Notas de aulas. André Arbex Hallack

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1 Cálculo I Notas de aulas André Arbex Hallack Setembro/2009

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3 Índice 1 Números reais Números reais Relação de ordem em IR Valor absoluto Exercícios Funções Definição e elementos básicos Construção de funções a partir de outras Exercícios Inversão de funções Funções exponenciais e logarítmicas Funções trigonométricas Exercícios Limite de uma função e Continuidade Motivação Limites Teoremas para (ajudar no) cálculo de limites Exercícios Continuidade Exercícios i

4 4 Derivada A definição da Derivada Derivadas e continuidade Exercícios Regras de derivação Derivação implícita Exercícios Aplicações da Derivada Acréscimos e diferenciais A Derivada como razão de variação Taxas relacionadas Alguns resultados importantes Concavidade e pontos de inflexão Aplicações em problemas de máximos e/ou mínimos Aplicações em esboços de gráficos Apêndice A : Limites no infinito Apêndice B : Limites infinitos Apêndice C : Formas indeterminadas e a Regra de L Hopital Apêndice D: Aproximações via Polinômios de Taylor Referências 147

5 Capítulo 1 Números reais 1.1 Números reais Ao longo deste curso iremos trabalhar sobretudo com o conjunto IR dos números reais, os quais identificamos geometricamente com os pontos de uma reta (orientada), a reta real : Vejamos agora alguns conjuntos de números reais nessa identificação: IN = { 1, 2, 3,... } (números naturais) IR Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } (números inteiros) IR Q = { p/q ; p, q Z, q 0 } (números racionais) IR Temos ainda números reais que não são racionais. São os chamados números irracionais. Alguns exemplos: (A) Consideremos um triângulo retângulo cujos catetos medem 1: Do Teorema de Pitágoras, temos a 2 = b 2 + c 2 = 2. Portanto a = 2 (e 2 não é racional). 1

6 2 CAPÍTULO 1 (B) Outro número irracional famoso: FATO: A razão entre o comprimento e o diâmetro de qualquer circunferência é constante. Essa razão é um número chamado π. Assim, se C é qualquer circunferência, l o seu comprimento e r seu raio, temos: π é um número irracional ( π 3, ) l 2r = π Obs.: Existem muito mais números irracionais do que racionais! Operações básicas em IR Existem em IR duas operações básicas: ADIÇÃO: a IR, b IR a + b IR (soma) MULTIPLICAÇÃO: a IR, b IR a b IR (produto) Essas operações possuem as seguintes propriedades: COMUTATIVIDADE: a + b = b + a a b = b a quaisquer que sejam a, b IR. ASSOCIATIVIDADE: a + (b + c) = (a + b) + c a (b c) = (a b) c quaisquer que sejam a, b e c IR. EXISTÊNCIA DE ELEMENTOS NEUTROS: a + 0 = a a 1 = a para todo a IR. EXISTÊNCIA DE INVERSOS: Todo a IR possui um INVERSO ADITIVO ( a) IR tal que a + ( a) = 0. Todo a 0 em IR possui um INVERSO MULTIPLICATIVO a 1 IR tal que a a 1 = 1. DISTRIBUTIVIDADE: a (b + c) = (a b) + (a c) para todos a, b e c IR.

7 Números reais 3 Obs.: O número 0 é o único elemento neutro para a adição e o número 1 é o único elemento neutro para a multiplicação. Conseqüências: (das propriedades) 1) Duas novas operações: Subtração: Dados a, b IR, definimos: a b = a + ( b) ; a Divisão: Dados a, b IR, com b 0, definimos: = a b 1. b 2) a 0 = 0 para todo a IR. 3) Se a b = 0, então a = 0 ou b = 0. 4) Cada a IR possui um único inverso aditivo a IR. Cada a 0 em IR possui um único inverso multiplicativo a 1 IR. 5) a = ( 1) a para todo a IR. 6) a 1 = 1 a para todo a 0 em IR. 7) Para todos a, b IR, temos: a ( b) = ( a) b = (a b) e ( a) ( b) = a b. 8) Se a 2 = b 2 então a = ±b. Exercício: Tente provar as consequências de 2) a 8) acima. 1.2 Relação de ordem em IR Podemos decompor a reta IR como uma união disjunta IR = IR + IR { 0} : IR + IR é o conjunto dos números reais POSITIVOS; é o conjunto dos números reais NEGATIVOS. De modo que: Dado a IR, ocorre uma, e apenas uma, das seguintes alternativas: ou a IR + ou a = 0 ou a IR

8 4 CAPÍTULO 1 a IR + a IR ; A soma de dois números positivos é um número positivo. O produto de dois números positivos é um número positivo. Exercício: Prove que: a) A soma de dois números negativos é um número negativo; b) O produto de dois números negativos é um número positivo; c) O produto de um número positivo por um número negativo é um número negativo. Dados números reais a e b, escrevemos a a ) e dizemos que a é menor do que b (ou b é maior do que a ) quando b a IR +, ou seja, b a é um número positivo: Obs.: Escrevemos a b e dizemos que a é menor ou igual a b quando a 0. 2) Se a b. 4) Se a 0 a c b c 6) Se a 0 então 1 a > 0. 9) Se 0 < a < b então 0 < 1 b < 1 a.

