Exercícios 1. Determinar x de modo que a matriz

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1 setor SP Aula 35 MATRIZ INVERSA Uma matriz quadrada A de ordem n diz-se invertível, ou não singular, se, e somente se, existir uma matriz que indicamos por A, tal que: A A = A A = I n onde I n é a matriz identidade de ordem n. Observação Pode-se provar que: º-) Se A A = I então A A = I. º-) A é invertível se, e somente se, deta 0. 3º-) det A = deta Exercícios. eterminar x de modo que a matriz A = 0 x 3 0 evemos ter det A 0 0 x x 3 0 x 9 x 9 seja invertível.. Obtenha a matriz inversa da matriz: A = 0 I det. A = ( A ) II seja A a b = c d A A a b 0 = I = 0 c d 0 a c b d 0 = c d 0 a c = b d = 0 c = 0 c = 0 d = d = a 0 = a = b = 0 b = Resposta: A = 0 ALFA ANGLO VESTIBULARES

2 3. Seja A = 5 x. O valor de x tal que det A = é: 3 3 x a) d) 4 b) e) 0 c) 3 det A = det A = x x 5 x det A = = 5 3 x 3 3 Assim: x = 5 3x 4x = 6 x = 4 ORIENTAÇÃO E ESTUO Livro Unidade IV Caderno de Exercícios Unidade III Tarefa Mínima Leia os itens a 5, cap. 3. Resolva os exercícios (a, b),, 3 e 4, série 3. Tarefa Complementar Resolva os exercícios 5 a 7, série 3. Aula 36 SISTEMAS LINEARES NOÇÕES GERAIS E CRAMER I. NOÇÕES GERAIS. EQUAÇÃO LINEAR Chamamos de equação linear nas incógnitas x, x,, x n, toda equação do tipo a x a x a n x n = b onde, a, a,, a n são números quaisquer chamados coeficientes e b também é um número chamado termo independente.. SISTEMA LINEAR É um conjunto de n(n ) equações lineares nas mesmas incógnitas. Exemplos: x y 3z = 4. x y z = 3x z = 7 x y z = 0. x y z = 0 x y z = 0 x y z = 3. 3x y 7z = 4 Chamamos de sistema linear homogêneo aquele onde todos os termos independentes valem zero. É o caso do exemplo. 3. SOLUÇÃO E UM SISTEMA Chamamos de solução de um sistema linear, todo conjunto ordenado de números (α, α,, α n ) que colocados, respectivamente, nos lugares de x, x,, x n fazem com que todas as equações fiquem sentenças verdadeiras (isto é, igualdades numéricas). No sistema x y = 7 x y = 3 O conjunto (5, ) é solução, pois x y 5 = 7 (V) 5 = 3 (V) Porém, o conjunto (3, 4) não é solução, pois 3 4 = 7 (V) 3 4 = 3 (F) 4. CLASSIFICAÇÃO E UM SISTEMA ado um sistema linear, se ele tiver pelo menos uma solução diremos que é possível, caso contrário diremos que é impossível (ou que suas equações são incompatíveis). Se o sistema for possível e tiver uma só solução chamaremos o sistema de determinado. Se o sistema for possível e tiver mais de uma solução chamaremos o sistema de indeterminado. Em resumo: determinado Possível Sistema indeterminado Impossível ALFA ANGLO VESTIBULARES

3 Exemplos:. O sistema x y = 0 x y = é possível e determinado, pois só admite a solução (6, 4).. O sistema x y = 0 3x 3y = 0 é possível e indeterminado, pois admite as soluções (0, 0), (4, 4), ( 7, 7),,, (π, π),, (α, α) α 3. O sistema x y = x y = é claramente impossível. 4. O sistema x y = 3 0 x 0 y = é impossível (a última equação nunca é satisfeita). OBSERVAÇÃO O sistema homogêneo sempre admite solução (pelo menos a nula). Portanto o sistema homogêneo é sempre possível. O sistema 3x y 5z = 0 x y 4z = 0 admite a solução nula (0, 0, 0), pois = 0 (V) = 0 (V) II. TEOREMA E CRAMER Consideremos o sistema linear a x b y = c a x b y = c Sejam, = a b a b o determinante da matriz dos coeficientes. a c = y a c O teorema de Cramer afirma que: Se 0, então o sistema linear é determinado e a solução única (x, y) é dada por x e y x y = =. Justificativa: a x b y = c O sistema linear a x b y = c c a x de I : y = b substituindo em II : a b x b c a b x = b c (a b a b )x = b c b c bc bc x = ab ab b c b c ou ainda: x = ab ab logo: x = x, ( 0) Substituindo em uma das equações teremos que y y = o determinante da matriz de substituição dos termos independentes na ª- coluna. c a x a x b c b =, ( 0) OBSERVAÇÃO: O teorema que acabamos de verificar para sistemas de duas equações a duas incógnitas é válido também para qualquer sistema de n equações a n incógnitas (desde que, 0). O enunciado geral é: Se um sistema de n equações a n incógnitas tiver 0, então ele será determinado e o valor de cada incógnita é dado por uma fração que tem no denominador, e, no numerador, o determinante da matriz dos coeficientes, substituindo-se a coluna dos coeficientes da incógnita, pela coluna dos termos independentes do sistema. I II c b x = c b o determinante da matriz de substituição dos termos independentes na ª- coluna. ALFA ANGLO VESTIBULARES

