MATERIAL MATEMÁTICA I

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1 MATERIAL DE MATEMÁTICA I CAPÍTULO I REVISÃO Curso: Administração

2 1 1. Revisão 1.1 Potência de Epoente Inteiro Seja a um número real e m e n números inteiros positivos. Podemos observar as seguintes propriedades de potenciação: 1) a n a a a... a ( n vezes ) ) a ) a a n 1 n ) a, a 0 a n m n m ) a a a (Produto de potência de mesma base: repete a base e soma os epoentes) OBS.: I) ( a) ímpar negativo n m nm 6) a a a, a 0 (divisão de potência de mesma base: repete a base e subtrai os epoentes) m m. n 7) ( a ) a n (potência de potência: repete a base e multiplica os epoentes) n n a a 8), b 0 n b b ( a) par positivo II) Observe a diferença:. 6 ( ) 9 Calcule o valor das epressões abaio: a) b) ( ) c) ( ) d) e) f) g) ( ) h) a) 16 b) 7 c) d) 1/9 e) 16/9 f) 1/7 g) 1/ h) 10 ou 1000

3 1. Cálculo de Epressões Numéricas Para calcular corretamente qualquer epressão numérica, é necessário obedecer algumas prioridades. Então, devemos ter em mente que devemos fazer os cálculos na seguinte ordem: 1) parênteses ( ), colchetes [ ] e chaves { } ) Potência e raiz ) Multiplicação e divisão ) Soma e subtração OBS.: i) Soma e subtração de fração: deve-se tirar o MMC entre os denominadores. ii) Produto de fração: deve-se multiplicar numerador com numerador e 8 denominador com denominador. P. e., 1 iii) Divisão de fração: repete o primeiro e multiplica pelo inverso do segundo. Por e., iv) Multiplicação e divisão de números reais: Multiplicação Divisão v) Soma e subtração de números reais: Prevalece o sinal do maior. Calcule o valor numérico das epressões abaio: a) [ 18 ( ) ] [1 7 ( 8 8)] ( 17) b) 17 {1 1 [ 1 (7 10 1) ]} 10 (6) c) { [ ( )]} (17) d) { 1. [ ( 1)] 10} [ 6(1 )] () ( 8) e) [( )( ) ( ) ] ( ) f) 18 [ ( ) ( )] g) [( ) ( ) ( ) ( ) ] [( ) ( ) ( ) ( ) ] (87) (16) 7 h) (/) i) ( /) j) 6 ( /)

4 11 k) 11 ( 8) 1 1 l) ( /) 1 1 m) (16/) 1 1 n) (/) 1. Potência de Epoente Racional, Simplificação de Radicais e Racionalização n m a / Às vezes nos deparamos com potências da forma e nos perguntamos: Como resolver esta epressão? Devemos nos lembrar que a epressão acima simboliza m a n. Portanto: 8 1/ 8 OBS.: Como trabalharemos apenas com números reais, só consideraremos raiz de número negativo se o seu índice for ímpar, pois caso contrário, seu resultado não será um número real. Outro fato comum é nos depararmos com um resultado que apresenta uma raiz que pode ser simplificada. Como proceder para simplificá-la? 1) Fatore o radicando ) Agrupe os fatores primos achados de acordo com o índice da raiz, p. e., se o índice for, agrupe-os de dois em dois; se o índice for, agrupe-os de três em três; e assim por diante. ) Cada grupo formado sai da raiz como um fator apenas e os fatores que não formarem grupos completos permanecem dentro da raiz. ) Todos os fatores que saírem serão multiplicados assim como os que permanecerem. E.: Simplifique 18 Podemos ainda chegar a um resultado que apresenta um radical no denominador, fato este esteticamente incorreto na matemática. Portanto, devemos racionalizar o resultado. Isso significa que devemos fazer manipulações algébricas para retirar o radical do denominador. O tipo de racionalização mais simples, que é a que veremos aqui, é aquela que apresenta somente uma raiz quadrada no denominador, e conseguimos racionalizar o resultado, multiplicando ambos, numerador e denominador, pela própria raiz.por e.:

5 Simplifique os radicais abaio: a) 76 d) b) 00 e) c) 1 f) 90 g) 98 h) - Racionalize: a) b) 1 c) d) 6 e) - a) b) 10 c) d) 1 e) 9 f) 10 g) 7 h) 18 - a) b) c) d) e) 1. Operações com Epressões Algébricas Epressões algébricas são epressões que envolvem letras ou números e letras, como por eemplo: ab 8 6 a bc bc 8 As letras são chamadas de variáveis e os números que as acompanham são chamados de coeficientes. Podemos fazer as seguintes operações com epressões algébricas: 1..1 Adição e subtração Só podemos adicionar ou subtrair termos semelhantes e, essa operação será feita sobre os coeficientes, mantendo-se a parte literal. Observe que, se não houver termo semelhante para operar, ele apenas será repetido.

6 E.: (a b 7c) (6a 8b c) a 6a b 8b 7c c 9a b 6c ( ) ( 8 ) Multiplicação A multiplicação deverá ser feita multiplicando-se primeiro os coeficientes, depois a parte literal, obedecendo as regras de potenciação e a regra da distributividade e, por fim, adicionando-se os termos semelhantes. E.: ( )( ) Divisão de Polinômio por Monômio Este tipo de divisão deverá ser realizado, dividindo-se cada termo do polinômio pelo monômio, lembrando-se das regras de potenciação. 6a a 8 E.: ( 6a a 8) a a a a a a a 1.. Produtos Notáveis Produtos notáveis, como o próprio nome já diz, são produtos que aparecem com bastante freqüência na resolução de problemas, Aqui, veremos os mais usados: ( a b) a ab b ( a b) a ab b ( a b)( a b) a b 1 Efetue as operações abaio: ab a b b a 6ab a) ( ) ( ) b) ( ) ( ) c) ( ) ( ) d) ( ) ( ) e) a 10a 18a 8a ( ) ( ) ( ) f) ( )( ) g) ( 6 )( 1) ) Desenvolva os produtos indicados: a) ( ) b) ( ) h) ( )( ) i) ( )( ) j) ( )( ) k) ( 6 8) ( ) l) ( 6 1) ( ) m) ( ) ( ) n) ( ) ( ) c) ( )

7 6 d) e) ( ) f) ( ) g) ( ) h) i) ( )( ) j) ( 1)( 1) k) ( )( ) l) ( )( ) m) ( 1)( 1) 1 a) ab a b b) c) d) 1 e) f) 0a 6a 16a g) h) 6 i) j) 9 k) l) m) n) a) b) 0 9 c) 0 d) e) 10 f) g) h) i) j) 1 k) 9 l) m) 1 1. Equações do 1 Grau Uma equação que pode ser escrita na forma a b 0, onde a e b são números reais conhecidos, com a 0, representa uma incógnita e o epoente de é 1, é chamada de equação do 1 grau a uma incógnita. Os números conhecidos são chamados coeficientes. Um valor que pode ser atribuído à incógnita, tal que torne a sentença verdadeira é chamado de raiz ou solução da equação. O conjunto das raízes ou soluções de uma equação é chamado de conjunto solução e pode ser indicado pela letra S. Forma Geral: a b 0 a 0 Solução: a b b a E.: 1) ( 1) 6 / ) ) 9 7 ( ) ( 7) 9 ( )

8 7 1 - Resolva as equações abaio: a) 1 b) c) d) 0 e) f) h) 1 i) 6 6 j) ( ) ( 1) k) l) 6 g) ( ) 10 ( ) a) 10 b) 7/ c) d) 8/1 e) 1 f) 1 g) h) 9 i) j) sem solução k) solução real l) sem solução 1.6 Inequações do 1 Grau Uma epressão algébrica que apresenta algum sinal de desigualdade ( >, <,, ) é denominada inequação. Resolver uma inequação é encontrar todos os valores que tornam a desigualdade verdadeira. A inequação do 1 grau é aquela em que o epoente da incógnita é 1. A maneira de resolver é semelhante à equação do 1 grau. A diferença consiste no fato de que, quando o coeficiente do é negativo, multiplicamos a inequação por ( 1) e invertemos a desigualdade. E.: 1) / S { R } 8 ) S { R }

