UNIV ERSIDADE DO EST ADO DE SANT A CAT ARINA UDESC CENT RO DE CI ^ENCIAS T ECNOLOGICAS DEP ART AMENT O DE MAT EMAT ICA DMAT

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1 UNIV ERSIDADE DO EST ADO DE SANT A CAT ARINA UDESC CENT RO DE CI ^ENCIAS T ECNOLOGICAS CCT DEP ART AMENT O DE MAT EMAT ICA DMAT Professora Graciela Moro Exercícios sobre Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. Encontre a matriz [a ij ] de tamanho cujas entradas satisfaçam a ij = i j a + b a b 9. Dadas as matrizes A = e B = ; determine a; b; c e d para c + d c d que A = B.. Uma fábrica produz três produtos (banheiras, pias e tanques) e os envia para armazenamento em dois depósitos. O número de unidades enviadas de cada produto para cada depósito é dado pela matriz A = (em que é o número de unidades enviadas do produto para o depósito, e os produtos são colocados em ordem alfabética). O custo de remessa de uma unidade de cada produto, por caminhão, é $; por banheira, $; por pia e $; por tanque. Os custos unitários correspondentes ao envio por trem são $; ; $; ; $;. Organize esses custos em uma matriz e use essa matriz para mostrar como a fábrica pode comparar os custos de remessa por caminhão e por trem de seus produtos para cada um dos depósitos. Qual o meio de transporte mais econômico? x. Seja A = Determine o valor de x para que A seja uma matriz simétrica. x. Mostre que se A é simétrica, então B T AB é simétrica (B quadrada de mesma ordem que A).. Mostre que toda matriz quadrada A pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica com uma matriz anti-simétrica, ou seja, A = S + N onde S é uma matriz simétrica e N é uma matriz anti-simétrica.. Seja A uma matriz simétrica. Mostre que as matrizes A e A A+I são simétricas.. Sejam A e B matrizes n n e B uma matriz simétrica. Veri que se as matrizes AB + BA T e A + A T + B são simétricas. 9. Seja A uma matriz real de ordem n. Dizemos que A é uma matriz Normal se AA T = A T A; isto é, se as matrizes A e A t são comutativas. Com base nesta de nição, mostre que

2 (a) Se B é uma matriz real de ordem m n; então C = BB T é uma matriz normal. (b) Se A é uma matriz real normal de ordem ;então A ou é uma matriz simétrica ou é a soma de uma matriz múltipla da Identidade com uma matriz anti-simétrica.. Mostre que a matriz M = cos sin sin cos é uma matriz ortogonal.. Sejam P e Q matrizes ortogonais de mesma ordem. (a) P Q é uma matriz ortogonal? P T é uma matriz ortogonal? Justi que sua resposta. (b) Quais os valores que det Q pode ter?. Dada uma matriz A de ordem m n mostre que a matriz AA T é uma matriz simétrica de ordem m m A matriz A T A é simétrica? Qual sua ordem?. Mostre que a matriz A = é idempotente, isto é, A = A. Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem. Qual a condição que devemos ter para que (A + B) = A + AB + B?. Calcule o determinante de A onde (a) A = ; (b) A = 9 p p (c) A = B 9 9 A

3 . Seja A = a b c d e f g h i Supondo que det(a) = ; obtenha a) det(a) b) det(a ) c) det(a ) d) det(a) a g b h c i e) det d e f g h i. Sabendo que as matrizes A; B e C são matrizes quadradas e que det A = ; det B = e det C = p ; determine det X sabendo que A T (B X) = C A. Encontre A ; onde (a) A = (b) A = x x x ; 9. Encontre os valores de k para os quais a matriz é não inversível. k A = k + k +. Em cada item, use a informação dada para encontrar A a) A = b) (A t ) = c) (A) = (I + A) =. Seja A = Calcule A ; A e A A + d). Resolva a seguinte equação matricial em X (A X) = A(B A). Prove que se A é inversível e BA = CA; então B = C Dê um contra-exemplo para mostrar que o resultado pode falhar se A não for inversível.. Sejam A e C matrizes n n tais que det (I + C A) = B = (A + C ) t ; determine det B e det A = Sabendo-se que. Em cada parte, encontre o maior valor possível para o posto de A e o menor valor possível para a nulidade de A