9 Números reais 5 Intervalos: Dados números reais a < b, definimos: (a, b) = { x IR ; a < x a } [a, + ) = { x IR ; x a } (, b) = { x IR ; x < b } (, b] = { x IR ; x b } (, + ) = IR Atenção: + e não são números reais! São apenas símbolos! Exemplo: Encontre os números reais que satisfaçam as desigualdades abaixo e faça a representação gráfica na reta real: (a) 2 + 3x < 5x + 8 (b) 4 < 3x 2 10

10 6 CAPÍTULO 1 (c) 7 x > 2, x 0 (d) x x 3 < 4, x 3 (e) (x + 1)(x + 5) > 0 Conjuntos limitados: Um subconjunto X IR é dito LIMITADO quando existem números reais a e b tais que, para todo x X tem-se a x b. Isto significa que X [a, b], com a, b IR. Um conjunto é dito ILIMITADO quando ele não é limitado. (Exemplos) Observações: (A) Todo conjunto finito é limitado. (B) CUIDADO! NÃO CONFUNDA ILIMITADO COM INFINITO! Podemos ter conjuntos infinitos que sejam limitados.

11 Números reais 7 (C) FATO: O conjunto IN = { 1, 2, 3, 4,...} dos números naturais NÃO É limitado. Conseqüências importantes deste fato: (C.1) Propriedade arquimediana: Dados números reais a e b, com a > 0, é possível obter um número natural n IN tal que n a > b. (C.2) Densidade dos racionais: Dados dois números reais a e b quaisquer, com a < b, é possível obter um número RACIONAL r = p/q Q (p, q Z, q 0) tal que a < r < b (por menor que seja a distância entre a e b ). A densidade dos racionais nos permite concluir que, dado qualquer número real x (mesmo irracional), é possível obter uma seqüência de números RACIONAIS que se aproximam de x tanto quanto quisermos!!! Exemplos: 1) π = 3, , 1 = , 14 = , 141 = , 1415 = π 2) Tome um número racional r 1 > 0 e considere: r 2 = 1 ) (r 1 + 3r1 Q 2 (r 2 > 0, r2 2 > 3 ) r 3 = 1 ) (r 2 + 3r2 Q 2 (r 2 r 3 > 0, r3 2 > 3 ) r 4 = 1 ) (r 3 + 3r3 Q 2 (r 2 r 3 r 4 > 0, r4 2 > 3 ). r n+1 = 1 2 ) (r n + 3rn Q (r n r n+1 > 0, rn+1 2 > 3 ). Esta seqüência de racionais (r 1, r 2, r 3,... ) se aproxima (cada vez mais) de um certo número real. Qual? Tente generalizar esse processo!

12 8 CAPÍTULO Valor absoluto Dado qualquer número real DE x ) da seguinte forma: x, definimos o VALOR ABSOLUTO DE x (ou MÓDULO { x = x se x 0 x se x < 0 Geometricamente (na Reta), o valor absoluto de um número real x é a distância de x até o 0 (zero). (Exemplos) Obs.: São imediatos da definição: x 0 para todo x IR ; x = 0 se, e somente se ( ), x = 0. Propriedades: 1) Para todo x IR temos x = max {x, x} (o maior dos dois valores). 2) Para todo x IR temos x 2 = x 2. 3) a b = a b quaisquer que sejam a, b IR. Exercício: Se b 0 em IR, mostre que 1 b = 1 b. Conclua que se a, b IR com b 0 então a = a b b.

13 Números reais 9 4) a + b a + b quaisquer que sejam a, b IR. Exercício: Mostre que a b a b a b, para todos a, b IR. 5) Seja c > 0 : x c c x c x c x c ou x c Exemplos: 1) Resolva as seguintes equações: (a) 3x + 2 = 5 (b) 2x 1 = 4x + 3 (c) 5x + 4 = 3

14 10 CAPÍTULO 1 (d) x + 2 x 2 = 1 + 4x 2) Encontre os números reais que satisfaçam as seguintes desigualdades: (a) x 5 < 4

15 Números reais 11 (b) 3 2x 2 + x 4, x 2 (c) 3x + 2 > 5

16 12 CAPÍTULO Exercícios Páginas 10 e 11 da referência bibliográfica [1].

17 Capítulo 2 Funções 2.1 Definição e elementos básicos Definição 2.1. Uma função f : X Y é constituída de: (a) Um conjunto X, não-vazio, chamado o DOMÍNIO da função (onde a função está definida) (b) Um conjunto Y, não-vazio, chamado o CONTRA-DOMÍNIO da função (onde f toma os valores ) (c) Uma correspondência que associa, de modo bem determinado, a CADA elemento x X um ÚNICO elemento f(x) = y Y. Obs.: Estaremos interessados em estudar funções tais que X e Y são conjuntos de números reais. Por isso vamos sempre considerar este caso de agora em diante. Imagem: Dada uma função f : X Y, sua IMAGEM é o conjunto Im (f) = f(x) = { y = f(x) ; x X } Y Os elementos do domínio são representados por uma VARIÁVEL INDEPENDENTE. Os elementos da imagem são representados por uma VARIÁVEL DEPENDENTE. Gráfico: O GRÁFICO de uma função f : X Y Plano Cartesiano tais que y = f(x), com x X. é o conjunto dos pontos (x, y) do Funções limitadas: Uma função f : X Y é dita LIMITADA quando sua imagem f(x) é um conjunto limitado. Em geral, é dita LIMITADA EM A X quando f(a) é um conjunto limitado. 13

18 14 CAPÍTULO 2 Funções crescentes ou decrescentes: Uma função f : X Y é dita CRESCENTE quando x 1 < x 2 em X f(x 1 ) < f(x 2 ).... DECRESCENTE quando x 1 < x 2 em X f(x 1 ) > f(x 2 ). (Obs.: o mesmo tipo de definição se aplica também a subconjuntos do domínio - por exemplo, podemos dizer que uma certa função é crescente ou decrescente em um determinado intervalo dentro do domínio). Exemplos: (A) f 1 : IR IR dada por f 1 (x) = x (B) f 2 : [1, 3] IR dada por f 2 (x) = x Obs.: Note que as funções f 1 e f 2 acima SÃO FUNÇÕES DISTINTAS. Apesar de possuírem o mesmo contra-domínio e a mesma maneira de associar x y = f(x), elas têm domínios diferentes (veja a definição de função). Como consequência, possuem características diferentes (f 2 é limitada, decrescente, enquanto que f 1 não é limitada, não é decrescente e nem crescente).

