1) Eficiência e Equilíbrio Walrasiano: Uma Empresa

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1 1) Eficiência e Equilíbrio Walrasiano: Uma Empresa Suponha que há dois consumidores, Roberto e Tomás, dois bens abóbora (bem 1) e bananas (bem ), e uma empresa. Suponha que a empresa 1 transforme 1 abóbora em 3 bananas. Suponha que a utilitidade do Roberto é u R (c 1,c )=log(c 1 )+3log(c ) eadotomásé: u T (c 1,c )=log(c 1 )+log(c ) Suponha que o Roberto tenha duas abóboras mas não tenha nenhuma banana. Tomás, por outro lado, tem uma banana mas nenhuma abóbora, i.e. e R 1 =,e R =0,e T 1 =0,e T =1. a) Qual é o conjunto de possibilidades de produção da empresa? Desenhe a fronteira de possibilidades de produção da economia. Y 1 = (y 1,y ) R : y 1 0,y = 3y 1 ª A economia tem uma dotação inicial total de abóboras e 1 banana. Então sua fronteira de possibilidades de produção é: banana 7 1 Abóbora 1

2 b) Calcule os preços e alocações em um equilíbrio Walrasiano. RESPOSTA Como a tecnologia apresenta retornos constantes à escala, se há produção em equilíbrio, então p = p 1 3, pela condição de lucro 0 da firma. Normalize p =1 Neste caso, as demandas são c R 1 (p 1,p )= p 1 4p 1 = 1 e cr (p 1,p )= 6p 1 4p = 9 c T 1 (p 1,p )= p = 1 p 1 6 e ct (p 1,p )= p = 1 p A demanda agregada de abóbora (bem 1) é 3 edebananaé 10 =5. A firma demanda 4 3 de abóbora como insumo, e produz 4 unidades de banana, que somadas à dotoção inicial de 1 banana faz com que demanda agregada seja igual à oferta agregada. Fica de exercício extra mostrar que a firma não pode fechar em equilíbrio. c) Suponha agora que Tomás tenha 15 bananas, i.e. e T =15(o resto da economia segue igual). Como que o conjunto de alocações eficientes é agora? Quanto que a empresa produzirá em um equilíbrio Walrasiano? RESPOSTA Vamos resolver primeiro para o equillíbrio. Suponha novamente que a firma produza. Então, novamente, p = p 1 3, pela condição de lucro 0 da firma. As demandas agora são: c R 1 (p 1,p )= p 1 4p 1 = 1 e cr (p 1,p )= 6p 1 4p = 9 c T 1 (p 1,p )= 15p = 5 p 1 e ct (p 1,p )= 15p = 7 p Olhando para o mercado de abóbora, então a demanda agregada é = 3 > = oferta agregada máxima, isto é, sem nenhuma produção. Logo, o equilíbrio se dá com a firma fechando. Isto nos faz voltar a uma situção de economia de troca pura (sem produção). É o mesmo que dizer que a teconologia éinútil,jáquejáhámuitabanananaeconomia.deixoparavocêsaderivação do conjunto de Pareto (derive como numa economia de troca, como se a firma não existisse).

3 ) Capital Humano Suponha que Roberto e Tomás estão em uma ilha com três bens: abobora (a), banana (b) e trabalho (l) (na realidade, como você verá brevemente, somente o trabalho do Roberto importa, pois o trabalho do Tomás é inútil). Suponha também que há uma empresa que produza abóboras usando o trabalho do Roberto (bem 3). Isto é equivalente a dizer que o Roberto tem uma habilidade que Tomás não tem, e a empresa precisa dele (Roberto) para produzir abóboras. Roberto e Tomás têm utilidades idênticas sobre abóboras (bem 1) e bananas (bem ) Eles não valoram trabalho, isto é, ninguém deriva utilidade (ou desutilidade) deste bem. u R (c 1,c )=u T (c 1,c )=4log(c 1 )+log(c ) As dotações iniciais são: (e R 1,e R,e R 3 )=(0, 0, ) e (e T 1,e T,e T 3 )=(0, 1, 1) A empresa produz 1 abóbora para cada unidade de trabalho do Roberto. Qual é o preço de equilíbrio do trabalho do Tomás? ZERO, OBVIAMENTE. A demanda por seu trabalho é zero (jáqueéinútil),eaofertaézero(jáqueopreçoézero). Calcule o equilíbrio Walrasiano e mostre que ele é eficiente do ponto de vista de Pareto. Em equilíbrio, adivinhe que a firma usará todo o trabalho do roberto para produzir abóbora. Neste caso, a condição de lucro zero da firma implica que p 1 = p 3,istoé,paraqueafirma produza em equilíbrio é preciso que o preço do trabalho do Roberto seja igual ao preço da aboóbora. Assim, caímos novamente em uma economia de trocas pura, com a seguinte alocação inicial: (e R 1,e R )=(, 0) e(e T 1,e T )=(0, 1) Roberto tem unidades de abóbora porque tem duas unidades de trabalho, e o preço de equilíbrio da abóbora é igual ao do trabalho. Logo ele sempre pode comprar duas abóboras. Deixo a cargo de vocês, a derivação do equilíbrio neste contexto. Note que não há taxa marginal de transformação, poissó há uma fima que transforma algo que não é diretamente valorizado (trabalho do Roberto) em um dos bens. Ou seja, não há que se abrir mão de banana para produzir abóbora. Para ver que este equilíbrio é eficiente, note que: Qualquer alocação eficiente envolve a firma usar todo o trabalho do Roberto para produzir abóbora, já que trabalho não entra na função utilidade e abóbora entra. 3

