Notas de aulas. André Arbex Hallack

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1 Cálculo I Notas de aulas André Arbex Hallack Julho/007

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3 Índice 0 Preliminares 0. Números reais Relação de ordem em IR Valor absoluto Funções Funções exponenciais e logarítmicas Funções trigonométricas A Derivada. Motivação Limites Teoremas para (ajudar no) cálculo de limites Continuidade A definição da Derivada Derivadas e continuidade Regras de derivação Derivação implícita Aplicações da Derivada 65. Acréscimos e diferenciais A Derivada como razão de variação Taxas relacionadas Alguns resultados importantes i

4 .5 Concavidade e pontos de inflexão Aplicações em problemas de máximos e/ou mínimos Aplicações nos esboços de gráficos Apêndice A : Limites no infinito Apêndice B : Limites infinitos Apêndice C : Formas indeterminadas e a Regra de L Hopital Apêndice D: Aproximações via Polinômios de Taylor A Integral Definida 3 3. Motivação Somas de Riemann e a definição da Integral Definida Propriedades da Integral Definida O Teorema Fundamental do Cálculo Integrais Indefinidas Mudança de variável na integração Técnicas de integração Integração por partes Algumas integrais trigonométricas Substituições trigonométricas Integrais de funções racionais (Frações Parciais) Integrais impróprias Aplicações geométricas da Integral Definida Áreas de regiões planas Volumes de (alguns) sólidos de revolução Referências 85

5 Capítulo 0 Preliminares 0. Números reais Ao longo deste curso iremos trabalhar sobretudo com o conjunto IR dos números reais, os quais identificamos geometricamente com os pontos de uma reta (orientada), a reta real : Vejamos agora alguns conjuntos de números reais nessa identificação: IN = {,, 3,... } (números naturais) IR Z = {...,,, 0,,, 3,... } (números inteiros) IR Q = { p/q ; p, q Z, q 0 } (números racionais) IR Temos ainda números reais que não são racionais. São os chamados números irracionais. Alguns exemplos: (A) Consideremos um triângulo retângulo cujos catetos medem : Do Teorema de Pitágoras, temos a = b + c =. Portanto a = (e não é racional).

6 CAPÍTULO 0 (B) Outro número irracional famoso: FATO: A razão entre o comprimento e o diâmetro de qualquer circunferência é constante. Essa razão é um número chamado π. Assim, se C é qualquer circunferência, l o seu comprimento e r seu raio, temos: π é um número irracional ( π 3, 459 ) l r = π Obs.: Existem muito mais números irracionais do que racionais! Operações básicas em IR Existem em IR duas operações básicas: ADIÇÃO: a IR, b IR a + b IR (soma) MULTIPLICAÇÃO: a IR, b IR a b IR (produto) Essas operações possuem as seguintes propriedades: COMUTATIVIDADE: a + b = b + a a b = b a quaisquer que sejam a, b IR. ASSOCIATIVIDADE: a + (b + c) = (a + b) + c a (b c) = (a b) c quaisquer que sejam a, b e c IR. EXISTÊNCIA DE ELEMENTOS NEUTROS: a + 0 = a a = a para todo a IR. EXISTÊNCIA DE INVERSOS: Todo a IR possui um INVERSO ADITIVO ( a) IR tal que a + ( a) = 0. Todo a 0 em IR possui um INVERSO MULTIPLICATIVO a IR tal que a a =. DISTRIBUTIVIDADE: a (b + c) = (a b) + (a c) para todos a, b e c IR.

7 Preliminares 3 Conseqüências: (das propriedades) ) Duas novas operações: Subtração: Dados a, b IR, definimos: a b = a + ( b) ; a Divisão: Dados a, b IR, com b 0, definimos: = a b. b ) a 0 = 0 para todo a IR. 3) Se a b = 0, então a = 0 ou b = 0. 4) Cada a IR possui um único inverso aditivo a IR. Cada a 0 em IR possui um único inverso multiplicativo a IR. 5) a = ( ) a para todo a IR. 6) a = a para todo a 0 em IR. 7) Para todos a, b IR, temos: a ( b) = ( a) b = (a b) e ( a) ( b) = a b. 8) Se a = b então a = ±b. 0. Relação de ordem em IR Podemos decompor a reta IR como uma união disjunta IR = IR + IR { 0} : IR + IR é o conjunto dos números reais POSITIVOS; é o conjunto dos números reais NEGATIVOS. De modo que: Dado a IR, ocorre uma, e apenas uma, das seguintes alternativas: ou a IR + ou a = 0 ou a IR a IR + a IR ; A soma de dois números positivos é um número positivo. O produto de dois números positivos é um número positivo.

8 4 CAPÍTULO 0 Dados números reais a e b, escrevemos a < b (ou b > a ) e dizemos que a é menor do que b (ou b é maior do que a ) quando b a IR +, ou seja, b a é um número positivo: Propriedades da relação de ordem: ) Se a < b e b < c então a < c. ) Se a, b IR então a = b ou a < b ou a > b. 3) Se a < b então a + c < b + c para todo c IR. 4) Se a < b, temos: c > 0 a c < b c c < 0 a c > b c 5) Se a < b e a < b então a + a < b + b. 6) Se 0 < a < b e 0 < a < b então 0 < a a < b b. 7) Se a > 0 então a > 0. 8) Se 0 < a < b então 0 < b < a. Intervalos: Dados números reais a < b, definimos: (a, b) = { x IR ; a < x < b } [a, b] = { x IR ; a x b } (a, b] = { x IR ; a < x b } [a, b) = { x IR ; a x < b }

9 Preliminares 5 (a, + ) = { x IR ; x > a } [a, + ) = { x IR ; x a } (, b) = { x IR ; x < b } (, b] = { x IR ; x b } (, + ) = IR Atenção: + e não são números reais! São apenas símbolos! Conjuntos limitados: Um subconjunto X IR é dito LIMITADO quando existem números reais a e b tais que, para todo x X tem-se a x b. Isto significa que X [a, b], com a, b IR. (Exemplos) Observações: (A) Todo conjunto finito é limitado. (B) CUIDADO! NÃO CONFUNDA ILIMITADO COM INFINITO! Podemos ter conjuntos infinitos que sejam limitados. (C) FATO: O conjunto IN = {,, 3, 4,...} dos números naturais NÃO É limitado. Conseqüências importantes deste fato: (C.) Propriedade arquimediana: Dados números reais a e b, com a > 0, é possível obter um número natural n IN tal que n a > b. (C.) Densidade dos racionais: Dados dois números reais a e b quaisquer, com a < b, é possível obter um número RACIONAL r = p/q Q (p, q Z, q 0) tal que a < r < b (por menor que seja a distância entre a e b ).

10 6 CAPÍTULO 0 A densidade dos racionais nos permite concluir que, dado qualquer número real x (mesmo irracional), é possível obter uma seqüência de números RACIONAIS que se aproximam de x tanto quanto quisermos!!! Exemplos: ) π = 3, , = 3 0 3, 4 = , 4 = , 45 = π ) Tome um número racional r > 0 e considere: r = ) (r + 3r Q (r > 0, r > 3 ) r 3 = ) (r + 3r Q (r r 3 > 0, r3 > 3 ) r 4 = ) (r 3 + 3r3 Q (r r 3 r 4 > 0, r4 > 3 ). r n+ = ) (r n + 3rn Q (r n r n+ > 0, rn+ > 3 ). Esta seqüência de racionais (r, r, r 3,... ) se aproxima (cada vez mais) de um certo número real. Qual? Tente generalizar esse processo! 0.3 Valor absoluto Dado qualquer número real DE x ) da seguinte forma: x, definimos o VALOR ABSOLUTO DE x (ou MÓDULO { x = x se x 0 x se x < 0 Geometricamente (na Reta), o valor absoluto de um número real x é a distância de x até o 0 (zero). (Exemplos)

11 Preliminares 7 Propriedades: ) Para todo x IR temos x = max {x, x} (o maior dos dois valores). ) Para todo x IR temos x = x. 3) a b = a b quaisquer que sejam a, b IR. 4) a + b a + b quaisquer que sejam a, b IR. 5) Seja c > 0 : x c c x c x c x c ou x c 0.4 Funções Definição: Uma função f : X Y é constituída de: (a) Um conjunto X chamado o DOMÍNIO da função (onde a função está definida) (b) Um conjunto Y chamado o CONTRA-DOMÍNIO da função (onde f toma os valores ) (c) Uma correspondência que associa, de modo bem determinado, a CADA elemento x X um ÚNICO elemento f(x) = y Y. Obs.: Estaremos interessados em estudar funções tais que X e Y são conjuntos de números reais. Por isso vamos sempre considerar este caso de agora em diante. Imagem: Dada uma função f : X Y, sua IMAGEM é o conjunto f(x) = { f(x) ; x X } Y Os elementos do domínio são representados por uma VARIÁVEL INDEPENDENTE. Os elementos da imagem são representados por uma VARIÁVEL DEPENDENTE. Gráfico: O GRÁFICO de uma função f : X Y Plano Cartesiano tais que y = f(x), com x X. é o conjunto dos pontos (x, y) do Funções limitadas: Uma função f : X Y é dita LIMITADA quando sua imagem f(x) é um conjunto limitado. Em geral, é dita LIMITADA EM A X quando f(a) é um conjunto limitado.

12 8 CAPÍTULO 0 Funções crescentes ou decrescentes: Uma função f : X Y é dita CRESCENTE quando x < x em X f(x ) < f(x ).... DECRESCENTE quando x < x em X f(x ) > f(x ). (Obs.: o mesmo tipo de definição se aplica também a subconjuntos do domínio - por exemplo, podemos dizer que uma certa função é crescente ou decrescente em um determinado intervalo dentro do domínio). Exemplos: (A) f : IR IR dada por f (x) = x + 4. (B) f : [, 3] IR dada por f (x) = x + 4. (C) f 3 : IR IR dada por f 3 (x) = x. (D) f 4 : IR IR dada por f 4 (x) = x + 4. (E) f 5 : [, ] [0, + ) dada por f 5 (x) = x. (F) f 6 : [, ] IR que associa x y tais que x + y = NÃO É UMA FUNÇÃO BEM DETERMINADA. (G) f 7 : IR IR dada por f 7 (x) = x se x > 4 3 se x 4 (H) f 8 : (, 0) (, ] IR dada por f 8 (x) = x. (I) f 9 : IR IR dada por f 9 (x) = x +. (J) f 0 : [0, + ) IR dada por f 0 (x) = x.

13 Preliminares 9 Máximos e mínimos: Dizemos que uma função f : X Y assume VALOR MÁXIMO ABSOLUTO (ou GLOBAL) em um ponto c X quando f(x) f(c) para todo x X. Neste caso f(c) é chamado VALOR MÁXIMO ABSOLUTO DE f. Quando existir um intervalo (a, b) contendo c X tal que f(x) f(c) para todo x (a, b) X, então c é dito um PONTO DE MÁXIMO RELATIVO (ou LOCAL) e f(c) é um VALOR MÁXIMO RELATIVO DE f. De modo análogo, definimos também MÍNIMOS ABSOLUTOS (GLOBAIS) E MÍNIMOS RELATIVOS (LOCAIS). (Ilustração) Exemplo: f 4 : IR IR dada por f 4 (x) = x + 4. Observações: (i) Todo máximo (mínimo) absoluto é máximo (mínimo) local. (ii) Uma função PODE NÃO ASSUMIR valores máximos ou mínimos. Exercício: Para cada uma das funções dos exemplos anteriores (Exemplos (A)-(J)), determine seus pontos e valores máximos e mínimos, se existirem. Construção de funções através de operações: Sejam f, g : X IR funções definidas num mesmo domínio X IR. A partir de f e g vamos construir novas funções (f + g), (f g), (f g) : (f + g) : X IR dada por (f + g)(x) = f(x) + g(x) (f g) : X IR dada por (f g)(x) = f(x) g(x) (f g) : X IR dada por (f g)(x) = f(x) g(x)

14 0 CAPÍTULO 0 Para ilustrar, consideremos a função indentidade f : IR IR dada por f(x) = x e funções constantes do tipo g c : IR IR dadas por g c (x) = c (cada c é um número real qualquer, fixado). Utilizando a função identidade e funções constantes, podemos construir (através das operações de adição e multiplicação) um importante tipo de função p : IR IR chamada FUNÇÃO POLINOMIAL: p(x) = a n x n + a n x n a x + a x + a 0 para todo x IR (essa é dita uma função polinomial de grau n) (Exemplos) a n, a n,..., a, a, a 0 IR, a n 0 Se quisermos utilizar a operação de divisão, temos que tomar o cuidado para evitar divisões por 0 (zero). Assim, dadas f, g : X IR e sendo Z = { x X ; g(x) = 0 }, podemos definir: (f/g) : X Z IR pondo (f/g)(x) = f(x) g(x) Para ilustrar, temos as chamadas FUNÇÕES RACIONAIS, dadas pelo quociente de funções polinomiais: (Exemplos) p, q : IR IR (polinomiais), Z = { x IR ; q(x) = 0 } (p/q) : IR Z IR dada por (p/q)(x) = p(x) q(x) Composição de funções: Sejam f : X IR e g : Y Z funções tais que f(x) Y (a imagem de f está contida no domínio de g).

15 Preliminares A cada elemento de X associamos um único elemento de Z, aplicando inicialmente a função f e depois a função g. Podemos pensar então em uma função de X em Z que associa a cada elemento x X um único elemento g(f(x)) Z : (g f) : X Z x g(f(x)) (Exemplos) Inversão de funções: Seja f : X Y uma função. A cada x X está associado um único f(x) Y. Nos interessa a situação em que a associação inversa f(x) x é uma função de Y em X. Para isso, f deverá possuir duas características: f(x) = Y (a imagem de f é todo o conjunto Y ); x x em X f(x ) f(x ) em Y. Uma função f : X Y é chamada SOBREJETORA quando f(x) = Y, ou seja, a imagem de f é todo o contradomínio Y. (Exemplos) Uma função f : X Y é chamada INJETORA quando elementos distintos do domínio têm sempre imagens distintas, ou seja, x x em X f(x ) f(x ) em Y. (Exemplos) Uma função f : X Y é INVERTÍVEL quando ela é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo (BIJETORA). Neste caso existe uma FUNÇÃO g : Y X que associa y g(y) e tal que g(f(x)) = x x X e f(g(y)) = y y Y. g é dita A INVERSA DA FUNÇÃO f e escrevemos g = f. (Exemplo)

16 CAPÍTULO 0 Exercício: Para cada uma das funções dadas posteriormente, faça o que se pede: a) Faça um esboço do GRÁFICO da função. b) Obtenha o conjunto IMAGEM e responda se a função dada é LIMITADA ou não. c) Em que partes de seu domínio a função é CRESCENTE ou DECRESCENTE? d) Determine pontos e valores MÁXIMOS ou MÍNIMOS (quando existirem). e) A função é INJETORA? Justifique. f) A função é SOBREJETORA? Justifique. g) Se a função dada for GRÁFICO DA FUNÇÃO INVERSA. INVERTÍVEL, determine sua INVERSA e faça um esboço do ) f : IR IR dada por f (x) = 3x. ) g : IR IR + {0} dada por g (x) = 3x. 3) h : IR IR dada por h (x) = x ) p : (0, 3] (0, 6] dada por p (x) = x. 5) q : (, 5] IR dada por q (x) = { x se x < x + se x. 6) r : [0, + ) IR + {0} dada por r (x) = x 3x. 7) s : IR IR dada por s (x) = x +. 8) u : [, 3] IR dada por u (x) = x +. 9) v : IR + IR + dada por v (x) = x. 0) f : IR IR dada por f (x) = x. ) g : IR IR dada por g (x) = x 3 +.

17 Preliminares 3 ) h : ( 3, + ) IR dada por h (x) = x ) p : IR + {0} IR {0} dada por p (x) = x. 4) q : IR IR dada por q (x) = 5) r : IR IR dada por r = q.s. { se x 3 0 se x < ou x > 3. { /x se x 0 6) s : IR IR dada por s (x) = 0 se x = 0. x se x < 0 7) u : IR [, + ) dada por u (x) = / se x = 0. x se x > 0 8) v : (, ) [0, + ) IR dada por v (x) = { π se x < x se x 0. 9) f 3 : (, ] IR dada por f 3 (x) = x. 0.5 Funções exponenciais e logarítmicas Revisão: a IR, n =,, 3,... a n = a a a... a (n vezes). a 0 a 0 = e a n = a n (n =,, 3,...). n PAR e a 0 : b = n a b n = a, b 0. n ÍMPAR e a IR : b = n a b n = a. Definimos potências RACIONAIS de números reais positivos do seguinte modo: a > 0, p, q inteiros, q 0 a p/q = q a p Temos, neste caso: a r a r = a r +r e a r > 0.

18 4 CAPÍTULO 0 Nos interessa agora definir a x, com x IR (qualquer, mesmo irracional). Para isso consideremos a > 0. Se x é racional, já temos a p/q = q a p. Se x é IRRACIONAL, sabemos que é possível obter uma seqüência de racionais r, r, r 3,... que se aproxima de x tanto quanto quisermos: r, r, r 3,... x FATO: A seqüência a r, a r, a r 3,... se aproxima de um número real, o qual DEFINI- MOS como a x. Temos então a nossa função exponencial de base a: Fixado a > 0 em IR, a função f a : IR IR + dada por f a (x) = a x para todo x IR é chamada FUNÇÃO EXPONENCIAL DE BASE a. Propriedades: a x a y = a x+y, (a x ) y = a x y, (a b) x = a x b x, a 0 = Gráfico: Crescimento ou decrescimento: f a (x) = a x é { CRECENTE se a > DECRESCENTE se a < Inversa: Se a então f a : IR IR + x a x é SOBREJETORA e INJETORA, admitindo portanto uma função inversa fa : IR + IR y fa (y).

19 Preliminares 5 f a é chamada FUNÇÃO LOGARÍTMICA DE BASE a e escrevemos f a (y) = log a y. Temos então: y = a x x = log a y. x y fa a x = y f a x = log a y f a x = log a y = log a a x f a y = a x = a log a y Fixado a > 0, a em IR, temos a função f a : IR + IR dada por f a (y) = log a y. Propriedades: log a (x y) = log a x + log a y, log a (x y ) = y log a x, log a = 0 Gráfico: Um número especial (A) Séries numéricas: Uma SÉRIE NUMÉRICA é uma soma x + x + x com uma quantidade INFINITA de parcelas. ATENÇÃO: Uma série pode representar ou não um número real bem definido!!! Para vermos isso, precisamos observar o comportamento das chamadas somas parciais: s = x s = x + x s 3 = x + x + x 3.

20 6 CAPÍTULO 0 Quando a seqüência s, s, s 3,... se aproxima tanto quanto desejarmos de um número a IR à medida que n cresce, dizemos que a série CONVERGE PARA a e escrevemos x + x + x = a Caso contrário a série é chamada DIVERGENTE (a soma não é um número real bem definido). Exemplos: ) é uma série DIVERGENTE. s = s = + = s 3 = + + = 3. s n = n. A seqüência s, s, s 3,... não se aproxima de nenhum número real em particular. Portanto a série é divergente. ) Se r IR e r <, sabemos que + r + r + r = r (CONVERGENTE!) Em particular: = = = 3) (série harmônica) é uma série DIVERGENTE. 4) π 3! ( π ) 3 ( π ) 5 ( π ) = (CONVERGENTE) 5! 7! 5) é uma série DIVERGENTE. (B) Séries de termos não-negativos: Vamos considerar séries x + x + x tais que x n 0 para todo n IN. FATO: Uma série x + x + x de termos não-negativos converge se, e somente se, existe b IR tal que x + x + x x n b para todo n IN ( a soma é limitada ).

21 Preliminares 7 (C) O número e : Consideremos a série + +! + 3! + 4! + 5! +... É fácil ver que < + +! + 3! + 4! + 5! +... < = 3 4 Segue do FATO anterior que a série + +! + 3! CONVERGE para um 4! número real (entre e 3), conhecido por CONSTANTE DE EULER e denotado por e. O número real e acima definido irá desempenhar um importante papel ao longo do nosso curso de Cálculo I, no que se refere às funções exponencial e logarítmica, na base e : Exponencial: e x e sua inversa, a função logarítmica log e x (escrevemos log x ou ln x ). Obs.: Outro modo de obter o número e : ( + (, + ) ) (, + 3) 3, ( + 4) 4... e 0.6 Funções trigonométricas Medidas de ângulos em radianos: Um ângulo mede RADIANO quando corresponde a um arco de circunferência (centrada no vértice do ângulo) de comprimento igual ao raio da circunferência considerada: Assim, um ângulo que mede θ rad r o raio da circunferência considerada: corresponde a um arco de comprimento θ r, sendo θ = l r l = θ r Desta forma, é fácil ver que a medida de uma volta em radianos é π rad : πr = θ r θ = π rad

22 8 CAPÍTULO 0 Relações trigonométricas nos triângulos retângulos: Consideremos 0 < θ < π e um ângulo de θ rad em um triângulo retângulo: sen θ = b a cos θ = c a tg θ = sen θ cos θ = b c cos θ + sen θ = O círculo trigonométrico: Relações: cos θ + sen θ =, sec θ = + tg θ, csc θ = + ctg θ, ctg θ = tg θ ( sen θ 0) Ângulos notáveis: θ (rad) 0 π/6 π/4 π/3 π/ π 3π/ π sen θ 0 cos θ tg θ

23 Preliminares 9 Fórmulas de transformação: cos(a + b) = cos a cos b sen a sen b sen (a + b) = sen a cos b + sen b cos a cos(a b) = cos a cos b + sen a sen b sen (a b) = sen a cos b sen b cos a sen a = cos a cos a = cos a cos b = sen a sen b = + cos a cos(a + b) + cos(a b) cos(a b) cos(a + b) sen a cos b = sen (a + b) + sen (a b) Funções trigonométricas: Função SENO: sen : IR IR x sen x Gráfico: Im ( sen ) = [, ] sen ( x) = sen x (é uma função ÍMPAR) sen (x + π) = sen x (é uma função PERIÓDICA de período T = π)

24 0 CAPÍTULO 0 A função SENO é CRESCENTE em [kπ π/, kπ + π/], k PAR, k Z... DECRESCENTE em [kπ π/, kπ + π/], k ÍMPAR, k Z Assume o VALOR MÁXIMO ABSOLUTO em x = kπ + π/ (k Z) Assume o VALOR MÍNIMO ABSOLUTO em x = kπ + 3π/ (k Z) Se sen x 0, então temos csc x = sen x. Assim, não é difícil ver que a função csc : IR {kπ, k Z} IR, que associa x csc x = / sen x tem gráfico: A função SENO NÃO É injetora e NÃO É sobrejetora, mas f : [ π/, π/] [, ] x sen x é BIJETORA e tem portanto inversa f : [, ] [ π/, π/] y f (y) = arc sen y Exercício: Faça um estudo semelhante ao que fizemos com a função SENO, para as funções COSSENO e TANGENTE.

25 Capítulo A Derivada. Motivação Seja dada uma função f : X Y (X, Y IR). Para cada x X, a melhor maneira de se aproximar f numa vizinhança de x por uma função cujo gráfico é uma reta é através da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x, f(x)), se houver esta tangente. Conseqüência: Podemos relacionar uma série de informações sobre o comportamento de f com o coeficiente angular m t da reta tangente ao gráfico de f em cada ponto (onde existir). Por exemplo: (A) f crescente em um intervalo m t > 0 neste intervalo.

26 CAPÍTULO (B) f decrescente em um intervalo m t < 0 neste intervalo. (C) f assumindo máximo ou mínimo local no interior de um intervalo } m t = 0 no ponto de máximo ou mínimo. (D) Concavidade do gráfico de f voltada para cima, em um intervalo } m t crescente neste intervalo. (E) Concavidade do gráfico de f voltada para baixo, em um intervalo } m t decrescente neste intervalo. Obtendo m t (coeficiente angular da reta tangente) Dada f : X Y (X, Y IR), seja a I(intervalo aberto) X. Queremos obter o coeficiente angular m ta da reta t a, tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)) :

27 A Derivada 3 Para fazermos isso, vamos utilizar APROXIMAÇÕES POR RETAS SECANTES : Para cada x a (em I), temos uma reta secante s a (que depende do ponto x), secante ao gráfico de f, passando pelos pontos (a, f(a)) e (x, f(x)) : Temos então uma função m sa : I {a} IR x m sa (x) = f(x) f(a) x a Nos interessa investigar o comportamento de m sa (x) (coeficiente angular das secantes) quando x se aproxima de a, sem assumir o valor a ( x a ). O esperado é que, quando x a, m sa (x) se aproxime tanto quanto quisermos de algum número real e teremos m sa (x) m ta IR, quando x a Neste caso, dizemos que a função f é derivável no ponto a, existe a reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)) e seu coeficiente angular m ta é chamado a derivada de f no ponto a (escrevemos f (a) ). Obs.: É fundamental, para fazermos x a, que possamos aproximar o ponto a por uma seqüência de pontos do domínio X de f, diferentes de a. Exemplo:

28 4 CAPÍTULO Precisamos portanto sistematizar o todo este processo, ou seja, Dada uma função g : X Y e um ponto a que pode ser aproximado por pontos x X, x a queremos estudar o comportamento de g(x) quando x a (x se aproxima de a por valores diferentes de a) e saber se g(x) L IR quando x a.. Limites Dada uma função f : X IR, nos interessa conhecer o comportamento de f(x) quando x se aproxima de a, x a. Para isso, a não precisa pertencer ao domínio de f, mas deve ser aproximado por pontos do domínio: Definição.. (Ponto de acumulação): Um ponto a é chamado um PONTO DE ACUMULAÇÃO do conjunto X quando podemos encontrar pontos de X, diferentes de a, tão próximos de a quanto quisermos, ou seja, a pode ser aproximado por pontos de X diferentes de a. Denotamos por X o conjunto dos pontos de acumulação de X. Exemplos: (A) A = [, 3) O conjunto dos pontos de acumulação de A é A = [, 3]. (B) B = (0, ) (, 3) Temos B = [0, 3]. (C) C = [, ] (3, 5) {7} Neste caso C = [, ] [3, 5].

