(4 i) = 12 3i + 8i 2i 2 = i (d) z 1 = 3+2i 4 i = (3+2i)(4+i) (4 i)(4+i) = 12+3i+8i+2i2 16 i = i Atenção: para números complexos não se dene relações de ordem, ou seja, desigualdades do tipo z 1 < ou z 1 não possuem qualquer signicado 5A prova deste resultado será deixada a cargo do leitor 3

4 16 Propriedades Dados z 1, e z 3, temos comutatividade associatividade distributividade z 1 + = + z 1 (14) z 1 = z 1 (15) (z 1 + ) + z 3 = z 1 + ( + z 3 ) (16) (z 1 )z 3 = z 1 ( z 3 ) (17) z 1 ( + z 3 ) = z 1 + z 1 z 3 (18) Estas leis seguem imediatamente das correspondentes leis para números reais e das operações algébricas denidas anteriormente para os números complexos 17 Problemas Propostos (1) Sejam z 1 = 5 + 2i e = 1 + 3i Reduza cada expressão a seguir à forma a + ib (a) z 1 + (b) z 1 (c) z 1 (d) (2 4i)z 1 (e) z 1 (f) 1 (g) (z 1 + ) 2 (h) z 1 (i) ( z 1 ) 2 (10) Reduza cada expressão a seguir a forma a + ib (a) (1 + i) 2 (b) ( 1+i 1 i )2 (c) ( 1+i 1 i )2 ( 1 i 1+i )2 (4) Resolva as equações (a) + 9 = 0 (b) 2z + 2 = 0 (c) + 2z + 5 = 0 (d) + z + 9 = 0 (5) Prove que (a) o conjugado da soma é a soma dos conjugados, isto é (z 1 + ) = z 1 + (b) o conjugado da diferença é a diferença dos conjugados, isto é (z 1 ) = z 1 (c) o conjugado do produto é o produto dos conjugados, isto é (z 1 ) = z 1 (d) o conjugado da razão é a razão dos conjugados, isto é (z1 ) = z 1 (6) Represente os números z 1 = 2 + 4i, = 2 4i, z 1 = 2 + 4i e z 1 = 2 4i no plano complexo (7) Calcule (a) 1 i (b) i 3 (c) i 4 (d) i 5 (e) i 6 (f) i 7 (g) i 8 (h) i 9 4 (i) i 26 (j) i 31 (k) i 54 (l) i 87

5 (13) Seja z = x + iy Determine (a) Re( 1 z ) (b) Im( 1 z ) (c) Im(z 3 ) (d) Im( 1 ) (e) Re( + z) (f) Re( i ) (g) Im(4i 6z+ 8i) (h) Re( 1 z i ) (9) Prove o resultado em (13) Sugestão: faça z 1 = z, onde z = u+iv e resolva a equação resultante em termos de u e v 18 Valor Absoluto ou Módulo Dado o número complexo z = x + iy, seu valor absoluto (ou módulo), denotado z ou r, é dado por z = r = x 2 + y 2 (19) Geometricamente o valor absoluto de um número complexo nos dá a distância do ponto que o representa à origem do plano complexo (Aplique o Teorema de Pitágoras na Figura 13) É interessante observar que: o módulo de um número complexo é igual ao módulo de seu conjugado: z = z ; (110) o produto de um número complexo pelo seu conjugado é igual ao quadrado de seu módulo: zz = z 2 (111) As provas destes resultados são imediatas e cam como exercício para o leitor 19 Forma Polar Introduzindo as coordenadas polares r e θ no plano complexo (Figura 13), de modo que x = rcos(θ) o número z = x + iy pode ser reescrito como e y = rsen(θ), z = rcos(θ) + irsen(θ) = r[cos(θ) + isen(θ)] (112) chamada forma polar ou trigonométrica de um número complexo Em (112) o valor r é o valor absoluto de z, enquanto o ângulo θ é o argumento de z Denota-se arg(z) = θ Geometricamente, o argumento é o ângulo formado pelo semi-eixo real positivo e pelo segmento de reta que representa r, e pode ser obtido pela expressão ( y θ = arctg x ), x 0, y 0 (113) Evidentemente o argumento de um número complexo é denido a menos de múltiplos inteiros de 2π, no sentido que, se arg(z) = α, então arg(z) = α + 2kπ, k Z Se a parte real x ou a parte imaginária y de um número complexo z = x + iy for nula, a determinação de sua fase torna-se um pouco mais sutil Vejamos as possibilidades (a) Se x = 0 nosso número complexo é da forma z = 0 + iy = iy, ou seja é um número imaginário puro e o ponto que o representa está sobre o eixo imaginário O valor de sua fase depende do sinal da parte imaginária y: 5

