Unidade 3 Função Logarítmica. Definição de logaritmos de um número Propriedades operatórias Mudança de base Logaritmos decimais Função Logarítmica

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1 Unidade 3 Função Logarítmica Definição de aritmos de um número Propriedades operatórias Mudança de base Logaritmos decimais Função Logarítmica

2 Definição de Logaritmo de um número Suponha que certo medicamento, quando entra na corrente sanguínea de uma pessoa, tem a seguinte propriedade: A cada hora, metade da quantidade presente no organismo é naturalmente eliminada. Injetando-se mg desse medicamento em uma pessoa, a quantidade residual no organismo após t horas da aplicação é dada por: f ( ) t., t 0 t

3 Em quanto tempo restarão apenas 4mg de medicamento no organismo dessa pessoa? O tempo pode ser encontrado substituindo-se F(t) 4 na função exponencial; f 4 ( t).. As potências dessa equação exponencial não t estão na mesma base. Observe t t t t

4 Ao resolver essa equação utilizando os procedimentos estudados anteriormente, vamos observar uma dificuldade em reduzir as potências a uma mesma base. Poderíamos tentar solucionar esse problema por meio de aproximações. ou 4 temos;, 3 Como. 3 4 sabemos que Assim, < < < < < < t t t

5 Nesse caso, podemos garantir que < t <. Mas não sabemos ao certo qual é o valor de t. A solução do problema envolve o que chamamos de aritmos. Mais especificamente, o valor de t na equação é o valor do aritmo de /3 na base /: t 3 3 t forma arítmica forma exponencial

6 Embora apresentem representações diferentes, essas duas últimas expressões têm o mesmo significado. Os aritmos podem ser utilizados para resolver uma equação exponencial cujas as potências não podem ser colocadas na mesma base. Conceito: Sendo x > 0 e b, o aritmo de número x em uma base b é o número y que devemos elevar à base b para obtermos x. Assim, b y x é equivalente a y b x

7 Na equação y b x, temos: y é o aritmo; b é a base do aritmo; x é o aritmando ou antiaritmo As restrições x > 0 e b, impostas aos valores de b e x, são necessárias para garantir a existência e a unicidade de um aritmo. Essa definição afirma que o aritmos são, na verdade, o mesmo que expoentes. Tal procedimento permitiu aos matemáticos transformar operações difíceis de efetuar em operações mais fácies. Isso possibilitou cálculos diversos em áreas de conhecimento, como Astronomia, Engenharia, etc.

8 Para esclarecer esse procedimento, observe alguns exemplos relacionados ao significado de aritmos: a) Se 3 x, então ³ x b) y 3 9 é o mesmo que 3 y 9 c) 5 b 6 é equivalente a b 5 6 Observe um procedimento que permite obter o valor de um aritmo. Na equação exponencial x 8, temos que x 3, pois: x 8 x ³ x 3 Como dissemos, podemos transformar essa forma exponencial na forma arítmica: x 8 é equivalente 8 3 Isso significa que o valor de 8 é 3, pois 3 é o valor do expoente de uma potência de base para se obter 8. Para você fazer p. 7

9 Com base na definição de aritmos, podemos estabelecer algumas consequências imediatas: º) b 0, pois b 0 º) b b, pois b b 3º) b b x x, pois b x b x 4º) b b x x, pois bx b x 5º) M N b M b N

10 Preste Atenção Considerando que a base de um aritmo é um número positivo e diferente de um, existem infinitos sistemas de bases de aritmos. Entre eles, dois se destacam: o sistema de base 0 (aritmo comum) e o sistema de base e (aritmo natural ou aritmo neperiano).

11 Para representar o aritmo na base 0 de um número positivo x, utilizamos a seguinte notação: 0 x ou x Pelo fato de o sistema decimal ser o mais utilizado, observe que a base 0 do aritmo pode ser omitida na representação. Já na representação do aritmo na base e de um número positivo x, utilizamos notação: e x ou ln x A expressão ln x representa o aritmo natural de x ou o aritmo de x na base e. O número e vale aproximadamente,78.