19 Funções 15 (C) f 3 : IR IR dada por f 3 (x) = x. (D) f 4 : IR IR dada por f 4 (x) = x (E) f 5 : [ 1, 1] [0, + ) dada por f 5 (x) = 1 x 2. (F) f 6 : [ 1, 1] IR que associa x y tais que x 2 + y 2 = 1.

20 16 CAPÍTULO 2 (G) f 7 : IR IR dada por f 7 (x) = 1 x se x > se x 1 4 (H) f 8 : (, 0) (1, 2] IR dada por f 8 (x) = x. (I) f 9 : IR IR dada por f 9 (x) = 2x + 1. (J) f 10 : [0, + ) IR dada por f 10 (x) = x.

21 Funções 17 Máximos e mínimos: Dizemos que uma função f : X Y assume VALOR MÁXIMO ABSOLUTO (ou GLOBAL) em um ponto c X quando f(c) f(x) para todo x X. Neste caso f(c) é chamado VALOR MÁXIMO ABSOLUTO DE f. Quando existir um intervalo (a, b) contendo c X tal que f(c) f(x) para todo x (a, b) X, então c é dito um PONTO DE MÁXIMO RELATIVO (ou LOCAL) e f(c) é um VALOR MÁXIMO RELATIVO DE f. De modo análogo, definimos também MÍNIMOS ABSOLUTOS (GLOBAIS) E MÍNIMOS RELATIVOS (LOCAIS). (Ilustração) Exemplo: f 4 : IR IR dada por f 4 (x) = x Observações: (i) Todo máximo (mínimo) absoluto é máximo (mínimo) local. (ii) Uma função PODE NÃO ASSUMIR valores máximos ou mínimos. Exercício: Para cada uma das funções dos exemplos anteriores (Exemplos (A)-(J)), determine seus pontos e valores máximos e mínimos, se existirem.

22 18 CAPÍTULO Construção de funções a partir de outras Via operações aritméticas: Sejam f : X IR e g : Y IR funções tais que X Y φ. A partir de f e g vamos construir novas funções (f + g), (f g), (f g) : (f + g) : X Y IR dada por (f + g)(x) = f(x) + g(x) (f g) : X Y IR dada por (f g)(x) = f(x) g(x) (f g) : X Y IR dada por (f g)(x) = f(x) g(x) Exemplos: (A) Sejam f : (, 4] IR dada por f(x) = 4 x por g(x) = x 2 1 : e g : (, 1] [1, + ) dada (B) Consideremos agora a função indentidade f : IR IR dada por f(x) = x e funções constantes do tipo g c : IR IR dadas por g c (x) = c (cada c é um número real qualquer, fixado). Utilizando a função identidade e funções constantes, podemos construir (através das operações de adição e multiplicação) um importante tipo de função p : IR IR chamada FUNÇÃO POLINOMIAL e dada por: p(x) = a n x n + a n x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 para todo x IR (essa é dita uma função polinomial de grau n) (Exemplos) a n, a n 1,..., a 2, a 1, a 0 IR, a n 0

23 Funções 19 Obs.: Alguns tipos especiais de funções polinomiais: 1) Funções constantes: f : IR IR com f(x) = c x IR, sendo c IR fixo. São as funções polinomiais de grau 0 (zero). (Exemplos) 2) Funções polinomiais de grau 1: f : IR IR com f(x) = ax + b, a, b IR e a 0. Seus gráficos são retas, não paralelas aos eixos coordenados. Se a > 0, f é crescente. Se a < 0, f é decrescente. (Exemplos) 3) Funções quadráticas: f : IR IR com f(x) = ax 2 + bx + c, a, b, c IR e a 0. São as funções polinomiais de grau 2. Seus gráficos são parábolas com eixos de simetria paralelos ao eixo Oy e com concavidade voltada para cima se a > 0 ou voltada para baixo se a < 0. A interseção ( da parábola (gráfico) com o eixo de simetria é o VÉRTICE da parábola, tem b coordenadas 2a, ), sendo = b 2 4ac, e representa o máximo ou mínimo absoluto 4a da função, de acordo com a concavidade do gráfico (sinal de a). (Exemplos)

24 20 CAPÍTULO 2 Se quisermos agora utilizar a operação de divisão para construir o quociente de duas funções dadas, temos que tomar o cuidado para evitar divisões por 0 (zero). Assim, dadas f : X IR e g : Y IR, sendo Z = { x Y ; g(x) = 0 }, podemos definir: (f/g) : (X Y ) Z IR pondo (f/g)(x) = f(x) g(x) Exemplos: (A) Sejam f : (, 4] IR dada por f(x) = 4 x por g(x) = x 2 1 : e g : (, 1] [1, + ) dada (B) Chamamos de polinomiais: (Exemplos) FUNÇÕES RACIONAIS as funções dadas pelo quociente de funções p, q : IR IR (polinomiais), Z = { x IR ; q(x) = 0 } (p/q) : IR Z IR dada por (p/q)(x) = p(x) q(x)

25 Funções 21 Via composição de funções: Sejam f : X IR e g : Y Z funções tais que f(x) Y (a imagem de f está contida no domínio de g). A cada elemento de X associamos um único elemento de Z, aplicando inicialmente a função f e depois a função g. Podemos pensar então em uma função de X em Z que associa a cada elemento x X um único elemento g(f(x)) Z : (g f) : X Z x g(f(x)) Essa nova função g f : X Z é chamada a função COMPOSTA de g com f. Exemplos: (a) Se f : IR IR é dada por f(x) = x e g : [0, + ) IR é dada por g(x) = x, obtenha g f e f g, se possível. (b) Seja h : IR IR dada por h(x) = (5x 2 2x + 1) 5. Obtenha funções f e g tais que h = g f.