6 eixo imaginário y z = x + iy = r [cos(θ) + isen(θ)] r θ x Figura 13: A forma polar eixo real (i) se y > 0, então arg(z) = θ = π 2 (veja o número z 1 na Figura 14); (ii) se y < 0, então arg(z) = θ = π 2 (veja o número na Figura 14) (b) Se y = 0 nosso número complexo é da forma z = x + i0 = x, ou seja é um número real puro e o ponto que o representa está sobre o eixo real O valor de sua fase depende do sinal da parte real x: (i) se x > 0, então arg(z) = θ = 0 (veja o número z 3 na Figura 14); (ii) se x < 0, então arg(z) = θ = π (veja o número z 4 na Figura 14) eixo imaginário z 4 = 7, θ = π z1 = i, θ = π 2 z 3 = 4, θ = 0 eixo real z2 = 2i, θ = π 2 Figura 14: Alguns números complexos e seus respectivos argumentos Agrupando estes resultados com a equação (113), a fase de um número complexo z = x + iy é dada por: arctg ( ) y x, se x 0 e y 0 π 2, se x = 0 e y > 0 θ = π 2, se x = 0 e y < 0 (114) 0, se y = 0 e x > 0 π, se y = 0 e x < 0 Exemplo 14 Dado z = 1 + i, temos z = 2 e arg(z) = arctg 1 1 = π 4 + 2kπ, onde k Z Assim ou simplesmente z = 1 + i = 2 [ cos ( ) ( )] π π 4 ± 2kπ + isen 4 + 2kπ, k Z, z = 1 + i = [ 2 cos ( π 4 6 ) + isen ( π 4 )]

7 Multiplicação e divisão A forma polar é particularmente útil para a multiplicação e divisão dos números complexos Consideremos os números [ z 1 = x 1 + iy 1 = r 1 cos(θ1 ) + isen(θ 1 ) ] e = x 2 + 2) [ iy 2 = r 2 cos(θ2 ) + isen(θ 2 ) ] ) z 1 = r 1cos(θ 1) + isen(θ 1)r 2cos(θ 2) + isen(θ 2) = r 1 r 2cos(θ 1 ) + isen(θ 1 )cos(θ 2 ) + isen(θ 2 = r 1r 2cos(θ 1)cos(θ 2) + icos(θ 1)sen(θ 2) + isen(θ 1)cos(θ 2) sen(θ 1)sen(θ O produto z 1 ca = r 1 r 2cos(θ 1 )cos(θ 2 ) sen(θ 1 )sen(θ 2 )+icos(θ 1 )sen(θ 2 ) + sen(θ 1 )cos(θ 2 ), e nalmente, utilizando as identidades trigonométricas obtemos cos(θ 1 + θ 2 ) = cos(θ 1 )cos(θ 2 ) sen(θ 1 )sen(θ 2 ) sen(θ 1 + θ 2 ) = cos(θ 1 )sen(θ 2 ) + sen(θ 1 )cos(θ 2 ), z 1 = r 1 r 2 [ cos(θ1 + θ 2 ) + isen(θ 1 + θ 2 ) ] (115) A partir de (115), observamos que o módulo do produto é o produto dos módulos, ou seja, z 1 = r 1 r 2 = z 1, e que o argumento do produto é a soma dos argumentos, ou seja, A razão z 1 arg(z 1 ) = θ 1 + θ 2 = arg(z 1 ) + arg( ) ca ) cos(θ r2 2 1 ) + isen(θ 1 )cos(θ 2 ) isen(θ 2 2) = r 1 1)cos(θ 2) icos(θ 1)sen(θ 2) + isen(θ 1)cos(θ 2) + sen(θ 1)sen(θ r 2cos(θ z 1 = r 1r 2 = r 1 r 2cos(θ 1 )cos(θ 2 ) + sen(θ 1 )sen(θ 2 )+isen(θ 1 )cos(θ 2 ) cos(θ 1 )sen(θ 2 ), e nalmente, utilizando as identidades trigonométricas cos(θ 1 θ 2 ) = cos(θ 1 )cos(θ 2 ) + sen(θ 1 )sen(θ 2 ) sen(θ 1 θ 2 ) = sen(θ 1 )cos(θ 2 ) cos(θ 1 )sen(θ 2 ), obtemos z 1 = r 1 r 2 [cos(θ 1 θ 2 ) + isen(θ 1 θ 2 ) (116) A partir de (116), observamos que o módulo da razão é a razão dos módulos, ou seja, z 1 = z 1, e que o argumento da razão é a diferença dos argumentos, ou seja, arg( z 1 ) = arg(z 1 ) arg( ) 7