4 (a) A é (b) A é (c) A é. Existe alguma matriz "inversível" X tal que X =? Justi que sua resposta.. Veri que como o posto de A varia com relação a t t t a) A = t b) A = t t. Existem valores de r e s para os quais o posto de ou dois? Se existirem, encontre estes valores. r s r + seja igual a um 9. Sejam A e B matrizes n n e M uma matriz inversível tais que A = M BM Mostre que det A T = ( ) n det B e det(a I) = det(b I). Seja M uma matriz inversível de ordem n n tal que det(m M) = (a) Mostre que a matriz M I é não-inversível. (b) Existe uma matriz X inversível de ordem n n tal que MX = X?. Veri que se as a rmações abaixo são VERDADEIRAS ou FALSAS. Se forem verdadeiras, demonstre. Se forem falsas, dê um contra-exemplo. (a) Se uma matriz quadrada A for ortogonal então det A = (b) det(i + A) = + det A (c) (A + B) = A + B (d) Se A é uma matriz simétrica então A + A T também é simétrica. (e) Se A e B são inversíveis então A + B também é. (f) Se A é uma matriz quadrada simétrica e B é uma matriz ortogonal então a matriz A + B nunca será simétrica. (g) Se A é uma matriz anti-simétrica de ordem, então det A = (h) Se A é não-inversível e AB = então B = (i) Se A é anti-simétrica inversível, então A é anti-simétrica. (j) Seja A uma matriz quadrada, então tr(a + B) = tr(a) + tr(b) (k) Se A; B e C são matrizes n n inversíveis, então (ABC) = C B A (l) As expressões tr(aa t ) e tr(a t A) estão de nidas, independente do tamanho de A (m) tr(aa t ) = tr(a t A) para qualquer matriz A

5 (n) tr(ka) = ktr(a); em que k é um escalar. (o) Se a primeira coluna de A for toda constituída de zeros, o mesmo ocorre com a primeira coluna de qualquer produto AB (p) Seja A uma matriz ; então det(a) = det A (q) det(b AB) = det A (r) Não existe matriz quadrada A para a qual det(aa t ) = (s) Se A = B A e D = B C satisfazem a A A BA = D então det B =. Use o método do escalonamento para mostra que det a b c = (b a)(c a b c a)(c b). Resolva o sistema de equações, escrevendo a matriz ampliada do sistema inicial e escrevendo o sistema nal do qual se obterá a solução do sistema original >< > x y + z = x y + z = x + y + z = x + y + z = < x + y + z =. Considere o sitema linear x + y + z = x + y + az = b (a) tem uma in nidade de soluções? (b) tem única solução? (c) é impossível? Para que valores de a e b o sistema a b.. Seja a a. a matriz ampliada de um sistema linear. Para quais valores de a a. b e b o sistema tem (a) única solução, (b) nenhuma solução, (c) uma solução com duas variáveis livres?

6 <. Encontre a relação entre a; b e c para que o sistema linear possível para quaisquer valores de a; b e c x + y z = a x + y + z = b x + 9y z = c seja. Reduza as matrizes à forma escada através de operações linhas (a) (b). Determine k para que o sistema admita solução < x + y = x y = x y = k 9. Encontre todas as soluções do sistema < x + x + x + x x = x + x + x x + x = x + x x + x =. Quais condições devem ser satisfeitas por b ; b ; b ; b e b para que o sistema linear sobredeterminado abaixo seja consistente? x x = b >< x x = b x + x = b x x = b > x + x = b. Apresente todos os possíveis resultados na discussão de um sistema não-homogêneo de equações lineares com incógnitas.. Se A é uma matriz ; quais são os possíveis valores da nulidade de A? E se A for?. Explique por que a nulidade de uma matriz nunca é negativa.. Um sistema homogêneo com equações e incógnitas sempre tem uma solução nãotrivial?. Chamamos de sistema homogêneo de n equações e m incógnitas aquele sistema cujos termos independentes são todos nulos. (a) Um sistema homogêneo admite pelo menos uma solução. Qual é ela?

7 (b) Encontre os valores de k R, tais que o sistema homogêneo < x y + z = x + y + z = x + kz = tenha uma solução distinta da solução trivial.. Podemos resolver um sistema usando matriz inversa da seguinte forma AX = B A AX = A B X = A B Isto é útil quando desejamos resolver vários sistemas lineares que possuem a mesma matriz dos coe cientes. Usando a teoria acima resolva os sistema AX = B onde A = e a) B = b) B = c) d). Resolva o sistema matricial D X = A onde D = diag(; ; ; ; ; ) A =. Classi que o sistema e exiba uma solução, caso ela exista < x + y + z = x y z = x + y + z = < 9. Considere o sistema x y + z = x + y + z = k x y + kz = Determine (se possível) (a) Os valores de k R que faz com que o sistema admita in nitas soluções. (b) Os valores de k R que faz com que o sistema admita única solução. (c) Os valores de k R que faz com que o sistema seja impossível.