4 Como caímos numa economia de troca, sabemos pelo 1o teorema do bemestar que o equilíbrio que emerge tem que ser eficiente do ponto de vista de pareto. 3) Retornos decrescentes Mais uma vez temos Roberto e Tomás em uma ilha. Eles se importam, novamente, com abóboras (bem 1) e bananas (bem ), e têm utilidades idênticas: u R (c 1,c )=u T (c 1,c )=log(c 1 )+log(c ) As dotações iniciais são: (e R 1,e R )=(1, ) e (e T 1,e T )=(1, ) Há uma empresa na economia, que transforma bananas em abóboras de acordo com a seguinte tecnologia: Y = (y 1,y ) R : y 0,y 1 =ln( y ) ª ou seja, a empresa transforma o logaritmo natural de banana em uma abóbora. Esta é uma sociedade bastante igualitária, de modo que cada um deles é dono de metade da empresa. Note que esta firma não tem retornos constantes à escala, de modo que não temos a facilidade de determinar os preços de equilíbrio olhando somente para a condição de lucro zero da empresa. Siga os passos abaixo. O objetivo final é calcular o equilíbrio Walrasiano e mostrar que ele é eficiente do ponto de vista de Pareto. AS RESPOSTAS TODAS SERÃO INDICATIVAS. MUITAS VEZES AS CONTAS NÃO SERÃO FEITAS. a) Sejam p 1 e p os preços da abóbora e da banana, respectivamente. Resolva o problema de maximização da firma, supondo que ela é tomadora de preços tanto no mercado de produto (abóbora) como no mercado de insumos (banana). Note que a firma não possui retornos constantes à escala. Logo, já não podemos usar a condição de lucro 0 para determinar os preços relativos. Ela resolve o seguinte problema de maximização de lucros: A condição de primeira ordem é: max y p 1 ln ( y ) p y y = p 1 p 4

5 b) Qual é a oferta de abóbora da empresa, como função de p 1 e p? Qual é a demanda de bananas (insumo) da empresa, como função de p 1 e p? Substituindo na função de produção, temos: y 1 =ln c) Qual é o lucro da empresa como função de p 1 e p? Note que, como a tecnologia não apresenta retornos constantes à escala, é possível que a empresa tenha lucro positivo em equilíbrio. O lucro da firma (supondo que é positivo) é: Π (p 1,p )=p 1 ln p p p 1 p = p 1 ln p p 1 d) Qual é a demanda por abóbora e por banana de Roberto e Tomás? Qual é a demanda agregada de abóbora e de banana? Dica 1: note que agora a empresa pode ter lucro, de modo que você tem que levar isto em conta quando derivar qual é a renda do Roberto e do Tomás. Dica : somente Roberto e Tomás demandam banana? A grande diferença aqui é que Roberto e Tomás, como donos da firma, recebem dividendos. Suas rendas, que são iguais, são dadas pela seguinte expressão: m = p 1 +p + Deste modo, as funções demanda são: ³ p 1 ³ln p 1 ³ c R 1 (p 1,p )=c T 1 (p 1,p )= p 1 +p + p 1 c R (p 1,p )=c T (p 1,p )= p 1 +p + p 1 e) Qual é a oferta agregada de abóbora e de banana? A oferta agregada de abóbora é: p ln³ p 1 ³ ln³ p 1 5

6 e R 1 + e T 1 + y 1 =+ln p De banana é e R + e T + y =4 p 1 p f) Ache os preços do equilíbrio Walrasinano. Pela Lei de Walras, precisamos equilibrar somente um mercado. Normalizando um dos preços (digamos, p 1 ) para 1, o preço p de equilíbrio sai da seguinte equação: +4p +( ln (p ) 1) =4 1 3=4p +ln(p ) p p Resolvendo esta esta equação, nos p = g) Avalie a seguinte proposição: Marx estava certo! Mesmo retornos decrescentes à escala, a demanda continua não tendo nenhum papel na determinação dos preços. Estava claramente errado. Note que a demanda tem um papel h) Calcule as alocações de equilíbrio As alocações são (aproximadamente): c R 1 = c R 1 = c R = c R = ( ln( ) 1) ( ln( ) 1) = = y = = y 1 =ln = i) Desenhe o conjunto de possibilidades de consumo agregado da sociedade. No equilíbrio, qual é a Taxa Marginal de Transformação da Economia? 6

7 Abóbora Banana j) No equilíbrio, qual é a Taxa Marginal de Substituição do Roberto? E do Tomás? Susbtituindo as alocações na fórmula da taxa marginal de substituição (que é igual para os dois), temos: u c = u = c 1 A taxa marginal de transformação é: MRT = dy 1 d ( y ) = = k) Baseado nos seus resultados, avalie a segiunte proposição: com retornos decrescentes à escala, o primeiro teorema do bem-estar não mais funciona. 7

8 Claramente falsa, mais uma vez, no equilíbrio, a taxa marginal de transformação é igual às taxas marginais de substituição e vale o 1o terorema do bem-estar: todo equilíbrio Walrasiano é eficiente do ponto de vista de Pareto. 8