12 Propriedades

13 P Logaritmos Propriedades operátórias rias ( a b) a b + c c c a P a c c b c b P ( ) n a n a 3 b b

14 Para você fazer p.9 Utilize as propriedade do aritmo de um produto para expandir os aritmos: a) 7(5. a) a b) 0. a) 5 ( y) 0 + y + y Utilize as propriedade do aritmo de um quociente para expandir os aritmos: b) 000 c 0 c 30 c 3. c 3 c c

15 Para você fazer p.9 Utilize as propriedade do aritmo de uma potência para expandir os aritmos: a) b)ln ln e ln e. e

16 Coaritmo

17 Coaritmo Uma importante característica das águas que abastecem as cidades é o potencial hidrogênio (ph). O ph da água tem influência direta no controle da corrosão, na coagulação química e na desinfecção. Nos processos biológicos de tratamento de esgotos, por exemplo, o ph controla o desenvolvimento de micro-organismos. Além disso, muitos processos químicos utilizados para coagular esgotos e despejos, adensar lodos ou oxidar substâncias requerem controle do ph. O cálculo do ph de uma solução é feito por meio da utilização de um coaritmo. Assim, é importante destacar o significado desse conceito e expor algumas de suas aplicações. Conceito: Coaritmo de um número positivo x numa base positiva b, b, é o aritmo do inverso desse número x na base b: co x b b x

18 O ph de uma solução aquosa é calculado pelo coaritmo decimal da concentração de íons de hidrogênio livre da solução. Vamos supor que uma solução aquosa A tenha uma concentração de íons de hidrogênio livre a 0-8,7 Indica-se por [A] 0-8,7. Qual é o ph dessa solução? O ph é o coaritmo, na base 0, da concentração, ou seja: ph co 0 0 8,7. 8,7 8,7 0 [ A] 0 co 8, ,7 8,7 0 0

19 A solução aquosa é básica, pois o ph é igual a 8,7. Em geral, se o ph é maior que 7, a solução é considerada básica. Se é menor que 7, a solução é considerada ácida. E, se é igual a 7, a solução é considerada neutra.

20 Para você fazer p. 3 Se x 3 7, calcule o valor de co x: Inicialmente, temos: x x 7 x 3 Logo, co x x x ( ) x ( )

21 Mudança de base Calculadoras cientifica: A tecla, ao ser pressionada, resulta no aritmo decimal do número; A tecla ln, ao ser pressionada, indica o aritmo natural do número. Não apresentam teclas para cálculo imediato de um aritmo que esteja na base, por exemplo, como poderíamos calcular o 3 y?

22 Mudança de base

23 Acompanhe o raciocínio que pode ser utilizado para tal finalidade. Considere que Pela definição considere que 3 y Aplicando o aritmo na base0 nos dois lados da y 3 última Igualdade, temos Utilizando a y. 3 Isolando y, obtemos : propriedade aritmo de potência, y y 3 3 temos :

24 Substituindo e e, em seguida, divimos 3 por : Assim, para se obter o valor de y na última equação, encontramos : 3 0,477 0,3009 3, calculamos 3, separadamente 3

25 O procedimento acima mostra, passo a passo, como uma mudança da base pode ser efetuado para a base 0. Caso quiséssemos mudar para a base natural e, chegamos ao mesmo resultado do seguinte modo: ln 3, , ln 0,69347 Pode generalizar o procedimento de mudança de base. Ele é muito útil, pois, quando precisamos aplicar as propriedades dos aritmos, sabemos que eles devem estar na mesma base. Caso contrário, devemos mudar a base.

26 Em b M, o que ocorre quando efetuamos uma mudança de base b para a base M? Conceito: Sendo M, a e b números positivos, com a e b, para converter um aritmo de base b em aritmos de base a, utilizamos a seguinte fórmula: M b a M a b

27 Para você fazer p. 3 Nos procedimentos abaixo, que tipos de mudanças de bases foram realizadas? Mudança de base 3 para a base ln e Mudança da base e para a base 6

28 A resposta a essa pergunta é uma consequência importante da relação de mudança de base, observe: MM bm b M M b Assim, por exemplo, 3 3

29 Para você fazer p. 3 Se 7 x e 7 3 y, qual o valor de 8? x + y x + y (.3) (.3 )

30 Logaritmos Decimais

31 Logaritmos Decimais O sistema numérico decimal é o sistema de números mais utilizado na Matemática. Alguns historiadores acreditam que esse sistema foi adotado pelo homem primitivo pela compatibilidade com o número de dedos das mãos, a qual poderia ter sido utilizada para efetuar as primeiras contagens. Essa necessidade de contagem e de registro das contagens esteve presente durante muitos séculos no pensamento das pessoas que se dedicavam ao estudo dos números.

