Álgebra. SeM MiSTéRio

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1 Álgebra SeM MiSTéRio

2 Série SeM MiSTéRio Alemão Sem Mistério Álgebra Sem Mistério Cálculo Sem Mistério Conversação em Alemão Sem Mistério Conversação em Espanhol Sem Mistério Conversação em Francês Sem Mistério Conversação em Italiano Sem Mistério Espanhol Sem Mistério Francês Sem Mistério Geometria Sem Mistério Gramática Inglesa Sem Mistério Italiano Sem Mistério Pré-Álgebra Sem Mistério Pré-Cálculo Sem Mistério Química Orgânica Sem Mistério Química Sem Mistério

3 Álgebra SeM MiSTéRio Rhonda Huettenmueller Tradução da 2ª edição Rio de Janeiro, 2013

4 Sobre o Autor Rhonda Huettenmueller é PhD e leciona matemática em nível universitário há mais de 20 anos. Popular entre os alunos por sua habilidade de fazer com que a matemática avançada seja compreensível, e até mesmo agradável, a autora inclui muitas de suas técnicas de ensino neste livro. A professora doutora Huettenmueller é autora de vários livros bem sucedidos da série.

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6 Sumário Como Usar Este Livro xi CAPÍTULO 1 Frações 1 Multiplicação de Fração 2 Multiplicando Frações e Números Inteiros 3 Divisão de Fração 5 Simplificando Frações 7 Máximo Divisor Comum (MDC) 9 Somando e Subtraindo Frações com Denominadores Comuns 12 Somando e Subtraindo Frações com Denominadores Diferentes 13 Mínimo Múltiplo Comum (MMC) 15 Determinando o MMC 16 Somando Mais de Duas Frações 19 Números Inteiros Operações Aritméticas com Frações 22 Frações Compostas 25 Números Mistos e Frações Impróprias 26 Frações e Divisão de Números Inteiros 28 Operações Matemáticas com Números Mistos 30 Multiplicando Números Mistos 31 Dividindo Números Mistos 32 Reconhecendo Elementos, Símbolos e Relações Matemáticas Conforme os Enunciados 34 Resumo 37 Teste Rápido 39 CAPÍTULO 2 Introdução a Variáveis 45 Simplificando Frações com Variáveis 46 Operações com Frações com Variáveis 49 Divisão de Fração e Frações Compostas 52 Somando e Subtraindo Frações com Variáveis 54 vii

7 viii ÁLGEBRA SeM MiSTéRio Variáveis na Conversão do Enunciado em Símbolos Matemáticos 56 Resumo 60 Teste Rápido 61 CAPÍTULO 3 Decimais 65 Somando e Subtraindo Números Decimais 67 Multiplicando Números Decimais 69 Frações com Decimais 70 Divisão com Decimais 72 Resumo 73 Teste Rápido 75 CAPÍTULO 4 Números Negativos 77 A Soma de um Número Positivo e um Número Negativo 78 Subtraindo um Número Maior de um Número Menor 79 Subtraindo um Número Positivo de um Negativo 81 Dupla Negatividade 82 Reescrevendo um Problema de Subtração como um Problema de Adição 82 Multiplicação e Divisão com Números Negativos 84 Variáveis Negativas 86 Frações e Sinais Negativos 87 Resumo 89 Teste Rápido 91 CAPÍTULO 5 Expoentes e Raízes 95 Propriedades da Função Exponencial e Expressões Algébricas 98 Somando/Subtraindo Frações 99 Multiplicando e Dividindo com Expoentes 109 Raízes 113 Simplificando Raízes 115 Raízes Expressas Como Expoentes 123 Simplificando Raízes Múltiplas 125 Resumo 127 Teste Rápido 128 CAPÍTULO 6 Fatoração e a Propriedade Distributiva 133 Propriedade Distributiva com Números Negativos 135 Combinando Termos Semelhantes 137 Somando/Subtraindo Frações 139 Fatoração 141 Fatoração com Números Negativos 143

8 Sumário ix Outros Tipos de Fatoração 145 Fatoração por Agrupamento 147 Fatoração para Simplificar Frações 148 A Propriedade Distributiva da Multiplicação de Polinômios 151 Fatoração de Polinômios de Segundo Grau 154 Fatoração da Diferença de Dois Quadrados 159 Outros Tipos de Fatoração de Polinômios de Segundo Grau 162 Expressões do Tipo Quadráticas 164 Fatorando para Simplificar um Maior Grupo de Frações 166 Somando/Subtraindo Frações 169 Resumo 175 Teste Rápido 177 CAPÍTULO 7 Equações Lineares 183 Resolvendo Equações Lineares 186 Uma Estratégia para Resolver Equações Lineares 189 Decimais 200 Fórmulas 204 Equações que Geram Equações Lineares 210 Resumo 220 Teste Rápido 221 CAPÍTULO 8 Aplicações Lineares 223 Porcentagem 224 Acréscimo e Decréscimo por um Percentual 225 Trabalhando com Fórmulas 233 O Sentido dos Números 241 Problemas com Três Incógnitas 248 Problemas Relacionados a Computação de Notas 251 Problemas Relacionados a Moedas 256 Problemas Relacionados a Investimentos 260 Problemas Relacionados a Concentração de Substâncias 262 Problemas Relacionados a Desempenho no Trabalho 271 Problemas Relacionados a Distância 286 Figuras Geométricas 301 Resumo 306 Teste Rápido 309 CAPÍTULO 9 Desigualdades Lineares 313 Desigualdades e a Reta Numérica 314 Resolvendo Desigualdades Lineares 316 Notação de Intervalo 320 Problemas de Aplicação 322 Intervalo Limitado 331