26 22 CAPÍTULO Exercícios 1) Sejam f : IR IR dada por f(x) = 3x 1, g : IR IR dada por g(x) = x 7 e h = f/g. Obtenha: (a) O Domínio de h ; (b) 5h( 1) 2h(0) + 3h(5) 7 (d) h 2 (5) = [h(5)] 2 = h(5).h(5) ; (e) h[h(5)] = (h h)(5). ; (c) f h ; 2) Para cada uma das funções dadas abaixo, faça um esboço do gráfico da função e obtenha: o conjunto imagem da função, se a função é ou não limitada, máximos e mínimos (absolutos ou locais), intervalos do domínio onde a função é crescente ou decrescente e identifique ainda quais são polinomiais ou racionais: (a) f 1 : IR IR dada por f 1 (x) = x 2 + 8x + 14 (b) f 2 : IR IR dada por f 2 (x) = x 2 + 4x 1 (c) f 3 : IR IR dada por f 3 (x) = (x 2) 2 (d) f 4 : IR IR dada por f 4 (x) = (x + 2) 2 (e) f 5 : IR IR dada por f 5 (x) = x 3 (f) f 6 : IR IR dada por f 6 (x) = 4 x 3 (g) f 7 : ( 5, 3] IR dada por f 7 (x) = x (h) f 8 : IR {2} IR dada por f 8 (x) = 1 x 2 (i) f 9 : [ 4, 7] IR dada por f 9 (x) = 2 x + 5 (j) f 10 : [0, + ) IR dada por f 10 (x) = 2x 3) Exprimir como função de x (não se esqueça do domínio e do contra-domínio): (a) A área de um cubo de aresta x. (b) A área total de uma caixa de volume V, sabendo que a base é um quadrado de lado x. (c) O comprimento l de uma corda de um círculo de raio 4 cm, sendo x a distância da corda ao centro do círculo. 4) Exprimir a função l obtida na Letra (c) do Exercício 3) acima como a composta de duas funções.

27 Funções 23 5) Sejam f, g : IR IR dadas por f(x) = x + 3 e g(x) = 5 2x. Faça um esboço dos gráficos de f e g no mesmo Plano Cartesiano e tente deduzir, a partir dos gráficos, os valores de x para os quais f(x) < g(x). Resolva algebricamente a inequação. 6) X IR é dito simétrico em relação à origem 0 quando x X x X. Exemplos: ( 6, 6), [ 13, 13], { 12} ( 7, 7) {12}, IR, etc. Y = ( 5, 3] não é simétrico em relação à origem, pois 4 Y mas 4 Y. Seja f : X IR uma função tal que X é simétrico em relação à origem. A função f é dita PAR quando f( x) = f(x) para todo x X. Exemplos: x 4 16 ( 2 x 2), 3x 6 + x 2 5 (x IR), x 2 (x IR), etc.... ÍMPAR quando f( x) = f(x) para todo x X. Exemplos: x 3 x + 2x (x IR), (x IR), etc. 1 + x 2 Alguma observações e propriedades interessantes: (1) O produto/quociente de duas funções pares (ou duas ímpares) é uma função PAR (prove); (2) O produto/quociente de uma função par por uma função ímpar (ou vice-versa) é uma função ÍMPAR (prove); (3) O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo Oy das ordenadas (ilustre); (4) O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem O(0, 0) (ilustre); (5) É óbvio que existem funções que não são pares nem são ímpares (dê exemplos); (6) Toda função f : X IR (X simétrico em relação ao 0) pode ser escrita como a soma de uma função par com uma função ímpar (desafio = tente provar). 7) Sejam f, g : IR IR dadas por f(x) = 3x 5 2 (a) Obtenha (g f)(x) e (f g)(y). e g(y) = 2y (b) Faça esboços dos gráficos de f e g. O que se pode concluir sobre os gráficos de f e g? (c) Seja f : [1, 3] [ 5, 3] dada por f(x) = 4 x 2. Obtenha uma função g : [ 5, 3] [1, 3] que cumpre as condições da Letra (a) e faça esboços dos gráficos de f e g.

28 24 CAPÍTULO 2 8) Seja f : IR IR dada por f(x) = x 2 + 4x 3. (a) Faça um esboço do gráfico de f. (b) Dado h 0, calcule m 0 (h) = para m 0 (h). f(0 + h) f(0) h e dê uma interpretação geométrica (c) Qual o significado de m 0 (h) quando h se aproxima de 0? (d) Sabemos que o gráfico de f é uma parábola. Se V = (a, b) é o vértice dessa parábola, obtenha suas coordenadas a e b. (e) Fixando a obtido na Letra (d) acima (abscissa do vértice) e, dado h 0, tente adivinhar, SEM FAZER NENHUMA CONTA, o que ocorre com m a (h) = quando f(a + h) f(a) h h se aproxima de 0. Finalmente, confira sua resposta (fazendo as contas). 9) Se f : IR IR é dada por f(x) = ax 2 + bx + c, com a 0, USE O EXERCÍCIO ANTERIOR para deduzir as coordenadas do vértice da parábola que é o gráfico da função f. 10) Um grupo de amigos trabalha no período de férias vendendo salgadinhos nas praias. O aluguel do trailler e todos os equipamentos necessários para a produção custam R$ 2000,00 por mês. O custo do material de cada salgadinho é de R$ 0,10. Expressar o custo total mensal como função do número de salgadinhos elaborados. 11) Um fabricante produz peças para computadores pelo preço de R$ 2,00 cada uma. Calcula-se que, se cada peça for vendida por x reais, os consumidores comprarão por mês (600 x) unidades. Expressar o lucro mensal do do fabricante como função do preço. Obter o preço ótimo de venda. 12) O preço de uma corrida de táxi é constituído de uma parte fixa, chamada bandeirada, e de uma parte variável, que depende do número de quilômetros rodados. Em uma cidade X a bandeirada é R$ 10,00 e o preço do quilômetro rodado é R$ 0,50. (a) Determine a função que representa o preço da corrida. (b) Se alguém pegar um táxi no centro da cidade e se deslocar para sua casa a 8 km de distância, quanto pagará pela corrida? 13) Um avião com 120 lugares é fretado para uma excursão. A companhia exige de cada passageiro R$ 900,00 mais uma taxa de R$ 10,00 para cada lugar vago. Qual o número de passageiros que torna máxima a receita da companhia?