29 A Derivada 5 Consideremos agora, por exemplo, a função f : IR {} IR dada por f(x) = 3x x x não pertence ao domínio de f, mas é ponto de acumulação de IR {}. Podemos então observar o comportamento de f(x) quando x (x se aproxima de, x ) Temos: x 0 0, 9 0, 99 0, 999 0, 9999 f(x) 3, 7 3, 97 3, 997 3, 9997 x,, 0, 00, 000 f(x) 7 4, 3 4, 03 4, 003 4, 0003 Observemos que f(x) se aproxima cada vez mais de 4 à medida que x. Dizemos então que 4 é o limite de f(x) quando x tende a (x ) e escrevemos: lim x 3x x x = 4. A definição de limite Definição.. Sejam f : X IR uma função e a X (a é ponto de acumulação do domínio - não precisa pertencer a X). Dizemos que um número real L é o LIMITE de f(x) quando x tende a a, e escrevemos quando... lim f(x) = L x a... podemos obter f(x) tão próximo de L quanto desejarmos, sempre que x se aproxima de a, por valores (no domínio de f) diferentes de a. TRADUZINDO... para cada ɛ > 0 dado, é possível obter um δ > 0 (em geral dependendo do ɛ) tal que : se x X e 0 < x a < δ então f(x) L < ɛ.

30 6 CAPÍTULO Alguns limites fundamentais Fixemos c IR e seja f : IR IR dada por f (x) = c x IR (função constante). Para cada a IR temos: lim f (x) = lim c = c x a x a Seja f : IR IR dada por f (x) = x x IR (função identidade). Para cada a IR temos: lim f (x) = lim x = a x a x a Seja f 3 : IR IR dada por f 3 (x) = sen x x IR. Temos: lim sen x = 0 x 0 Seja f 4 : IR IR dada por f 4 (x) = cos x x IR. Temos: lim cos x = x 0 Seja f 5 : IR { 0} IR dada por f 5 (x) = sen x x Temos: sen x lim = x 0 x x 0. Seja f 6 : IR { 0} IR dada por f 6 (x) = cos x x Temos: cos x lim = 0 x 0 x x 0. Seja f 7 : IR { 0} IR dada por f 7 (x) = ex x Temos: e x lim = x 0 x x 0.

31 A Derivada 7.3 Teoremas para (ajudar no) cálculo de limites Teorema.. Sejam f : X IR e a X. Temos: lim f(x) = L lim (f(x) L) = 0 lim f(x) L = 0 x a x a x a Em particular, considerando L = 0, temos: lim f(x) = 0 lim f(x) = 0. x a x a Exemplo: Sabemos que lim x 0 x = 0. Então segue que lim x 0 x = 0. Teorema.. (Sanduíche) Sejam f, g, h funções tais que f(x) g(x) h(x) para todo x a em um intervalo aberto contendo a. Se lim x a f(x) = L = lim x a h(x), então lim x a g(x) = L. Exemplo: Vamos mostrar que lim x 0 sen x = 0.

32 8 CAPÍTULO Teorema.3. Sejam f, g : X IR, a X e lim x a f(x) = L, lim x a g(x) = M. Então: lim [f(x) ± g(x)] = L ± M ; x a lim f(x) g(x) = L M ; x a lim x a lim x a f(x) g(x) = L M se M 0 ; n n f(x) = L { se n é ÍMPAR e L é qualquer real se n é PAR e L > 0 Exemplos: (A) Seja p : IR IR dada por p(x) = c n x n + c n x n c x + c 0, com c n, c n,..., c, c 0 IR (constantes) e c n 0 ( p é uma função polinomial de grau n).

33 A Derivada 9 (B) Funções racionais (quocientes de funções polinomiais) (C) lim x 0 cos x =

34 30 CAPÍTULO (D) lim x 0 sen x x = (E) lim x 0 cos x x = 0

35 A Derivada 3 Teorema.4. Se lim x a f(x) = 0 e g é limitada num intervalo aberto contendo o ponto a (sem precisar estar definida em a), então lim x a f(x) g(x) = 0. (Exemplo) Teorema.5. (Troca de variáveis) Se lim f(u) = L, lim u(x) = b u b x a x a u b, então lim f(u(x)) = lim f(u) = L x a u b (x a u b) e Exemplos: (A) lim x 0 sen 4x 4x (B) lim x 0 sen 3x x (C) Seja f uma função definida num intervalo contendo um ponto a. Vamos observar o que f(x) f(a) ocorre com o limite lim quando fazemos a mudança de variáveis h = x a : x a x a (D) lim x 0 5 x x

36 3 CAPÍTULO Exercícios: f(x) ) Prove que se lim f(x) = L 0 e lim g(x) = 0 então (não existe) lim x a x a x a g(x). Sugestão: Suponha que exista lim x a f(x) g(x) ) Calcule os limites abaixo, justificando: [ ] f(x) = M e considere lim f(x) = lim x a x a g(x) g(x). a) lim x 3 x 9 x 3 b) lim x / 3 + x 5 x c) lim x 0 x + x Sugestão: racionalize o numerador d) lim x x x 4 6 Sugestão: use que (a n b n ) = (a b).(a n + a n b ab n + b n ) e) lim x 3 x + 3 (/x) + (/3) ( ) i) lim x 3 sen x 0 3 x f) lim x 0 j) lim h 0 x x h h g) lim x 3 3 k) lim x 3 x + 5x + 6 x x + 5x 3x 3 x h) lim u 5 u l) lim y y y + m) lim t 0 cos t sen t x x 3x 7x + 0 n) lim o) lim x (x ) x 4 4x 5x + 36 p) lim w 0 sen 3w sen 5w q) lim h 0 3 h + h r) lim x 0 + tg x sen x s) lim t 0 sen t t t) lim x π sen x x π u) lim x 0 x cos x v) lim x 0 cos x x w) lim x 0 3 x x x) lim x 0 3x cos (x/) Teoremas adicionais sobre limites Teorema.6. (Unicidade do limite) Sejam f : X IR e a X. O lim x a f(x), quando existe, é único. Teorema.7. Sejam f : X IR e a X. Se existe L = lim x a f(x) então a função f é LIMITADA num intervalo aberto contendo o ponto a. Exemplo: Seja f : IR {0} IR dada por f(x) = x x 0. 0 é ponto de acumulação do domínio IR {0}. Podemos afirmar que NÃO EXISTE o intervalo aberto contendo 0. lim x 0 x, pois f não é limitada em nenhum

37 A Derivada 33 Teorema.8. Sejam f : X IR, a X e L = lim x a f(x). Se L > M então f(x) > M para todo x a do domínio em um intervalo aberto contendo o ponto a. Em particular, se lim f(x) > 0 então f(x) > 0 para todo x a do domínio em um x a intervalo aberto contendo a. Obs.: Analogamente, vale resultado semelhante caso lim x a f(x) = L < M. Teorema.9. (Limites laterais) Sejam f : X IR e a X. Se a pode ser aproximado tanto por pontos de X maiores que a quanto por pontos de X menores do que a, podemos investigar ambos os limites laterais de f: lim f(x) x a + (limite de f(x) quando x tende a a PELA DIREITA, isto é, por valores x X, com x > a) lim f(x) x a (limite de f(x) quando x tende a a PELA ESQUERDA, isto é, por valores x < a em X) Temos, neste caso, que existe L = lim x a f(x) se, e somente se, existem e são iguais a L ambos os limites laterais, ou seja: lim x a + f(x) = lim f(x). x a Exemplo: Seja f : IR {0} IR dada por f(x) = x x. Obs.: OS TEOREMAS ANTERIORES VALEM TAMBÉM PARA LIMITES LATERAIS, COM AS DEVIDAS ADAPTAÇÕES!

38 34 CAPÍTULO Exercícios: ) Sejam f, g : IR IR dadas por: f(x) = { x se x x + se x > g(x) = { x se x se x > Faça um estudo sobre os limites: lim f(x) x lim g(x) x lim (f.g)(x) x ) Mostre que lim x a f(x) f(a) x a = lim h 0 f(a + h) f(a) h (se existirem) 3) Para cada função f : X IR dada a seguir e cada a X X (a é ponto do domínio e ponto de acumulação do domínio), também fornecido, obtenha m ta = coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)). (a) f : IR IR dada por f (x) = 3x e a = 5. (b) f : IR IR dada por f (x) = x e a = 3. (c) f 3 : IR IR dada por f 3 (x) = sen x e a = π/6. (d) f 4 : IR IR dada por f 4 (x) = cos x e a = π/6. (e) f 5 : IR IR dada por f 5 (x) = e x e a =. (f) f 6 : (0, + ) IR dada por f 6 (x) = /x e a =. Faça ainda um esboço e confira se a resposta encontrada faz sentido com o esboço. Sugestões: Aproxime m ta fazendo x a. pelos coeficientes angulares m sa (x) das secantes por (a, f(a)) e (x, f(x)), Para as letras (c),(d) e (e), use também o exercício anterior. Pode tentar também fazer antes o Exercício 4) (veja o enunciado abaixo) e assim este e- xercício se torna um caso particular. 4) Para cada função f : X IR do exercício anterior, tente generalizar o resultado, obtendo m ta para um a X qualquer!

39 A Derivada 35.4 Continuidade Definição.3. Consideremos uma função f : X IR tal que X X (todo ponto do domínio é ponto de acumulação). Dado um ponto a, dizemos que f condições são satisfeitas: É CONTÍNUA NO PONTO a quando as seguintes ) Existe f(a) (ou seja, a X); ) Existe lim x a f(x) ; 3) lim x a f(x) = f(a). Se f não é contínua em um ponto a, dizemos que f TEM UMA DESCONTINUIDADE EM a. É DESCONTÍNUA EM a, ou que f Dizemos que f : X IR é uma FUNÇÃO CONTÍNUA EM X quando ela é contínua em todos os pontos de seu domínio. Exemplos: (e contra-exemplos) (A) Toda função polinomial é contínua! (B) Seno e cosseno, no ponto 0 : (C) Contra-exemplo: uma descontinuidade REMOVÍVEL:

40 36 CAPÍTULO (D) Contra-exemplo: uma descontinuidade ESSENCIAL: Continuidade e operações entre funções Teorema.0. Sejam f, g : X IR, X X e a X. Se f e g são contínuas no ponto a X, então: (f ± g) são contínuas em a ; (f g) é uma função contínua em a ; (f/g) é contínua em a se g(a) 0. Teorema.. (Composição) Sejam f : X IR (X X ) e g : Y IR (Y Y ) de forma que a composta g f : X IR está bem definida Se f é contínua em a X e g é contínua em b = f(a) Y então a composta g f : X IR é contínua no ponto a X. Exercícios: ) Seja f : [0, + ) IR dada por f(x) = x. (i) Mostre que lim x 0 x = 0 (Sugestão: Considere apenas o limite lateral lim x - pois 0 x 0 +

41 A Derivada 37 só pode ser aproximado pela direita - e para isto, compare x com 3 x para 0 < x < ) (ii) Conclua que f é contínua (em todos os pontos de seu domínio). x (iii) Mostre que lim x 0 x (racionalize). (iv) Generalize para g : [0, ) IR dada por g(x) = n x, n =, 4, 6, 8,... ) Dadas f : X IR abaixo, discuta a sua CONTINUIDADE (onde f é contínua ou não), justificando: (a) f : (, 6] IR dada por f(x) = 6 x. (b) f : [0, + ) IR dada por f(0) = 0 e f(x) = x se x 0. x + se x x 3 + (c) f : IR IR dada por f(x) =. 3 se x = Funções contínuas em intervalos Quando estudamos problemas sobre máximos e mínimos, podemos ter funções que não assumem valores máximos e/ou mínimos. Por exemplo: f : IR IR dada por f(x) = x NÃO ASSUME MÁXIMO NEM MÍNIMO! g : (, ) IR dada por g(x) = x NÃO ASSUME MÁXIMO NEM MÍNIMO!

42 38 CAPÍTULO Existe uma situação (envolvendo continuidade) na qual estes problemas não ocorrem: Teorema.. (MAX-MIN) Se f : [a, b] IR é uma função contínua (em todos os pontos do intervalo limitado e fechado [a, b]), então f assume valores máximo e mínimo neste intervalo [a, b], ou seja, existem pontos c M e c m em [a, b] tais que f(c M ) f(x) para todo x [a, b] f(c m ) f(x) para todo x [a, b] Outra boa propriedade das funções contínuas é a PROPRIEDADE DO VALOR IN- TERMEDIÁRIO : Teorema.3. (Teorema do valor intermediário) Se f : X IR é contínua no intervalo [a, b] X e f(a) f(b), então f assume todos os valores entre f(a) e f(b), ou mellhor, dado qualquer d entre f(a) e f(b), existe x entre a e b tal que f(x) = d. (Ilustração) (Exemplo).5 A definição da Derivada Definição.4. Consideremos uma função f : X IR, com X X (todo ponto do domínio é ponto de acumulação do domínio). Dizemos que f é DERIVÁVEL em a X quando existe o limite f (a) = lim x a f(x) f(a) x a = lim h 0 f(a + h) f(a) h O número f (a) IR é chamado A DERIVADA DE f NO PONTO a.

43 A Derivada 39 Observações: Em nossas aplicações, o domínio X será sempre um intervalo (e já teremos X X ); Outras notações para f (a) : f (a) = D x f(a) = df df (a) = dx dx x=a ou ainda f (a) = y (a) = dy (a), se y = f(x) dx Podemos considerar a função f : x f (x) definida em todos os pontos x X existir f (x). f é chamada a FUNÇÃO DERIVADA DE f. onde Interpretação geométrica Já vimos, como motivação para o estudo de limites, que se f : X IR é derivável em a X, então f (a) representa o coeficiente angular m ta da reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)) : Vimos também que o conhecimento de f (a) = m ta para os pontos a X pode nos trazer uma série de informações sobre o comportamento da função f. Primeiros exemplos: (A) Fixemos c IR (constante) e seja f : IR IR dada por f(x) = c x IR.

44 40 CAPÍTULO (B) Seja g : IR IR dada por g(x) = x 3 x IR. Vamos calcular g (), por exemplo: Exercício: (i) Generalize o exemplo acima e mostre que se g(x) = x 3 então g (x) = 3x x IR. (ii) Generalize (i) e mostre que se f(x) = x n (n =,, 3,...) então f (x) = nx n. (C) Seja f : IR IR dada por f(x) = sen x. Exercício: Obtenha a derivada de g : IR IR dada por g(x) = cos x. (D) Seja u : IR IR dada por u(t) = e t (função exponencial na base e).

45 A Derivada 4 (E) Seja f : IR IR dada por f(x) = x. (F) Seja g : IR {0} IR dada por g(x) = x 4 = x 4. Exercício: Generalize o exemplo acima e mostre que se g(x) = x n (n =,, 3,...) então g (x) = nx n x 0. (G) Fixemos a > 0. Seja u : IR IR dada por u(t) = a t (função exponencial na base a).

46 4 CAPÍTULO.6 Derivadas e continuidade Teorema.4. Se f : X IR é DERIVÁVEL em a X, então f é CONTÍNUA em a. De fato: f(x) f(a) Se f é derivável em a X, então existe o limite lim x a x a Existe f(a) (pois a X). [ ] f(x) f(a) Se x a, temos: f(x) f(a) = (x a). x a Como lim x a f(x) f(a) x a lim f(x) f(a) = lim x a x a = f (a) e lim x a (x a) = 0, segue que f(x) f(a) x a = f (a). lim x a (x a) = f (a) 0 = 0 Logo lim x a f(x) = f(a) e portanto f é contínua no ponto a. Algumas conseqüências: São contínuas em todos os pontos de seus domínios as funções: f : IR {0} IR dada por f(x) = x n (n =,, 3....), g : IR IR dada por g (x) = sen x, g : IR IR dada por g (x) = cos x, u : IR IR dada por u(t) = a t seus domínios. (a > 0), pois são todas deriváveis em todos os pontos de Se uma determinada função é descontínua em algum ponto de seu domínio, então ela não é derivável neste ponto de descontinuidade. CUIDADO! Não podemos garantir a recíproca do teorema anterior, ou seja, podemos ter uma função que é contínua mas não é derivável em determinados pontos. Exemplo: f(x) = x é contínua no ponto 0 ( lim x 0 x = 0 = f(0) ), mas já vimos que f (0).

47 A Derivada 43.7 Regras de derivação Teorema.5. Se f, g : X IR são deriváveis em a X, então: (a) Para cada constante c IR, (cf) : X IR é derivável em a e (cf) (a) = c f (a) ; (b) f ± g são deriváveis em a e (f ± g) (a) = f (a) ± g (a) ; (c) (f g) é derivável em a e (f g) (a) = f (a).g(a) + f(a).g (a) ; (d) (f/g) é derivável em a se g(a) 0 e (f/g) (a) = f (a).g(a) f(a).g (a) [g(a)]. Exemplos: (A) Para cada função f dada abaixo, obtenha f (onde existir a derivada) ) f : IR IR dada por f(x) = 6x 3 3x x + 7. ) f : IR IR dada por f(t) = 6t 0 t ) f : IR Z IR, Z = {x IR ; cos x = 0}, dada por f(x) = tg x. Exercício: Obtenha d dx ctg x, d dx sec x, d dx csc x 4) f : IR IR dada por f(u) = e u (u cos u).

48 44 CAPÍTULO 5) f : IR IR dada por f(t) = sen t. 6) f : IR {0} IR dada por f(x) = x n = x n (n =,, 3,...). (B) Seja g : IR IR dada por g(x) = 4 x. ) Obtenha as equações das retas tangentes ao gráfico de g e que passam pelos pontos: A(, 3), B(, 7), e C(, ). ) Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de g e que é paralela à reta y = x.

49 A Derivada 45 3) Obtenha a equação da reta normal ao gráfico de g no ponto A(, 3). 4) Em que ponto a tangente ao gráfico é horizontal? (tem coeficiente angular 0) 5) Onde o coeficiente angular da tangente é positivo? 6) Onde o coeficiente angular da tangente é negativo? A Regra da Cadeia - Derivadas de funções compostas Teorema.6. (Regra da Cadeia) Sejam u : X IR e g : Y IR tais que u(x) Y a composta (g u) : X IR está bem definida: e Dado a X, se u é derivável em a (existe u (a)) e g é derivável em b = u(a) (existe g (b) = g (u(a)) ), então a composta (g u) : X IR é derivável em a X em temos ainda: (g u) (a) = g (b) u (a) = g (u(a)) u (a) Quanto à função derivada (g u) : x (g u) (x), escrevemos (g u) (x) = g (u(x)) u (x) para todo x onde existirem as derivadas.

50 46 CAPÍTULO Exemplos: Para cada função f : IR IR dada abaixo, obtenha f (onde existir a derivada): (A) f dada por f(x) = cos(x 3 + ). (B) f dada por f(t) = (4t 3 t + 3t ). (C) f dada por f(x) = (5x x + ) 3. (D) f dada por f(w) = (w 3w + )(3w + ) 4. (E) f dada por f(t) = e kt, k 0 (constante).

51 A Derivada 47 (F) f dada por f(t) = sen t. (G) f dada por f(t) = cos 5 t. (H) f dada por f(x) = e (x). (I) f dada por f(w) = (e w sen w). (J) f dada por f(t) = e π cos(t3).

52 48 CAPÍTULO Derivadas de funções inversas Teorema.7. Seja f : I (intervalo) J (intervalo) uma função INVERTÍVEL (bijetora = injetora e sobrejetora) e CONTÍNUA (em todos os pontos de seu domínio I). Sua inversa g : J I é contínua em todos os pontos de J. Mais ainda: Se f é derivável em a I e f (a) 0, então g é derivável em b = f(a) e podemos obter g (b) através da Regra da Cadeia. Exemplos: (A) Derivada da função logarítmica na base e: Exercício: Fixado a > 0, a, obtenha g (x) se g : (0, + ) IR é dada por g(x) = log a x Resposta: g(x) = log a x, x (0, + ) g (x) = x ln a x > 0.

53 A Derivada 49 (B) Raízes: (C) Funções trigonométricas e suas inversas: Exercício: (a) Se g : [, ] [0, π] é dada por g(x) = arc cos x, mostre que g (x) = x (, ) x

54 50 CAPÍTULO (b) Se h : IR ( π/, π/) é dada por h(x) = arc tg x, mostre que h (x) = + x x IR.8 Derivação implícita Seja f : [, ] IR a função dada por f(x) = x para todo x [, ]. Pondo y = f(x), temos: y = x y = x, y 0 ( ) x + y = (y 0) A equação (*) acima estabelece uma relação entre x e y = f(x). Juntamente com a restrição y 0 ela define bem a função f. Por isso dizemos que f ESTÁ IMPLICITAMENTE DEFINIDA POR (*). Tendo em mente que y = f(x), ou seja, y é função de x, é fácil ver que a equação (*) estabelece a igualdade entre x + f(x) e a função constante e igual a. Podemos pensar portanto em DERIVAR EM RELAÇÃO À VARIÁVEL x. Vamos fazer isso, admitindo que y = f(x) é derivável e tomando o cuidado de lembrar que y = f(x), ou seja, y é uma composição de funções e DEVEMOS USAR A REGRA DA CADEIA: x + y = x + yy = 0 ( ) y = x y (y 0) Lembrando que y = f(x) = x, temos: f (x) = y x = x, x (, )

55 A Derivada 5 Possíveis vantagens da derivação implícita: Derivar a equação (*) que define f implicitamente pode ser mais simples do que tentar obter a derivada através da expressão explícita de f. Uma equação em x e y pode definir implicitamente várias funções e, caso isto ocorra, a derivação implícita serviria para todas elas. Exemplos: (A) Admitindo que f : (0, + ) IR dada por f(x) = ln x é derivável, obtenha f (x) por derivação implícita. (B) Fixado qualquer α IR e admitindo que f : (0, + ) IR dada por f(x) = x α derivável, use logarítmos para obter f (x) por derivação implícita. seja (C) Obtenha a equação da reta tangente à curva x 4 + y = no ponto (, 3 /). (D) Seja g : (0, + ) IR dada por g(x) = log a x (a > 0, a ). Admitindo que g é derivável, obtenha g (x) via derivação implícita.

56 5 CAPÍTULO x (E) Se y = 3 x 3 +, obtenha y (x) por derivação implícita. Exercícios: ) O objetivo deste exercício é observar a naturalidade da medida de ângulos em radianos, no seguinte sentido: alguns cálculos podem ser mais simples quando utilizamos radianos ao invés de graus como unidades de medida. Quando lidamos com as funções trigonométricas, por exemplo, quase todos os resultados decorrem do seguinte limite: lim x 0 sen x x = (Limite Trigonométrico Fundamental) Ajuste a demonstração que fizemos em aula para o limite acima, considerando desta vez a medida dos ângulos em GRAUS. Calcule também d sen x dx quando x é medido em graus. ) Para cada função dada abaixo (por questões de economia de espaço, estamos cometendo um abuso ao omitir os domínios e contra-domínios), calcule sua derivada (onde existir): a) f(x) = 0x + 9x 4 b) h(x) = (x 4x + )(6x 5) c) f(w) = w w 3 7 d) f(x) = + x + x + x 3 e) g(x) = (8x 7) 5 f) s(t) = ( ) 3 3t + 4 g) h(z) = 9z3 + z 6t 7 6z + h) H(x) = x + 3 4x + 9 i) f(x) = 5 /x j) f(x) = 6x 5 x + 3 x k) f(w) = 3 3w

57 A Derivada 53 l) f(t) = (t 6 t 6 ) 6 m) f(x) = x m/n m, n 0 Z n) h(s) = ln(5s +) 3 o) f(x) = x ln x ( ) p) g(x) = x e w q) f(u) = ue u r) h(s) = s e s s) f(x) = e x ln x + t) g(w) = ln ln x e w u) f(x) = e cos x v) g(x) = x sen x w) h(x) = ln tg x x) f(w) = ln cos 3w y) f(x) = arc tg x x + z) f(x) = e x arc sen 5x 3) Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de y = x 3 + 4x 5x 3 no ponto P (, 4). 4) Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de y = 3x + 4x 6 e tal que: (a) Essa tangente seja paralela à reta 5x y = 0 ; (b) Seja tangente ao gráfico no ponto P (, ). 5) Obtenha a equação da reta que passa por P (3, ) e é tangente ao gráfico de y = 4 x 6) Obtenha a equação da reta normal ao gráfico de f(x) = (x ) 4 no ponto P (, ). 7) Determine as equações da tangente e da normal ao gráfico de y = 8 sen 3 x no ponto P (π/6, ).