9 x ÁLGEBRA SeM MiSTéRio Resolvendo Desigualdades Duplas 332 Aplicações de Desigualdades Duplas 338 Resumo 344 Teste Rápido 347 CAPÍTULO 10 Equações de Segundo Grau 351 Resolvendo Equações de Segundo Grau por Fatoração 352 Extraindo Raízes 363 Resolvendo Equações de Segundo Grau com a Fórmula de Báskara 365 Equações Racionais que Levam a Equações de Segundo Grau 375 Resumo 384 Teste Rápido 385 CAPÍTULO 11 Aplicações de Segundo Grau 389 Problemas Algébricos 390 Problemas de Receita 393 Outros Problemas de Desempenho de Trabalho 402 A Altura de um Objeto em Queda 409 Problemas em Geometria 418 Problemas Relacionados a Distância 431 Problemas Relacionados a Viagens 444 Resumo 449 Teste Rápido 451 Teste Final 453 Respostas dos Testes e do Teste Final 467 Apêndice 471 Índice 477

10 C omo Usar Este Livro Ao longo deste livro, você desenvolverá as habilidades algébricas necessárias para fazer qualquer curso médio ou superior de Matemática. Este livro tem duas vantagens em relação aos outros. A primeira é que ele apresenta um conceito por vez, algo que permite que você domine, de forma gradual, todo o conteúdo. A segunda, é que as soluções para os problemas, nos exemplos e na parte prática, são completas. Normalmente, um passo é executado a cada vez, para que possa aprender de forma simples como solucionar o problema. Como frações e problemas de conversão do enunciado em símbolos matemáticos (também chamados de aplicabilidade) frustram os alunos, este livro abrange esses tópicos com um cuidado especial. Começamos com operações com frações bem simples e, lentamente, passamos para operações com frações mais complexas. Sempre que uma nova técnica algébrica é abordada, uma seção inteira é dedicada à forma como esta técnica afeta as frações. Embora dois capítulos inteiros sejam dedicados a problemas de conversão do enunciado em símbolos matemáticos, desenvolvemos imediatamente, uma das habilidades mais importantes para a solução desse tipo de problema. Nos Capítulos 1 e 2, aprendemos a traduzir sentenças em símbolos matemáticos. No Capítulo 8, o primeiro a abordar problemas desse tipo começamos pelos problemas mais fáceis para, depois, aprendermos a resolver muitos dos problemas padrão comuns em Álgebra. seção sem ter entendido como resolver todos os problemas práticos da seção anterior. Em geral, cada nova seção aprofunda o tópico da seção anterior. Uma vez terminada a última seção de um capítulo, revise o conteúdo antes de fazer o teste de múltipla escolha. Esse procedimento irá ajudá-lo a avaliar o quanto absorveu do conteúdo. E, ao terminar o último capítulo, revise todos os capítulos anteriores antes de fazer o teste Em vez disso, você pode fazê-lo como se fosse vários testes menores. Tente melhorar seus pontos com cada um desses mini-testes. Se for paciente e tiver calma para estudar todo o conteúdo, se sentirá confortável em relação à Álgebra e poderá achá-la até divertida! Rhonda Huettenmueller xi

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12 Capítulo 1 Frações Ser capaz de efetuar operações aritméticas com frações é uma habilidade básica para o aprendizado da álgebra. Embora possamos pensar que o assunto deste capítulo não é necessário (a maioria das calculadoras faz esses cálculos para nós), os métodos desenvolvidos aqui nos ajudarão quando formos trabalhar com os tipos de frações frequentes em álgebra. Neste capítulo, você vai: multiplicar e dividir frações; simplificar frações; somar e subtrair frações com denominadores iguais; somar e subtrair frações com denominadores diferentes; transformar números mistos em frações impróprias; simplificar frações compostas; converter o enunciado em símbolos matemáticos. 1