29 Funções 25 14) Uma indústria comercializa um certo produto e tem função custo total em mil reais, dada por CT (q) = q q + 475, sendo q 0 a quantidade do produto. A função receita total em mil reais é dada por R(q) = 120q. (a) Determinar o lucro para a venda de 80 unidades. (b) Em que valor de q acontecerá lucro máximo? Respostas: 1) (a) IR {7} (b) (c) f h : IR {7} IR dada por (f h)(x) = 8x + 4 x 7 (d) h 2 (5) = 49 (e) (h h)(5) = ) (a) Im (f 1 ) = [ 2, + ), f 1 não é limitada, x = 4 é ponto de mínimo absoluto. f 1 é decrescente em (, 4] e crescente em [ 4, + ). f 1 é polinomial. (b) Im (f 2 ) = (, 3], f 2 não é limitada, x = 2 é ponto de máximo absoluto. f 2 é crescente em (, 2] e decrescente em [2, + ). f 2 é polinomial. (c) Im (f 3 ) = [0, + ), f 3 não é limitada, x = 2 é ponto de mínimo absoluto. f 3 é decrescente em (, 2] e crescente em [2, + ). f 3 é polinomial. (d) Im (f 4 ) = [, 0], f 4 não é limitada, x = 2 é ponto de máximo absoluto. f 4 é crescente em (, 2] e decrescente em [ 2, + ). f 4 é polinomial. (e) Im (f 5 ) = IR, f 5 não é limitada e não possui máximos ou mínimos. f 5 é crescente (em todo seu domínio). f 5 é polinomial. (f) Im (f 6 ) = IR, f 6 não é limitada e não possui máximos ou mínimos. f 6 é decrescente (em todo seu domínio). f 6 é polinomial. (g) Im (f 7 ) = [0, 5], f 7 é limitada, x = 0 é ponto de mínimo absoluto, x = 3 é ponto de máximo local. f 7 é decrescente em ( 5, 0] e crescente em [0, 3]. (h) Im (f 8 ) = IR {0}, f 8 não é limitada e não possui máximos ou mínimos. f 8 é decrescente em (, 2) e crescente em (2, + ). f 8 é racional. (i) Im (f 9 ) = [ 2, 1/6], f 9 é limitada, x = 4 é ponto de mínimo absoluto, x = 7 é ponto de máximo absoluto. f 9 é crescente (em todo seu domínio). f 9 é racional. (j) Im (f 10 ) = [0, + ), f 10 não é limitada, x = 0 é ponto de máximo absoluto. f 10 é crescente (em todo seu domínio). 3) (a) A : (0, + ) IR dada por A(x) = 6x 2 ; (b) A : (0, + ) IR dada por A(x) = 2x 2 + 4V x ;

30 26 CAPÍTULO 2 (c) l : [0, 4] IR dada por l(x) = 2 16 x 2. 4) l = g f, com f : [0, 4] IR dada por f(x) = 16 x 2 e g : [0, + ) IR dada por g(x) = 2 x. ( 5) S =, ) 2 3 7) (a) (g f)(x) = x e (f g)(y) = y (b) Os gráficos de f e g são simétricos em relação à reta y = x. (c) g[ 5, 3] [1, 3] dada por g(y) = 4 y. 8) (b) m 0 (h) = h + 4 é o coeficiente angular da reta secante ao gráfico de f, passando pelos pontos (0, f(0)) e (h, f(h)). (c) Como h varia, o ponto (h, f(h)) varia sobre o gráfico de f, enquanto que o ponto (0, f(0)) permanece fixo. Assim, quando h se aproxima de 0, a reta secante se aproxima da reta tangente ao gráfico de f no ponto (0, f(0)) e m 0 (h) se aproxima do coeficiente angular dessa tangente. (d) a = 2 e b = 1, ou seja, V (2, 1) é o vértice da parábola. (e) m a (h) = h tende a 0 quando h tende a 0. 10) C : IN {0} IR dada por C(x) = x 10 elaborados) (x é o número de salgadinhos 11) l : [0, 600] IR dada por l(x) = x x Preço ótimo de venda: x = ) (a) P : [0, + ) dada por P (x) = 10 + x 2. (b) R$ 14,00. 13) 105 passageiros. 14) L : [0, + ) IR dada por L(q) = q q 475. (a) L(80) = R$ ,00 ; (b) Em q = 50 acontecerá lucro máximo.