58 54 CAPÍTULO Coletânea de provas anteriores (): Questão : (30 pts) Sem utilizar derivadas, obtenha os seguintes limites, JUSTIFI- CANDO: (a) lim x / x 5 (/ ) 5 x (/ ) (b) lim x (x )(x + ) x + 4x + 4 (c) lim x 3 x 9 x 3 (d) lim y 0 e 7y sen y (e) lim x 0 ( sec x). ctg x. cos x x Questão : (0 pts) Seja f : IR IR dada por f(x) = { x 5 + x 3 + x + 3 se x < 0 x + se x 0 (a) Discuta a CONTINUIDADE de f. (b) A equação f(x) = 0 tem uma raiz entre e. JUSTIFIQUE. (c) Responda se f é derivável em x = 0. Se for, obtenha a derivada f (0). Se não for, justifique. Questão 3: (0 pts) Faça UM dos ítens abaixo: (a) Se f(x) = cos x x IR, mostre (via definição) que f (x) = sen x x IR. (b) Se g(x) = 5 x x IR, mostre (via definição) que g (x) = 5 x. ln 5 x IR. Questão 4: (40 pts) Para cada função dada abaixo (por questões de economia de espaço, estamos cometendo um abuso ao omitir os domínios e contra-domínios), calcule sua derivada (onde existir a derivada), indique onde existe e forneça ainda, quando solicitado, a derivada nos pontos solicitados: (a) f(x) = (3x ).(x + ) 5. (b) g(w) = 3 3w = (3w ) /3. Obtenha ainda, em particular, g (3). (c) h(s) = π. sec s = π cos s. Obtenha ainda, em particular, h (0). (d) f(t) = e (3t t). Obtenha ainda, em particular, f (/3). (e) f(x) = ln( sen 4 x). Questão 5: (0 pts) Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de f : IR ( π, π) dada por f(x) = 4. arc tg x no ponto A(, π).

59 A Derivada 55 Coletânea de provas anteriores (): Questão : (30 pts) Sem utilizar derivadas, obtenha os seguintes limites, JUSTIFI- CANDO: (a) lim x 3 x 6x + 9 (x + )(x 3) (d) lim x 0 sen 3 x 5x( cos x) π 3 πx (b) lim x 3 x e y (e) lim y 0 y Questão : (0 pts) Seja f : IR IR dada por f(x) = { (c) lim x π/ x π/ cos x x 3 x 3 se x < 5 x se x (a) Onde f é contínua? (JUSTIFIQUE). (Considere os casos: a <, a = e a > ) (b) Em quais dos intervalos [, 0], [0, ], [, 3], [3, 6] podemos GARANTIR que existe x tal que f(x) = 0? JUSTIFIQUE. (c) Responda se f é derivável em a =. Se for, obtenha a derivada f (). Se não for, justifique. Questão 3: (8 pts) Faça UM dos ítens abaixo: (a) Seja f(x) = sen x x IR. Obtenha (via definição) f (π/3). (b) Se g(x) = arc tg x x IR, prove que g (x) = + x x IR. Questão 4: ( pts) Considere f : IR IR dada por f(x) = e x. (a) Qual a equação da reta tangente ao gráfico de f e que passa pelo ponto A(0, )? (b) Qual a equação da reta tangente ao gráfico de f e que tem coeficiente angular /? Questão 5: (40 pts) Para cada função dada abaixo (estamos cometendo um abuso ao omitir os domínios e contra-domínios), calcule sua derivada, indique onde existe e forneça ainda, quando solicitado, a derivada nos pontos solicitados: (a) f(x) = (b) h(s) = ctg s = x (x 4). Obtenha ainda, em particular, f (). cos s sen s. Obtenha ainda, em particular, h (π/4). (c) g(t) = (t ) 3 e (t +t). Obtenha ainda, em particular, g (0). (d) f(w) = ln (5w + + cos w). Obtenha ainda, em particular, f (0). (e) g(y) = arc tg ( y ).

60 56 CAPÍTULO Coletânea de provas anteriores (3): Questão : (30 pts) Sem usar derivadas, obtenha os limites abaixo (JUSTIFIQUE): (a) lim x 3x 3 x 6 8 (b) lim y 0 sen πy y (c) lim x x ( x) 3 (d) lim x π + cos x x + π (e) lim x 0 e x + sen x x Questão : (0 pts) Seja f : IR IR dada por f(x) = (a) Responda se f é contínua em a = 3. (JUSTIFIQUE). { x + se x 3 x + 8x 8 se x > 3 (b) f é derivável em a = 3? Se for, PROVE e obtenha f (). Se não for, justifique. (c) Sabendo que f é crescente em (, 7/] e descrescente em [0, + ), podemos afirmar que existe x M [7/, 0] tal que f(x M ) f(x) para todo x IR? (JUSTIFIQUE) Questão 3: (8 pts) Faça UM dos ítens abaixo: (a) Seja f(x) = x 0. Obtenha, via definição, f (). x 3 (b) Se g(x) = arc cos x x [, ], prove que g (x) = x x (, ). Questão 4: ( pts) Considere f : IR IR dada por f(x) = arc tg x π (a) Qual a equação da reta tangente ao gráfico de f e que passa pelo ponto A(0, 0)? (b) Qual a equação da reta normal ao gráfico de f no ponto B( 3, /3)? Questão 5: (40 pts) Para cada função dada abaixo (estamos cometendo um abuso ao omitir os domínios e contra-domínios), calcule sua derivada, indique onde existe e forneça ainda, quando solicitado, o que se pede: (a) f(x) = x3 e x. Responda: Para quais valores de x temos f (x) = 0? (b) h(s) = sen (3s s) + (s +3s). Obtenha ainda, em particular, h (0). (c) g(w) = tg w ln(3 w ). Obtenha ainda, em particular, g (0).. (d) v(t) = s(t) 3t (existe s (t) t IR). Se s() = e s () =, obtenha v (). (e) u(y) = 4 y cos y = (y cos y) /4.

61 A Derivada 57 Coletânea de provas anteriores (4): Questão : (30 pts) Sem usar derivadas, obtenha os limites abaixo (JUSTIFIQUE): 3 x 3 x 3 + x + x e sen x (a) lim (b) lim (c) lim x 3 7 x 3 x x + x 0 x (d) lim y 0 sen 7y + cos πy y (e) lim x 0 cos x 5 x sen x Questão : (0 pts) Seja f : IR IR dada por f(x) = (a) Responda se f é contínua em a =. (JUSTIFIQUE). { x + se x < + sen (x + ) se x (b) f é derivável em a =? Se for, PROVE e obtenha f ( ). Se não, justifique. (c) Responda: Se [a, b] IR, é possível afirmar que dado d entre f(a) e f(b), existe c entre a e b com f(c) = d? JUSTIFIQUE a resposta. Questão 3: (8 pts) Seja f : IR IR dada por f(x) = 5 x x IR. Mostre, via definição, que (não existe) f (0). Prove (podendo usar que existe f (x) para todo x 0 ) que f (x) = 5 5 x 4 x 0. Questão 4: ( pts) Seja f : IR IR dada por f(x) = e (x ) x IR. Obtenha, se existir, a equação da reta tangente ao gráfico de f e que passa pelo ponto A(, 0) Questão 5: (40 pts) Para cada função dada abaixo (estamos cometendo um abuso ao omitir os domínios e contra-domínios), calcule sua derivada, indique onde existe e forneça ainda, quando solicitado, o que se pede: (a) h(s) = 3 s + s. Obtenha ainda, em particular, h (). (b) v(t) = ln log (3t + ). v () é positivo, negativo ou zero? Obtenha v () para justificar. (c) f(x) = x ln x x. Responda: Para quais valores de x temos f (x) = x? (d) g(w) = csc w = sen w. Obtenha ainda, em particular, g (π/4). [ ( )] (e) u(y) = tg arc tg. Obtenha ainda, em particular, u ( 3 ). y

62 58 CAPÍTULO Coletânea de provas anteriores (5): Questão : (4 pts) Sem usar derivadas, obtenha os limites abaixo (JUSTIFIQUE): (a) lim x 3 x x 4 3 Questão : ( pts) (b) lim y 0 e y sen (3y) (c) lim x x 3 + x x x 3 x (d) lim x π/ sen x x (π/) sen [π(x )] (a) Seja f : IR IR uma função tal que f(x) = x. f pode ser x contínua em x =? Se puder, qual o valor de f() para que isso ocorra (JUSTIFIQUE). Se não, JUSTIFIQUE. x (b) Seja g : IR IR uma função tal que g(x) = x. g pode ser contínua x em x =? Se puder, qual o valor de g() para que isso ocorra (JUSTIFIQUE). Se não, JUSTIFIQUE. Questão 3: ( pts) Seja f : IR IR dada por f(x) = 3 3 x x IR Mostre, VIA DEFINIÇÃO, que (não existe) f (0) e que f (a) = 3 a a 0. Questão 4: ( pts) (a) A reta 3y+8x+ = 0 é NORMAL ao gráfico de uma certa função f : IR IR no ponto A(, 3) (pertencente ao gráfico de f). Obtenha (JUSTIFICANDO) f (). (b) Qual o valor de b para que a reta y = bx + e seja TANGENTE ao gráfico de g(x) = e (x +6x+) no ponto B(0, e) (pertencente ao gráfico de g)? (JUSTIFIQUE) Questão 5: (40 pts) Para cada função dada abaixo (estamos cometendo um abuso ao omitir os domínios e contra-domínios), calcule sua derivada, indique onde existe e forneça ainda o que se pede: (a) f(x) = x (ln 5 + ln x). Obtenha ainda, em particular, f (). (b) h(θ) = ( tg θ + ). Obtenha ainda, em particular, h (π/3). (c) g(w) = ln(w w) + 3(3w w 3 ) (d) v(t) = sen [s(t)] t ln 3. Obtenha ainda, em particular, g (). (existe s (t) t IR). Se s() = π/ e s () = e, obtenha v (). (e) u(y) = 3 3 arc tg y. Obtenha ainda u () e responda se u () é maior ou menor que (mostre as contas).

63 A Derivada 59 Respostas de exercícios Página 3: Exercício ) a) 6 b) 8 9 c) 4 d) 3 e) 9 f) 0 g) 7 h) i) 0 j) 8 k) l) m) 0 n) (não existe) o) p) 3 5 q) 3 r) s) 4 t) u) 0 v) w) ln 3 x) Página 34: Exercício ) lim f(x), x lim g(x), x lim (f.g)(x) = 4 x Exercício ) Faça a mudança de variáveis x a = h e aplique o Teorema sobre limites de funções compostas! Exercício 3) (a) f ( 5) = m t 5 = 3 (b) f (3) = m t3 = 6 (c) f 3(π/6) = m tπ/6 = 3 (d) f 4(π/6) = m tπ/6 = (e) f 5() = m t = e (f) f 6( ) = m t = Exercício 4) (a) f (a) = 3 (b) f (a) = a (c) f 3(a) = cos a (d) f 4(a) = sen a (e) f 5(a) = e a (f) f 6(a) = a

64 60 CAPÍTULO Páginas 36-37: Exercício ) Contínua em... a)... (, 6]. Em a = 6 temos: lim x 6 6 x = 0 = f(6) b)... (0, + ). Em a = 0 temos: lim x 0 + f(x) c)... IR { }. Em a = temos: lim f(x) = /3 f( ) x Páginas 5-53: Exercício ) sen x lim x 0 x = π 80 e d sen x dx = π cos x 80 (se x é dado em GRAUS). Exercício ) a) f (x) = 0x + 9 x IR b) h (x) = 36x 68x + 6 x IR c) f (w) = 4w3 4 (w 3 7) w 3 7 d) f (x) = (3x + x + ) ( + x + x + x 3 ) x e) g (x) = 40(8x 7) 6 x 7 8 f) s 35(3t + 4) (t) = t 7 (6t 7) 4 6 g) h (z) = 08z3 + 7z + (6z + ) z 6 h) H (x) = 8 x (4x + 9) 3 x IR i) f (x) = 5x 5 x x 0 j) f (x) = x + 5 x 4 3x 3 x x 0 k) f (w) = 3 9w w 0 l) f (t) = 6(t 6 t 6 ) 5.(6t 5 + 6t 7 ) t 0 m) f (x) = m n x m n { x > 0 se n é par x 0 se n é ímpar n) h (s) = 30s 5s + s IR o) f (x) = ln x + x > 0 p) g (x) = x ln x x (ln x) x > 0 q) f (u) = ( u) e u u IR r) h (s) = (s s ) e s s IR s) f (x) = x x (ln x + ) x > 0 t) g (w) = ew e w w 0 ( u) f (x) = e cos x sen x x IR v) g (x) = x sen x cos x ln x + sen x ) x w) h (x) = y) f (x) = sen x cos x x arc tg x (x + ) x IR se tg x > 0 x) f (w) = 6 tg 3w se cos 3w 0 x > 0

65 A Derivada 6 z) f (x) = ex arc sen 5x 5x 5e x 5x ( arc sen 5x) x ( 5, 5 ) Exercício 3) y = 7x 3 Exercício 4) a) y = 5 x 99 6 b) y = 0x 9 Exercício 5) y = x + 4 ou y = 9 x Exercício 6) y = x Exercício 7) tangente: y = 3 ( ) 3 x + π 3 ( ) 3 normal: y = 9 x + + π 3 54 Página 54: Coletânea Questão ) (a) 5/4 (b) (c) 6 (d) 7 (e) / Questão ) (a) f é contínua em todo a 0 e não é contínua em a = 0. (b) Como a função f é contínua no intervalo [, ] e f( ) < 0 < f( ), temos então pelo TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO que existe x entre e tal que f(x) = 0. (c) f não pode ser derivável em x = 0 pois f não é contínua neste ponto. Questão 4) (a) f (x) = (x + ) 4 (36x 7) x IR (b) g (w) = 3 (3w ) w /3 e g (3) = /4 (c) h (s) = π. tg s. sec s se cos s 0 e h (0) = 0 (d) f (t) = e 3t t (6t ) t IR e f (/3) = (e) f (x) = 8 ctg x se sen x 0 Questão 5) y = x + (π )

66 6 CAPÍTULO Página 55: Coletânea Questão ) (a) 0 (b) π 9 (c) (d) 5 (e) 3 Questão ) (a) f é contínua em todo a IR. (b) Nos intervalos [, 3] e [3, 6] : nestes intervalos a função é contínua e muda de sinal. O TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO nos garante que sob estas condições a função assume o valor 0 (zero) nestes intervalos. (c) f não é derivável em a = (apesar de ser contínua neste ponto). Questão 4) (a) y = x + (b) y = ( ) + ln 4 x + 4 Questão 5) (a) f (x) = 6x (x 4) 3 x 4 e f () = 4 (b) h (s) = csc s se sen s 0 e h (π/4) = (c) g (t) = (t ) e t +t [6 + (t )(t + )] t IR e g (0) = 4 (d) f (w) = (e) g (y) = 0w sen w 5w + + cos w w IR e f (0) = 0 y y se y > Página 56: Coletânea 3 Questão ) (a) 6 Questão ) (b) π (c) (d) 0 (e) (a) f é contínua em a = 3 (verificados também os limites laterais). (b) f f(x) f(3) (3) = lim = ( f é derivável em a = 3 ). x 3 x 3 (c) SIM! f é contínua no intervalo LIMITADO e FECHADO [7/, 0] e portanto assume aí máximo absoluto em um ponto x M que f(x M ) f(x) x IR. Questão 4) (a) y = π x (b) y = 4π x + ( deste intervalo. Mostra-se então (com as outras hipóteses) π ) Questão 5) (a) f (x) = x (3 x) e x x IR. f (x) = 0 quando x = 0 ou x = 3/.

67 A Derivada 63 (b) h (s) = cos(3s s).(6s ) + (s +3s). ln.(s + 3) s IR. h (0) = 3 ln. (c) g (w) = ln(3 w ) cos w w tg w cos w 0 e 3 < w < 3. g (0) = ln 3. 3 w (d) v (t) = t s(t) s (t) s(t) 3t t 0. v () =. (e) u (y) = y sen y y IR. (y cos y) 3 4 Página 57: Coletânea 4 Questão ) (a) 3 (b) 0 (c) (d) 7 (e) 5 Questão ) (a) f não é contínua em a = ( lim f(x) ). x (b) f não é derivável em a = (pois não é contínua neste ponto). (c) NÃO PODEMOS! Contra-exemplo: considere f no intervalo [, ]. Temos: = f( ) < / < f( ) = mas não existe nenhum c [, ] tal que f(c) = /. Questão 4) y = e x e. Questão 5) (a) h (s) = 3 ( + s ) 3( + s ). 3 s s 0. h () = (b) v (t) = 6t 3t + t IR. v () = 3 < 0. (c) f (x) = x ln x x > 0. x = f (x) quando x = e. (d) g (w) = cos w sen 3 w sen w 0. g (π/4) = 4. (e) u (y) = y y 0. u ( 3 ) = 3. Página 58: Coletânea 5 9 Questão ) (a) 4 (b) 3 (c) 0 (d) 0 Questão ) (a) SIM! f() = π para que f seja contínua em x =. (b) NÃO! g não pode ser contínua em x =, qualquer que seja o valor de g().

68 64 CAPÍTULO Questão 4) (a) f () = 3 8 (b) b = 3e. Questão 5) (a) f (x) = ln x + ln 5 x > 0. f () = ln 0. (b) h (θ) = ( tg θ + ). sec θ cos θ 0. h (π/3) = 8( 3 + ). (c) g (w) = w w w + (6w 3w ) 3 (3w w 3 ) w < 0 ou w >. g () = 3. (d) v (t) = cos[s(t)] s (t) t sen [s(t)] t t 0. v () = 4. (e) u (y) = y 0. u () = 3 3 ( arc tg y) + y <. π

69 Capítulo Aplicações da Derivada. Acréscimos e diferenciais Consideremos uma função f : X IR derivável em pontos x X. Podemos escrever: f (x) = lim x 0 f(x + x) f(x) x (para cada x onde f for derivável) x é chamado ACRÉSCIMO DE x e representa a variação na variável independente x. Pondo y = f(x) como variável dependente, temos que y = f(x+ x) f(x) representa a VARIAÇÃO DA FUNÇÃO f (devida ao acréscimo x ) e f (x) = lim x 0 Os limites acima significam que, quando x se aproxima cada vez mais de 0 (por valores y x diferentes de 0), y/ x se aproxima cada vez mais de f (x). Então podemos dizer que y/ x é uma boa aproximação para f (x) quando x é pequeno (e diferente de 0) e podemos escrever y x f (x) quando x é pequeno ou então, de modo equivalente, ( ) f(x + x) f(x) = y f (x) x quando x é pequeno A relação (*) acima nos diz que podemos obter boas aproximações para a variação da função, y = f(x + x) f(x), através de f (x) x, com x pequeno!!! 65

70 66 CAPÍTULO Por exemplo, vamos obter uma aproximação para (0, 98) 4 Portanto, f (x) x (que depende dos valores de x e x considerados) desempenha esse importante papel de ser uma boa aproximação para a variação da função f quando x é pequeno. f (x) x será denotado por dy com x e x). e chamado A DIFERENCIAL DE y (varia de acordo Escrevemos também dx = x para a chamada diferencial de x. dy = f (x) x dx = x Geometricamente, temos:

71 Aplicações da Derivada 67 Exemplos: (A) Use diferenciais para obter aproximações para: (a) 3 (, 00) 5 (, 00) + 3 (b) 4 8 (B) A medida de um lado de um cubo é encontrada como sendo 5 cm, com uma possibilidade de erro de 0,00 cm. Usando diferenciais, encontre o erro máximo no cálculo do volume do cubo.

72 68 CAPÍTULO (C) A Lei da Gravitação de Newton afirma que a força F de atração entre duas partículas de massas m e m é dada por F = g m m onde g é uma constante e s é a distância entre s as partículas. Se s = 0 cm, use diferenciais para obter (aproximadamente) uma variação de s que aumente F em 0%. (D) À medida em que a areia escoa de um recipiente, vai se formando uma pilha cônica cuja altura é sempre igual ao raio. Se, em dado instante, o raio é de 0 cm, use diferenciais para aproximar a variação do raio que ocasiona um aumento de cm 3 no volume da pilha.

73 Aplicações da Derivada 69 Exercícios: ) Use diferenciais para obter valores aproximados para: (, 0) 4 3(, 0) 3 +4(, 0) 5, 3 65, 37, 3 0, 00098, 0, 04, 5(0, 99) 3/5 3(0, 99) /5 + 7, 4 5. ) Considerando ln 0, 693, use diferenciais para aproximar ln(, 0). 3) Use diferenciais para obter uma aproximação para ctg 46. 4) Use diferenciais para obter o aumento aproximado da área de uma esfera, quando o raio varia de a, 0 pés. 5) Os lados oposto e adjacente a um ângulo θ de um triângulo retângulo acusam medidas de 0 pés e 8 pés, respectivamente, com erro possível de,5 polegada na medida de 0 pés. Use a diferencial de uma função trigonométrica inversa para obter uma aproximação do erro no valor calculado de θ. (Obs.: pé = polegadas) 6) A altura de um cone circular reto é duas vezes o raio da base. A medida encontrada da altura é de cm, com uma possibilidade de erro de 0,005 cm. Encontre o erro aproximado no cálculo do volume do cone. 7) Se l (em metros) é o comprimento de um fio de ferro quando está a t graus de temperatura, então l = 60e 0,0000. t. Use diferenciais para encontrar o aumento aproximado em l quando t cresce, de 0 a 0 graus. 8) Em um ponto situado a 0 (pés) da base de um mastro, o ângulo de elevação do topo do mastro é de 60, com erro possível de 0, 5. Obtenha, com auxílio de diferenciais, uma aproximação do erro no cálculo da altura do mastro. 9) Uma caixa de metal na forma de um cubo vai ter um volume interno de 64 cm 3. Os seis lados da caixa vão ser feitos de metal com /4 cm de espessura. Se o preço do metal que vai ser usado na fabricação da caixa é de R$ 0,80 por cm 3, use diferenciais para encontrar o preço aproximado de todo o metal necessário. 0) A resistência elétrica R de um fio é proporcional ao seu comprimento l e inversamente proporcional ao quadrado de seu diâmetro d. Suponha que a resistência de um fio, de comprimento dado (fixo), seja calculada ( a partir ) do diâmetro com uma possibilidade de erro de % d na medida do diâmetro d 00 =. Encontre a possível porcentagem de erro no cálculo do valor da resistência.

74 70 CAPÍTULO. A Derivada como razão de variação Variação média: Sejam f : X IR e y = f(x). A variável y representa uma quantidade de alguma grandeza (distância, volume, área, etc.) que depende da variável independente x, a qual por sua vez representa também uma quantidade de alguma grandeza. Já vimos que y = f(x + x) f(x ) é a variação da função, correspondente a uma variação de x a x + x ( x é o chamado acréscimo em x). Então y x = f(x + x) f(x ) é a chamada VARIAÇÃO MÉDIA de y por unidade x de variação de x, quando x varia de x a x + x. Exemplo: Seja S (em centímetros quadrados) a área de um cubo de aresta x (centímetros). Encontre a razão de variação média da área por unidade de variação no comprimento da aresta quando x varia de... (a)... 3 a 3, cm (b)... 3 a 3, cm Variação instantânea: Quando fazemos x 0 no quociente y/ x ( lim x 0 ) y, o limite (quando existir) x será a RAZÃO (TAXA) DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA de y por unidade de variação de x em (no INSTANTE em que) x = x. Mas lim x 0 y x = lim x 0 f(x + x) f(x ) x = f (x ) (se existir o limite). Portanto a derivada f (x ) representa a razão (taxa) de variação instantânea de y = f(x) por unidade de variação de x no instante em que x = x.

75 Aplicações da Derivada 7 Exemplo: Considerando o exemplo anterior, qual a razão de variação da área do cubo por variação de centímetro no comprimento da aresta quando x = 3? Definimos ainda a taxa (razão) de VARIAÇÃO RELATIVA de y por unidade de variação de x em x como sendo f (x ) f(x ) (proporção da variação instantânea em relação à quantidade f(x ) em x = x ). Multiplicando por 00, temos a taxa de VARIAÇÃO PERCENTUAL, dada por f (x ) f(x ) 00. Exemplos: (A) Um cilindro reto, de base circular, tem altura constante igual a 0 cm. Se V cm 3 é o volume desse cilindro e r cm o raio de sua base, encontre: (a) A razão de variação média do volume por unidade de variação do raio, quando r varia de 5 a 5, cm. (b) A razão de variação instantânea do volume, por unidade de variação do raio, quando r = 5 e quando r = 5, cm. (c) As taxas de variação relativas do volume, por unidade de variação do raio, quando r = 5 e quando r = 5,.

76 7 CAPÍTULO (B) O lucro de um depósito de retalhos é de 00y reais quando x reais são gastos diariamente em propaganda e y = x 0, x. Use a derivada para determinar se seria vantajoso que o orçamento diário de propaganda aumentasse, nos seguintes casos: (a) O orçamento atual é de 60 reais diários; (b) O orçamento atual é de 00 reais diários. (C) Em um circuito elétrico, se E é a força eletromotriz, R ohms é a resistência e I amperes é a corrente, a Lei de Ohm afirma que IR = E. Admitindo que E seja constante, mostre que R decresce em uma razão que é proporcional ao inverso do quadrado de I. Se E = 00 volts, qual a taxa de variação de I por unidade de variação de R quando R = 0 ohms? (D) A temperatura T (em graus Celsius) de uma solução no instante t (minutos) é dada por T (t) = 0 + 4t 3, com t 0. t + Qual a taxa de variação de T por unidade de variação de t quando t =, t = 5, ou t = 9?