13 2 ÁLGEBRA SeM MiSTéRio Multiplicação de Fração pizza. Por exemplo, representamos a fração pela região hachurada na Figura 1-1. Ou seja, é uma parte de três partes iguais. Vamos agora estabelecer a regra para a multiplicação de frações,. Usando esta regra, podemos calcular pela multiplicação dos numeradores 2 e 1 e dos denominadores 3 e 4. Fazendo isto, obtemos (mais tarde, no dois terços de um quarto. Começamos com um quarto representado pelo da Figura 1-2. Veremos agora o que acontece com a representação de um quarto se dividirmos Figura 1-3. Figura 1-1 Figura 1-2 Figura 1-3 Figura 1-4 terço de um quarto Agora, percebemos que a fração é o mesmo que. Podemos observar também que quando um quarto é dividido em três partes iguais, cada parte representa um doze avos, portanto, dois terços de, é igual a dois doze avos (veja a Figura 1-4). Por isso, é igual a. EXEMPLO Efetue a multiplicação com a regra. Segundo a regra, multiplicamos os numeradores 2 e 4 e os denominadores 3 e 5 para obtermos.

14 Capítulo 1 FRAÇÕES 3 PRÁTICA Efetue as multiplicações com a regra. SOLUÇÕES Multiplicando Frações e Números Inteiros Agora estabeleceremos uma regra para a multiplicação de um número inteiro e de uma fração. Para sabermos como multiplicar uma fração por um número inteiro, usamos para determinar o produto. A região hachurada na Figura 1-5 representa. Queremos um total de quatro destas regiões hachuradas. Veja a Figura 1-6. Como podemos observar, quatro de regiões nos dá um total de oito um nonos. Por isso,. Em geral, ao multiplicarmos (onde W é um número inteiro), temos W. a de frações. Dessa forma, temos então, a regra da multiplicação.

15 4 ÁLGEBRA SeM MiSTéRio Figura 1-5 Figura 1-6 Ou seja, o numerador de um produto é o número inteiro vezes o numerador da fração, e o denominador é o denominador da fração. Um método alternativo para determinar o produto de um número inteiro e uma fração é tratar o número inteiro como uma fração o número inteiro sobre 1 e, então, multiplicar como faríamos com quaisquer duas frações. Este método nos dá a mesma regra: EXEMPLO Determine o produto com cada um dos métodos descritos acima. PRÁTICA Determine os produtos com um dos dois métodos descritos acima.

16 Capítulo 1 FRAÇÕES 5 SOLUÇÕES Divisão de Fração Divisão de fração é tão fácil quanto multiplicação de fração. A regra para a divisão de fração é, ou seja, invertemos (trocamos o numerador e o denominador) a segunda fração, e um problema de divisão de fração passa a ser um problema de multiplicação de fração. Para entender o porquê disto, considere o cálculo Podemos resolver esse problema de divisão fazendo a seguinte pergunta: Quantas metades cabem em 3? Obviamente, a resposta é 6, resultado que está de acordo com a fórmula. EXEMPLO Efetue as divisões

17 6 ÁLGEBRA SeM MiSTéRio PRÁTICA Efetue as divisões SOLUÇÕES

18 Capítulo 1 FRAÇÕES 7 Simplificando Frações Ao trabalharmos com frações, normalmente nos pedem para reduzirmos a fração ao seu menor termo ou escrevermos a fração nos seus menores termos ou, nador não têm fatores comuns ( à exceção do 1). Por exemplo, está escrito nos seus menores termos, mas não está, pois 2 é um fator tanto de 4 quanto de 6. A aprenderemos um método mais rápido. Primeiro, escreva o numerador e o denominador como um produto de números primos (consulte o Apêndice se precisar rever como decompor um número em fatores primos). Depois, reúna os números primos comuns a ambos - numerador e denominador (se houver) - no início de cada fração. Divida cada fração em duas frações, a primeira com os números primos comuns. Assim, teremos a primeira fração representando 1 vez a outra fração. Esse recurso pode parecer desnecessário (e é, na verdade), mas trará melhor compreensão do fato de que os fatores comuns ao nu- frações pode ajudá-lo a evitar, futuramente, erros comuns em álgebra. EXEMPLO Simplifique as frações com o método descrito acima. SOLUÇÃO Começamos pela fatoração de 6 e 18. Agora escreva os fatores comuns como frações separadas. Como é 1, notamos que pode ser simplificado a.

19 8 ÁLGEBRA SeM MiSTéRio PRÁTICA Simplifique as frações SOLUÇÕES

20 Capítulo 1 FRAÇÕES 9 Máximo Divisor Comum (MDC) Felizmente, há uma forma menos enfadonha de escrever uma fração em seus menores termos. Determinamos o maior número que seja divisível pelo numerador e pelo denominador. Este número é chamado de Máximo Divisor Comum (MDC). Fatoramos o MDC do numerador e do denominador e reescrevemos a fração da seguinte forma: EXEMPLOS Identifique o MDC do numerador e do denominador e escreva as frações em seus menores termos.

21 10 ÁLGEBRA SeM MiSTéRio PRÁTICA Identifique o MDC do numerador e do denominador e escreva as frações em seus menores termos. SOLUÇÕES