8 . Uma editora publica um best-seller potencial com três encadernações diferentes capa mole, capa dura e encardenação de luxo. Cada exemplar necessita de um certo tempo para costura e cola conforme mostra a tabela abaixo Se o local onde são feitas as costuras ca disponível horas por dia e o local onde se cola, horas por dia, quantos livros de cada tipo devem ser feitos por dia, de modo que os locais de trabalho sejam plenamente utilizados?. Num grande acampamento militar há blindados dos tipos BM, BM e BM, isto é, equipados com, e canhões do tipo MX9 respectivamente. O total de canhões disponíveis é igual a. A soma dos BM com os BM corresponde aos / dos BM. Se para o início de uma manobra militar, cada canhão carrega projéteis, quantos projéteis serão necessários para o grupo dos BM no início da operação?. Veri que se as a rmações abaixo são VERDADEIRAS ou FALSAS. Se forem verdadeiras, demonstre. Se forem falsas, dê um contra-exemplo. (a) Se X e X são soluções do sistema AX = B; então X + X também é uma solução deste mesmo sistema. (b) Se det A = então o sistema AX = tem in nitas soluções. (c) Seja A uma matriz inversível nn Então o sistema AX = X tem necessariamente solução única.. a) Em cada parte, use a informação da tabela para determinar se o sistema AX = B é possível. Se for, determine o número de variáveis livres da solução geral. Justi que sua resposta. (a) (b) (c) (d) Tamanho de A 9 Posto de A Posto de [A jb ] b) Para cada uma das matrizes da tabela acima determine se o sistema homogêneo AX = ; é possível. Indique a quantidade de soluções para cada caso. a x + b. Considere o sistema y = c, onde a a x + b y = c ; a ; b ; b ; c ; c <. Sabendo que a c + a c = e b c + b c =, determine as condições sobre c e c para que o sistema seja (a) Inconsistente

9 (b) Consistente com in nitas soluções. Seja X uma solução para o sistema linear AX = B e X uma solução para o sistema homogêneo associado. Mostre que X + X é uma solução do sistema AX = B.. Um biólogo colocou três espécies de bactéria em um tubo de ensaio (denotadas por I, II e II), onde elas serão alimentadas por três fontes de alimentos (A,B e C). A cada dia serão colocados no tubo de ensaio unidades de A, unidades de B e de C. Cada bactéria da espécie I consome diariamente unidades do alimento A, de B e de C. Cada bactéria da espécie II consome diariamente unidades do alimento A, de B e de C. Cada bactéria da espécie II consome diariamente unidades do alimento A, nenhuma de B e de C. Quantas bactérias de cada espécie pode coexistir no tubo de ensaio de modo a consumir todo o alimento? Interprete matematicamente e sicamente a solução. 9

10 ALGUMAS RESPOSTAS. A = 9. a = ; b = ; c = ; d = ;. B = O caminho mais econômico é por trem, R$; ; ;. x =. A T A é simétrica de ordem n n. a) b) c). a) 9 b) c) d) e). p. a) A = b) A = x x (x ) x x x x (x ) 9. k = ou k =. a) A =. A = ; A = b) A = c) A = ; A A + = d) A = 9. X = AB. det B = n. a) posto(a) = ; nulidade(a) = b) posto(a) = ; nulidade(a) = c) posto(a) = ; nulidade(a) =. a) posto(a) = se t = ; b) posto(a) = se t = ;. O posto é se r = e s = ; o posto nunca é. a) V, b) F, c) F, d) V, e)f, f) F, g)v, h) F, i) V, j) V, k) V, l) V, m) V, n) V, o) F, p) F, q) V, r) V, s) V. x = ; y = ; z =

11 . a) a = ; b = b) a = ; b = c) a = ; b =. a) a = ; b = b) a = ; b = c) a = ; b =. a; b; c devem satisfazer a equação c b a =. a) b). k = x x x x 9. X = x x = x + x + x = + x x x. b = b b ; b = b b ; b = b b + x. Se p a = p c = o sistema tem única solução. Se p a = p c < o sistema tem in nitas soluções. Se p a = p c o sistema é impossível.. a) Solução trivial. b) k =. a) b) c) 9.. X = x y = 9 + z = z z d) 9. a) k = ou k = b)não existe k para que a solução seja única pois para haver solução o posto máximo é c) k = e k =. Uma solução possível é livros de capa mole, nenhum de capa dura e de luxo. Mas esta não a única solução. Você consegue exibir outras?. Serão necessários 9 projéteis.. a) F, b) V, c) F. a) i)impossível ii) In nitas soluções e uma variável livre iii) In nitas soluções e variáveis livres iv) Única solução 9 9

12 b) Um sistema homogêneo sempre tem solução. i) uma variável livre ii) uma variável livre iii) variáveis livres iv) nenhuma variável livre