8 Potências Utilizando (115) e indução matemática, observamos que z n = r n [cos(nθ) + isen(nθ)], (117) expressão válida para todo n Z A partir de (117) podemos escrever { r[cos(θ) + isen(θ)] } n = r n [cos(nθ) + isen(nθ)] da qual, fazendo r = 1, obtemos a fórmula de de Moivre 6 [cos(θ) + isen(θ)] n = cos(nθ) + isen(nθ) (118) 110 Problemas Propostos (1) Prove as equações 110 e 111 (2) Escreva os seguintes números complexos na forma polar (a) 2 2i (b) i (c) 3 + 4i (d) 5 + 5i (e) 5 + 5i (f) 5 5i (7) Dados os números z 1 = 1 + i, = 1 i e z 3 = 2i, efetue as operações a seguir e represente os resultados no plano complexo (a) z 1 z 3 (b) z8 1 z 4 2 (c) z 3 z 1+z 3 (4) Mostre que arg(z) = arg(z) (a menos de múltiplos inteiros de 2π) (5) Mostre que arg(1/z) = arg(z) (a menos de múltiplos inteiros de 2π) (6) Encontre o valor absoluto dos seguintes números (a) 1 + 3i (b) 9i (c) 2 + i 5 (d) 2 i 5 (7) Encontre o valor absoluto e o argumento dos seguintes números (a) ( 1 + i)(1 3i) (b) 1+i 2+ 3i (c) (3+3i)( 2i) 2 3i (d) (4 3i)( 1 2 +i)4 (1 3i (e) 2 + 3i (f) (4 + i) 3 1 i )8 1+i (e) ( 4 )2 ( 3+4i) (f) (3 + 4i) 3 ( 1 i) 6 (8) Represente no plano complexo a região representada pelas seguintes equações e inequações (a) z = 1 (b) z 1 = 1 (c) Re( ) = 1 (d) Im(2z) = 1 (e) π 4 arg(z) π 4 (9) Utilize a fórmula de de Moivre para estabelecer as seguintes identidades (a) cos(3θ) = cos 3 (θ) 3cos(θ)sen 2 (θ) (b) sen(3θ) = 3cos 2 (θ)sen(θ) sen 3 (θ) (10) Encontre identidades similares às do problema anterior para cos(2θ) e cos(4θ) 6Abraham de Moivre ( ) - Matemático francês trigonometria 8 Introduziu quantidades imaginárias na

9 Capítulo 2 Funções complexas 21 Problemas Propostos (1) Dada f(z) = 3z determine (a) f(2 i) (b) f( i) (c) f( 4 + 2i) (2) Dada f(z) = z 1 z+i determine (a) f(2 i) (b) f( i) (c) f( 4 + 2i) (3) Dada f(z) = z determine (a) f(2 i) (b) f( i) (c) f( 4 + 2i) (4) Determine as partes real e imaginária das funções a seguir (a) f(z) = 3z + 4 i (b) f(z) = 3 2z (c) f(z) = z 3 (d) f(z) = 1 (e) f(z) = z 1 z z+1 (f) f(z) = z 1 z+1 (5) Suponha que z varie em uma região R do plano complexo Determine a região S correspondente às imagens de w = f(z) Esboce as duas regiões sobre o plano complexo (a) f(z) = iz, onde R = { z C Re[z] 0 } (b) f(z) = 3z 1, onde R = { z C 1 < Re[z] < 1 } (c) f(z) =, onde R = { z C 0 arg[z] π/4, z 1 } (d) f(z) =, onde R = { z C 0 arg[z] π/2, 1 z 2 } (6) Determine todos os valores das raízes a seguir e represente-as no plano complexo (a) i (b) 3 1 (c) i (d) 25 (e) 3 i (f) 4 1 (g) 3 i (h) 8 1 (i) (j) 1 + i (k) i (l) 1 3 i (7) Determine todos as soluções das equações a seguir e represente-as no plano complexo 9