31 Funções Inversão de funções Seja f : X Y uma função. A cada x X está associado um único f(x) Y. Nos interessa a situação em que a associação inversa f(x) x é uma função de Y em X. Para isso, f deverá possuir duas características: f(x) = Y (a imagem de f é todo o conjunto Y ); x 1 x 2 em X f(x 1 ) f(x 2 ) em Y. Uma função f : X Y é chamada SOBREJETORA quando f(x) = Y, ou seja, a imagem de f é todo o contradomínio Y. Uma função f : X Y é chamada INJETORA quando elementos distintos do domínio têm sempre imagens distintas, ou seja, x 1 x 2 em X f(x 1 ) f(x 2 ) em Y. Exemplos: (a) (b)

32 28 CAPÍTULO 2 (c) Uma função f : X Y é INVERTÍVEL quando ela é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo (BIJETORA). Neste caso existe uma FUNÇÃO g : Y X que associa y g(y) e tal que g(f(x)) = x x X e f(g(y)) = y y Y. g é dita A INVERSA DA FUNÇÃO f e escrevemos g = f 1. Exemplo:

33 Funções 29 Exercício: Para cada uma das funções dadas posteriormente, faça o que se pede: a) Faça um esboço do GRÁFICO da função. b) Obtenha o conjunto IMAGEM e responda se a função dada é LIMITADA ou não. c) Em que partes de seu domínio a função é CRESCENTE ou DECRESCENTE? d) Determine pontos e valores MÁXIMOS ou MÍNIMOS (quando existirem). e) A função é INJETORA? Justifique. f) A função é SOBREJETORA? Justifique. g) Se a função dada for GRÁFICO DA FUNÇÃO INVERSA. INVERTÍVEL, determine sua INVERSA e faça um esboço do 1) f 1 : IR IR dada por f 1 (x) = 3x 1. 2) g 1 : IR [0, + ) dada por g 1 (x) = 3x 1. 3) h 1 : IR IR dada por h 1 (x) = x ) p 1 : (0, 3] (0, 6] dada por p 1 (x) = 2x. 5) q 1 : (, 5] IR dada por q 1 (x) = { x 2 se x < 1 x + 2 se x 1. 6) r 1 : [0, + ) [0, + ) dada por r 1 (x) = x 2 3x. 7) s 1 : IR IR dada por s 1 (x) = x ) u 1 : [ 2, 3] IR dada por u 1 (x) = x ) v 1 : IR + IR + dada por v 1 (x) = x 2. 10) f 2 : IR IR dada por f 2 (x) = x. 11) g 2 : IR IR dada por g 2 (x) = x

34 30 CAPÍTULO 2 12) h 2 : ( 3, + ) IR dada por h 2 (x) = x ) p 2 : [0, + ) (, 0] dada por p 2 (x) = 2x. 14) q 2 : IR IR dada por q 2 (x) = 15) r 2 : IR IR dada por r 2 = q 2.s 1. { 1 se 1 x 3 0 se x < 1 ou x > 3. 16) s 2 : IR IR dada por s 2 (x) = { 1/x se x 0 0 se x = 0. 17) v 2 : (, 1) [0, + ) IR dada por v 2 (x) = 18) f 3 : ( 1, 1] IR dada por f 3 (x) = 1 1 x 2. { π se x < 1 x 2 se x Funções exponenciais e logarítmicas Revisão: a IR, n = 1, 2, 3,... a n = a a a... a (n vezes). a 0 a 0 = 1 e a n = 1 a n (n = 1, 2, 3,...). n PAR e a 0 : b = n a b n = a, b 0. n ÍMPAR e a IR : b = n a b n = a. Definimos potências RACIONAIS de números reais positivos do seguinte modo: a > 0, p, q inteiros, q 0 a p/q = q a p Temos, neste caso: a r1 a r 2 = a r 1+r 2 e a r > 0. Nos interessa agora definir a x, com x IR (qualquer, mesmo irracional). Para isso consideremos a > 0. Se x é racional, já temos a p/q = q a p.

35 Funções 31 Se x é IRRACIONAL, sabemos que é possível obter uma seqüência de racionais r 1, r 2, r 3,... que se aproxima de x tanto quanto quisermos: r 1, r 2, r 3, r 4, r 5,... x FATO: A seqüência a r 1, a r 2, a r 3,... se aproxima de um número real, o qual DEFINI- MOS como a x. Temos então a nossa função exponencial de base a: Fixado a > 0 em IR, a função f a : IR IR + dada por f a (x) = a x para todo x IR é chamada FUNÇÃO EXPONENCIAL DE BASE a. Propriedades: a x a y = a x+y, (a x ) y = a x y, (a b) x = a x b x, a 0 = 1 Gráfico: Crescimento ou decrescimento: f a (x) = a x é { CRECENTE se a > 1 DECRESCENTE se a < 1 Inversa: Se a 1 então f a : IR IR + x a x é SOBREJETORA e INJETORA, admitindo portanto uma função inversa f 1 a é chamada fa 1 : IR + IR y fa 1 (y) FUNÇÃO LOGARÍTMICA DE BASE a e escrevemos f 1 a (y) = log a y. Temos então: y = a x x = log a y. x y fa a x = y f 1 a x = log a y f 1 a x = log a y = log a a x f a y = a x = a log a y.

36 32 CAPÍTULO 2 Fixado a > 0, a 1 em IR, temos a função f 1 a Propriedades: : IR + IR dada por f 1 a (y) = log a y. log a (x y) = log a x + log a y, log a (x y ) = y log a x, log a 1 = 0 Gráfico: Um número especial: Consideremos a soma ! + 1 3! + 1 4! Mostra-se que esta soma converge 5! ( se aproxima cada vez mais e tanto quanto desejarmos ) para um número real conhecido por CONSTANTE DE EULER e denotado por e. Assim, podemos escrever e = ! + 1 3! + 1 4! + 1 5! É fácil ver que 2 < e < 3 : 2 < ! + 1 3! + 1 4! + 1 5! +... < = 3 4 O número real e acima definido irá desempenhar um importante papel ao longo do nosso curso de Cálculo I, no que se refere às funções exponencial e logarítmica, na base e : f 1 e f e : IR IR + dada por f e (x) = e x (função exponencial de base e) e sua inversa : IR + IR dada por fe 1 (x) = log e x (função logarítmica de base e). Escrevemos também log e x = log x = ln x. Obs.: Outro modo de obter o número e : ( 1 + 1) 1 1 (, 1 + 2) 1 2 (, 1 + 3) 1 3, ( ) 4, ( ) 5,... e