32 No início do século XVII, Henry Briggs e John Napier novamente fazem uso da base 0 para a criação do aritmo. Por esse motivo, os aritmos decimais, ou também chamados de aritmos comuns, exercem papel de destaque. Como já dissemos, em geral, as calculadoras cientificas apresentam o cálculo imediato de aritmos decimais (ou comuns) e aritmos naturais ( ou neperianos). Sendo assim, vamos explorar as propriedades já estudadas para calcular aritmos decimais.

33 Usando o fato que 0,30e 7 0,845, qual o valor de 7 5? ,30 0,845 0,699 0,845 0,87

34 Para você fazer p.33 Utilizando os resultados anteriores, calcule o valor de : 7 7 a)5 7, , b) , (.7) ( 0 ) ( 0,30) 0,30+ 0,845

35 Função Logarítmica

36 Função Logarítmica Atualmente, a poluição sonora existe nas grandes cidades se apresenta como um grave problema ambiental, pois a exposição ao ruído pode originar a perda de sensibilidade auditiva, surdez ou, até mesmo, mudanças comportamentais. O nível sonoro pode ser medido por uma função arítmica e a escala mais utilizada par medi-lo é a escala de decibels (db). Sons mais altos que 80 db são considerados potencialmente perigosos para a audição humana, independente do tempo de exposição. A ilustração a seguir mostra alguns fenômenos comuns em nossa vida e os correspondentes níveis sonoros:

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38 O nível sonoro de um som de intensidade I, medido em decibels e representado por N, pode ser calculado por meio da expressão: N ( I ) 0. I0 Em que I é a intensidade do som e I 0 é o valor constante de referência que corresponde aproximadamente à menor intensidade de som audível ao ouvido humano. I

39 Se um nível sonoro é de 80 db, qual a intensidade do som? Para encontrar a resposta a essa pergunta, podemos substituir N(I) 80 na função anterior. Assim, teremos: N ( I ) I 8 I 0 I I 0 I I 0 I I 0 0 I I 8 0 I I 8 0. I I Um som de 80dB corresponde a 00 milhões de vezes o valor I 0 (que é menor intensidade de som audível ao ouvido humano. 0

40 Para você fazer p. 34 Qual é o menor nível sonoro, em decibels, que corresponde à menor intensidade de som audível ao ouvido humano? Para encontrar o nível sonoro, basta substituir N ( I ) 0. N( I ) N I I 0 I 0. I ( I ) 0. N( I ) 0.0 N( I ) I por I 0 : Logo, a menor intensidade sonora audível humano corresponde a 0dB ao ouvido

41 Observe a forma gráfica da função:

42 Conceito Sendo b > 0, b e x > 0, a função f: R +* R definida por f(x) b x é chamada de função arítmica. Eventualmente, uma função arítmica pode apresentar formas variáveis, dependendo de algumas constantes adicionais. Observe alguns exemplos a seguir:

43 g h y t ( x) ( x). 0 3ln ( ) x 4 ( u) ( u + 5) 3 3 x x

44 Gráfico da função arítmica O gráfico de uma função arítmica varia, basicamente, de acordo com o valor da base do aritmo. Existem duas situações principais a considerar para a base b do aritmo: b > e 0 > b > A função será crescente.

45 Observe, por exemplo, a construção do gráfico da função f(x) x cuja a base b >. Em princípio, vamos considerar alguns valores positivos para x e construir uma tabela de coordenadas.

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47 Os pontos positivos na tabela pertencem ao gráfico da função. A variável x assume valores no conjunto dos números reais positivos. Assim, o gráfico será formado por uma curva contínua e não por pontos isolados.

48 Para você fazer p. 36 Construa o gráfico da função f(x) / x. Para isso, observe que a base está entre 0 e, ou seja, 0 > b >. ; ( ) ; f y ( ) 4 f y ( ) f y, 4 8

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50 Em síntese, é possível identificar se uma função arítmica é crescente ou decrescente analisando a base do aritmo.

51 Existem características presentes nos gráficos de funções arítmicas: O gráfico passa pelo ponto (; 0) O gráfico não intersecta o eixo y. O gráfico não ocupa o segundo e o terceiro quadrantes.