10 (a) z = 0 (b) z 3 64 = 0 (c) 6z + 13 = 0 (d) z = 0 22 A derivada de uma função complexa Dizemos que f é diferenciável (derivável) em z se existir o limite f (z) = lim z 0 (e) z 6 7z 3 8 = 0 (f) z 4 (1 4i) +4i = 0 f(z + z) f(z) (21) z Exemplo 21 Usando a denição (21) a derivada da função complexa f(z) = ca f (z + z) 2 (z) = lim z 0 z = lim z 0 = lim z 0 = lim z 0 + 2z z + ( z) 2 z 2z z + ( z) 2 = 2z z Z(2z + z) = 2z z É importante observar que z pode tender a zero por qualquer caminho (Figura 21); logo a existência da derivada em (21) implica que o valor deste limite é o mesmo, independente do caminho tomado Im y + y y z = x + iy z + z = (x + x) + i(y + y) x x + x Figura 21: z 0 por vários caminhos diferentes Re Observação: todas as regras familiares de derivação - derivada de uma constante, derivada da soma (diferença), regra da potência, regra do produto, regra do quociente e regra da cadeia - são válidas para a derivação das funções complexas Por outro lado algumas funções complexas relativamente simples não são deriváveis O Exemplo 22 ilustra uma função não derivável Exemplo 22 Usando a denição (21) a derivada da função complexa f(z) = z = x iy ca f (z) = (x + x) i(y + y) (x iy) x i y lim = lim x, y 0 x + i y x, y 0 x + i y Pelo caminho I da Figura 22 inicialmente y 0 e a derivada da equação (22) ca f x (z) = lim x 0 x = 1 10 (22)

11 Pelo caminho II da Figura 22 inicialmente x 0 e a derivada da equação (22) ca f i y (z) = lim y 0 i y = 1 Logo, como o limite por caminhos diferentes resulta em valores diferentes a derivada não existe y + y Im II z + z = (x + x) + i(y + y) y z = x + iy I x x + x Figura 22: z 0 por dois caminhos poligonais Re 23 Equações de Cauchy-Riemann Um conceito importante na teoria das funções complexas é o de analiticidade Denição 1 (Analiticidade) Um função complexa f é dita analítica em um domínio D se ela é denida e diferenciável em cada ponto deste domínio Estabeleceremos agora um critério simples para vericar se uma dada função complexa f(z) = u(x, y) + iv(x, y) é analítica, isto é, se possui derivada Inicialmente supomos que nossa função f é analítica em um certo domínio D, logo sua derivada f f(z + z) f(z) (z) = lim z 0 z existe para todos os pontos em D Reescrevendo esta derivada usando as partes real e imaginária de f obtemos f (z) = lim x, y 0 u(x + x, y + y) + iv(x + x, y + y) u(x, y) iv(x, v) (23) x + i y Pelo caminho I da Figura 22 inicialmente y 0 e a derivada dada pela equação (23) ca f u(x + x, y) + iv(x + x, y) u(x, y) iv(x, v) (z) = lim x 0 x = lim x 0 = u x + i v x u(x + x, y) u(x, y) x + i v(x + x, y) v(x, v) x (24a) 11

