Função. Definição formal: Considere dois conjuntos: o conjunto X com elementos x e o conjunto Y com elementos y. Isto é:

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1 Função Toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça corresponder a todo elemento do primeiro conjunto um único elemento do segundo, ocorre uma função. Definição formal: Considere dois conjuntos: o conjunto X com elementos x e o conjunto Y com elementos y. Isto é:

2 diz-se que a função f de X em Y que relaciona cada elemento x em X, um único elemento y = f (x) em Y. Observe, por exemplo, o diagrama das relações abaixo: Observe que a relação acima não é função, pois o elemento 1 no conjunto A não está associado a nenhum elemento do conjunto B.

3 A relação acima também não é uma função, o elemento 4 no conjunto A, está associado a mais de um elemento no conjunto B.

4 A relação acima é função, pois todo elemento do conjunto A, está associado a somente um elemento no conjunto B. De modo geral, dado dois conjuntos A e B, e uma relação entre eles, dizemos que essa relação é uma função de A em B se e somente se, para todo x є A existe um único y є B de modo que x se relacione com y.

5 Domínio, Imagem e Contradomínio Com os conjuntos A={1, 4, 7} e B={1, 4, 6, 7, 8, 9, 12}criamos a função f: A B. Definida por f(x) = x + 5 que também pode ser representada por y = x + 5. A representação, utilizando conjuntos, desta função, é:

6 O conjunto A é o conjunto de saída e o B é o conjunto de chegada. Domínio é um sinônimo para conjunto de saída, ou seja, para esta função o domínio é o próprio conjunto A = {1, 4, 7}. O conjunto de chegada "B", também possui um sinônimo, é chamado de contradomínio.

7 Note que podemos fazer uma subdivisão dentro do contradomínio (conjunto azul da figura). Podemos ter elementos do contradomínio que não são relacionados com algum elemento do Domínio e outros que são. Por isso, devemos levar em consideração esta subdivisão (esta é até mais importante do que o próprio contradomínio).

8 Este subconjunto é chamado de conjunto imagem, e é composto por todos os elementos em que as flechas de relacionamento chegam. O conjunto Imagem é representado por "Im", e cada ponto que a flecha chega é chamado de imagem. *Obs.: Note que existe uma diferença entre imagem e conjunto imagem, o primeiro é um ponto em que a flecha de relacionamento toca, e o segundo é o conjunto de todos elementos que as flechas tocam.

9 No nosso exemplo, o domínio é D = {1, 4, 7}, o contra-domínio é = {1, 4, 6, 7, 8, 9, 12} e o conjunto imagem é Im = {6, 9, 12} e: - a imagem do ponto x = 1 é y = 6, indicado por f(1) = 6; - a imagem do ponto x = 4 é y = 9, indicado por f(4) = 9; - a imagem do ponto x = 7 é y = 12, indicado por f(7) = 12.

10 Exemplo: Dado o esquema abaixo, representando uma função de "A" em "B", determine: a) O Domínio: b) A imagem c) f(5) d) f(12)

11 Resolução: a) Como vimos nas lições, o conjunto em que as flechas saem, é o conjunto Domínio, D={5, 12, 23}. b) Conjunto Imagem é todos os elementos do contradomínio (conjunto "B") em que há relacionamento com o Domínio, então: Im={7, 14, 25} c) Nunca esquecendo que, perguntar qual a f(5) é a mesma coisa que perguntar qual a imagem do ponto 5. f(5)=7 d) Como no exercício anterior: f(12)=14.

12 Função Injetora Uma função é injetora se os elementos distintos do domínio tiverem imagens distintas. Em outras palavras, quando x1 x2, em A, implica f(x1) f(x2).

13 Por exemplo, dada a função f : A B, tal que f(x) = 3x.

14 Função Sobrejetora Uma função é sobrejetora se, e somente se, o seu conjunto imagem for especificadamente igual ao contradomínio, Im = B. Em outras palavras, dizemos que uma função f: A B sobrejetora quando para todo y B, existe pelo menos um x A tal que f(x) = y.