77 Aplicações da Derivada 73 (E) A Lei de Boyle para os gases afirma que p V = c, onde p é a pressão, V é o volume e c uma constante. Suponhamos que no instante t (minutos), a pressão seja dada por 0 + t u.p., com 0 t 0. Se em t = 0 o volume é de 60 cm 3, determine a taxa de variação do volume por unidade de variação do tempo quando t = 5. Um caso particular: interpretação cinemática da Derivada Suponhamos agora que s = s(t) represente a posição de um objeto ao longo de uma linha reta, como função do tempo t: Se em t o objeto estava em s(t ) e em t + t estava em s(t + t), a variação total da posição do objeto entre os instantes t e t + t é dada por s = s(t + t) s(t ) A taxa de variação média de s por unidade de variação de tempo, entre o t e t + t é s(t + t) s(t ) t Essa é a VELOCIDADE MÉDIA com que o objeto se movimentou de s(t ) até s(t + t) entre os instantes t e t + t. A razão de variação instantânea da posição s do objeto por unidade de variação do tempo, no instante t é dada por s (t ) = lim t 0 s(t + t) s(t ) t Essa é a VELOCIDADE INSTANTÂNEA do objeto no instante t = t.

78 74 CAPÍTULO Se s (t ) > 0 então a taxa de variação em t é positiva, ou seja, s está aumentando em t, ou melhor, o objeto está se movimentando no sentido adotado como positivo. Se s (t ) < 0, o movimento em t é contrário ao sentido positivo. Se s (t ) = 0 então o objeto está parado no instante t. Exemplos: (A) Um foguete é lançado verticalmente para cima e está a s m do solo t s após ter sido lançado (t 0), sendo s(t) = 60t 5t (o sentido positivo é para cima). Determine: (a) A velocidade média entre os instantes t = 0 e t = 4 s. (b) A velocidade instantânea nos instantes t = 0 (velocidade inicial) e t = s. (c) Em t = 0 s, o foguete está subindo ou caindo? (d) Quanto tempo leva o foguete para alcançar a sua altura máxima? (e) Qual a altura máxima atingida pelo foguete? (B) Uma pedra é solta de um edifício de 80 m de altura e a equação do movimento é dada por s(t) = 5t (t em segundos, t 0, orientação positiva para cima). (a) Qual a velocidade da pedra segundo após ser lançada? (b) Quanto tempo leva a pedra para alcançar o solo? (c) Qual a velocidade (instantânea) da pedra ao atingir o solo? (d) Qual a velocidade média entre os instantes t = 0 e o choque com o solo?

79 Aplicações da Derivada 75 Obs.: Assim como definimos a velocidade como variação da posição por unidade de variação do tempo, definimos a ACELERAÇÃO como sendo a variação da velocidade (olhando v = v(t)) por unidade de variação do tempo. (C) A posição s de um objeto em movimento retilíneo é dada por s(t) = t 3 5t + 48t 0, com t medido em segundos e s(t) em metros. Determine a aceleração quando a velocidade é de m/s. Determine a velocidade quando a aceleração é de 0 m/s. (D) Um bombardeiro está voando paralelo ao chão a uma altitude de km e a uma velocidade constante de 4, 5 km/min. A que razão varia a distância entre o bombardeiro e o alvo exatamente 0 segundos após o bombardeiro passar sobre o alvo?

80 76 CAPÍTULO Exercícios: ) O volume de um balão esférico (em pés cúbicos) t horas após 3:00 é dado pela equação V (t) = 4 3 π(9 t)3, com 0 t 4. Qual a variação média do volume por unidade de variação de tempo entre t = 0 e t = 4? Qual a taxa de variação do volume por unidade de variação de tempo às 6:00? ) Suponha que, t segundos após ter começado a correr, o pulso de um indivíduo tenha sua taxa dada por P (t) = 56 + t t (batimentos por minuto), com 0 t 7. Determine a variação média de P por unidade de variação de t quando t varia de a 4 segundos. Obtenha a taxa de variação de P por unidade de variação de t em t =, t = 3, t = 4. 3) O iluminamento I (em u.i. - unidades de iluminamento ) de uma fonte de luz é diretamente proporcional à intensidade S da fonte e inversamente proporcional ao quadrado da distância d da fonte. Se, para uma certa fonte, I = 0 u.i. a uma distância de pés, determine a taxa de variação de I por unidade de variação de d, quando d = 0 pés. 4) A relação entre a temperatura F, na escala Fahrenheit, e a temperatura C, na escala Celsius, é dada por C = 5/9(F 3). Qual a taxa de variação de F em relação a C? 5) Deve-se construir uma caixa aberta com uma folha retangular de cartolina de 40 cm de largura e 60 cm de comprimento, cortando-se um quadrado de s cm de lado em cada canto e dobrando-se a cartolina. Expresse o volume V da caixa em função de s e determine a taxa de variação de V em relação a s. Se queremos obter uma caixa com o maior volume possível, responda se é conveniente ou não aumentar s quando: s = 5cm ou s = 0cm. Obs.: Lembremos que a ACELERAÇÃO de um objeto em movimento retilíneo é a taxa de variação da velocidade v por unidade de variação do tempo t. 6) Para cada uma das situações abaixo, define-se a posição s de um objeto em movimento retilíneo como função do tempo t. Determine a velocidade e aceleração em cada instante t e tente descrever o movimento (posição inicial, velocidade inicial, direções do movimento, quando a velocidade aumenta, diminui, etc.) durante os intervalos de tempo indicados: (a) s(t) = 3t t+, t [0, 5] (b) s(t) = t+4/t, t [, 4] (c) s(t) = 4+6t t 3, t [, 3] (d) s(t) = e 3t 3, t [0, ] (e) s(t) = 3 cos πt, t [0, ] (f) s(t) = t 4 ln(t+), t [0, 4] 7) Lança-se um objeto verticalmente para cima, sendo a altura atingida s pés após t segs dada por s(t) = 44t 6t. Obtenha a velocidade e a aceleração iniciais e no instante t = 3 s (descreva o que ocorre). Qual a altura máxima atingida? Quando o objeto atinge o solo?

81 Aplicações da Derivada 77.3 Taxas relacionadas Em alguns problemas, podemos ter várias grandezas relacionadas através de equações. Exemplos: (A) Uma escada com 5 m de comprimento está inclinada e apoiada numa parede vertical. Sua base, apoiada no chão, está sendo empurrada na direção da parede a uma velocidade de 0,5 m/s. Qual a velocidade com que a ponta da escada (apoiada na parede) se move quando a base está a 4 m da parede? (B) Infla-se um balão esférico de tal modo que seu volume aumenta à razão de 5 dm 3 /min. A que razão o diâmetro do balão cresce quando o diâmetro é de dm?

82 78 CAPÍTULO (C) Um tanque de água com a forma de cone invertido e altura igual ao diâmetro está sendo enchido à razão de 3 m 3 /s. Qual a velocidade com que o nível de água sobe, quando a parte cheia com água tem m de altura? (D) Um farol, situado a 000 m de uma costa (praticamente) reta está girando com uma velocidade de 3 rpm (rotações por minuto). Qual a velocidade da luz do farol na região costeira quando o ângulo entre o feixe de luz e a perpendicular do farol à praia é de π/4 rad?

83 Aplicações da Derivada 79 Exercícios: ) Um papagaio de papel está voando a uma altura de 40m. Um garoto está empinando o papagaio de tal modo que este se move horizontalmente a uma razão de 3m/seg. Se a linha está esticada, com que razão deve o garoto dar linha quando o comprimento da corda solta é 50m? ) Um carro que viaja à razão de 30m/seg aproxima-se de um cruzamento. Quando o carro está a 0m do cruzamento, um caminhão que viaja a 40m/seg atravessa o cruzamento. O carro e o caminhão estão em estradas que formam ângulos retos uma com a outra. Com que rapidez separam-se o carro e o caminhão segundos depois que o caminhão passou pelo cruzamento? 3) De um orifício em um recipiente vaza areia, que forma um monte cônico cuja altura é sempre igual ao raio da base. Se a altura aumenta à razão de 6 pol/min, determine a taxa de vazamento da areia quando a altura da pilha é 0 pols. 4) Uma lâmpada colocada em um poste está a 5m de altura. Se um homem de m de altura caminha afastando-se da lâmpada à razão de m/seg, com que rapidez se move a extremidade de sua sombra no instante em que ele está a 4m do poste? Com que rapidez se alonga sua sombra neste instante? Qual velocidade é a maior, a da extremidade da sombra ou a de alongamento da sombra? O que ocorre em outros instantes? 5) A Lei de Boyle para os gases afirma que p.v = c, onde p é a pressão, v é o volume e c uma constante. Em certo instante, o volume é de 75 pols 3, a pressão 30 lbs/pol e a pressão decresce à razão de lbs/pol por minuto. Qual a taxa de variação do volume neste instante? 6) Um ponto P (x, y) se move sobre o gráfico da equação y = ln(x 3 ) (x > 0) e sua abscissa x varia à razão de 0,5 unidade por segundo. A ordenada y também varia a uma razão fixa? Qual a taxa de variação da ordenada no ponto (e, 3)? 7) Quando duas resistências elétricas R e R são ligadas em paralelo, a resistência total R é dada por /R = (/R ) + (/R ). Se R e R aumentam à razão de 0,0 ohms/s e 0,0 ohms/s, respect., qual a taxa de variação de R no instante em que R = 30 ohms e R = 90 ohms? 8) Uma vara de metal tem a forma de um cilindro circular reto. Ao ser aquecida, seu comprimento aumenta à taxa de 0,005 cm/min e seu diâmetro cresce à razão de 0,00 cm/min. Qual a taxa de variação do volume quando o comprimento é 40 cm e o diâmetro é 3 cm? 9) Uma escada com 6 m de comprimento está apoiada em um dique inclinado a 60 em relação à horizontal. Se a base da escada está sendo movida horizontalmente na direção do

84 80 CAPÍTULO dique à razão de m/s, com que rapidez move-se a parte superior da escada (apoiada no dique), quando a base estiver a 4 m do dique? 0) Um avião voa a uma altura constante de 5000 pés ao longo de uma reta que o levará diretamente a um ponto acima de um observador no solo. Se, em dado instante, o observador nota que o ângulo de elevação do avião é de 60 e aumenta à razão de por segundo, determine a velocidade do avião neste instante. ) Um triângulo isósceles tem os dois lados iguais com 6 pols cada um. Se o ângulo entre os lados iguais varia à razão de por min, com que velocidade varia a área do triângulo quando θ = 30? ) A luz de um farol localizado a /8 de milha do ponto mais próximo P de uma estrada retilínea está sobre um carro que percorre a estrada com a velocidade de 50 milhas por hora, se afastando de P. Determine a taxa de rotação do farol no instante em que o carro está a /4 de milha do farol. 3) Uma escada de 5 m de altura está apoiada numa parede vertical. Se a parte inferior da escada é puxada horizontalmente para fora da parede de tal forma que o topo da escada escorrega à razão de 3 m/s, com que velocidade está variando a medida do ângulo entre a escada e o solo quando a parte inferior da escada está a 3 m da parede? 4) Um homem num cais está puxando um bote à razão de m/s por meio de uma corda (esta é a velocidade com que puxa a corda). As mãos do homem estão a 30 cm do nível do ponto onde a corda está presa no bote. com que velocidade varia a medida do ângulo de deflexão da corda (entre a corda e o movimento do bote) quando o comprimento da corda é de 50 cm? 5) Um quadro de 40 cm de altura está colocado numa parede, com sua base a 30 cm acima do nível dos olhos de um observador. Se o observador se aproximar da parede à razão de 4 m/s, com que velocidade varia a medida do ângulo subtendido pelo quadro a seus olhos, quando o observador estiver a m da parede? 6) Despeja-se água num recipiente de forma cônica à razão de 8 cm 3 /min. O cone tem 0 cm de profundidade e 0 cm de diâmetro em sua parte superior. Com que velocidade deve aumentar a profundidade da água no recipiente quando a água estiver a 6 cm do fundo? Suponhamos agora que se tenha a informação adicional de que existe um furo no fundo, pelo qual a água escoa, e que a água está subindo à razão de /8π cm/min neste instante (quando a água está a 6 cm do fundo). Com que velocidade a água está escoando?

85 Aplicações da Derivada 8.4 Alguns resultados importantes Pontos críticos, máximos e mínimos: Definição.. Um ponto c X é um PONTO CRÍTICO de f : X IR quando f (c) = 0 ou não existe f (c). Exemplos: (A) Seja f : IR IR dada por f (x) = x 3 x. (B) Seja g : IR IR dada por g(x) = x 3. (C) Seja h : IR IR dada por h(x) = e x. (D) Seja s : IR IR dada por s(x) = cos x. (E) Seja f : IR IR dada por f (x) = (x + 5) 3 x 4.

86 8 CAPÍTULO Teorema.. Seja f : X IR uma função. Se c é um ponto de máximo ou mínimo local de f e c I (intervalo aberto) X então c é um ponto crítico de f, ou seja, f (c) = 0 ou f (c). Conseqüência importante do Teorema.: Se f : [a, b] IR é uma função contínua, sabemos (ver Teorema do Capítulo ) que f assume máximo e mínimo absolutos neste intervalo, ou seja, existem c M e c m em [a, b] tais que f(c M ) f(x) e f(c m ) f(x) para todo x [a, b]. O Teorema. nos diz que os candidatos a c M e c m são os pontos críticos de f em (a, b) juntamente com os extremos a e b do intervalo [a, b]. Exemplos: (A) f : [ 3, 5] IR dada por f(x) = x 3 x.

87 Aplicações da Derivada 83 (B) Seja g : IR IR dada por g(x) = x 3. Obs.: Este exemplo mostra que não vale a recíproca do Teorema. (C) (Aplicação) Um fabricante de caixas de papelão deseja fazer caixas abertas de pedaços quadrados de dm de lado, cortando quadrados iguais nos quatro cantos e dobrando os lados. Encontre o comprimento do lado do quadrado que se deve cortar para obter uma caixa cujo volume seja máximo.

88 84 CAPÍTULO O Teorema do Valor Médio para Derivadas: Teorema.. (Rolle) Se f é contínua em um intervalo limitado e fechado [a, b], derivável no intervalo aberto correspondente (a, b) e f(a) = f(b), então existe (pelo menos um) c (a, b) tal que f (c) = 0. Teorema.3. (Teorema do Valor Médio, de Lagrange) Se f é contínua em um intervalo limitado e fechado [a, b] e derivável no intervalo aberto correspondente (a, b) então existe (pelo menos um) c (a, b) tal que f(b) f(a) = f (c) (b a), ou seja, f f(b) f(a) (c) =. b a Principais conseqüências do Teorema do Valor Médio: Teorema.4. (Sobre crescimento e decrescimento) Seja f contínua em um intervalo limitado e fechado [a, b] e derivável no intervalo aberto correspondente (a, b). (i) Se f (x) > 0 para todo x em (a, b), então f é CRESCENTE em [a, b]. (ii) Se f (x) < 0 para todo x em (a, b), então f é DECRESCENTE em [a, b].

89 Aplicações da Derivada 85 Teorema.5. (Teste da Derivada Primeira) Seja f uma função contínua em [a, b] e derivável em (a, b), exceto possivelmente em um ponto crítico c (a, b). (i) Se f (x) > 0 x (a, c) e f (x) < 0 x (c, b), então c é ponto de máximo local de f. (ii) Se f (x) < 0 x (a, c) e f (x) > 0 x (c, b), então c é ponto de mínimo local de f. (iii) Se f (x) > 0 x c em (a, b) ou se f (x) < 0 x c em (a, b) então c não é nem máximo nem mínimo local de f. Exemplos: (A) Seja g : IR IR dada por g(x) = x 3 x x IR. Obtenha máximos ou mínimos locais de g e onde g é crescente ou decrescente.

90 86 CAPÍTULO (B) Seja f : IR IR dada por f(x) = x 4 4x x IR. (C) Seja h : IR IR dada por h(x) = x /3 (8 x) x IR. (D) Seja u : IR IR dada por u(x) = (x + 5) 3 x 4 x IR..5 Concavidade e pontos de inflexão Derivadas de ordem superior: Consideremos, POR EXEMPLO, f : IR IR dada por f(x) = x 3 5x + x +. Para todo x IR existe f (x) = 6x 0x +. Podemos considerar portanto a função f : IR IR dada por f (x) = 6x 0x + f (x) f (a) e indagar se ela é derivável ou não, ou seja, se existe lim x a x a a IR (existindo, f (a) é chamada a derivada segunda de f em a). = f (a) para cada Como f (neste exemplo) é polinomial, sabemos que existe, x IR, f (x) = x 0 e temos portanto uma nova função f : IR IR dada por f (x) = x 0 x IR (f é a função derivada segunda de f. Podemos pensar (novamente) em derivar f e assim por diante... (Exemplos) Obs.: (A) Já interpretamos f como taxa de variação instantânea de y = f(x) por unidade de variação de x. Como f é a derivada de f, então f é a taxa de variação instantânea de y = f (x) por unidade de variação de x. Em resumo: f mede a variação de f ; f mede a variação de f ; f mede a variação de f e assim por diante... (B) Vimos também que se s = s(t) representa a posição s de um objeto ao longo de uma linha reta, como função do tempo t, chamamos de VELOCIDADE (INSTANTÂNEA) a taxa de variação instantânea de s por unidade de variação de t, ou seja, v(t) = s (t). Derivando novamente, temos a variação da velocidade v (t) = s (t) (derivada segunda de s), a qual chamamos de ACELERAÇÃO no instante t.

91 Aplicações da Derivada 87 Testes de concavidade: Teorema.6. (Sobre concavidade) Seja f derivável em um intervalo aberto contendo c. (i) Se existe f (c) > 0 então no ponto ponto (c, f(c)) o gráfico de f tem a concavidade voltada para cima. (ii) Se existe f (c) < 0 então no ponto ponto (c, f(c)) o gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo. Exemplos: (A) Seja f : IR IR dada por f(x) = x 3 x IR. (B) Seja g : IR IR dada por g(x) = e x x IR.

92 88 CAPÍTULO (C) Seja h : (0, + ) IR dada por h(x) = ln x x > 0. (D) Seja u : IR IR dada por u(x) = sen x x IR. (E) Seja f : IR IR dada por f (x) = x 3 x x IR. Definição.. (Ponto de inflexão) Um ponto (c, f(c)) do gráfico de uma função f, f contínua em c, é chamado um PONTO DE INFLEXÃO quando neste ponto a concavidade muda de sentido, ou seja, existe um intervalo aberto (a, b) contendo c tal que uma das seguintes situações ocorre: (i) f (x) > 0 se x (a, c) e f (x) < 0 se x (c, b) ; (ii) f (x) < 0 se x (a, c) e f (x) > 0 se x (c, b).

93 Aplicações da Derivada 89 Teorema.7. (Teste da Derivada Segunda) Se f é derivável em um intervalo aberto contendo c e f (c) = 0, temos: (i) Se f (c) < 0 então f tem máximo local em c ; (ii) Se f (c) > 0 então f tem mínimo local em c. Obs.: Se f (c) = 0 nada podemos concluir (tente o Teste da Derivada Primeira). Exemplo: Seja f : IR IR dada por f (x) = x 3 x. Resumindo: f mede a variação de f; Sinal de f : crescimento e decrescimento de f; Teste da Derivada Primeira: máximos e/ou mínimos. f mede a variação de f ; Sinal de f : concavidade do gráfico de f; Teste da Derivada Segunda: máximos e/ou mínimos..6 Aplicações em problemas de máximos e/ou mínimos (A) Determine as dimensões do retângulo de área máxima que pode ser inscrito num triângulo equilátero de lado a, com dois dos vértices sobre um dos lados do triângulo.

94 90 CAPÍTULO (B) Os pontos A e B são opostos um ao outro nas margens de um rio reto com 3 km de largura. O ponto C está na mesma margem que B, mas a 6 km de B, rio abaixo. Uma companhia telefônica deseja estender um cabo de A até C. Se o custo por km do cabo é 5% mais caro sob a água do que em terra, que linha de cabo seria menos cara para a companhia? (C) Um cartaz de 0 pés de altura está localizado no topo de um edifício de tal modo que seu bordo inferior está a 60 pés acima do nível do olho de um observador. Use funções trigonométricas inversas para determinar a que distância de um ponto diretamente abaixo do cartaz o observador deve se colocar para maximizar o ângulo entre as linhas de visão do topo e da base do cartaz.

95 Aplicações da Derivada 9 Exercícios: ) Se uma caixa de base quadrada, aberta no topo, deve ter um volume de 4 pés cúbicos, determine as dimensões que exigem a menor quantidade de material (desprezar a espessura e aperda de material). Refaça o problema considerando o caso de uma caixa coberta. ) Determine as dimensões do cone circular reto de volume máximo que pode ser inscrito numa esfera de raio a. 3) Uma longa folha retangular de metal, de polegadas de largura, vai ser utilizada para formar uma calha, dobrando-se em ângulo reto duas bordas (de mesma medida). Quantas polegadas devem ser dobradas de forma que a capacidade da calha seja máxima? Refaça o problema considerando que os lados da calha devam fazer um ângulo de π/3 rad com a base. 4) Encontre as dimensões do retângulo de maior área que tem 00 cm de perímetro. 5) Determine o ponto do gráfico de y = x 3 mais próximo do ponto (4, 0). 6) Um fabricante vende certo artigo aos distribuidores a US$0,00 por unidade para pedidos de menos de 50 unidades. No caso de pedidos de 50 unidades ou mais (até 600), o preço unitário tem um desconto igual a US$0,0 vezes o número de encomendas. Qual volume de encomendas proporciona maior receita para o fabricante? 7) Às 3:00 horas um navio A está a 30 milhas ao sul do navio B e navegando rumo norte a 5 mph (milhas por hora). Se o navio B está navegando rumo oeste a 0 mph, determine o instante em que a distância entre os dois navios é mínima. 8) Uma ilha está num ponto A, a 6 km do ponto B mais próximo numa praia reta. Um armazém está num ponto C a 9 km de B na praia. Se um homem pode remar à razão de 4 km/h e caminhar à razão de 5 km/h, onde ele deveria desembarcar para ir da ilha ao armazém no menor tempo possível? 9) Encontre as dimensões do cilindro circular reto de maior volume que pode ser inscrito num cone circular reto com altura cm e raio da base 6 cm. 0) José comprou uma TV nova, de tela plana, para assistir à Copa do Mundo. A TV tem uma altura de 0,5 m e vai ser colocada a 4 m de distância dos olhos de José, quando ele estiver sentado confortavelmente em seu sofá, xingando aqueles milionários que estão jogando ɛ vezes o que deveriam para ganhar a Copa (ɛ 0). Sabendo que os olhos de José, ao sentar-se, estão a,5 m de altura do solo e num nível entre os bordos inferior e superior da TV, a que altura do solo deve ser colocada a TV para que o ângulo de visão de José seja máximo?

96 9 CAPÍTULO ) Corta-se um pedaço de arame de m de comprimento em duas partes. Uma parte será dobrada em forma de círculo e a outra em forma de quadrado. Como deverá ser cortado o arame para que: (a) a soma das áreas das duas figuras seja tão pequena quanto possível; (b) a soma das áreas das duas figuras seja a maior possível. ) Um oleoduto deve ligar dois pontos A e B, distantes 3 milhas e situados nas margens opostas e um rio retilíneo de milha de largura. Parte do oleoduto será construída sob a água, de A até um ponto C na margem oposta, e o restante à superfície, de C até B. Se o custo de construção do oleoduto sob a água é quatro vezes o custo da construção à superfície e sabendo que a região onde está sendo construído o oleoduto não pertence à Bolívia, determine a localização de C que minimize o custo de construção. 3) O proprietário de um pomar estima que, plantando 4 árvores por are, cada árvore produzirá 600 maçãs por ano. Para cada árvore adicional plantada por are, haverá uma redução de maçãs por pé por ano. Quantas árvores deve plantar por are para maximizar o número de maçãs (por are por ano)? 4) Um piloto de testes da Fórmula percorre um circuito elíptico plano, de forma que sua posição, após t vezes 0-segundos, é dada por s(t) = (x(t), y(t)) = ( cos t, sen t) (faça um esboço da trajetória percorrida pelo piloto). O vetor velocidade (tangencial), num instante t é dado por v(t) = s (t) = (. sen t, cos t) (tente fazer um esboço). A velocidade (tangencial) escalar é dada pelo módulo do vetor velocidade: v(t). Supondo que o piloto não é o Rubinho Barrichello e portanto deve completar pelo menos uma volta no circuito, calcule os pontos onde o piloto alcança as velocidades máximas e mínimas. (Sugestão: maximizar e minimizar v(t) ).7 Aplicações nos esboços de gráficos Dada uma função f : X IR, nos interessa utilizar nossos estudos sobre derivadas para fazer um esboço do gráfico de f. Algumas dicas: ) Obter a derivada primeira f e os pontos críticos (onde f se anula ou não existe); ) Estudando o sinal de f, obter informações sobre o crescimento/decrescimento de f; 3) Obter a derivada segunda f e estudar o seu sinal para obter informações sobre a concavidade do gráfico de f; 4) Usar o Teste da Derivada Primeira ou o Teste da Derivada Segunda para descobrir

97 Aplicações da Derivada 93 máximos ou mínimos locais; 5) Obter alguns pontos do gráfico para ajudar no esboço (pontos de máximo ou mínimo, pontos de interseção com os eixos coordenados, etc.); 6) Observar o comportamento de f(x) quando x + ou x (se for o caso) - busca de assíntotas horizontais (*); 7) Observar o comportamento de f próxima às descontinuidades - busca de assíntotas verticais (*). (*) Veremos estes dois últimos ítens com mais detalhes nas próximas aulas. Exemplo: Seja f : IR IR dada por f(x) = 5x 3 x 5. Exercício: Faça um esboço do gráfico de g : [, ] IR dada por g(x) = e x.