12 Pelo caminho II da Figura 22 inicialmente x 0 e a derivada dada pela equação (23) ca f u(x, y + y) + iv(x, y + y) u(x, y) iv(x, v) (z) = lim y 0 i y = lim y 0 = v y i u y u(x, y + y) u(x, y) i y + i v(x, y + y) v(x, v) i y (24b) Pela hipótese de f ser analítica f existe e é única, independente do caminho tomado, logo os resultados dados pelas equações (24a) e (24b) são iguais Igualando as partes real e imaginária de (24a) e (24b) obtemos u x = v y ou, usando uma notação mais econômica, e v x = u y u x = v y e v x = u y (25) chamadas equações diferenciais de Cauchy-Riemann Observe que o raciocínio que acabamos de desenvolver nos mostra que as partes real e imaginária de uma função complexa f(z) = u(x, y)+iv(x, y) satisfazem as equações de Cauchy-Riemann em todos os pontos onde f é analítica A grande importância das equações de Cauchy-Riemann é no sentido recíproco: elas nos fornecem um critério simples sobre as partes real e imaginária de uma função complexa para vericar sua analiticidade Este fato é formalizado no Teorema 2 Teorema 2 Para todos os pontos onde as funções reais u = u(x, y) e v = v(x, y) possuem derivadas parciais de primeira ordem contínuas e satisfazem as equações de Cauchy-Riemann a função complexa f(z) = u(x, y) + iv(x, y) é analítica Exemplo 23 Vericar a analiticidade da função complexa f(z) = Decompondo f em suas partes real e imaginária obtemos f(z) = = x 2 y 2 + 2ixy, logo u(x, y) = x 2 y 2 e v(x, y) = 2xy Assim temos: u x = 2x e v y = 2x, v x = 2y e u y = 2y Uma vez que as derivadas parcias u x, v y, v x e u y são contínuas para todo ponto (x, y) R 2 e também satisfazem as equações de Cauchy-Riemann, u x = v y e v x = u y, a função f(z) = é analítica para todo z C Exemplo 24 Vericar a analiticidade da função complexa f(z) = z = x iy Como u(x, y) = x e v(x, y) = y, temos: u x = 1 e v y = 1 Uma vez que u x v y todo ponto (x, y) R 2 a função f(z) = z não é analítica para todo z C 231 Equações de Cauchy-Riemann - Forma Polar Seja f(z) = u(x, y) + iv(x, y) analítica, onde x = r cos(θ) e y = r sen(θ) Usando a regra da cadeia obtemos u θ = u x x θ + u y y θ = u u r sen(θ) + x y r cos(θ) 12 (26a)

13 Fazendo (26a) + r(26d) obtemos u θ + r v r pois u x = v y e v x = u y Logo Fazendo (26b) - r(26c) obtemos v θ r u r pois u x = v y e v x = u y Logo v θ = v x x θ + v y y θ = v v r sen(θ) + x y r cos(θ) u r = u x x r + u y y r = u u cos(θ) + x y sen(θ) v r = v x x r + v y y r = v v cos(θ) + x y sen(θ) = u u v v r sen(θ) + r cos(θ) + r cos(θ) + x y x y r sen(θ) [ = r sen(θ) u x + v ] [ u + r cos(θ) y y + v ] = 0, x v r = 1 u r θ (26b) (26c) (26d) v r = 1 r u θ (26e) = v v u u r sen(θ) + r cos(θ) r cos(θ) x y x y r sen(θ) [ = r sen(θ) v x u ] [ v + r cos(θ) y y u ] = 0, x u r = 1 v r θ u r = 1 r v θ (26f) As equações (26e) e (26f) são as Equações de Cauchy-Riemann na forma polar Exemplo 25 Vericar a analiticidade da função complexa f(z) = z 6 Reescrevendo f na forma polar obtemos f(z) = r 6[ cos(6θ) + isen(6θ) ], onde r = z e θ = Arg(z) Temos u(r, θ) = r 6 cos(6θ) e v(r, θ) = r 6 sen(6θ), donde: u r = 6r 5 cos(6θ) e v θ = 6r 6 cos(6θ), u θ = 6r 6 sen(6θ) e v r = 6r 5 sen(6θ) Uma vez que as derivadas parcias u r, v θ, u θ e v r são contínuas para todo ponto (r, θ) R 2 e também satisfazem as equações de Cauchy-Riemann, u r = 1 r v θ e v r = 1 r u θ, a função f(z) = z 6 é analítica para todo z C 24 Funções harmônicas Denição 3 (Laplaciano) Seja u = u(x, y) uma função real com derivadas parciais de segunda ordem contínuas Dene-se seu laplaciano, denotado 2 u, como 2 u = 2 u x u y 2 = u xx + u yy (27) Teorema 4 As partes real e imaginária de uma função complexa f(z) = u(x, y) + iv(x, y) analítica em um domínio D têm laplaciano nulo em D, isto é, se f é analítica, então 2 u = u xx + u yy = 0 e 2 v = v xx + v yy = 0 13