9 8 ) ( ) ( 1) ( 1) S R / 1 - Resolva as inequações abaio: a) h) > b) 6 > 10 c) < 1 1 i) > d) ( ) ( 1) < e) ( 1) ( 1) > 10 f) 10 6( 1) ( 1) 7 j) 1 g) ( ) k) ( ) ( ) < 1 1 a) S { R } b) S { R > 11} c) S { R > 1} d) S { R > 1/} e) S { R > } f) S { R 6} g) S { R 10} h) S { R } i) S { R < 9/} j) S { R > 1} k) S φ 1.7 Equações do º Grau Uma equação pode ser escrita na forma a b c 0, onde a, b e c são números reais conhecidos, com a 0 e representa uma incógnita, é chamada de equação do º grau a uma incógnita. Os números conhecidos são chamados coeficientes. Os valores que podem ser atribuídos à incógnita, tal que torne a sentença verdadeira são as raízes ou soluções da equação. O conjunto das raízes ou soluções de uma equação é chamado conjunto solução e pode ser indicado pela letra S. Uma equação do º grau pode ser resolvida segundo a fórmula de Bhaskara, que será apresentada a seguir: b ±, onde b ac a Neste caso, é chamado de discriminante, pois discrimina quantas soluções terá a equação: Se >0, a equação terá duas raízes; Se 0, a equação terá uma raiz; Se <0, a equação não terá raiz;

10 9 a b c 1 ( ) ± 1 ' ' '' '' 6 E.: 0 ( ) 1 1 Resolva as equações abaio: a) 9 b) 1 0 c) 1 0 d) 6 0 e) 9 f) 6 0 g) 0 h) 16 i) 6 1 j) 1 9 l) m) 1 0 n) ( )( ) 10 k) ( ) o) ( ) 16 1 a) ± b) ± c) 0 ou 7 d) ou 0 e) ± f) ou g) h) 8 i) ou j) sem solução k) 8 ou / l) sem solução m) 1 ou 1/ n) o) 1 ou Sistemas de Equações do 1 Grau Um sistema de equações do 1 Grau é um conjunto de equações do 1 grau que devem ser resolvidas juntas pois uma depende da outra. Neste ponto, veremos apenas sistemas de duas equações e duas incógnitas. Para resolvermos estes sistemas, veremos os dois métodos mais comuns: Método da Substituição e Método da Adição.

11 Método da Substituição Este método consiste em isolar e substituir uma das incógnitas. Achar o seu valor e depois substituir o resultado para calcular a segunda. E.: Resolva os sistemas abaio: 6 a) 10 i) Isolar uma das incógnitas, por e., na equação (II): (III) ii) Substituir, na equação (I), pela epressão (III): (10 ) iii) Substituir o valor de ( ) em qualquer uma das equações, p. e., na (III): ( ) 8 Logo, a solução será 8 e b) 1 7 i) Isolar uma das incógnitas, por e., na equação (I): (III) ii) Substituir, na equação (II), pela epressão (III): ( 1) iii) Substituir o valor de () em qualquer uma das equações, p. e., na (III): 1. 1 Logo, a solução será 1 e 1.8. Método da Adição Este método consiste em adicionar as duas equações membro a membro, com o objetivo de obter uma equação que tenha apenas uma incógnita. Para isso, escolheremos uma incógnita cujos coeficientes devem ser simétricos. E.: Resolva os sistemas:

12 11 a) 6 10 i) Neste caso, não é necessário arrumar nenhuma equação, simplesmente fazemos a soma: ii) Substituir o valor de (8) em qualquer uma das equações, p. e., na (I): Logo, a solução será 8 e b) 0 1 i) Devemos obter coeficientes simétricos de ou para adicionarmos as equações, então, podemos multiplicar (II) por ( ): ii) Substituir o valor de (18) em qualquer uma das equações, p. e., na (I): Logo, a solução será e 18 c) 1 7 i) Devemos obter coeficientes simétricos de ou para adicionarmos as equações, então, podemos multiplicar (II) por ( ) e (I) por (): ii) Substituir o valor de () em qualquer uma das equações, p. e., na (I): Logo, a solução será 1 e

13 1 1 - Resolva os sistemas abaio: a) 7 c) 6 d) e) 11 9 f) 7 1 h) 1 1 i) 10 j) a) 0 e 17 c) e d) e 1 e) e 1 f) 1 e h) e i) e 0 j) e