4 Exercícios. Resolver, aplicando a regra de Cramer: x y = x 3y 3z = x z = 0 = 3 3 = 0 0 x = 3 3 = _ 0 0 y = 3 = 4 z = 3 = Resolver pela Regra de Cramer: ax y = b bx y = a (a b) a = b = a b b x = a = b a = (a b) a b y = b a = a b = (a b) (a b) (a b) x = x = a b = (a b) (a b) y = y = = a b a b S = {(, a b)} x Logo, x = = y y = = z z = = S = {(,, )}. Para que valores de m o sistema: mx 3y = 7 é possível e determinado? 4x y = 9 a) m 3 b) m 3 c) m 6 d) m = 6 e) m, m IR. evemos ter: 0 m 3 = 0 m 0 4 m 6 ORIENTAÇÃO E ESTUO Livro Unidade IV Caderno de Exercícios Unidade III Tarefa Mínima Leia os itens,, 3, 5 e 6, cap. 4. Resolva os exercícios,, 3 e, série 4. Tarefa Complementar Resolva os exercícios (a), 3, 4 e 5, série 4. ALFA ANGLO VESTIBULARES

5 Aulas 37 e 38 SISTEMAS LINEARES SISTEMAS ESCALONAOS ESCALONAMENTO SISTEMAS ESCALONAOS. EFINIÇÃO Consideremos um sistema linear onde, em cada equação há pelo menos um coeficiente não nulo. iremos que o sistema está na forma escalonada (ou escalonado) se o número de coeficientes nulos, antes do primeiro coeficiente não nulo, aumenta de equação para equação. Exemplos: ) ) 3) x y 3z = y z = 4 z = 5 4x y z t w = z t w = 0 t w = x y z = 5 y z = 0. RESOLUÇÃO E UM SISTEMA ESCALONAO Há dois tipos de sistemas escalonados a considerar, vejamos quais são, e como se resolvem. º- tipo) Número de Equações Igual ao de Incógnitas Nesse caso, o sistema será determinado e cada incógnita é obtida resolvendo-se o sistema de baixo para cima. x y z = 4 3y z = 3z = 6 I II III de III z = em II 3y = y = em I x = 4 x = 0 Solução: (0,, ) º- tipo) Número de Equações é Menor que o de Incógnitas Nesse caso, escolhemos as incógnitas que não aparecem no começo de nenhuma equação (variáveis livres) e as transpomos para o º- membro. Em seguida, para cada variável livre atribuímos um valor arbitrário e resolvemos o sistema nas incógnitas do º- membro. O fato de atribuirmos valores arbitrários a algumas das incógnitas faz com que o sistema tenha mais do que uma solução e seja, portanto, indeterminado. x y z = 4 y z = A única variável livre é z (não aparece no começo de nenhuma equação). Transpondo z para o º- membro, teremos x y = 4 z y = z atribuindo a z um valor arbitrário α, teremos x y = 4 α y = α então, II y = α em I x ( α) = 4 α x = 6 Portanto, as soluções do sistema são as triplas ordenadas (6; α; α), onde α é um número qualquer (real ou complexo). Eis algumas: α = (6; 3; ) α = 6 (6; 4; 6) α = 0 (6; ; 0) 3. ESCALONAMENTO E UM SISTEMA A) Sistemas Equivalentes ados dois sistemas lineares S e S, diremos que eles são equivalentes se tiverem o mesmo conjunto solução. x y = 3 x y = 3 S e S x y = 3y = 5 são equivalentes, pois ambos são determinados ( 0) e admitem como solução ; I II Já que sistemas equivalentes têm as mesmas soluções, o que iremos fazer é transformar um sistema linear qualquer num outro equivalente, porém na forma escalonada. Isto, porque sistemas escalonados são fáceis de se resolverem. Precisamos então saber que recursos usar para transformar um sistema S num outro equivalente S, na forma escalonada. Os recursos são os teoremas que veremos a seguir. ALFA ANGLO VESTIBULARES