14 Prova: pelas equações de Cauchy-Riemann temos u x = v y u xx = v yx, u y = v x u yy = v xy, logo 2 u = u xx + u yy = v yx v xy = 0 pela igualdade das derivadas parciais mistas A prova para v é análoga Denição 5 Uma função u = u(x, y) é dita harmônica se 2 u = 0 Observe que pelo Teorema 4 as partes real e imaginária de uma função complexa f(z) = u(x, y) + iv(x, y) analítica são funções harmônicas Neste caso dizemos que v = v(x, y) é a função harmônica conjugada 1 de u = u(x, y) Dada uma função harmônica podemos encontrar sua conjugada utilizando as equações de Cauchy-Riemann o Exemplo 26 ilustra este processo Exemplo 26 Consideremos a função u(x, y) = x 2 y (a) Verique se u é harmônica u x = 2x u xx = 2 ; u y = 2y u yy = 2 logo 2 u = u xx + u yy = 2 2 = 0 Assim, como 2 u = 0, temos que u é harmônica (b) Determine sua harmônica conjugada v = v(x, y) Como u x = v y temos que v y = 2x, donde v(x, y) = Por outro lado v x = u y, donde Assim v(x, y) = 2xy + c 2x y = 2xy + H(x) 2y + H (x) = ( 2y) H (x) = 0 H(x) = c 25 Problemas Propostos - Derivadas de funções complexas (1) Calcule a derivada da função (a) f(z) = z z+2 (b) f(z) = z i (c) f(z) = ( 3z) 3 (d) f(z) = z + 3i (e) f(z) = 1 1 z (f) f(z) = z (2) Determine a derivada da função no ponto z o 1O termo conjugada empregado aqui não tem nhenhuma relação com o conjugado de um número complexo 14

15 (a) f(z) = 3i + 8z + 4i, z o = 1 + 2i (b) f(z) = ( i) 2, z o = 3 2i (c) f(z) = 1 1 z, z o = 1 (d) f(z) = z 1 z+1, z o = 2 4i (3) Para cada função a seguir calcule a derivada usando (24a) e também usando (24b) Verique se os resultados coincidem (a) f(z) = 3z + 2i (b) f(z) = z + 1 z (4) Verique quais funções são analíticas (c) f(z) = z z (d) f(z) = 1 1 z (e) f(z) = z+1 z 1 (f) f(z) = ( + 3z) 2 (a) f(z) = + 2Re[z] (b) f(z) = 1 1 z, z 1 (c) f(z) = z + z (d) f(z) = z 2 (e) f(z) = Im[z] + (f) f(z) = e x[ cos(y) + isen(y) ] (5) Determine uma função analítica f(z) = u(x, y) + iv(x, y) para a qual (a) u(x, y) = x (b) v(x, y) = y (c) v(x, y) = xy (d) u(x, y) = xy (e) u(x, y) = 2x 3 6xy 2 (f) u(x, y) = e x cos(y) (6) Mostre que cada função a seguir é harmônica e determine a função analítica f(z) = u(x, y) + iv(x, y) correspondente (a) v(x, y) = 2xy + 2y (b) u(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) (c) v(x, y) = cos(x)senh(y) (7) Mostre que as funções são analíticas (sugestão: use a forma polar das Equações de Cauchy-Riemann) (a) f(z) = z 4 (b) f(z) = 1 z 4, z 0 (c) f(z) = ln(r) + iθ (8) Para quais valores da constante k a função u(x, y) = sen(x)cos(ky) é harmônica? Para cada um destes valores determine uma função complexa analítica tal que f(z) = u(x, y) + iv(x, y) 15

16 Capítulo 3 Função exponencial complexa 31 Problemas Propostos (1) Use as Equações de Cauchy-Riemann para mostrar que a função exponencial complexa f(z) = e z é analítica para todo z C (2) Calcule e z para (a) z = i π 4 (b) z = i π 4 (c) z = i 3π 4 (d) z = i π 3 (3) Determine as partes real e imaginária da função (e) z = i π 3 (f) z = 2+iπ 4 (g) z = 1 + i (h) z = 2 + i5π (a) f(z) = e 3z (b) f(z) = e z2 (c) f(z) = e z3 (d) f(z) = e ez (4) Mostre que e z e e z são conjugadas (5) Escreva cada número complexo a seguir na forma exponencial z = r [ cos(θ) + isen(θ) ] = re iθ (a) z = i (b) z = i (c) z = i (d) z = i (e) z = 1 + i (f) z = 1 i (g) z = 2 + i 3 (h) z = 2 + i 2 (6) Mostre que f(z) = f(x + iy) = e x[ cos(ky) + isen(ky) ] é analítica se somente se k = 1 (7) Verique se a função é harmônica Caso seja determine sua conjugada (a) u(x, y) = 2e x cos(y) (b) u(x, y) = e x2 y 2 2 cos(xy) ( (c) u(x, y) = e xy cos x 2 y 2 2 ) 16