98 94 CAPÍTULO.8 Apêndice A : Limites no infinito Noção básica: Dada f : X IR, nos interessa investigar (se possível) o comportamento de f(x) quando x ±. Dizemos que um número real L é o limite de f(x) quando x + e escrevemos lim f(x) = L x + quando f(x) se aproxima tanto quanto quisermos de L à medida que x cresce indefinidamente, ou seja, quando x +. Neste caso, a reta y = L é chamada uma ASSÍNTOTA HORIZONTAL do gráfico de f. Analogamente, escrevemos lim f(x) = M IR quando f(x) se aproxima tanto x quanto quisermos de M à medida que x. Neste caso também y = M é assíntota horizontal do gráfico de f. Exemplos: (A) f : [, + ) IR dada por f(x) = x.

99 Aplicações da Derivada se x (B) g : (, 3) IR dada por g(x) = x 6 se < x < 3 (C) u : IR IR dada por u(x) = sen x. Teoremas sobre limites no infinito: Valem os mesmos teoremas vistos no estudo de limites, com as devidas adaptações. Por exemplo: Se lim f(x) = L e x + lim g(x) = M, então podemos comcluir que x + lim f(x) ± g(x) = L ± M, lim x + (analogamente para x ) f(x) g(x) = L M, lim x + f(x)/g(x) = L/M se M 0 x + Alguns limites básicos no infinito: ) lim x ± c = c ) Se k Q, k > 0 e c 0 então lim x ± c x k = 0 (se fizerem sentido) ( 3) lim + ) x = e 4) lim x + x x + 5) lim x ex = 0 6) lim x + ln x x = 0 = 0 7) lim ex x + ln x = 0

100 96 CAPÍTULO (A) Exemplos: lim x + 5x 3 + x x 3 4x + 3 (B) lim x 3x 4 5x (C) lim x + 5x 6 4x + 3 (D) lim x sen x x (E) (Exercício) Use seus conhecimentos sobre derivadas para mostrar que e x > x sempre que x (Sugestão: Mostre que f(x) = e x x é crescente em [, + ) e f() > 0 ) e conclua que lim x + e = 0. x (F) (Exercício) Mostre que quando x + e aplique o Sanduíche). lim x + e x = 0 (Sugestão: Mostre que 0 < e x = e x < e x

101 Aplicações da Derivada 97.9 Apêndice B : Limites infinitos Dada f : X IR e a X, vamos estudar agora, para auxílio no esboço do gráfico de f, a situação na qual NÃO EXISTE o lim f(x) (portanto f é descontínua em a) e, AINDA x a ASSIM, f(x) tem um comportamento especial quando x se aproxima de a (e x a). Escrevemos lim x a f(x) = + quando f(x) + à medida que x a (x a). Neste caso, a reta x = a é chamada uma ASSÍNTOTA VERTICAL do gráfico de f: Analogamente, lim x a f(x) = quando f(x) à medida que x a (x a). Neste caso também dizemos que x = a é uma assíntota vertical do gráfico de f: Observações: ) Temos conceitos semelhantes quando analisamos os limites laterais lim f(x) ou lim f(x). x a + x a ) CUIDADO: A rigor, nestes casos, o limite lim f(x) NÃO EXISTE (não é um número x a real). Apenas escrevemos lim f(x) = ± para descrever um comportamento especial de x a f(x) quando x se aproxima de a.

102 98 CAPÍTULO (A) Exemplos: lim x 3 (x + 3) = + (B) lim x + (x ) = + 3 lim x (x ) = 3 (C) Em geral: Se n é PAR: Se n é ÍMPAR: lim x a (x a) = + n lim = + e lim x a + (x a) n x a (x a) = n (D) lim ln x = x 0 + (E) lim tg θ = + θ π/ Proposição.. (Para ajudar no cálculo de alguns limites infinitos) Sejam lim x a f(x) = +, lim x a g(x) = c IR, lim x a h(x) =. Temos: ) lim x a [f(x) + g(x)] = +, lim x a [h(x) + g(x)] =. ) lim x a g(x) f(x) = 0, lim x a g(x) h(x) = 0. 3) c > 0 lim f(x) g(x) = +, x a h(x) lim x a g(x) =. lim h(x) g(x) =, x a f(x) lim x a g(x) = +, f(x) c < 0 lim f(x) g(x) =, lim h(x) g(x) = +, lim x a x a x a g(x) Obs.: Valem resultados análogos para limites laterais. =, lim x a h(x) g(x) = +

103 Aplicações da Derivada 99 Exemplos: (A) f(x) = x x 9 (B) lim x π/ + sen x tg x (C) x 4 + lim x 0 + ln x

104 00 CAPÍTULO Observação: De modo inteiramente análogo ao que fizemos para lim x a f(x) = ±, podemos ter LIMITES INFINITOS NO INFINITO e resultados como a proposição anterior continuam válidos! (apenas não temos mais as assíntotas verticais nestes casos) (D) lim x = +, x + lim x = x (E) lim x + ex = + (F) lim ln x = + x + (G) lim x + 5x4 + 3x + Observação: As conclusões que não podemos (e as que podemos) tirar quando lidamos com limites infinitos: Devemos sempre tomar cuidado com operações entre funções que têm LIMITES INFINI- TOS, pois podem surgir as chamadas INDETERMINAÇÕES, que são as formas cujos comportamentos NÃO PODEMOS PREVER A PRIORI. Destacamos aqui as PRINCIPAIS INDETERMINAÇÕES: 0 0,, 0, 00, 0,, Em qualquer um destes casos, devemos trabalhar com as funções dadas de modo que possamos ELIMINAR AS INDETERMINAÇÕES. (EXEMPLOS)

105 Aplicações da Derivada 0.0 Apêndice C : Formas indeterminadas As formas e a Regra de L Hopital INDETERMINAÇÕES. 0 0,, 0, 00, 0,, são todas consideradas Além de tentarmos trabalhar com as expressões que geram as indeterminações visando ELIMINÁ-LAS, veremos a seguir alguns métodos para atacar estes problemas. C.) Indeterminações do tipo 0 0 ou : Uma ferramenta muito útil é a... Regra de L Hopital: Suponhamos que x ±. Se f (x) g (x) f(x) g(x) tome a forma indeterminada 0 0 ou quando x c ou tem limite (ou tende a ± ) quando x c (ou x ± ), então lim f(x) g(x) = lim f (x) g (x) Exemplos: (A) lim x 0 3 x 3 cos x 5x (B) lim x + ln x x

106 0 CAPÍTULO (C) lim x + e x x Obs.: CUIDADO! Não saia aplicando a Regra de L Hopital antes de verificar que realmente se tem uma indeterminação do tipo 0/0 ou /. C.) Indeterminações do tipo 0 : Escrevendo-se f(x) g(x) = 0/0 ou /. f(x) /g(x) ou f(x) g(x) = g(x) /f(x) recai-se numa forma do tipo Exemplos: (A) lim x ln x x 0 + (B) ( lim arc tg x π ) x x +

107 Aplicações da Derivada 03 C.3) Indeterminações do tipo 0 0, 0 ou : O roteiro abaixo pode ser útil nestes casos: 0) Seja f(x) g(x) a expressão que gera a indeterminação; ) Tome y = f(x) g(x) ; ) Tome logarítmos: ln y = ln f(x) g(x) = g(x) ln f(x) (e recaia em casos já vistos); 3) Determine lim ln y (se existir); 4) Se lim ln y = L então lim y = e L. (Atenção: Não pare em 3) Exemplos: (A) lim x + x/x (B) ( lim + ) x x + x (C) ln x lim x/ x +

108 04 CAPÍTULO C.4) Indeterminações do tipo : Trabalhe com a expressão para cair em casos conhecidos! Exemplos: (A) lim (sec x tg x) x π/ (B) ( lim x 0 + e x ) x Exercício: ) APLICANDO RESULTADOS SOBRE DERIVADAS, faça um esboço do gráfico de cada função f dada abaixo: SUGESTÃO:. Obtenha a derivada primeira f e os pontos críticos de f.. Estudando o sinal de f, obtenha informações sobre o crescimento/decrescimento de f. 3. Obtenha a derivada segunda f e estude seu sinal para obter informações sobre a concavidade do gráfico de f. 4. Use o Teste da Derivada Primeira ou o Teste da Derivada Segunda para descobrir máximos ou mínimos locais. 5. Obtenha alguns pontos do gráfico de f para ajudar no esboço (pontos de máximo ou mínimo, pontos de interseção com os eixos coordenados, etc.). 6. Observar o comportamento de f(x) quando x + ou x (se for o caso) - busca de assíntotas horizontais. 7. Observar o comportamento de f próxima às descontinuidades - busca de assíntotas verticais.

109 Aplicações da Derivada 05 a) f(x) = 4 x b) f(x) = x 3 c) f(x) = x 3 9x d) f(x) = x 4 6x e) f(x) = 3 x f) f(x) = x + x g) f(x) = 0x 3 (x ) h) f(x) = 3 x (8 x) i) f(x) = (x + 5) 3 x 4 j) f(x) = x /3 (x 8) k) f(x) = x x (x 0) l) f(x) = x 3x (x 0, 3) m) f(x) = (x ±) n) f(x) = (x 9) x(x 3) x (x 9) o) f(x) = e x p) f(x) = e x q) f(x) = e x x r) f(x) = e x s) f(x) = ln x (x > 0) t) f(x) = e /x (x 0) u) f(x) = x e x v) f(x) = ln x x (x > 0) w) cosh x = ex + e x senh x = ex e x tgh x = ex e x e x + e x x) f(x) = arc tg x y) f(x) = e x sen x (x [0, 4π] ) z) f(x) = cos x + sen x (x [0, π] ). Apêndice D: Aproximações via Polinômios de Taylor Recordando... Quando estudamos acréscimos e diferenciais, vimos que se f : X IR é derivável em x X, ou seja, se existe f f(x + x) f(x) (x) = lim, então a variação da função y = f(x), x 0 x dada por y = f(x + x) f(x), pode ser aproximada por f (x) x quando x está próximo de 0: y = f(x + x) f(x) f (x) x = dy quando x 0 Isto é o mesmo que f(x + x) f(x) + f (x) x.

110 06 CAPÍTULO Geometricamente: A idéia é aproximar o gráfico de f por uma reta numa vizinhança em torno de x. A reta que melhor cumpre esse papel é a reta tangente ao gráfico de f em (x, f(x)), cujo coeficiente angular é f (x). Quando fazemos essa aproximação, cometemos um erro r = r( x). Quanto menor é x, ou seja, quanto mais próximos estão x e 0, melhor a aproximação obtida e menor é o erro cometido. Pergunta: Podemos melhorar este processo e obter aproximações cada vez melhores? Resposta: SIM! (sob certas condições) Um passo adiante: Se f : I (intervalo aberto) IR é duas vezes derivável em um ponto x I então, se x + x I, temos f(x + x) f(x) + f (x) x + f (x)! ( x) ( x pequeno) Da mesma forma que antes, quanto menor x, melhor é a aproximação. Porém, desta vez estamos aproximando f (em torno de x) por um polinômio do o grau, ou seja, geometricamente, o gráfico de f é aproximado por um arco de parábola e a expectativa é que isto funcione melhor como aproximação do que uma reta:

111 Aplicações da Derivada 07 Generalizando: Se f : I (intervalo aberto) IR é n vezes derivável em um ponto x I então, se x + x I, temos: f(x + x) f(x) + f (x) x + f (x)! e quanto menor x, melhor é a aproximação. ( x) + f (x) 3! ( x) f (n) (x) n! ( x) n Obs.: ) Como o ponto x I, onde a função é n vezes derivável, está fixo e x varia ( x 0), vamos adotar uma NOVA NOTAÇÃO: f : I IR n vezes derivável em um ponto a I. Se a + h I, temos: f(a + h) f(a) + f (a) h + f (a)! e quanto menor h, melhor é a aproximação. h + f (a) 3! h f (n) (a) n! h n ) Se f : I IR é n vezes derivável em um ponto a I, definimos o POLINÔMIO DE TAYLOR DE GRAU n DA FUNÇÃO f NO PONTO a: P n,f(a) (h) = a 0 + a h + a h a n h n sendo a 0 = f(a), a = f (a), a = f (a)!,..., a n = f (n) (a) n!, ou seja, a i = f (i) (a) i! i =,,..., n Neste caso temos: f(a + h) P n,f(a) (h) Exemplos: (A) f(x) = e x, a = 0, n = 5.

112 08 CAPÍTULO (B) g(x) = sen x, a = 0, n = 7. (C) h(x) = cos x, a = 0, n = 0 (Exercício) Buscando estimativas: A Fórmula de Taylor: Teorema.8. (Fórmula de Taylor) Se uma função f é n + vezes derivável em um intervalo aberto I contendo x = a então, se a + h I, temos: f(a + h) = f(a) + f (a) h + f (a)! com z = z(n, h) entre a e a + h. h f (n) (a) n! h n + f (n+) (z) (n + )! h n+ Continuamos tendo f(a + h) P n,f(a) (h) quando h está próximo de 0. R n (h) = f (n+) (z) (n + )! (quanto menor h, menor o erro). h n+ é o erro cometido na aproximação f(a + h) P n,f(a) (h) A Fórmula de Taylor nos permite, além de aproximar f(a + h) por P n,f(a) (h), tentar obter estimativas para o erro cometido. (Exemplo)

113 Aplicações da Derivada 09 Indo um pouco mais além: A Série de Taylor: Uma função f : I (intervalo aberto) IR é chamada ANALÍTICA quando para cada a I admite o desenvolvimento em Série de Taylor numa vizinhança em torno de a: f(a + h) = f(a) + f (a) h + f (a)! h + f (a) 3! h Quando a + h está próximo de a (o quanto, depende de f e sua Série) a soma à direita, chamada a SÉRIE DE TAYLOR DE f EM TORNO DE a converge para o valor (exato de) f(a + h), ou seja, se aproxima tanto quanto desejarmos de f(a + h). Obs.: ) Uma função analítica pode ser derivada tantas vezes quanto desejarmos. ) As funções clássicas p(x) = a 0 +a x+...+a n x n, e x, sen x, cos x, ln x são todas analíticas. Exemplos: (A) f : IR IR dada por f(x) = e x em torno de a = 0. (B) g : IR IR dada por g(x) = sen x em torno de a = 0. Exercício: Obtenha a Série de Taylor de f(x) = ln x em torno do ponto a =.

114 0 CAPÍTULO Coletânea de provas anteriores () Questão : (0 pts) Para medir a altitude de um pico (ponto A, mais elevado e inacessível) em relação ao seu nível, um explorador (ponto B) utilizou dois equipamentos. Usou inicialmente um sofisticado aparelho baseado num feixe de laser e obteve 7 km como medida da distância de B ao ponto A. Porém, para medir o ângulo θ da linha BA com o horizonte foi utilizado um outro aparelho, não tão preciso, e obtida a leitura de θ = π/3 rad, com possibilidade de erro igual a θ = ±0, 0 rad. (a) Obtenha a equação que expressa o desnível h(θ) entre A e B, como função do ângulo θ. (b) Baseado na leitura de θ = π/3 rad, qual o desnível h(θ) calculado pelo explorador? (USE DIFERENCIAIS para obter um resultado aproximado). (c) Utilizando diferenciais, obtenha uma aproximação para o erro h(θ + θ) h(θ) no cálculo do desnível. Questão : (5 pts) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito pela equação s(t) = [ln( + t)] t/4 (t medido em segundos, t 0, s = s(t) = posição ao longo de um eixo orientado, medida em metros). (a) Obtenha a velocidade média entre os instantes t = 0 e t =. (b) Obtenha a velocidade nos instantes t = 0 (velocidade inicial) e t =. (c) Em que instante o objeto pára? Em que posição isto ocorre? Qual a aceleração neste instante? Questão 3: (0 pts) Uma escada de 5 m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Sua base, que está apoiada no chão, está sendo empurrada na direção da parede a uma velocidade constante de m/s. (a) Mostre que a velocidade com que o topo da escada se desloca não é constante. (b) Qual a velocidade com que o topo da escada se desloca quando a base está a 3 m da parede? (c) Qual a velocidade com que o topo da escada se desloca quando o ângulo da escada com o chão é de π/4 rad? Questão 4: (0 pts) Uma ilha está num ponto A, a 3 3 km do ponto B (localizado no continente), o mais próximo numa praia reta. Um armazém está num ponto C a 7 km de B na praia. Se um homem pode remar à razão de km/h e caminhar à razão de 4 km/h, onde ele deveria desembarcar, para ir da ilha ao armazém no menor tempo possível? Questão 5: (5 pts) ESCOLHA UMA das funções abaixo e faça um estudo completo da função escolhida: pontos críticos, cresc./decresc., máximos ou mínimos, concavidade, assíntotas horizontais/verticais, etc. Utilize este estudo para fazer um esboço do gráfico da função escolhida. (a) f : IR {4} IR dada por f(x) = x (b) g : IR IR dada por g(x) = 3x (x 4) e x

115 Aplicações da Derivada Coletânea de provas anteriores () Questão : (0 pts) a) Usando diferenciais, obtenha uma aproximação para a ( ) VARIAÇÃO 5 5 da área de uma esfera quando seu raio aumenta de cm para + 0, 005 cm. π π b) Usando diferenciais, responda: Qual o aumento r do raio que, aplicado à esfera de raio r = 5 cm provoca um aumento aproximado de 0% em seu volume? Obs.: Se uma esfera tem raio r cm, sua área é 4πr cm 4 e seu volume é 3 πr3 cm 3 Questão : (5 pts) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito pela equação s(t) = 0 ln(t + ) (t + ) de um eixo orientado, medida em metros). (t medido em segundos, t 0, s = s(t) =posição ao longo (a) Obtenha a velocidade média entre os instantes t = 0 e t = 3. (b) Obtenha a velocidade nos instantes t = 0 (velocidade inicial) e t = 3. (c) Em que instante o objeto está parado? (d) Descreva o deslocamento do objeto, quando t varia de 0 até t +. Questão 3: (0 pts) A luz de um farol que gira à taxa de,5 rpm (rotações por minuto) está iluminando (acompanhando) um carro que passa numa estrada retilínea. (Obs.: O farol está distante da estrada) No momento em que o ângulo do feixe de luz do farol com a perpendicular do farol à estrada é de π/3 rad, a distância do farol ao carro é de 50 m = /4 km. Obtenha a velocidade do carro neste instante, em km/h. A velocidade de rotação do farol é constante. Responda se a velocidade do carro também é constante e justifique. Questão 4: (0 pts) Dado um cilindro circular reto de altura h cm e raio das bases r cm, sua área total é S = (πr + πrh) cm e seu volume é V = πr h cm 3. DENTRE TODOS OS CILINDROS DE ÁREA TOTAL S = π cm, obtenha as dimensões (r e h) daquele que tem o maior volume possível e forneça o maior volume que pode ser obtido. Questão 5: (5 pts) ESCOLHA UMA das funções abaixo e faça um estudo completo da função escolhida: pontos críticos, cresc./decresc., máximos ou mínimos, concavidade, assíntotas horizontais/verticais, etc. Utilize este estudo para fazer um esboço do gráfico da função escolhida. (a) f : IR IR dada por f(x) = x e x (b) g : IR {±} IR dada por g(x) = x 4 x

116 CAPÍTULO Coletânea de provas anteriores (3) Questão : (0 pts) a) Ao encomendar uma pizza gigante, com 50 cm de diâmetro, você recebe a oferta de pagar 0% a mais por um acréscimo de 3 cm no diâmetro. Sem calcular áreas, USE DIFERENCIAIS para responder, JUSTIFICANDO, se aceita ou não a oferta. (Sugestão: Calcule aproximadamente o aumento percentual na área devido ao acréscimo d = 3 cm) Para qual diâmetro (aproximadamente) essa oferta de 3cm a mais no diâmetro com um aumento de 0% no preço seria justa para ambas as partes (você e o vendedor)? b) Use diferenciais para aproximar 3 0, 065. Questão : (5 pts) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito pela equação s(t) = t e t (t medido em segundos, t 0, s = s(t) =posição ao longo de um eixo orientado, medida em metros). (a) Obtenha a velocidade média entre os instantes t = 0 e t =, a velocidade no instante t = e responda qual delas é a maior (mostre as contas). (b) O que ocorre com s(t) quando t +? (c) Qual a maior distância da posição inicial que é atingida pelo objeto? Questão 3: (0 pts) Uma escada de 4 m está apoiada numa parede vertical. Se a base da escada (apoiada no chão) é empurrada na direção da parede à razão (constante) de m/s, com que velocidade está variando a medida do ângulo (agudo) entre a escada e a parede vertical quando a base da escada está a m da parede? A velocidade de variação deste ângulo é constante? (Justifique) Questão 4: (0 pts) Quando duas resistências elétricas R e R são ligadas em paralelo, a resistência total R é dada por R = R + R. Se R > 0, R > 0 e R + R = 50 ohms, obtenha (JUSTIFICANDO) R e R tais que R seja máxima. (Sugestão: Exprima R como função de uma única variável para então resolver o problema) E se fossem pedidos R e R tais que R seja mínima? Justifique a resposta. Questão 5: (5 pts) ESCOLHA UMA das funções abaixo e faça um estudo completo da função escolhida: pontos críticos, cresc./decresc., máximos ou mínimos, concavidade, assíntotas horizontais/verticais, etc. Use o estudo para fazer um esboço do gráfico da função escolhida. (a) f : IR {} IR, f(x) = 3x ( x). (b) g : IR {0} IR, g(x) = x ln(x ).

117 Aplicações da Derivada 3 Coletânea de provas anteriores (4) Questão : (0 pts) a) Pretende-se construir uma ponte sobre um riacho. No ponto onde será constuída a ponte, o riacho tem 3 m de largura e as margens são desniveladas. Mede-se então o ângulo de inclinação que a ponte terá e obtem-se a medida de 30 o, com possibilidade de erro de o. Use diferenciais para obter uma aproximação do erro no cálculo do comprimento da ponte. b) Se ln 4, 3863, use diferenciais para aproximar ln(3, 99). Questão : (5 pts) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito pela equação s(t) = t ln( + t) (t medido em segundos, t 0, s = s(t) =posição ao longo de um eixo orientado, medida em metros). (a) Obtenha a velocidade média entre os instantes t = 0 e t = e3. (b) Obtenha a velocidade nos instantes t = 0 e t = e3. (c) Obtenha a aceleração no instante t = 0. (d) O que ocorre com a velocidade e com a aceleração quando t +? Questão 3: (0 pts) Dois ciclistas partem de um mesmo ponto às 8 horas da manhã, um viajando para leste, a 5 km/hora, e o outro para o sul, a 0 km/hora. (a) Como estará variando a distância entre eles quando for meio-dia? (b) Como estará variando a área do triângulo formado pelo ponto de partida e as posições dos ciclistas ao meio-dia? Questão 4: (0 pts) Um fazendeiro dispõe de km de cerca. Uma parte da cerca será utilizada para cercar uma área circular e o restante para cercar uma área quadrada. Ele também pode utilizar toda a cerca para cercar uma única área (circular ou quadrada). Como ele deve proceder para que: (a) A área total cercada seja a menor possível; (b) A área total cercada seja a maior possível. Questão 5: (5 pts) ESCOLHA UMA das funções abaixo e faça um estudo completo da função escolhida: pontos críticos, cresc./decresc., máximos ou mínimos, concavidade, assíntotas horizontais/verticais, etc. Use o estudo para fazer um esboço do gráfico da função escolhida. (a) f : IR {0} IR dada por f(x) = ex x 3 (b) g : IR IR dada por g(x) = 3 x

118 4 CAPÍTULO Coletânea de provas anteriores (5) Questão : (0 pts) a) Um empresário fabrica tanques com a forma de cones invertidos nos quais a altura é sempre igual ao diâmetro da base. Sem calcular volumes, USE DIFE- RENCIAIS para obter (JUSTIFICANDO) o aumento percentual aproximado na capacidade (volume) dos tanques se o raio da base é aumentado em 3, %. b) Se ln 8, 0794, use diferenciais para aproximar ln(8, ). Questão : (5 pts) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito pela equação s(t) = 3 e t (t medido em segundos, t 0, s = s(t) =posição ao longo de um eixo orientado, medida em metros). (a) Obtenha a velocidade média entre os instantes t = 0 e t =, a velocidade no instante t = e responda qual delas é a maior (mostre as contas). (b) O que ocorre com a velocidade instantânea v(t) quando t +? (c) O que ocorre com s(t) quando t +? Qual a maior distância da posição inicial que é atingida pelo objeto (se existir)? Questão 3: (0 pts) Um homem num cais está puxando um bote à razão de m/s por meio de uma corda (esta é a velocidade do bote). As mãos do homem estão a m acima do nível do ponto onde a corda está presa no bote. Com que velocidade varia a medida do ângulo de deflexão da corda (entre a corda e o movimento do bote) quando o bote está a 3 m de distância ( medidos na horizontal ) do homem? Questão 4: (0 pts) Obtenha o raio das bases e a altura do CILINDRO CIRCULAR RETO de VOLUME MÁXIMO que pode ser inscrito numa esfera de raio 3 m. Questão 5: (5 pts) Faça um estudo completo da função dada abaixo: pontos críticos, cresc./decresc., máximos ou mínimos, concavidade, assíntotas horizontais/verticais, etc. Utilize este estudo para fazer um esboço do gráfico da função. f : IR IR dada por f(x) = x + x x IR.

