Texto de Aprofundamento / Apoio Conceito de Função

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1 Texto de Aprofundamento / Apoio Conceito de Função Texto baseado no material preparado por Ângela Patricia Spilimbergo, Cleusa Jucela Meller Auth e Lecir Dalabrida da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul (UNIJUÍ). 1. CONCEITO DE FUNÇÃO 1.1. Conceito Intuitivo de Função Os conceitos matemáticos, na sua maioria, surgem de alguma necessidade específica do homem. Por exemplo, o número natural surge de uma necessidade de contagem, o número racional de uma necessidade de medida. O conceito de função também surge de uma necessidade do homem, necessidade esta de entendimento e explicação da realidade através de leis quantitativas. Com o desenvolvimento econômico do comércio, a Europa necessitou de navegações em larga escala, o que envolvia viagens a longas distâncias para pesquisas por matériasprimas. Os marinheiros, por conseguinte, precisaram aprimorar métodos para determinar a latitude e a longitude. A determinação da latitude pode ser feita pela observação do sol e das estrelas, mas a determinação de longitude é mais difícil, o que acabava fazendo com que se perdessem as rotas em torno de 500 milhas. Para evitar que isso acontecesse, iniciou-se uma análise minuciosa dos movimentos dos astros e consequentemente do movimento em si, buscando uma lógica que permitisse medir e ao mesmo tempo prever. Galileu ( ) propôs então um programa para o estudo de movimento. A investigação de uma relação entre duas quantidades variantes tinha sido fundamental para se chegar ao conceito de função. Com a geometria analítica de Descartes (1637), curvas descritas por movimento e as fórmulas se referindo ao movimento mais que pela construção foram incluídas nas investigações. Uma relação representável em expressão matemática e seu respectivo gráfico foram então aceitas como objetos matemáticos. A definição mais explícita do conceito de função no século XVII (1667) foi dada por James Gregory. Ele definiu a função como: uma quantidade obtida de outras quantidades por uma sucessão de operações algébricas ou por qualquer operação imaginável. Em 1763, Leibniz usou a palavra função em um dos seus manuscritos, para significar qualquer quantidade variando de um ponto a outro de uma curva. A curva foi dita ser dada por uma equação. Leibniz também introduziu as palavras constantes e variáveis. Para Eüller e Bernoulli, a função era uma expressão analítica representando a relação entre duas variáveis com seu gráfico.

2 Os matemáticos, no desenvolvimento de seus modelos, precisaram de uma definição de função mais precisa. O conceito moderno de função foi introduzido por Dirichlet e Riemann no final do século XIX: Sejam x e y duas variáveis representativas de conjuntos de números, diz-se que y é uma função de x e escreve-se y = f(x), se, entre as duas variáveis, existe uma correspondência unívoca no sentido x y. Desencadear um assunto do programa com uma situação-problema real motiva o estudante a interessar-se mais por aquilo que está aprendendo e mostra a ele que, além da beleza intrínseca da Matemática como ciência essencialmente dedutiva, ela é útil na vida cotidiana. (Revista do Professor de Matemática, n.6, p.32,1986) Situações - Problema Identifique as variáveis envolvidas em cada situação e analise a veracidade das afirmações: 1- A medida do perímetro das figuras geométricas depende da medida da área, isto é, o perímetro das figuras geométricas é função da área. 2- A população de um país depende de sua área. 3- A produção das lavouras é determinada pela área ocupada pela plantação. Assim pode-se dizer que a produção é função apenas da área plantada. 4- Durante uma viagem de automóvel é feita uma tabela associando a cada hora a distância percorrida pelo carro desde o início do percurso, medida em quilômetros marcados no odômetro. Isso significa que a distância percorrida é função do tempo gasto no percurso. 5- A medida do lado de um quadrado determina sua área, isto é, a área do quadrado é função da medida do lado. 6- A área do retângulo é função da medida de apenas um de seus lados Conceito Formal Uma situação-problema envolve diferentes grandezas. Muitas vezes podemos considerar apenas duas e procurar um relacionamento entre elas. Suponhamos que a grandeza a assume valores x, que variam no conjunto A, e que a grandeza b assume valores y no conjunto B. Dizemos então que x e y são as variáveis do problema. A grandeza b é função de a, se a cada valor de x assumido por a corresponder um único valor y de b. O termo função significa que há uma correspondência única e, muitas vezes, exprime uma relação de dependência entre as grandezas.