15 Por exemplo, se temos uma função f : Z Z definida por y = x +1 ela é sobrejetora, pois Im = Z.

16 Função Bijetora Uma função é bijetora se ela é injetora e sobrejetora. Por exemplo, a função f : A B, tal que f(x) = 5x + 4. Note que ela é injetora, pois x1 x2 implica em f(x1) f(x2) É sobrejetora, pois para cada elemento em B existe pelos menos um em A, tal que f(x) = y.

17 Função do 1º Grau Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da formação f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a 0. Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau: f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

18 Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x ou coeficiente angular e o número b é chamado termo constante. Obs: Na definição, dissemos que a tem que ser diferente de zero. Se a for igual a zero não será uma função do primeiro grau. Será uma função constante.

19 Grafico da Função do 1º Grau O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a 0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy. Exemplo: Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1:

20 Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua: a) Para x = 0, temos y = = -1; portanto, um ponto é (0, -1). b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, x = 1/3, logo o ponto é (1/3, 0). x y 0-1 1/3 0

21 Marcando os pontos no Plano Cartesiano, e os ligue com uma reta. x y 0-1 1/3 0

22 Zero e Equação do 1º Grau Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, a 0, o número real x tal que f(x) = 0. Temos: f(x) = 0, então ax + b = 0. Com isso temos que x = -b/a.

23 Vejamos alguns exemplos: A. Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5: Temos f(x) = 0 então 2x - 5 = 0, logo x = 5/2 B. Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6: Temos g(x) = 0 então 3x + 6 = 0, logo x = -2 C. Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h(x) = -2x + 10 corta o eixo das abscissas: O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que h(x) = 0; então: -2x + 10 = 0 x = 5

24 Função Crescente e Decrescente Consideremos a função do 1º grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e observar o que ocorre com y: x y Notemos que, quando aumentos o valor de x, os correspondentes valores de y também aumentam. Dizemos, então que a função y = 3x - 1 é crescente.

25 Obs: Quando os valores de x aumentam e os valores de y diminuem dizemos qua a função é decrescente. A regra geral é: a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo (a > 0); a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a < 0);

26 Estudo do Sinal Estudar o sinal de uma função do 1º Grau qualquer, y = f(x), é determinar os valor de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo.

27 Consideremos uma função afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu sinal Sabendo que a raiz de uma função é Então quando o coeficiente angular (a) é positivo a função é crescente Logo y > 0 então ax + b > 0 ax > -b x > -b/a Com isso temos para y > 0, x > -b/a

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29 Conclusão y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz

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31 Função Inversa Para determinar se uma função possui inversa é preciso verificar se ela é bijetora, pois os pares ordenados da função f devem pertencer à função inversa f 1.

32 Dados os conjuntos A = {-2,-1,0,1,2} e B = {-5,- 3,-1,1,3} e a função A B definida pela fórmula y = 2x 1, veja o diagrama dessa função abaixo: Então: f = { (-2,-5); (-1,-3); (0,-1) ; (1,1) ; (2,3)} Essa função é bijetora, pois cada elemento do domínio está associado a um elemento diferente no conjunto da imagem. Por ser bijetora essa função admite inversa.

33 A sua função inversa será indicada por f -1 : B A definida pela fórmula x = (y+1)/2. Veja o diagrama abaixo: Então: f -1 = {(-5,-2); (-3,-1) ; (-1,0); (1,1) ; (3,2)} Obs: O que é domínio na função f vira imagem na f -1 e vice-versa.

34 Dada uma sentença de uma função y = f(x), para encontrar a sua inversa é preciso seguir alguns passos. EX: Dada a função y = 3x 5 determinaremos a sua inversa da seguinte maneira: 1º passo: isolar x. y = 3x 5 y + 5 = 3x x = (y + 5)/3 2º passo: troca-se x por y e y por x, pois é mais usual termos como variável independente a letra x. y = (x + 5)/3 Portanto, a função f(x) = 3x 5 terá inversa igual a f 1 (x) = (x + 5)/3

35 Exemplo Determine a INVERSA da função definida por y = 2x + 3. Resposta: y = 2x + 3 2x = 3 y 2x = 3 + y x = ( 3 + y)/ 2 Agora é só inverter o que é x vira y. E o que é y vira x y = ( 3 + x)/ 2 = f -1

36 O gráfico abaixo, representa uma função e a sua inversa. Observe que as curvas representativas de f e de f -1, são simétricas em relação à reta