119 Aplicações da Derivada 5 Respostas de exercícios Página 69: ) a) Expressão 3, b) /48 = 93/48 c) / = 73/ 3 d) 0, e) 0, 04 0, 05 f) Expressão = 5 g) = 8, 976 ) ln(, 0) 0, 698 3) ctg 46 π 90 4) S(, 0) S() 8π 5 pés 5) θ ± 64 rad 6) V ±9π 50 cm3 7) l 0, 6 cm 8) h ± 4π 3 pols 9) R$9,0 0) Erro ±% em d Erro no cálculo de R 4% Página 76: ) V t = 78π 3 pés 3 /hora ; V (3) = 7π pés 3 /hora. ) P t = bpm/s ; P () = 7 bpm/s ; P (3) = bpm/s ; P (4) = 5 bpm/s. 3) I (0) = 0, u.i./pé 4) F (C) = 9 5 F/ C 5) V (s) = 4s 3 00s + 400s ; V (s) = s 400s ; V (5) = 700 cm 3 /cm é conveniente aumentar s quando s = 5; V (0) = 400 cm 3 /cm não é conveniente aumentar s quando s = 0. 6) (a) s(0) = ; v(t) = s (t) = 6t v(0) = ; a(t) = v (t) = 6 ; v(t) = 0 t = s() = ; v(5) = 8 ; s(5) = 6. (b) s() = s(4) = 5 ; v(t) = 4/t ; v() = 3 ; v(4) = 3/4 ; a(t) = 8/t 3 ; v(t) = 0 t = s() = 4. (c) s( ) = 0 ; s(3) = 5 ; v(t) = 6 3t ; v( ) = 6 ; v(3) = ; a(t) = 6t ; v(t) = 0 t = ± s( ) 8, 3, s( ) 9, 7. (d) s(0) = 0 ; s() o, 33 ; v(t) = e 3t > 0 ; v(0) = ; v() 0, 005 ; a(t) = 3e 3t.

120 6 CAPÍTULO (e) s(0) = s() = 3 ; v(t) = 3π sen (πt) ; v(0) = v() = 0 ; a(t) = 3π cos(πt) ; v() = 0 ; s() = 3. (f) s(0) = 0 ; s(4) 9, 5 ; v(t) = t 4 ; v(0) = 4 ; v(4) = 7, ; t + 4 a(t) = + ; v(t) = 0 t = s() = 4 ln. (t + ) 7) v(0) = 44 pés/s ; a(0) = 3 (pés/s)/s ; v(3) = 48 pés/s ; a(3) = 3 (pés/s)/s ; Em t = 3s, o objeto está a 88 pés de altura, subindo e perdendo velocidade ; Altura máxima: 34 pés (em t = 9/s) ; Atinge o solo em t = 9 segundos. Páginas 79-80: ) 9 5 m/s ) 4 m/s 3) 600π pol3 /min 4) Extremidade: 5 3 m/s ; Alonga: 3 m/s (menor). Outros inst.: mantêm velocidades 5) 5 pol 3 /min 6) 3 e u/s 7) 600 π Ω/s 8) 60 cm3 /min 9) + 6 m/s 4 0) 000π 7 pés/s ) π 3 0 pol /min ) 00 rad/hora = 5 6π rpm 3) - rad/s 4) 3 rad/s 5) 0, 778 rad/s 6) π cm/min, 6cm3 /min (escoando) Páginas 9-9: ) Aberta: b = pés, a = pé; Coberta: b = a = 3 4 pés ) h = 4a 3, r = a 3 3) Ângulo reto: d = 3 pols ; Ângulo π/3 : d = 4 pols 4) a = b = 50 cm 5) P (, ) 6) 500 unidades 7) t = 8/3 horas após 3:00 8) a 8 km de B, entre B e C 9) h = r = 4 cm 0) a,5m do solo π ) (a) Menor: 4 + π m para o círc. e 8 m para o quad.; (b) Maior: m para o círc. 4 + π ) a milhas de B, entre B e C 3) 37 árvores por are 5 4) Máxima em: s(π/) e s(3π/) ; Mínima em: s(0) e s(π)

121 Aplicações da Derivada 7 Página 0: Coletânea Questão ) (a) h(θ) = 7 sen θ km (b) h(π/3) 5 7 = 3, km 7 00 (c) h(θ + θ) h(θ) ± km (com θ = π/3, θ = ± 00 ) Questão ) (a) v m [0, ] = ( ln 3 ) m/s (b) v(0) = 3 4 m/s ; v() = m/s (c) v = 0 em t = 3 s : s(3) = ln m e a(3) = 6 (m/s)/s Questão 3) x(t) = dist. da base da escada à parede ; y(t) = dist. do topo até o chão (a) y = x y (b) quando x = 3 m : y = 3 4 m/s (c) quando θ = π/4 rad : y = m/s Questão 4) x = distância de onde vai desembarcar até B ( x [0, 7] ) 7 + x T = T (x) = tempo gasto para ir de A até C T (x) = + 7 x 4 Após testar os candidatos (x = 3, x = 0, x = 7), temos que x = 3 km minimiza T. Questão 5) (a) f(x) = x (x 4) Pontos críticos: x = 0 (f (0) = 0), x = 4 (não existe f (4) - descontinuidade); Decresc. em (, 0] e (4, + ). Cresc. em [0, 4). Mínimo em x = 0. Concav. para cima em (, + ). Para baixo em (, ). Inflexão em P (, f( )). Assíntota horizontal: y =, pois lim f(x) =. x ± Assíntota vertical: x = 4, pois lim x 4 f(x) = +. (b) g(x) = 3x e x. Ponto crítico: x = (g () = 0) ; Crescente em (, ]. Decresc. em [, + ). Máximo em x =. Concav. para baixo em (, ). Para cima em (, + ). Inflexão em P (, g()). Assíntota horizontal: y = 0, pois Não possui assíntotas verticais. lim g(x) = 0. x + lim g(x) = x

122 8 CAPÍTULO Página : Coletânea Questão ) (a) S(r + r) S(r) S (r) r = /5 cm (b) r = 0, 5 cm. Questão ) (a) v m [0, 3] = 0 ln 7 m/s (b) v(0) = 0 m/s ; v(3) = 0 0 ln 7 49 (c) v = 0 em t = e s (d) s(0) = 0 m, v(0) = 0 m/s (inicialmente) ; ( ) e s = 0 m (objeto parado) ; e lim s(t) = 0 (se aproxima da posição 0 qdo t + ). t + Questão 3) x(t) = dist. do carro a (perp. estrada) ; θ(t) = ângulo feixe-perpendicular Quando θ = π/3 rad : x = 90π km/h ; x não é constante ( x = 45π ) sec θ m/s Questão 4) h = 6 r r (relação entre h e r nos cilindros de área total π cm ) V = V (r) = π(6r r 3 ), 0 < r < 6 Ponto crítico: r =. Analisando o crescimento/decresc. do volume, temos que o volume é máximo quando r = e h = e temos V ( ) = 4π cm. Questão 5) (a) f(x) = x e x Pontos críticos: x = 0 (f (0) = 0), x = (f () = 0) ; Decresc. em (, 0] e [, + ). Cresc. em [0, ] ; Mínimo local em x = 0 e máximo local em x =. Concav. para cima em (, ) e ( +, + ). Para baixo em (, + ). Inflexão em P (, f( )) e Q( +, f( + )). Assíntota horizontal: y = 0, pois Não possui assíntotas verticais. lim f(x) = 0. x + lim f(x) = +. x (b) g(x) = x 4 x. Ponto crítico: x = 0 (g (0) = 0) ; Decrescente em (, ) e (, 0]. Cresc. em [0, ) e (, + ). Mínimo em x = 0. Concav. para baixo em (, ) e (, + ). Para cima em (, ). Assíntota horizontal: y =, pois Assíntotas verticais em x = ±, pois lim g(x) =. x ± lim g(x) =, lim x g(x) = +, etc. x +

123 Aplicações da Derivada 9 Página : Coletânea 3 Questão ) (a) Aceito a oferta, pois 3 cm a mais no diâmetro gera um aumento aproximado de % na área da pizza. d = 60 cm para que a oferta seja justa para ambos. (b) 3 0, Questão ) (a) v m [0, ] = 4 e m/s, v() = e m/s e v() > v m[0, ]. (b) lim s(t) = 0. t + (c) A maior distância é atingida em t = (justifique) e s() = 8 e m. Questão 3) A velocidade de variação do ângulo não é constante (depende de θ ) e temos 3 θ = rad/s quando x = m. 3 Questão 4) R é MÁXIMA quando R = 5 ohms e R = 5 ohms. R NÃO ASSUME MÍNIMO. Questão 5) (a) f(x) = 3x ( x) Ponto crítico: x = (f ( ) = 0) ; Cresc. em (, ] e (, + ). Decresc. em [, ) ; Máximo local em x =. Concav. para cima em (, ). Para baixo em (, ) e (, + ). Inflexão em P (, f( )). Assíntota horizontal: y = 0, pois lim f(x) = 0. x ± Assíntota vertical: x =, pois lim x f(x) =. (b) g(x) = x ln(x ) Pontos críticos: x = /e ou x = /e (onde g = 0 ); Crescente em (, /e] e [/e, + ). Decrescente em [ /e, 0) e (0, /e]. Máximo local em x = /e e mínimo em x = /e. Concavidade para baixo em (, 0) e para cima em (0, + ). Assíntotas horizontais: não possui ( lim g(x) = + e lim x + Assíntotas verticais: não possui ( lim x 0 g(x) = 0 ). g(x) = ). x

124 0 CAPÍTULO Página 3: Coletânea 4 Questão ) (a) l ± π/90 m. (b) ln(3, 99), Questão ) (a) v m [0, e3 (c) a(0) = 4 (m/s)/s. (d) lim v(t) = + e lim t + ] = 3 m/s (b) v(0) = 0 m/s ; v( e3 ) = 4e3 e 3 a(t) = 0. t + Questão 3) (a) d = 5 km/h ao meio-dia. (b) S = 00 km /h ao meio-dia. Questão 4) (a) A área total cercada é a menor possível quando y = π é o perímetro da área quadrada e x = π é o perímetro da área circular. 4 + π (b) A área total cercada é a maior possível quando toda a cerca é utilizada para cercar uma única área circular. Questão 5) (a) f(x) = ex x 3 Ponto crítico: x = 3 (f (3) = 0) ; Decresc. em (, 0) e (0, 3]. Crescente em [3, + ) ; Mínimo local em x = 3. Concavidade para baixo em (, 0) e para cima em ; (0, + ). m/s Assíntota horizontal: y = 0, pois lim f(x) = 0. x lim f(x) = +. x + Assíntota vertical: x = 0, pois lim x 0 x 0 f(x) = + e lim f(x) =. + (b) g(x) = 3 x Pontos críticos: x = 0 (g (0) = 0), x = ( g ( ) ) ou x = ( g () ). Decrescente em [0, + ) e crescente em (, 0]. Máximo em x = 0. Concavidade para baixo em (, ) e para cima em (, ) e (, + ). Inflexões em P (, 0) e Q(, 0). Assíntotas horizontais: não possui ( lim g(x) = ). x ± Assíntotas verticais: não possui (g é contínua em toda a reta).

125 Aplicações da Derivada Página 4: Coletânea 5 Questão ) (a) 0% (aumento percentual aproximado no volume) (b) ln(8, ), 099. Questão ) (a) v m [0, ] = e4 m/s e v() = e 4 e m/s. v m[0, ] < v(). (b) lim v(t) = 0. (c) lim s(t) = 3. A maior distância do objeto à posição inicial t + t + NÃO É ATINGIDA em momento algum, pois s(t) < 3 t e lim s(t) = 3. t + Questão 3) θ = 4 rad/s quando x = 3 m. Questão 4) h = 3 m e r = 6 m para que o volume do cilindro seja máximo. Questão 5) (a) f(x) = x + x Ponto crítico: x = 0 (f (0) = 0) ; Decrescente em (, 0] e crescente em [0, + ). Mínimo local (absoluto) em x = 0. Concavidade para baixo em (, 3/3) e ( 3/3, + ). Concavidade para cima em ( 3/3, 3/3). Inflexões em P ( 3/3, f( 3/3)) e Q( 3/3, f( 3/3)). Assíntota horizontal: y = pois lim f(x) =. x ± Assíntotas verticais: não possui (f é contínua em toda a reta).

126 CAPÍTULO

127 Capítulo 3 A Integral Definida 3. Motivação Consideremos o problema geométrico de obter área de figuras não tão regulares como os polígonos da geometria clássica, por exemplo. Vamos considerar inicialmente o seguinte caso: Seja f : [a, b] IR uma função contínua, com f(x) 0 para todo x [a, b]. Vamos tentar obter a área S da região delimitada pelas retas x = a e x = b, pelo eixo das abscissas e pelo gráfico de f: Uma primeira estimativa (e bem grosseira ) : Se m é o valor mínimo absoluto de f em [a, b] e M é o valor máximo absoluto de f em [a, b], temos: 3

128 4 CAPÍTULO 3 Refinando nossas estimativas: Fixemos n IN. Vamos agora subdividir nosso intervalo [a, b] em n sub-intervalos de (b a) comprimento x = cada um. n Para cada i =,,..., n, sejam m i e M i o mínimo e o máximo absoluto de f no i-ésimo intervalo. Temos então: É claro que m(b a) m x m n x } {{ } S M x M n x } {{ } n m i x n M i x i= i= M(b a) (Soma inferior) (Soma superior) Quanto maior o nosso número n de divisões, melhores são as aproximações de S POR n n FALTA, dadas por m i x, ou POR EXCESSO, dadas por M i x. i= i= IDÉIA: fazer n (ou seja, x = b a n 0 ) A expectativa é que lim x 0 n m i x = S = i= lim x 0 n M i x i=

129 A Integral Definida 5 Exemplo: Vamos calcular a área sob a curva f(x) = x + entre x = 0 e x = 3 :

130 6 CAPÍTULO 3 3. Somas de Riemann e a definição da Integral Definida Iniciamos com a definição de partição de um intervalo: Definição 3.. Uma PARTIÇÃO P de um intervalo fechado [a, b] é qualquer decomposição de [a, b] em intervalos [x 0, x ], [x, x ], [x, x 3 ],..., [x n, x n ] com n IN e a = x 0 < x < x <... < x n < x n = b x i = x i x i é o comprimento do i-ésimo intervalo [x i, x i ] (i =,,..., n). A NORMA da partição P é o maior dos números x, x,..., x n, indicado por P. Vamos agora generalizar FORTEMENTE as idéias anteriores (repare que não pedimos mais que a função seja contínua, ou que ela seja positiva e vamos tomar uma espécie de média entre as soma inferior e a soma superior) : Definição 3.. (Somas de Riemann) Sejam f : [a, b] IR uma função e P uma partição de [a, b]. Uma SOMA DE RIEMANN de f em relação a P é qualquer soma R(f; P ) da forma: R(f; P ) = n i= f(w i ) x i = f(w ) x + f(w ) x f(w n ) x n com w i [x i, x i ] para todo i =,,..., n.

131 A Integral Definida 7 Definição 3.3. (Integral Definida) Uma função f : [a, b] IR é dita INTEGRÁVEL NO INTERVALO [a, b] quando existe o limite lim P 0 i f(w i ) x i Isto significa que quando fazemos as normas das partições tenderem a 0, as Somas de Riemann correspondentes se aproximam tanto quanto quisermos de um número real bem determinado (o limite acima). Este limite, quando existe, é denotado por b a f(x) dx e chamado a INTEGRAL DEFINIDA DE f, DE a ATÉ b. Observações: (A) Se c < d então definimos: (B) a a f(x) dx = 0. c f(x) dx = d d c f(x) dx (quando existir). (C) Mais à frente em nossos estudos, será de FUNDAMENTAL IMPORTÂNCIA desenvolvermos um sistema qua nos permita CALCULAR as integrais de uma maneira mais simples, direta e precisa, evitando assim aproximações tão trabalhosas como a do exemplo anterior. Teorema 3.. Se f : [a, b] IR é contínua, então f é integrável em [a, b]. Obs.: Funções descontínuas podem ser integráveis (veremos mais tarde). Apesar disso, estudaremos prioritariamente o cálculo de integrais definidas de funções contínuas nos intervalos [a, b] de integração. 3.3 Propriedades da Integral Definida Se f é integrável em [a, b] e k IR (constante), então k f é integrável em [a, b] e temos: b k f(x) dx = k b a a f(x) dx Se f e g são integráveis em [a, b] então f + g é integrável em [a, b] e temos: b [f(x) + g(x)] dx = b f(x) dx + b a a a g(x) dx

132 8 CAPÍTULO 3 Se f é integrável em um intervalo fechado contendo a, b e c, então: b f(x) dx = c f(x) dx + b a a c Se f é integrável em [a, b] e f(x) 0 x [a, b] então b a f(x) dx 0 f(x) dx Conseqüencia: Se f e g são integráveis em [a, b] e f(x) g(x) x [a, b] então b f(x) dx b a a g(x) dx Se f (limitada) é integrável em [a, b] então f é integrável em [a, b] e temos: b a b f(x) dx f(x) dx Destacamos uma última propriedade sob a forma de um importante Teorema: Teorema 3.. (Teorema do Valor Médio para Integrais) Se f é contínua em um intervalo [a, b], então existe um número z no intervalo aberto (a, b) tal que b a f(x) dx = f(z) (b a) a

133 A Integral Definida O Teorema Fundamental do Cálculo Primitivas (Antiderivadas): Definição 3.4. Dada uma função f, uma função F é chamada uma PRIMITIVA (ou ANTI- DERIVADA) DE f EM X quando F (x) = f(x) x X. Exemplos: (A) f : IR IR dada por f(x) = x. Obs.: Se F e F são duas primitivas para f EM UM INTERVALO, então F F é constante NESTE INTERVALO. (B) g : IR IR dada por g(x) = x.

134 30 CAPÍTULO 3 (C) h : IR IR dada por h(x) = x n (n =,, 3,...). (D) f : IR IR dada por f(x) = e x. (E) g : (0, + ) IR dada por g(x) = x. Exercício: Mostre que G(x) = ln x é primitiva de g(x) = /x em IR {0}. (F) h : (0, + ) IR dada por h(x) = ln x. (G) f : IR IR dada por f(x) = sen x. (H) g : IR IR dada por g(x) = cos x. (I) h : IR IR dada por h(x) = + x. (J) f : IR IR dada por f(x) = cos 5x. (K) g : IR {0} IR dada por g(x) = x 3x + x sen x. (L) h : IR IR dada por h(x) = e 5x 3 cos 3x.

135 A Integral Definida 3 O Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) : Teorema 3.3. (Teorema Fundamental do Cálculo - TFC) Seja f contínua no intervalo [a, b]. PARTE I: Se a função G : [a, b] IR é definida por G(s) = então G é uma primitiva de f em [a, b]. s a f(x) dx PARTE II: Se F é uma primitiva de f em [a, b], então b a f(x) dx = F (b) F (a) Observações: De agora em diante, vamos adotar a seguinte notação: F (x) ] b a = F (b) F (a) O TFC é o principal resultado do nosso curso, pois constitui-se em uma ponte que liga fortemente os dois assuntos estudados: derivadas e integrais. Sua segunda parte é a FERRAMENTA que nos ajudará a calcular as integrais definidas de uma maneira mais objetiva. Por exemplo: 3 0 x + dx Demonstração do TFC:

136 3 CAPÍTULO 3

137 A Integral Definida 33 Exemplos: (A) (B) x 3 5 dx x dx (C) (D) 3 e x dx t dt (E) 3 x 3 4x + 5 x dx (F) π 0 sen x dx (G) x dx (H) π 0 sen x dx (I) π/3 π/4 + sen x cos x dx (J) 5 x dx (K) 0 5 x dx (L) e 3x dx

138 34 CAPÍTULO Integrais Indefinidas O Teorema Fundamental do Cálculo relaciona o cálculo de integrais definidas com a busca de primitivas (antiderivadas) de uma função dada. Vamos aproveitar essa relação para definir, de modo natural, uma nova primitivas: f(x) dx = F (x) + C quando F (x) = f(x) NOTAÇÃO para f(x) dx é chamada INTEGRAL INDEFINIDA DE f(x) e representa a primitiva (antiderivada) mais geral de f. Exemplos: (A) 3x dx = 3x + C (B) (C) x dx = x + C sen x dx = cos x + C (D) x dx = ln x + C, x 0 Observações: NÃO CONFUNDA: A integral INDEFINIDA de f(x) = F (x) é uma função: f(x) dx = F (x) + C. A integral DEFINIDA de f(x) = F (x) de a até b é um número: b a f(x) dx = F (b) F (a). Se F (x) = f(x) em [a, b] temos: b a f(x) dx = F (b) F (a) = f(x) dx ] b a D x ( ) f(x) dx = f(x) e D x [F (x)] dx = F (x) + C.

139 A Integral Definida Mudança de variável na integração Teorema 3.4. (Mudança de variável) Se f é contínua em I ( intervalo) g ( [a, b] ) e g é contínua em [a, b], temos: b a f(g(x)) g (x) dx = g(b) g(a) f(u) du onde u = g(x) Observações: Este resultado é aplicável quando queremos integrar uma função que é a composta de uma função f com uma g, multiplicada (a menos de uma constante) pela derivada de g. Sua utilização está ligada à nossa habilidade em reconhecer essa situação! A notação dx que aparece nas integrais f(x) dx é justificada quando utilizamos este Teorema no seu formato mais prático. Este resultado tem um análogo para cálculo de integrais indefinidas.

140 36 CAPÍTULO 3 Exemplos: (A) 0 (x 4 ) 3 x 3 dx (B) 0 x (x 3 ) dx (C) 4 x e x dx

141 A Integral Definida 37 (D) e x + e x dx (E) / 0 x x 4 dx (F) tg x dx (G) e x ( + cos e x ) dx (H) (I) 0 x 4 x dx e /x dx x

142 38 CAPÍTULO 3 Exercícios: A) Interpretando a integral definida como área sob o gráfico de uma função, determine diretamente quais devem ser os valores das integrais definidas abaixo, sem utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) ou a própria definição de integral (dada por limite de somas de Riemann): (x + 6) dx x dx Faça também um esboço gráfico de cada caso. Obs.: Pode (e deve) considerar que a área de um círculo de raio r é πr. B) Pense na área sob o gráfico da curva y = x, entre x = e x = 4 (faça um esboço), ou seja, 4 x dx. Não temos mais figuras tão regulares como no exercício anterior! Calcule essa área de duas maneiras distintas: (i) No braço : dividindo o intervalo em n partes iguais e usando retângulos inscritos ou circunscritos para aproximar a área e depois fazendo n ; (ii) Via TFC ; Que tal? C) Mostre que a área sob a curva y = x entre x = e x = e (faça um esboço) é igual a (u.a.). D) Calcule a área sob o gráfico de f(x) = x (x + ) entre x = e x =. E) Usando uma propriedade da integral definida e SEM CALCULAR as integrais, mostre que 0 x 3 dx 0 x dx e x 3 dx x dx Ilustre com um esboço e por último confirme as desigualdades acima calculando as integrais. F) OBTENHA (SEM DERIVAR a integral indefinida) sec x dx = ln sec x + tg x + C [ ] sec x + tg x Sugestão: sec x dx = sec x dx e aplique uma mudança de variáveis. sec x + tg x G) Mostre (de alguma forma) que temos sen x cos x dx = sen x + C e que, por outro lado, também temos sen x cos x dx = cos x + D. Explique como isto não representa incoerência alguma.