37 Funções Funções trigonométricas Medidas de ângulos em radianos: Um ângulo mede 1 RADIANO quando corresponde a um arco de circunferência (centrada no vértice do ângulo) de comprimento igual ao raio da circunferência considerada: Assim, um ângulo que mede θ rad r o raio da circunferência considerada: corresponde a um arco de comprimento θ r, sendo θ 1 = l r l = θ r Desta forma, é fácil ver que a medida de uma volta em radianos é 2π rad : 2πr = θ r θ = 2π rad Relações trigonométricas nos triângulos retângulos: Consideremos 0 < θ < π 2 e um ângulo de θ rad em um triângulo retângulo: sen θ = b a cos θ = c a tg θ = sen θ cos θ = b c cos 2 θ + sen 2 θ = 1

38 34 CAPÍTULO 2 O círculo trigonométrico: Relações: cos 2 θ + sen 2 θ = 1, sec 2 θ = 1 + tg 2 θ, csc 2 θ = 1 + ctg 2 θ ctg θ = 1 tg θ ( sen θ 0), sec θ = 1 cos θ (cos θ 0), csc θ = 1 sen θ ( sen θ 0) Ângulos notáveis: θ (rad) 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2 2π sen θ 0 1 cos θ 1 tg θ Fórmulas de transformação: A partir das fórmulas abaixo, para cosseno e seno da soma e da diferença de dois ângulos, podemos deduzir (veja exercícios mais à frente) outras importantes fórmulas de transformação, as quais têm utilidade no cálculo de certas integrais trigonométricas. cos(a + b) = cos a cos b sen a sen b sen (a + b) = sen a cos b + sen b cos a cos(a b) = cos a cos b + sen a sen b sen (a b) = sen a cos b sen b cos a

39 Funções 35 Funções trigonométricas: Função SENO: sen : IR IR x sen x Gráfico: Im ( sen ) = [ 1, 1] sen ( x) = sen x (é uma função ÍMPAR) sen (x + 2π) = sen x (é uma função PERIÓDICA de período T = 2π) A função SENO é CRESCENTE em [kπ π/2, kπ + π/2], k PAR, k Z... DECRESCENTE em [kπ π/2, kπ + π/2], k ÍMPAR, k Z Assume o VALOR MÁXIMO ABSOLUTO 1 em x = 2kπ + π/2 (k Z) Assume o VALOR MÍNIMO ABSOLUTO 1 em x = 2kπ + 3π/2 (k Z) Se sen x 0, então temos csc x = 1 sen x. Assim, não é difícil ver que a função csc : IR {kπ, k Z} IR, que associa x csc x = 1/ sen x tem gráfico:

40 36 CAPÍTULO 2 A função SENO NÃO É injetora e NÃO É sobrejetora, mas a quando restringimos seu domínio e seu contra-domínio, temos uma nova função é BIJETORA f : [ π/2, π/2] [ 1, 1] x sen x, a qual e tem portanto inversa f 1 : [ 1, 1] [ π/2, π/2] y f 1 (y) = arc sen y Exercício: Faça um estudo semelhante ao que fizemos com a função SENO, para as funções COSSENO e TANGENTE. 2.7 Exercícios 1) Sabendo que f : IR IR é uma função polinomial do 1 o grau, que f( 1) = 2 e f(2) = 3, determine f(x) para cada x IR (uma função polinomial do 1 o grau está totalmente determinada quando conhecemos seus valores em 2 pontos distintos = uma reta está totalmente determinada quando conhecemos 2 de seus pontos). 2) Sabendo que g : IR IR é uma função polinomial do 2 o grau, que g(1) = 3, g( 1) = 1 e g(2) = 6, determine g(x) para cada x IR (uma função polinomial do 2 o grau está totalmente determinada quando conhecemos seus valores em 3 pontos distintos = uma parábola está totalmente determinada quando conhecemos 3 de seus pontos).

41 Funções 37 3) (Polinômios de Lagrange) Sejam x 1, x 2, x 3 números reais distintos e y 1, y 2, y 3 números reais não necessariamente distintos. O único polinômio p(x) do 2 o grau tal que p(x 1 ) = y 1, p(x 2 ) = y 2 e p(x 3 ) = y 3 é dado por p(x) = y 1 (x x 2 )(x x 3 ) (x 1 x 2 )(x 1 x 3 ) + y 2 (x x 1 )(x x 3 ) (x 2 x 1 )(x 2 x 3 ) + y 3 (a) Usando o resultado acima, refaça o exercício anterior. (x x 1 )(x x 2 ) (x 3 x 1 )(x 3 x 2 ) (b) Generalize o resultado acima e obtenha a função polinomial do 3 o grau que assume em 1, 0, 1, 4 os valores 1, 0, 0, 2, respectivamente. 4) Sejam X IR um conjunto simétrico em relação à origem 0 e f : X IR uma função. (a) Mostre que g : X IR dada por g(x) = 1 [f(x) + f( x)] é uma função par e que 2 h : X IR dada por h(x) = 1 [f(x) f( x)] é ímpar (veja Exercício 6 da pág. 23). 2 (b) Obtenha a soma g+h e tente fazer agora (se você ainda não fez) o item 6) do Exercício 6 da pág. 23. (c) Seja f : IR { 1, 1} IR a função dada por f(x) = x 1. Mostre que f não é par x + 1 e não é ímpar. Escreva f como a soma de uma função par com uma função ímpar. 5) Prove que cada uma das funções abaixo é invertível (bijetora) e obtenha a inversa: (a) f : IR IR dada por f(x) = 3x + 4 ; (b) g : IR {a} IR {0} dada por g(x) = 1 x a (c) h : IR {a} IR {1} dada por g(x) = x + a x a (d) r : [1, + ) [0, + ) dada por r(x) = x 1. 6) (Desafio) Seja g : ( 1, 1) IR dada por g(x) = (ou seja, bijetora) e obtenha g 1. (a IR) ; (a IR) ; x 1 x. Prove que g é invertível 7) Se f : IR IR é dada por f(x) = 2 x, mostre que f(x + 3) f(x 1) = 15 2f(x). 8) Dada φ : ( 1, 1) IR dada por φ(x) = ln 1 x, verifique a igualdade: 1 + x ( ) a + b φ(a) + φ(b) = φ 1 + ab