6 TEOREMA Multiplicando-se os membros de uma equação qualquer de um sistema S, por um número k 0, o novo sistema S será equivalente a S. TEOREMA Se substituirmos uma equação de um sistema S, pela soma membro a membro, dela com uma outra multiplicada por um número obteremos um sistema S equivalente a S. Os sistemas x y = 4 x y = 4 S e S x 3y = 8 4y = são equivalentes, pois S foi obtido a partir de S, substituindo a ª- equação de S, pela soma membro a membro, dela com a ª-. B) Escalonamento de um Sistema Para escalonarmos um sistema, teremos que seguir vários passos, todos eles baseados nos teoremas e. x y z = 9 ( ) x y z = 3 3x y z = 4 x y z = 9 ( 3) 3y 3z = 5 3x y z = 4 x y z = 9 3y 3z = 5 ( / 3) 7y 5z = 3 x y z = 9 y z = 5 ( 7) 7y 5z = 3 x y z = 9 y z = 5 z = 4 Solução, de baixo para cima z =, y = 3, x = S = {(, 3, )} OBSERVAÇÃO Se durante o escalonamento ocorrer: º-) Uma equação do tipo 0 x 0 x 0 x n = b (b 0) então, o sistema será impossível, pois esta equação nunca será satisfeita. º-) Uma equação do tipo 0 x 0 x 0 x n = 0 esta equação poderá ser suprimida do sistema, pois ela é verificada por quaisquer valores das incógnitas. Exercícios. Classificar e resolver os sistemas: a) O sistema é SP III 3z = 6 z = II y = y = I x = 6 x = 5 S = {(5,, )} x y z = b) y z = O sistema é SPI Variável livre: z = α, α II y α = y = α I x α α = x = 3 3α S = {(3 3α, α, α), α}. Classificar e resolver os sistemas: a) x y z = 6 y z = 3z = 6 x y z = 6 x 3y 4z = 0 x y z = 7 x y z = 6 ( ) () x 3 y 4 z = 0 x y z = 7 x y z = 6 0 y z = 8 ( ) 0 y 3 z = 3 x y z = 6 0 y z = z = 3 (III) z = 3 (II): y 3 = 8 y = (I): x 3 = 6 x = S = {(,, 3)} SP ALFA ANGLO VESTIBULARES

7 x y z = b) x y z = 3x z = 5 x y z = ( ) ( 3) x y z = 3 x 0 y z = 5 x y z = 0 3 y z = 3 ( ) 0 3 y z = x y z = y z = = (falso) SI S = c) x y z = y z = x y = x y z = ( ) 0 y z = x y 0 = x y z = 0 y z = ( ) 0 y z = (I) x y z = (II) 0 y z = = 0 Variável livre: z = α, α (II): y α = y = α (I): x α α = x = α x = α SPI S = {( α, α, α), α} x y = y = ( ) y = x y = y = 0 = 0 Como o número de equações na forma escalonada é igual ao número de incógnitas: SP. II y = I x = x = S = {(, )} b) x y z = ( 3) 3 x y 6 z = 4 x y z = y 0 z = Como o número de equações na forma escalonada é menor que o número de incógnitas: SPI. Variável Livre: z = α, α II y = I x α = x = α S = {( α,, α), α} Livro Unidade IV Caderno de Exercícios Unidade III AULA 37 x y z = 3x y 6z = 4 ORIENTAÇÃO E ESTUO Tarefa Mínima Leia o item 4, cap. 4. Resolva os exercícios 7, 7 e 8, série 4. AULA Classificar e resolver os sistemas: a) x y = x y = 0 4x 3y = x y = ( ) ( 4) x y = 0 4x 3y = Resolva os exercícios a 3, série 4. Tarefa Complementar AULA 37 Resolva os exercícios 8, 9 e 0, série 4. AULA 38 Resolva os exercícios 5, 6, 7, 9 e 30, série 4. ALFA ANGLO VESTIBULARES