143 A Integral Definida 39 H) Uma função f : [ a, a] IR é dita PAR quando f( x) = f(x) x [ a, a]. Exemplos: cos nx (n = 0,,,...), 3x 6 + x 5, + x, e x, etc.... ÍMPAR quando f( x) = f(x) x [ a, a]. Exemplos: sen nx (n =,,...), x 3 x + x, + x, e x sen x, etc. Alguma observações e propriedades interessantes: () O produto/quociente de duas funções pares (ou duas ímpares) é uma função PAR; () O produto/quociente de uma função par por uma função ímpar (ou vice-versa) é uma função ÍMPAR; (3) O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo Oy das ordenadas (ilustre); (4) O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem O(0, 0) (ilustre); (5) É óbvio que existem funções que não são pares nem são ímpares: ex, x + x, etc. (6) Toda função f : [ a, a] IR pode ser escrita como a soma de uma função par com uma função ímpar (tente provar). Consideremos agora f : [ a, a] IR, contínua (portanto integrável). a Mostre que se f é ÍMPAR, então f(x) dx = 0. a Mostre que se f é PAR, então a f(x) dx = a a 0 f(x) dx. em Sugestão: Em cada caso, separe em duas integrais, faça a mudança de variáveis y = x 0 a f(x) dx e aplique propriedades da integral definida. Ilustre geometricamente os resultados obtidos, relacionando-os com as propriedades (3) e (4) acima. Calcule: π/ π/ sen x cos x dx ; x 3 dx ; e x dx ; 3 3 x 5 4x dx ; π/4 π/4 sen x cos 4 x dx ;

144 40 CAPÍTULO 3 I) Calcule: ) 5) 9) 3) 3 / / (5 + x 6x ) dx ) dx 6) x (3x + ) 4 dx 0) dx 4) 4 + 9x r + 7 dr 3) ( x + ) e x dx 7) + ex t 5 + t 3 dt ) 6x5 dx 5) (e x + e 3x ) 5 x dx 4) e 5x dx 8) 3 x ctg x 3 csc x 3 dx ) 3 x dx 6) sec 5x dx e 4x dx ln x x dx (4t+)(4t +t 7) dt π/4 7) xe x dx 8) dx 9) sen (3 5x) dx 0) tg x sec x dx x log 0 x 0 sec x sen x ) e x dx ) dx 3) x csc (3x +4) dx 4) e x x x + cos x dx e x 6 e x 5) dx 6) x 4 dx 7) (e x + ) dx 8) cos x 3 e x 9 sen x dx x x ( + ln x) 3 9) dx 30) dx 3) dx 3) dx cos x x 4 + x + x 4x + 9 x z 33) D z (x +) 0 x + x 5 dx 34) dx 35) x 3 s + x dx 36) ds 0 (4 3x x 3 ) 4 5 s sen x 4 x 37) dx 38) dx 39) ctg 6x sen 6x dx 40) sec x x( + x) x + 9 dx 4) 45) 49) 53) 57) 6) 5 4 x 3 dx 4) e x e x π/ dx 43) e x + e x sec(/x) x dx 44) π π/6 0 sen x cos x dx (x + e 5x cos x x e x ) dx 46) dx 47) dx 48) 0 + sen x 0 x + cos e dx x x sen x tg x dx 50) 4u 5 +6u 4 du 5) sen xe cos x+ 5x 7 dx 5) dx x 3 sen 4x 3 (csc x) ctg x dx 54) dx 55) (+e 3x x 3 4x + 5 ) dx 56) dx tg 4x x sec x tg x dx 58) x x3 dx 59) dx 60) x( x + ) 3 + sec x x ln x dx x( x ) 3 dx 6) 3 x x dx 63) (t ) 3 t dt 64) e x tg e x dx

145 A Integral Definida 4 65) 69) 73) dx 66) x(ln x) 0 3x dx 67) x 4 dx 70) 3t( t + 3) dt 36 x 9 4x dx 74) 0 x 9 4x dx x tg x dx 68) 75) 7) e x x dx 7) sen x + 3 cos x dx π/3 e x 5 dx 76) tg x sec x dx π/3 ctg x dx 77) x e x dx 78) dx 79) e x+3 dx 80) sec x( + tg x) dx x + 0 (e x + ) π/ cos x 8 3 8) (x 3)(5x + ) dx 8) dx 83) dx 84) s + ds 0 e x π/6 sen x 8 e x x + sen x 85) dv 86) dx 87) dx 88) 0 (3 v) e x + x + cos x + dx tg e 3x 0 x 89) x + 0 x dx 90) dx 9) dx 9) x x x 4 e 3x 0 x dx x 0 sen x + 93) dx 94) (t 4 t )(0t 3 5t) dt 95) (y+y ) dy 96) cos x x + 7 dx 97) D x (3x 5 7x 4 +x 8) dx 98) 5 x e x sec x x dx 99) dx 00) tg x + 3x 6x + dx 4 0) (+cos x) sen x dx 0) (x+csc 8x) dx 03) 3 5t + dt 04) x + 6 dx 05) 09) x + x 3 + 3x dx 06) x ctg x dx 0) 3 x π/4 3x + 4 dx 07) x + x + dx ) 0 (+sec x) dx 08) e cos x csc x dx ) 0 / 3 x x 6 4 dx x x dx

146 4 CAPÍTULO 3 Respostas de exercícios Página 37: G) e x + sen e x + C H) 3 ln 4 I) e /x + C Páginas 38-4: A) 3 B) (i) (x+6) dx = 5 (área de um triângulo) n i= ( + 3i ) 3 n n n (ii) x dx = 9π 4 x dx = x3 3 ] 4 = 64 3 (/4 de círculo) = C) e x dx = ln x ] e = ln e ln = D) x (x + ) dx = 3 0 E) Se x [0, ] então x 3 x F) Se x [, ] então x 3 x sec x dx = sec x 0 [ ] sec x + tg x sec x + tg x x 3 dx x 3 dx 0 x dx x dx sec x + sec x tg x dx = sec x + tg x dx = u du =... (Mudança de variável: u = sec x + tg x ) G) d ( ) dx sen x + C = sen x cos x = sen x cos x ( d ) dx cos x + D = cos x ( sen x) = sen x cos x Não há incoerência alguma, pois funções deste tipo diferem por uma constante: ( ) ( sen x + C ) cos x + D = ( sen x + cos x ) + C D = + C D H) π/ π/ sen x cos x dx = 0 x 3 dx = x 3 dx = x 3 dx = 0 0 e x dx = 0 e x dx = (e ) 3 3 x 5 4x dx = 0 π/4 π/4 sen x cos 4 x dx = 0

147 A Integral Definida 43 I) ) 85 ) ) x x + x ln ln + C 4) 6) arc tg e arc tg 7) e x + x e x + C 8) e8 4e 9) ) 3 csc x3 + C ) 5) 3 ( ) 9) 8 cos(3 5x) 5 (ln x) 6) (4t + t 7) C 0) + D 3) 6 arc tg ( 3x ) tg 5x 5 + D 5) π 3 (3x + )5 5 + E 4) D 0) 0 (zero) + C 7) ex + D 8) ln 0 ln log 0 x + E ) arc cos e x + D ) tg x + E 3) 6 ctg (3x + 4) + C 4) ln x + cos x + D 5) 53 + E 6) e x + 7) ( sen x ) e x + C 8) arc sen + D 9) ln sec x + tg x + E 3 30) 34) 39) (x + ) + C 3) ln x 4x + 9 ( + ln x) 4 + D 3) + E 33) (z + ) 0 4 8(4 3x x 3 ) + C 35) 0 (zero) 36) 37) sen 3 x + D 38) arc tg x + E 3 3 sen 6x 6 44) 8 49) + C 40) 4) 37 45) x + e5x 5 + C 46) π 4 sen x ln sec x + tg x +C 50) ) ctg x ln + C 58) 4) ln e x + e x + D 43) ln sec(/x) + tg (/x) + E 47) 6 3 sen 4x 54) + D 55) x e 3x 0 + E 56) ) ln sec e x + tg e x + D 5) e cos x+ +D 5) x +x 4 ln x 3 +E 57) 5 36 x3 3 ln + C 59) arc tg (sec x) + D 60) ln ln x + E 6) ( x ) 4 + F 6 6) 7 63) 0 (zero) 64) ln cos e x + C 65) ln x + D 66) 0 3x 3 ln 0 + E 67) 0 (zero) 68) 3 ln + 3 cos x + C 69) 36 x + D 70) 8( + 3 ) 7) e x + C 7) sen x ln sec x + tg x + D 73) ( ) x arc sen + E 3 74) 4 9 4x + C 75) 5 arc sec ( e x 5 ) + D 76) 0 (zero) 77) xe+ e + + E

148 44 CAPÍTULO 3 78) ln ln x + +C 79) e5 e 3 83) ln( 3 ) 3 84) ) 85) 3 ( + tg x)3 3 +D 8) ) ln(e x +)+C 87) x 88) arc tg (cos x)+c 89) arc sec(x )+D 90) ln cos e 3x 3 9) 5 93) ln sec x + tg x 9 cos x + C 94) 5(t4 t ) 4 8) e x +x e x +E x+ ln x + +D +E 9) ln 0x 0 x +F ln 0 + D 95) y3 3 + y y + E 96) ln 3 97) 3x 5 7x 4 + x 8 + C 98) 5 x e x + ln 5 + D 99) ln tg x + + E 00) 6 ln 3x 6x + +C 0) cos x cos3 x +D 0) x ) 3 0 (5t + )4/3 + C 04) π 6 05) ln 7 ln 3 06) 3x D ln 3 ln csc 8x ctg 8x +E 07) π ln(3 + ) 08) π 09) 6 ln sen x + C 0) x + + D ) e cos x + C ) ( ) x 3 6 arc sec + D

149 Capítulo 4 Técnicas de integração 4. Integração por partes Aplicável quando temos produtos de funções bem conhecidas : Teorema 4.. Sejam f e g funções com derivadas contínuas em [a, b]. Temos: b a f(x).g (x) dx = f(x).g(x) ] b a b a f (x).g(x) dx Demonstração: Para todo x [a, b], temos (da Regra do Produto para derivadas): (f.g) (x) = f (x).g(x) + f(x).g (x) Isto significa que f.g é uma primitiva para f.g + f.g em [a, b]. Segue portanto do TFC (Parte II) que b a [f (x).g(x) + f(x).g (x)] dx = f(x).g(x) ] b a Das propriedades da integral, temos: b [f (x).g(x) + f(x).g (x)] dx = b a a f (x).g(x) dx + b a f(x).g (x) dx Portanto: b a f(x).g (x) dx = f(x).g(x) ] b a b a f (x).g(x) dx 45

150 46 CAPÍTULO 4 Observações: ) De um modo prático, fazemos u = f(x) e dv = g (x) dx e usamos: u dv = u.v v du ( ) dv dx = g (x) v = g(x) ) O mesmo processo também funciona para integrais indefinidas. Exemplos: (A) 0 x.e x dx (B) ln x dx (C) x.e x dx

151 Técnicas de integração 47 (D) π 0 e x. sen x dx (E) sec 3 x dx (F) (G) (H) π/4 π/6 0 x. sec x dx x 3.e x dx e 4x. sen 5x dx (I) (J) π/ 0 x. sen x dx x. x dx (K) (L) π 0 sen x dx (Sugestão: faça antes a mudança de variável z = x ) (x + ) 0.(x + ) dx

152 48 CAPÍTULO 4 4. Algumas integrais trigonométricas Integrais imediatas: sen u du = cos u + C cos u du = sen u + C sec u du = tg u + C csc u du = ctg u+c sec u. tg u du = sec u+c csc u. ctg u du = csc u+c tg u du = ln cos u + C ctg u du = ln sen u + C sec u du = ln sec u + tg u + C csc u du = ln csc u ctg u + C (A) Potências ímpares de sen ou cos : - Isolamos um fator, que fica então multiplicado por uma potência PAR; - Usando a relação sen + cos =, desenvolvemos a potência par em função do outro tipo de função trigonométrica; - Aplicamos uma mudança de variável (imediata). Exemplos: cos 3 x dx sen 5 x dx cos 5 3x dx sen 3 x dx

153 Técnicas de integração 49 (B) Potências pares de sen ou cos : - Utilizamos as fórmulas sen x = cos x ou cos x = + cos x para simplificar. Exemplos: sen 4 x dx cos x dx cos 6 x dx (C) Integrais da forma sen m x. cos n x dx : - Utilizamos as (duas) técnicas anteriores para resolver o problema. Exemplos: sen 3 x. cos 4 x dx sen x. cos x dx cos 4 x. sen x dx

154 50 CAPÍTULO 4 (D) Integrais das formas: sen mx. cos nx dx, cos mx. cos nx dx, sen mx. sen nx dx - Utilizamos as conhecidas (?) fórmulas de transformação de produtos em somas: sen a. cos b = cos a. cos b =? sen a. sen b =? sen (a + b) + sen (a b) (Exercício) (Exercício) Exemplos: sen 3x. cos x dx sen 5x. sen 3x dx cos x. cos 3x dx (E) Integrais da forma tg m x. sec n x dx : - n par: tg m x. sec n x = tg m x. sec n x. sec x, sec = + tg em sec n x e a mudança de variável u = tg x ; - m ímpar: tg m x. sec n x = tg m x. sec n x. sec x. tg x, sec = + tg em tg m x e a mudança de variável u = sec x ; - m par e n ímpar: Tentar outras coisas, como integração por partes, etc. - Obs.: Tratamento análogo para integrais da forma ctg m x. csc n x dx. Exemplos: tg 3 x. sec 3 x dx sec 4 x dx tg 3 x. sec 4 x dx ctg 3 x. csc 3 x dx tg 4 x dx

155 Técnicas de integração 5 Algumas integrais trigonométricas para exercitar: sen x cos 3 x dx tg 5 x. sec x dx 0 ( πx ) tg 4 dx ( tg x + ctg x) dx sen 5x. sen 3x dx tg x sec x dx π/4 0 sen 3 x dx sec x ( + tg x) dx sec x ctg 5 x dx sen 4 x. cos x dx tg 6 x dx sen 5 x. cos x dx 4.3 Substituições trigonométricas Aplicáveis sobretudo a integrais envolvendo expressões como a x, a + x, x a (a > 0) Expressão envolvida Substituição Variação de θ ( ) Lembrete trigonométrica a x x = a. sen θ π/ θ π/ cos = sen a + x x = a. tg θ π/ < θ < π/ sec = + tg x a x = a. sec θ θ [0, π/) [π, 3π/) tg = sec ( ) Se a expressão envolvida está no denominador de um quociente, devemos evitar divisão por 0.

156 5 CAPÍTULO 4 Exemplos: (A) x 4 x dx (B) 9 + x dx

157 Técnicas de integração 53 (C) x x dx Observações: ) Podem surgir situações com a x, a + x, x a nas quais outras técnicas sejam mais diretas. Exemplo: Calcule x + x dx (Sugestão: Faça a mudança u = + x ) ) Esta técnica de substituição trigonométrica também é usada em situações nas quais aparecem a x, a + x ou x a. Exemplo: Calcule dx (Sugestão: x = tg θ ) (x + ) Exercício: Calcule x dx 4 x x 9 + x dx x + x dx x 4 x 4 dx

158 54 CAPÍTULO Integrais de funções racionais (Frações Parciais) Caso (A): Integrais da forma A dx (m =,, 3,...) (px + q) m - Basta fazer a mudança de variável u = px+q e resolver a integral mais simples resultante. Exemplos: 3 (x + 5) dx x 4 dx Obs.: Nestas integrais, estamos sempre considerando valores de x tais que as funções estejam bem definidas (denominadores não-nulos, logarítmos de números positivos, etc.) Caso (B): Integrais da forma Ax + B (ax + bx + c) n dx (n IN), com ax + bx + c irredutível, ou seja, sem raízes reais ( = b 4ac < 0) - Completar quadrados no denominador e obter Ax + B K ((αx + β) + γ) dx, γ > 0 n - Fazer a mudança de variável u = αx + β e cair numa integral da forma A u + B (u + γ) n du, γ > 0, a qual pode ser resolvida com técnicas anteriores.

159 Técnicas de integração 55 Exemplo: x + 5 x + 6x + 3 dx Obs.: Se n pode ser necessária uma substituição trigonométrica para resolver A u + B (u + γ) n du Ex.: (4x 4x + ) dx Caso (C): (Frações parciais) Integrais da forma f e g polinômios tais que grau (f) < grau (g) f(x) g(x) dx, sendo - Fatorando o denominador g(x), obtemos sua decomposição como produto de fatores dos tipos px + q e/ou ax + bx + c (irredutíveis). Qualquer polinômio pode ser decomposto desta forma. - Agrupam-se os fatores repetidos, obtendo-se assim uma decomposição em fatores dos tipos (px + q) m e/ou (ax + bx + c) n. - A cada fator do tipo (px + q) m, m, corresponderá uma soma de m FRAÇÕES PARCIAIS da forma: A px + q + A (px + q) A m (px + q) m

160 56 CAPÍTULO 4 - A cada fator do tipo (ax + bx + c) n, n, = b 4ac < 0, corresponderá uma soma de n FRAÇÕES PARCIAIS da forma: A x + B ax + bx + c + A x + B (ax + b + c) A nx + B n (ax + bx + c) n - Desta forma, podemos decompor o quociente f(x)/g(x) numa soma de frações parciais típicas dos casos (A) e (B) vistos anteriormente e podemos então resolver as integrais resultantes. Exemplos: (A) 6x 9 x dx (B) x + x + (x + 3)(x + ) dx (C) 5x 3 3x + 7x 3 (x + ) dx

161 Técnicas de integração 57 Caso (D): Integrais da forma tais que grau (f) grau (g) f(x) g(x) dx, sendo f e g polinômios - Decompor f da seguinte forma: f(x) = h(x).g(x) + r(x), com grau (r) < grau (g). (esta decomposição é obtida dividindo f por g: r é o resto) - Temos então f(x) h(x).g(x) + r(x) = = h(x) + r(x) g(x) g(x) g(x) r(x) h(x) é polinômio (fácil de integrar) e dx é o caso (C), pois grau (r) < grau (g). g(x) Exemplos: (A) x 3 + 3x x x dx (B) x 5 (x + 4) dx (C) x 6 x 3 + dx x 4 + x

162 58 CAPÍTULO 4 Exercício: Calcule 5x x(x 4) dx x x + 4 x 3 4x dx 9x 4 + 7x 3 + 3x 8x + 3 x 5 + 3x 4 dx x 4 + x + 4x + (x + ) 3 dx x 3 + 0x (x + ) dx x 3 6x + 5x 3 x dx 4.5 Integrais impróprias Até agora temos calculado integrais definidas de funções contínuas em intervalos limitados. Veremos a seguir duas situações extraordinárias, as quais caracterizam as chamadas INTE- GRAIS IMPRÓPRIAS. a Situação: Integrais com limites de integração INFINITOS: Seja f uma função contínua em [a, + ). Definimos + a f(x) dx = lim t + t a f(x) dx (desde que exista o limite) Se f é contínua em (, a]. Definimos a f(x) dx = lim t a t f(x) dx (desde que exista o limite) Em cada um dos casos acima, as expressões à esquerda são chamadas INTEGRAIS IMPRÓPRIAS. Quando os limites existem, dizemos que as integrais CONVERGEM. Caso contrário, dizemos que elas DIVERGEM. Exemplos: (A) + x dx

163 Técnicas de integração 59 (B) + x dx (C) 0 e x dx Se f é contínua em toda a reta, definimos: + f(x) dx = a f(x) dx + a + f(x) dx (a IR) dizemos que esta integral imprópria CONVERGE quando ambas as integrais à direita convergem. Caso contrário (ou seja, se qualquer uma divergir), diremos que DIVERGE. Obs.: A verificação da convergência ou não de escolhido. CUIDADO: Exemplos: + f(x) dx não é o mesmo que + + f(x) dx f(x) dx não depende do número a t lim f(x) dx!!! t + t (A) + + x dx

164 60 CAPÍTULO 4 (B) + e x dx Exercício: Verifique a convergência das seguintes integrais impróprias: + dx x4/3 0 (x ) 3 dx + 0 x + x dx + x x dx + 0 x.e x dx + ln x x dx a Situação: b a f(x) dx, f com descontinuidade infinita em [a, b] : Se f é contínua em [a, b) e se torna infinita em b, definimos b a f(x) dx = lim t b t a f(x) dx Se f é contínua em (a, b] e se torna infinita em a, definimos b a f(x) dx = lim t a + b t f(x) dx Em cada um destes casos, as expressões à esquerda também são INTEGRAIS IMPRÓPRIAS. Dizemos que elas CONVERGEM quando os limites existem. VERGEM. Caso contrário elas DI- Exemplos: (A) 0 x dx

165 Técnicas de integração 6 (B) 0 x dx (C) 0 3 x dx (D) 0 ln x dx (Exercício) Se f é contínua em [a, b] {c}, c (a, b), definimos b f(x) dx = c f(x) dx + b a a c f(x) dx Esta integral, também IMPRÓPRIA, CONVERGE quando ambas as integrais à direita convergem. Caso contrário (ou seja, se qualquer uma divergir), diremos que DIVERGE. b a f(x) dx Obs.: CUIDADO! Não saia aplicando diretamente o TFC se houver descontinuidade no (interior do) intervalo de integração! Exemplos: (A) (x + ) 3 dx

166 6 CAPÍTULO 4 (B) x /3 dx (Exercício) Exercício: Verifique a convergência (e calcule o valor, quando convergir) das seguintes integrais impróprias: x dx 3 x dx π/ 0 sec x dx 0 x. ln x dx x 4/3 dx 0 e x x dx x x dx π 0 cos x sen x dx 4 x x 5x + 4 dx Exercício: Calcule: ) x sen x dx ) sec 6 x 4 x dx 3) x x 3 + 6x 5x + dx 4) dx 9 + x x 3 x + x + x 5) dx 6) dx 7) dx 8) x e 3x dx x + x3 x3/4 0 (x ) 9 9) tg x sec 5 x x dx 0) 3 dx ) e x 5x 0x 8 e x dx ) dx 0 x x 3 4x + 3) x sec x tg x dx 4) x 3 dx 5) cos x dx 6) x(ln x) dx x 5 7) cos 7 x dx 8) e +ln 5x x 3 π/ dx 9) dx 0) tg x dx 6 x x 5x + x + 7 e 3x ) ln x dx ) dx 3) dx 4) x 3 + 5x + 4x ex + 5) dx 6) cos 3 x sen ln x x dx 7) dx 8) e x sen x dx 3 x 0 x e tg x 4x 3 3x + 6x 7 9 9) dx 30) dx 3) csc 4 x ctg 4 x dx 3) cos x x 4 + 9x 0 x 33) dx 34) tg x sec x dx 35) (ln x) dx 36) 5 9x x x + 9 dx + x 37) e x dx 38) e x sec (e x + 3x + + ) dx 39) dx 40) 0 x 4 + 5x x x dx e 4) sen x cos 5 x dx 4) arc tg x dx 43) (x + ) cos x dx 44) 0 /e x (6 x ) dx x dx x(ln x) dx

167 Técnicas de integração 63 45) 49) 53) 57) 6) sen 3 x cos x dx 46) x arc sen x dx 47) x dx 48) x 5 x 3 + dx 5x 6 cos 0 3x x dx 50) dx 5) x e 4x 3 x 37x 34 dx 5) dx x 3x + (x 6)(x ) dx 54) dx 55) sen x cos x dx 56) e 3x cos x dx e x + e x (x + ) 3 + 4x dx 58) (x + ) 3 x 3 x 3 3x + 9x 7 4x 5 dx dx 6) 59) sen (ln x) dx 63) cos 3 x sen x dx 60) + 0 x ln x(ln x ) dx cos x dx 64) 3 x 6x + 8 dx x 3 65) x + 3x + 3x + 63 x 3 π dx 66) dx 67) x (x 9) 0 x + dx 68) x sen x dx π x + 3 π/ x 69) dx 70) dx 7) dx 7) (x ) 3/ x cos x 0 x + 3x + dx 73) (+ 4 x cos x ) sen x dx 74) tg 3 x sec x dx 75) x arc tg x dx 76) dx π ) cos 3 x x dx 78) dx 79) ctg 37 x (3x) dx 80) 0 + x (x + )(x )(x 3) dx (x 8) x(x+3) 99 ) 4 π/4 dx 8) dx 83) dx 84) sec x tg x dx x 0 x x π/4 x 4 + x + 3 x 85) dx 86) x (8 x 3 ) / x dx 87) dx 88) arc sen x dx x 3 4x x 4 x 9 + x 89) ln( + x) dx 90) dx 9) 4x dx 9) csc(3x ) ( + x ) dx 93) 97) 0) 05) 09) x 3 + dx 94) dx 95) sen x ln(cos x) dx 96) e 3 x dx x(x ) 3 (x 7) 5 dx 98) e x x 5 x 3 + dx 99) dx 00) x ln x dx (x + ) 5/4 0 x 3 + x (4 + x ) 0 cos x cos 5x dx 0) dx 03) xe x dx 04) x 3 π/4 0 + xe x dx 06) tg 4x cos 4x dx 0) 4 x sen x dx 07) 0 dx ) (4 x) 3/ 0 x 3 e x dx 08) x e x dx + e4x sen x0 cos x dx 4x 3 + x 5x 8 (x 4)(x + ) 3 dx