3 Na prática, identificamos as grandezas com seus valores e dizemos que a variável y é função da variável x. Muitas vezes, traduzimos a expressão y é função de x por: y depende de x; x determina y ou ainda a cada x é associado um único y. Muitas situações reais envolvem várias grandezas. Para expressarmos uma das grandezas em função da outra, é necessário fixar (considerar constantes) as demais. Assim, o gráfico de uma função y = f(x), é o conjunto dos pares ordenados (x, f(x)), e para cada valor de x existe um único correspondente f(x). Designamos como x a variável independente da situação. O conjunto que contém x é o DOMÍNIO da função. Designamos como y a variável dependente da situação. O conjunto que contém y é o CONTRADOMÍNIO da função. A IMAGEM da função está contida no Contradomínio e é o conjunto de todos os valores de y que correspondem aos valores de x. 2. CLASSIFICAÇÃO DAS FUNÇÕES As funções classificam-se em: Inteiras Racionais Alg ébricas Fracionárias Irracionais Exponencia l Logarítmicas Transcendentes Trigonométricas diretas einversas Hiperbólicas diretas e inversas 3. FUNÇÃO INVERSA 3.1. Função Injetora Uma função f de A em B é injetora se, e somente se, dois elementos distintos quaisquer do domínio de f possuem imagens distintas em B. Sendo x 1 pertencente a A e x 2 pertencente a A, temos: x 1 x 2, f(x 1 ) f(x 2 ) Função Sobrejetora Uma função f de A em B é sobrejetora se, e somente se, Im(f) = B, onde B é CD(f).

4 3.3. Função Bijetora Uma função f de A em B é bijetora se, e somente se, é injetora e sobrejetora Reconhecimento de função injetora, sobrejetora ou bijetora através do gráfico Devemos analisar o número de pontos de interseção das retas paralelas ao eixo x, conduzidas por cada ponto (0, y) em que y B (contradomínio de f): 1º) Se cada uma das retas cortar o gráfico em um só ponto ou não cortar o gráfico, então a função é injetora. a) f: R R b) f: R + R f(x) = x f(x) = x 2 2º) Se cada uma das retas cortar o gráfico em um ou mais pontos, então a função é sobrejetora. Exemplo b) f: R R b) f: R R + f(x) = x -1 f(x) = x 2 3º) Se cada uma dessas retas cortar o gráfico em um só ponto, então a função é bijetora. a) f: R R b) f: R R f(x) = 2x f(x) = x 3

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6 3.5. Inversa de Algumas Funções Função Inversa: Dada a função f, a sua inversa denotada por f -1 existe se o ponto (a, b) está no gráfico de f e o ponto (b, a) está no gráfico de f -1. Os pontos (a, b) e (b, a) são simétricos em relação à bissetriz do 1º e 3º quadrantes, ou seja, os gráficos de f e f -1 são simétricos em relação á reta y = x, e então o domínio de f é a imagem de f -1 e a imagem de f é o domínio de f -1. OBS: Para admitir inversa, a função deve ser bijetora. Para obtermos a inversa procedemos da seguinte forma: a) trocamos x por y na função f; b) isolamos y. y = 2x + 3 a) x = 2y + 3 x 3 b) y 2 logo f 1 (x) x 3 2 f y = x f -1 Gráficos de outras inversas y = x 3 y 3 x y = 10 x y = log(x) 4. PARIDADE DE UMA FUNÇÃO

7 4.1. Função Par Uma função f de A em B é par se, para qualquer x pertencente A, temos f(x) = f(-x). Numa função par, para valores simétricos do domínio, obtemos a mesma imagem, o gráfico é simétrico em relação ao eixo y Função Ímpar Uma função f de A em B é ímpar se, para qualquer x pertencente A, temos f(-x) = -f(x). Numa função ímpar, para números simétricos do domínio, obtemos imagens opostas, o gráfico é simétrico em relação à origem. OBS: Uma função f de A em B não é par e nem ímpar, se para qualquer x pertencente a A, nem f(x) = f(-x) e nem f(-x) = -f(x). O gráfico não é simétrico nem em relação à origem, nem em relação ao eixo y. 5. FUNÇÕES ALGÉBRICAS RACIONAIS INTEIRAS 5.1. Funções Polinomiais São funções do tipo f(x) = a n x n + a n-1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a o onde: a n, a n-1,...,a 2, a 1 e a o são os coeficientes do polinômio com a n 0; a o é o termo independente; os expoentes n, n 1, n 2,... são números naturais; x é a variável. Assim um polinômio de grau n é uma soma de múltiplos constantes de funções potência: 1, x, x 2,..., x n-1, x n. f(x) = x 3 + x 2 - x

8 Função Constante Se, para qualquer valor de x, y assume o mesmo valor c, então temos a função constante: f(x) =c e seu gráfico é uma reta paralela ao eixo x, onde o domínio são todos os reais. E a imagem é o conjunto Im = {c}. Se uma pessoa fica exposta, nua, a temperaturas muito baixas ou muita altas, durante algumas horas, a temperatura de seu corpo pode cair ou subir, e isto pode ocasionar inclusive a morte de tal pessoa. Mas sob temperaturas ambientes de 16 0 C a 54 0 C nosso corpo é capaz de manter indefinidamente uma temperatura normal. Este fato pode ser ilustrado pelo gráfico abaixo. A temperatura corporal e a temperatura ambiente são duas grandezas variáveis que mantém um relacionamento entre si, a cada temperatura ambiente corresponde uma única temperatura corporal, ou seja, a temperatura corporal depende da temperatura ambiente. Pelo gráfico verificamos que a uma temperatura ambiente de 16 0 C a 54 0 C a temperatura corporal não se altera, ela é constante.