8 Aulas 39 e 40 SISTEMAS LINEARES ISCUSSÃO. ISCUSSÃO E UM SISTEMA LINEAR iscutir um sistema linear em função de um ou mais parâmetros significa dizer para que valores do(s) parâmetro(s) o sistema é a) determinado b) indeterminado c) impossível Exemplos: a) Número de equações igual ao número de incógnitas. Vamos discutir em função de m o sistema mx y = x my = = m = m Sabemos pelo Teorema de Cramer que se 0, então o sistema é possível e determinado. Logo: 0 m 0 m e m Resta analisar o que acontece com o sistema para m = e m =. Temos: x y = m = o sistema será x y = Escalonando-o obteremos {x y = que é um sistema indeterminado. m = o sistema será Escalonando-o obteremos que é um sistema impossível. x y = x y = x y = 0 x 0 y = Em resumo m e m sistema determinado m = sistema indeterminado m = sistema impossível b) Número de equações diferentes do número de incógnitas. ) iscutir segundo m o sistema: x my z = 3x y 3z = 4 Resolução: x my z = ( 3) 3x y 3z = 4 x my z = 0 ( 3m)y 0z = m (raízes ou ) a ª- equação temos: 3m 0 sistema possível indeterminado 3m = 0 sistema impossível isto é: m sistema possível indeterminado 3 m = sistema impossível 3 ) iscutir segundo m o sistema: Resolução: x y = 3 x y = mx y = x y = 3 ( ) ( m) x y = mx y = x y = 3 0 5y = 5 0 (m )y = 3m x y = 3 x = 0 y = y = 0 (m ) y = 3m Substituindo y = na última equação temos: (m ) ( ) = 3m m = isto é: m = sistema possível determinado m sistema impossível Exercícios. iscutir em função de k o sistema kx y = x y = 3 k 0 (SP) 0 k Se k SP x y = ( ) Se k = x y = 3 x y = k SP Resposta: 0 0 = (falso) k = SI ALFA ANGLO VESTIBULARES

9 . iscutir em função de k o sistema: k 0 k (SP) k e k k = 0 k 0 x y = ( ) x y = x y = 0 = 0 x y = ( ) k = x y = x y = 0 0 = SI k e k SP Resposta: k = SPI k = SI 3. iscutir em função de m: 0 m m 0 (SP) m m m m m 0 m x y z = ( ) ( ) Se m = x y z = 0 x y z = x y z = = (falso) SI 0 0 z = 0 Resposta: m SP m = SI 4. iscutir em função de a o sistema: kx y = x ky = x y z = mx y mz = 0 x my z = x y = x y = 5 x y = a x y = ( ) ( ) x y = 5 x y = a SPI () x y = x y = () 0 y = ( ) y = (3) 0 y = a 0 = a 4 Resposta: a = 4 SP a 4 SI. SISTEMAS LINEARES HOMOGÊNEOS Sistemas lineares homogêneos são aqueles onde todos os termos independentes valem zero. Isto é: a x a x a n x n = 0 S a x a x a n x n = 0 a m x a m x a mn x n = 0 Este tipo de sistema admite sempre a solução (α, α,., α n ) onde α i = 0 i {,,, n} chamada solução nula, trivial ou imprópria. PORTANTO OS SISTEMAS HOMOGÊNEOS SÃO SEMPRE POSSÍVEIS. Se o sistema for determinado, apresentará apenas uma solução (a nula); se for indeterminado apresentará, além da solução nula, outras soluções diferentes da nula, que são chamadas próprias. OBSERVAÇÃO (VÁLIA SOMENTE PARA SISTEMAS HOMOGÊNEOS) Se o sistema homogêneo tiver n equações e n incógnitas, então, usando o teorema de Cramer, teremos 0 sistema possível e determinado = 0 sistema possível e indeterminado Exercícios 5. iscutir em função de k o sistema: x y z = 0 x 3y z = 0 kx y z = 0 O sistema é homogêneo 3 k 3 k 3k 4 6 k 4 = 6 k 4 3k 4 = 4k Então: 4k = 0 k = 3 Resposta: k 3 SP (isto é, somente sol. trivial) k = 3 SPI (além do trivial, outras soluções chamadas próprias) ALFA ANGLO VESTIBULARES

10 6. (FUVEST) O sistema linear é indeterminado para: a) todo m real b) nenhum m real c) m = d) m = e) m = 0 Como o sistema é homogêneo, basta = 0 x y z = 0 x z = 0 y mz = m = 0 m = 0 m = 0 Livro Unidade IV Caderno de Exercícios Unidade III AULA 39 Leia o item 7, cap. 4. Resolva os exercícios 34 a 37, série 4. AULA 40 Leia o item 8, cap. 4. Resolva os exercícios 43 a 45, série 4. AULA 39 ORIENTAÇÃO E ESTUO Tarefa Mínima Tarefa Complementar Resolva os exercícios 38, 40, 4 e 4, série 4. AULA 40 Resolva os exercícios 46 a 48, série 4. ALFA ANGLO VESTIBULARES