168 64 CAPÍTULO 4 Respostas de exercícios Página 47: E) sec x tg x + ln sec x + tg x H) 4 sen 5xe4x 5 cos 5xe 4x 4 + C F) π 4 π e 6 (ln ln 3) G) e + C I) π 4 J) (x ln )x (ln ) + D K) π L) (x + 3)(x + ) 3 + C Página 48: sen 5 x dx = cos x + cos3 x cos5 x 3 5 cos 5 3x dx = sen 3x 3 sen 3 3x 9 sen 3 cos x x dx = + cos3 x + C 6 Página 49: cos x dx = x + sen 4x 8 + C + C + sen 5 3x 5 + C cos 6 x dx = 5x sen x 3 sen 4x + + sen 3 x + C sen x cos x dx = x sen 4x + C cos 4 x sen x dx = x Página 50: sen 3x sen 5x dx = sen x 4 sec 4 x dx = tg x + tg 3 x 3 ctg 3 x csc 3 x dx = csc3 x 3 tg 4 x dx = x tg x + tg 3 x 3 sen 8x + C 6 + C csc5 x 5 + C + C cos x cos 3x dx = tg 3 x sec 4 x dx = tg 4 x 4 sen 4x 64 + tg 6 x 6 sen 5x 0 + D + sen 3 x 48 + sen x + D + D

169 Técnicas de integração 65 Página 5: sen x cos 3 x dx = sen 3 x tg 5 x sec x dx = sec5 x 5 3 sec3 x 3 sen 7 x 7 ( tg x + ctg x) dx = tg x ctg x + C tg x sec x dx = sen x + C sec x ( + tg x) dx = + tg x + D sen 4 x cos x dx = x 6 sen 5 x cos x dx = cos3 x 3 sen 4x 64 tg 6 x dx = x + tg x tg 3 x 3 + C + sec x + C π/4 0 sen x 48 + cos5 x 5 + tg 5 x 5 0 ( πx ) tg 4 sen 5x sen 3x dx = sen 3 x dx = 8 5 dx = 4 π π sen x 4 sen 8x 6 sec x ctg 5 x dx = sec5 x sec3 x + sec x + C C cos7 x 7 + C + D + D Página 53: x ( x ) dx = arc sen x 4 x + C 4 x x + dx = ln x x x x + + C x 4 x 4 dx = (x + ) x 4 + D 4x 3 x 9 + x dx = (9 + x ) D Página 58: 5x x(x 4) dx = 3 ln x + ln x 4 + C x x ln x 4 dx = x 3 4x 4 + ln x 4 + x + C 9x 4 + 7x 3 + 3x 8x + 3 x 5 + 3x 4 dx = 4 ln x ln x x + 3 x 3x 3 + C

170 66 CAPÍTULO 4 x 4 + x + 4x + dx = arc tg x (x + ) 3 (x + ) + C x 3 + 0x (x + ) dx = ln(x + ) 4 x + + C x 3 6x + 5x 3 x dx = x 6x + 5 ln x + 3 ln x + C Página 60: + dx = 3 x (converge) 4/3 0 (x ) 3 dx = (converge) + 0 x dx diverge + x + x x dx = 0 (converge) + 0 xe x dx = (converge) + ln x x dx diverge Páginas 6-6: 6-D) 6-B) 0 ln x dx = x /3 dx = 6 (converge) (converge) Página 6: x dx = 6 (converge) 3 x dx diverge π/ 0 sec x dx diverge 0 x. ln x dx = 4 (converge) x 4/3 dx diverge 0 e x x dx = (e ) (converge) x x dx diverge π 0 cos x sen x dx = 0 (converge) 4 x x 5x + 4 dx diverge

171 Técnicas de integração 67 Páginas 6-63: ) sen x x cos x + C ) tg x + tg 3 x 3 4) x + 3 ln(x + ) 8) x e 3x 3 xe3x 9 + tg 5 x 5 + ln x + C 5) ln(x + ) + D 3) 3 ln 9 + x 3 x + E + ln x + D 6) diverge 7) diverge + e3x 7 + C 9) sec5 x + D 0) (converge) ) ( ex ) 3/ + E 3 ) ln x + 4 ln x + ln x + C 3) x sec x ln sec x + tg x + D 4) ( ( x ) arc sec + 5 x 5 )+C 5) diverge 6) (x ln x) x ln x + x +D 50 5 x 4 7) sen x sen 3 x + 3 sen 5 x 5 0) diverge ) 3) ( + ex ) 6) sen 3 x 6 30) ln x 3 sen 7 x 7 (6 ln x 4)x3/ 9 + C 8) 5ex ( + e x ) + ln( + e x ) + C 4) sen 5 x x + 5 ln(x + 9) 3 + D 9) (x + 3) 6 x 3 + E + C ) ln(x + 4) + ( x ) arc tg + 3 ln x D ln + D 5) (6 x ) (converge) + C 7) diverge 8) e x ( sen x + cos x) + C 3) ctg 5 x 5 ctg 7 x 7 + D 9) e tg x + E + D 3) 6 (converge) 33) ln 5 9x sec x tg x ln sec x + tg x + C 34) + D 37) 8 (converge) 35) x(ln x) x + 9 x ln x + x + C 36) + D 38) tg (e x ) + E 40) (converge) 9x 39) [ ( ) x + ( x ) ] ln + arc tg + C 4) sen 3 x sen 5 x + sen 7 x + D x ) x arc tg x ln( + x ) 45) cos5 x 5 cos3 x 3 + C 46) + C 43) (x ) sen x + x cos x + D 44) diverge ( ) x arc sen x + x x + D 50) ln (converge) ) 4 arc sec ( 5x 4 )+C 48) (x3 + ) 5/ 5 (x3 + ) 3/ +D 49) ( x sen x+cos x)+e 9 5) ( 8x 4x ) 3 e 4x + C 5) 3x + x 0 ln x ln x + D

172 68 CAPÍTULO 4 53) π cos 3x (converge) 54) diverge 55) cos x 6 ln x + 4x 5 57) + C 58) + D 59) sen x (x + ) 60) ln ln x + C 6) x + 3 ln(x + 9) 3 ( x 4 arc tg 3 6) 66) x( sen (ln x) cos(ln x)) 5 ln x ) ln(x + 4) + 3 arc tg ( x ( ) x 3 + C 64) arc tg 3 + C 56) e3x (3 cos x + sen x) 3 ( sen x)5/ 5 + E + D ) 3 ln x D 63) diverge + D 65) π 3 (converge) 67) 3 3 ln x (x + 3) 6 (x 3) + C 68) 0 (zero) 69) x x + D ) + C 7) diverge 7) ln 3 3 ln 74) tg 4 x 4 4(cos x)3/ 73) cos x cos x + C 75) ( (x + ) arc tg x x ) + D 77) x ( x ) ctg 3x 76) arc sen + C 78) diverge 79) x + D 83) diverge x 3 80) ln (x + ) 4 (x 3) (00x 3)(x + 3)00 (x ) 5 + C 8) + D 8) x x + ln x + E 84) 0 (zero) 85) x 3 ln x ln x ) ln x 7 x + C 88) x arc sen x + x + D 89) ln 9) 9 4 arc sen ( x 3 ) + x 9 4x + D + C 86) (8 x3 ) 3 8 x 3 + D 4 ( ) 4 90) cos(3x ) e 6 + C 9) (converge) 93) ln (x ) x + E x (x ) + D 94) 4(x 7) + C 95) cos x cos x ln(cos x) + D 96) (e3 ) ) diverge 98) 99) ln x 4 3 ln x + + C 00) x3 (3 ln x ) + D 0) x 4 9 0) 8 x + 8 ln x + x + C 03) (converge) 04) arc tg (ex ) + D 05) 0 (zero) 06) 0 (zero) 07) e e ) ln [(x 4) (x + ) ] 08) 0cos x ln 0 + C 3 (x + ) + C cos 4x 09) + D 0) diverge 4

173 Capítulo 5 Aplicações geométricas da Integral Definida 5. Áreas de regiões planas É a aplicação mais direta (imediata), pois está diretamente relacionada com a própria definição da integral definida: Problema: Seja f : [a, b] IR contínua, com f(x) 0 x [a, b]. Como calcular a área sob o gráfico de f, entre x = a e x = b? Solução: (Recordando...) Iniciamos fazendo uma aproximação através das Somas de Riemann. Fazemos uma partição P do intervalo [a, b], dividindo-o em vários intervalos [x 0, x ], [x, x ],..., [x n, x n ] 69

174 70 CAPÍTULO 5 x i é o comprimento de cada intervalo [x i, x i ] e P = max i x i. Tomamos então um ponto w i em cada intervalo [x i, x i ] e consideramos (em cada intervalo) o retângulo de base x i e altura f(w i ), de área f(w i ). x i. A soma das áreas desses retângulos é uma Soma de Riemann de f com relação a P. n R(f; P ) = f(w i ). x i representa uma aproximação da área A que desejamos calcular. i= A área A é o limite das Somas de Riemann quando refinamos a partição P, ou seja, tomamos mais divisões ainda, de modo que P 0. A = lim P 0 n f(w i ). x i = b i= a f(x) dx Exemplos: (A) Vamos obter a área de um círculo de raio r :

175 Aplicações geométricas da Integral Definida 7 Obs.: Se f, g : [a, b] IR são contínuas e f(x) g(x) x [a, b], a integral nos permite calcular a ÁREA ENTRE OS DOIS GRÁFICOS, de x = a até x = b : A = b a [f(x) g(x)] dx (mesmo que f ou g sejam negativas, o que importa é que f(x) g(x) em [a, b]) (B) Calcule a área delimitada pelos gráficos das funções f(x) = x e g(x) = x entre x = 0 e x = : Obs.: Raciocínio semelhante pode ser feito para se obter áreas delimitadas por gráficos de equações onde x é dado como função de y ( x = f(y) ).

176 7 CAPÍTULO 5 (C) Calcule a área delimitada pela curva x = y + 3y e o eixo Oy das ordenadas. (D) Refaça o exemplo (B) anterior usando o raciocínio da última observação. (Exercício) Exercícios: ) Se f(x) = x x 4, calcule a área sob o gráfico de f entre x = 0 e x =. (x 4) ) Se g(x) = 3x x IR, calcule a área sob o gráfico de g entre x = 0 e x =. ex 3) Qual o valor de a (a > ) para que a região sob o gráfico de y = /x entre x = e x = a tenha área igual a 5 u.a.? 4) Mostre que, para qualquer a >, a área sob a curva y = /x entre x = e x = a é sempre menor do que u.a. 5) Faça um esboço e calcule as áreas das regiões delimitadas pelos gráficos das seguintes equações: (a) y = /x, y = x, x =, x = ; (b) y = x + ; y = 5 ; (c) x = y ; x = y 4 ; (d) y = cos x ; y = sen x ; x = π/ ; x = π/6 ; (e) y = e x ; y = x x + ; x = 0 ; x = ; (f) y = x + x ; x = ; y = 0 ; 4 6) Prove que as curvas de equações y = x e x = y dividem o quadrado de vértices (0, 0), (, 0), (0, ) e (, ) em 3 regiões de mesma área. Faça também um esboço.

177 Aplicações geométricas da Integral Definida Volumes de (alguns) sólidos de revolução Problema: Seja f : [a, b] IR contínua ( f(x) 0 x [a, b] ). Como calcular o volume do sólido de revolução gerado quando rodamos a região sob o gráfico de y = f(x), entre x = a, x = b e o eixo Ox, em torno do eixo Ox? Solução: Iniciamos (novamente) com uma partição P do intervalo [a, b] Em cada intervalo [x i, x i ] da partição, escolhemos um ponto w i e consideramos o retângulo de base x i e altura f(w i ). Girando este retângulo (de base x i cilindro de volume π.f(w i ). x i : e altura f(w i ) ) em torno do eixo Ox, obtemos um Somando os volumes desses cilindros, temos uma aproximação para o volume que desejamos calcular.

178 74 CAPÍTULO 5 n π.f(w i ). x i = R(πf ; P ) i= O volume V procurado é o limite desta soma quando P 0, ou seja, quando refinamos a partição P : V = lim P 0 n πf(w i ) x i = = b a πf(x) dx Obs.: Raciocínio análogo para girar x = f(y) em torno do eixo Oy! Exemplos: (A) Vamos obter o volume da bola de raio r : Obs.: Se f, g : [a, b] IR são contínuas e f(x) g(x) 0 x [a, b], a integral nos permite calcular o volume do sólido obtido quando giramos a região entre os gráficos de f e g em torno do eixo Ox : V = b a π[f(x) g(x) ] dx

179 Aplicações geométricas da Integral Definida 75 (B) Calcule o volume do sólido de revolução obtido quando giramos a região entre os gráficos de f(x) = x e g(x) = x (entre x = 0 e x = ) em torno do exo Ox. Obs.: E se quisermos girar y = f(x) em torno do eixo Oy? Neste caso temos um novo problema... Problema: Seja f : [a, b] IR contínua ( f(x) 0 x [a, b] ). Como calcular o volume do sólido de revolução gerado quando rodamos a região sob o gráfico de y = f(x), entre x = a, x = b e o eixo Ox, em torno do eixo Oy? Solução: (Método das cascas cilíndricas) Consideremos, como sempre, uma partição P do intervalo [a, b]. Em cada intervalo [x i, x i ] da partição, fixemos seu ponto médio d i retângulo de base x i e altura f(d i ). e consideramos o

180 76 CAPÍTULO 5 Girando este retângulo (de base x i CASCA CILÍNDRICA e altura f(d i ) ) em torno do eixo Oy, obtemos uma de volume πx i f(d i ) πx i f(d i ) = π(x i x i ) (x i + x i ) f(d i ) = π x i x i + x i = π d i f(d i ) x i f(d i ) = Somando os volumes dessas cascas cilíndricas, temos uma Soma de Riemann da função g(x) = πx.f(x), a qual representa uma aproximação para o volume que desejamos calcular. n π d i f(d i ) x i = R(πxf(x); P ) i= O volume V procurado é o limite desta soma quando refinamos a partição P, de modo que P 0 : V = lim P 0 n π d i f(d i ) x i = = b a πxf(x) dx Exemplo: Calculemos o volume do sólido obtido quando giramos a região delimitada pelo gráfico de y = f(x) =, x =, x = e o eixo Ox, em torno do eixo Oy : x

181 Aplicações geométricas da Integral Definida 77 Exercícios: ) Utilize a integral definida para deduzir (faça um esboço) a fórmula do volume de um cone circular reto com raio da base r e altura h. ) Giramos em torno do eixo Ox a região delimitada por y = sec x ; x = π/3 ; x = π/3 ; y = 0. Faça um esboço e calcule o volume do sólido de revolução obtido. 3) Giramos em torno do eixo Ox a região delimitada por y = x ; x = ; x = 4 ; y = 0. Faça um esboço e calcule o volume do sólido de revolução obtido. 4) Seja R a região delimitada por y = (x )(4 x) ; x = ; x = 3 ; y = 0. Faça um esboço e calcule o volume do sólido de revolução obtido quando......giramos R em torno do eixo Ox;...giramos R em torno do eixo Oy; 5) Giramos em torno do eixo Oy a região do plano delimitada por y = ln x ; y = 0 ; x = e. Faça um esboço e calcule o volume do sólido de revolução obtido. 6) Fazemos girar em torno do eixo Ox a região do plano delimitada por y = tg x ; y = 0 ; x = π/6 ; x = π/4. Faça um esboço e calcule o volume do sólido de revolução obtido. 7) Seja S a região delimitada por y = sen x ; x = 0 ; x = π ; y = 0. Faça um esboço e calcule o volume do sólido de revolução obtido quando......giramos S em torno do eixo Ox;...giramos S em torno do eixo Oy; 8) Fazemos girar em torno do eixo Ox a região do plano delimitada por y = + x ; y = 0 ; x = 0 ; x =. Faça um esboço e calcule o volume do sólido de revolução obtido. 9) Giramos em torno do eixo Oy a região do plano delimitada por y = e x ; y = 0 ; x = 0 ; x =. Faça um esboço e calcule o volume do sólido de revolução obtido.

182 78 CAPÍTULO 5 Coletânea de provas anteriores () Questão : (45 pts) Calcule as seguintes integrais definidas: (a) 0 (3x + )e x dx (b) e /e ln x cos(ln x) x dx (c) π/3 π/6 tg θ cos θ dθ (d) 0 x 4 4x 3 x + 3x 7 x 3 x + x dx (a) Questão : (5 pts) Calcule as seguintes integrais indefinidas: x 3 dx (b) 9 x sen 3θ sen θ dθ Questão 3: (5 pts) Verifique (mostre as contas) se as integrais impróprias abaixo convergem ou não e obtenha os valores das que convergirem: (a) (b) + 0 ln x x dx x(x + ) dx Questão 4: (5 pts) Considere a região R delimitada por y = x, x = e y = 0. (a) Faça um esboço da região R e calcule a sua área; (b) Faça um esboço e calcule o volume do sólido de revolução S x obtido quando giramos a região R em torno do eixo Ox ; (c) Faça um esboço e calcule o volume do sólido de revolução S y obtido quando giramos a região R em torno do eixo Oy ; (d) Responda: Qual dos dois sólidos de revolução (S x ou S y ) tem o maior volume?

183 Aplicações geométricas da Integral Definida 79 Coletânea de provas anteriores () Questão : (48 pts) Calcule as seguintes integrais definidas: (a) π/ 0 +ln(x+π sen x+) 4 e π dx (b) π/4 π/6 tg θ sen θ dθ (c) (5+π) ( x 5) sen ( x 5) (5 π) x dx (d) 0 x 5 + 3x 4 + x 3 + x + x x 4 + x 3 + x + x + dx (Obs.: x 4 +x 3 +x +x+ = (x+) (x +) ) (a) Questão : (0 pts) Calcule as seguintes integrais indefinidas: dx (b) (4 x ) 3/ ( cos θ ) cos 5θ dθ Questão 3: (6 pts) Verifique (mostre as contas) se as integrais impróprias abaixo convergem ou não e obtenha os valores das que convergirem: (a) 3 ln(3 x) dx (b) + 0 e r r dr y = 0. Questão 4: (6 pts) Considere a região R delimitada por y = x, x =, x = e (a) Faça um esboço da região R e calcule a sua área; (b) Faça um esboço e calcule o volume do sólido de revolução S x obtido quando giramos a região R em torno do eixo Ox ; (c) Faça um esboço e calcule o volume do sólido de revolução S y obtido quando giramos a região R em torno do eixo Oy ; (d) Responda (mostre as contas): Qual destes sólidos de revolução (S x ou S y ) tem o maior volume?

184 80 CAPÍTULO 5 Coletânea de provas anteriores (3) Questão : (48 pts) Calcule as seguintes integrais definidas: (a) 0 [ cos(πx) 3x e (x )] dx (b) 4 e ( x +) dx (c) π/3 π/4 ( + tg θ) dθ (d) 0 x 4 x 3 + 3x + 3 x 3 + x x + dx (Obs.: x3 + x x + = x ( x + ) + ( x + ) =... ) (a) Questão : (0 pts) Calcule as seguintes integrais indefinidas: 9 dx (b) (x 9) 3/ sen θ sen θ cos θ dθ Questão 3: (6 pts) Verifique (mostre as contas) se as integrais impróprias abaixo convergem ou não e obtenha os valores das que convergirem: (a) 0 ln x x 3 dx (b) + e dx x(ln x) 3/ Questão 4: (6 pts) Considere a região R delimitada por y = cos x, x = 0, x = π y = 0. e (a) Faça um esboço da região R e calcule a sua área; (b) Faça um esboço e calcule o volume do sólido de revolução S x obtido quando giramos a região R em torno do eixo Ox ; (c) Faça um esboço e calcule o volume do sólido de revolução S y obtido quando giramos a região R em torno do eixo Oy ; (d) Responda (mostre as contas): Qual destes sólidos de revolução (S x ou S y ) tem o maior volume?

185 Aplicações geométricas da Integral Definida 8 Coletânea de provas anteriores (4) Questão : (48 pts) Calcule as seguintes integrais definidas: (a) /e (3 x + x ) dx (b) π/3 π/6 sen θ cos θ dθ (c) (x3 ) 6 x dx (d) 3x 5 + x 4 + 8x 3 3x + x + 3 x 3 + 4x + 3x dx (Obs.: x 3 +4x +3x = x(x +4x+3) =... ) (a) Questão : (0 pts) Calcule as seguintes integrais indefinidas: ( sen θ) cos 4θ dθ (b) x + (x + ) 3 dx Questão 3: (6 pts) Verifique (mostre as contas) se as integrais impróprias abaixo convergem ou não e obtenha os valores das que convergirem: (a) (b) + 0 π 0 tg ( sen t) e st dt (s > 0, constante) ( ) θ dθ y = 0. Questão 4: (6 pts) Considere a região R delimitada por y = ln x, x =, x = e e (a) Faça um esboço da região R e calcule a sua área; (b) Faça um esboço e calcule o volume do sólido de revolução S x obtido quando giramos a região R em torno do eixo Ox ; (c) Faça um esboço e calcule o volume do sólido de revolução S y obtido quando giramos a região R em torno do eixo Oy ; (d) Responda (mostre as contas): Qual destes sólidos de revolução (S x ou S y ) tem o maior volume?

186 8 CAPÍTULO 5 Coletânea de provas anteriores (5) Questão : (48 pts) Calcule as seguintes integrais definidas: (a) ( (x+) ) dx x (b) π/6 π/4 cos θ + tg θ tg θ dθ (c) 3 x 5 + x 4 + 4x 3 + 5x 3 x 4 + 3x dx (d) e x 3 ln x dx (a) Questão : (0 pts) Calcule as seguintes integrais indefinidas: cos θ sen 3 3θ dθ (b) dx ( x ) 5/ Questão 3: (6 pts) Verifique (mostre as contas) se as integrais impróprias abaixo convergem ou não e obtenha os valores das que convergirem: + (a) 0 t e st dt (s > 0, constante) (b) x 3 x dx Questão 4: (6 pts) Considere o retângulo R delimitado pelas retas x = 0, x =, y = 0, y = e. (a) A curva y = e x divide R em duas regiões R e R, sendo R adjacente ao eixo Ox e R adjacente ao eixo Oy. Faça um esboço com essas três regiões. (b) Qual das regiões ( R ou R ) tem a maior área? (mostre as contas) (c) Obtenha o volume do sólido S obtido quando giramos a região R em torno do eixo Ox. Faça um esboço. (d) Obtenha o volume do sólido S obtido quando giramos a região R em torno do eixo Oy. Faça um esboço. (e) Responda (mostre as contas): Qual destes sólidos de revolução (S ou S ) tem o maior volume?

187 Aplicações geométricas da Integral Definida 83 Respostas de exercícios Página 7: ) 6 ln ) 3e 9 e 3) a = e 5 4) a x dx = a < ( ) a > 0 5) a) 7 6 b) 3 3 c) 3 3 d) e) e ln f) π 8 6) A área de cada região é de 3 u.a. Página 77: ) V = πr h 3 4) V 0x = u.v. ) V = π 3 3) V = π ln (3 + 4 ln )π 7, V 0y = 0 ln π 3 ( ) e + 5) V 0y = π 6) V 0x = ( 4 3 π)π 8) V 0x = π ( arc tg + ) 5 7) V 0x = π, V 0y = π 9) (e )π e Página 78: Coletânea Questão ) a) 4e 7 b) 0 (zero) c) 4 3 d) + 3π 4 Questão ) a) (9 x ) 3/ 3 9(9 x ) / + C b) cos 5θ 0 cos 3θ 3 + cos θ + D Questão 3) a) (converge) b) diverge Questão 4) a) A R = 3 u.a. b) V S x = 4π 5 u.v. c) V S y = π u.v. d) Adivinhe! Página 79: Coletânea Questão ) a) e (π + 6) b) ln 3 Questão ) a) x 4 4 x + C b) sen 7θ + 4 c) π d) π 4 sen 3θ 6 + D

188 84 CAPÍTULO 5 Questão 3) a) (converge) b) (converge) Questão 4) a) A R = 4( ) 3 u.a. b) V Sx = 6π u.v. c) V Sy = 8π(4 ) 5 u.v. d) V Sy > V Sx Página 80: Coletânea 3 Questão ) a) e + 8e e x Questão ) a) x 9 + C b) e 3 c) 3 + ln d) 7 ln b) cos5 θ 5 Questão 3) a) diverge b) (converge) cos3 θ 3 Questão 4) a) A R = u.a. b) V Sx = π 4 u.v. c) V S y = π π u.v. d) V Sy > V Sx Página 8: Coletânea 4 Questão ) a) e4 + 4e 3 b) e 3 Questão ) a) sen 6θ + sen θ 4 + D b) c) D x 3 + 3x (x + ) 3/ + C d) + 3 ln + ln 3 ln 5 Questão 3) a) (converge) b) diverge + s ( ) e + Questão 4) a) A R = u.a. b) V Sx = π(e ) u.v. c) V Sy = π u.v. d) V Sy > V Sx Página 8: Coletânea 5 Questão ) a) Questão ) a) Questão 3) a) 3 + ln b) ln ln + 8 sen θ sen 8θ 6 sen 4θ 8 c) ln 3 3 ln + π D b) s 3 (converge) b) 3 8 (converge) Questão 4) b) A R < A R c) V S = π(e4 ) u.v. e) V S > V S 3x x 3 3( x ) 3/ + C d) V S = π(e ) u.v. d) 3e4 + 6

189 Referências [] Swokowski, Earl W., Cálculo com geometria analítica, vol.. Makron Books. [] Leithold, Louis, Cálculo com geometria analítica. Makron Books. [3] Simmons, George F., Cálculo com geometria analítica. Makron Books. [4] Munem, Mustafa e Foulis, David J., Cálculo. Editora Guanabara Dois. [5] Guidorizzi, Hamilton Luiz, Um curso de cálculo, vol.. Editora LTC. 85