42 38 CAPÍTULO 2 9) (Decaimento exponencial) A massa de materiais radioativos, tais como o rádio, o urânio ou o carbono-14, se desintegra com o passar do tempo. Uma maneira usual de expressar a taxa de decaimento da massa desses materiais é utilizando o conceito de meia-vida. A meia-vida de um material radioativo é definida como o tempo necessário para que sua massa seja reduzida à metade. Denotando por M 0 a massa inicial (correspondente ao instante t = 0) e por M a massa presente num instante qualquer t, podemos estimar M pela função exponencial dada por M = M 0 e Kt sendo t > 0 e K > 0 uma constante que depende do material. A equação acima é conhecida como modelo de decaimento exponencial. Sabendo que a meia-vida do carbono-14 é de aproximadamente 5730 anos, determinar: (a) A constante K, do modelo de decaimento exponencial para esse material; (b) A quantidade de massa presente após dois períodos de meia-vida, se no instante t = 0 a massa era M 0 ; (c) A idade estimada de um organismo morto, sabendo que a presença do carbono-14 neste é 80% da quantidade original. 10) Uma certa substância radioativa decai exponencialmente e, após 100 anos, ainda restam 60% da quantidade inicial. (a) Obtenha o modelo de decaimento exponencial para esta substância. (b) Determinar a sua meia-vida. (c) Determinar o tempo necessário para que reste somente 15% de uma dada massa inicial. 11) Faça esboços dos gráficos das seguintes funções: (a) f : IR IR dada por f(x) = 2 x ; (b) g : IR IR dada por g(x) = e x ; (c) h : IR IR dada por h(x) = e x ; (d) s : IR {0} IR dada por s(x) = ln x ; (e) l : (, 0) IR dada por l(x) = ln( x) ; (f) m : IR + IR dada por m(x) = ln x ; (g) n : ( 1, + ) IR dada por n(x) = ln(1 + x).

43 Funções 39 12) Uma função f : X IR é dita PERIÓDICA quando existe um número T > 0 (chamado o período de f) tal que f(x + T ) = f(x) para todo x X. Neste caso, seu gráfico se repete a cada intervalo de comprimento T. As funções trigonométricas constituem exemplos clássicos de funções periódicas: (a) Mostre que as funções f n : IR IR dadas por f n (x) = sen nx (n = 1, 2, 3, 4,...) são todas ímpares e periódicas de período T = 2π. (b) Mostre que as funções g n : IR IR dadas por g n (x) = cos nx (n = 0, 1, 2, 3, 4,...) são todas pares e periódicas de período T = 2π. 13) (Fórmulas de Transformação) Prove as seguintes identidades trigonométricas: sen 2 a = 1 cos 2a 2 cos 2 a = cos a cos b = sen a sen b = 1 + cos 2a cos(a + b) cos(a b) 1 2 cos(a b) cos(a + b) sen a cos b = 1 2 sen (a + b) sen (a b) 14) Seja f : IR {x IR ; cos x = 0 } IR dada por f(θ) = tg θ. Verifique: f(2θ) = 2f(θ) 1 [f(θ)] 2 15) Faça esboços dos gráficos das seguintes funções: (a) f : IR IR dada por f(x) = sen 3x ; (b) g : IR IR dada por g(x) = 2 cos 2x ; (c) h : IR IR dada por h(x) = 1 + sen x ; (d) s : IR IR dada por s(x) = sen x ; (e) l : IR IR dada por l(x) = sen (x (π/2)). 16) Seja f : [1, 100] IR dada por f(x) = arc sen [log 10 (x/10)]. Obtenha f(1), f(100) e f( 10 ).

44 40 CAPÍTULO 2 17) (Funções Hiperbólicas) Definimos as funções hiperbólicas básicas: Função Seno Hiperbólico: senh : IR IR dada por senh x = ex e x 2 Função Cosseno Hiperbólico: cosh : IR IR dada por cosh x = ex + e x (a) Faça um esboço do gráfico das funções senh e cosh. (b) Prove que cosh 2 x senh 2 x = 1 para todo x IR. (c) Prove que cosh x 1 para todo x IR. Definimos ainda: tgh : IR IR dada por ctgh : IR {0} IR dada por tgh x = senh x cosh x ctgh x = cosh x senh x sech : IR IR dada por sech x = 1 cosh x csch : IR {0} IR dada por csch x = 1 senh x (d) Obtenha (prove) relações entre as funções tgh e sech e entre ctgh e csch. 2 18) Seja f : IR IR dada por f(x) = 2 senh x 3 tgh x. Obtenha f(2), f( 1) e f(0). Respostas de exercícios: Exercício da página 17: f 1 (A) Máximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume o valor máximo absoluto f 1 (0) = 4. não possui nenhum ponto de mínimo. (B) Máximo absoluto (e local) em x = 1 onde assume o valor máximo absoluto f 2 (1) = 3. Mínimo absoluto (e local) em x = 3 onde assume o valor mínimo absoluto f 2 (3) = 5. (C) Mínimo absoluto (e local) em x = 0 onde assume o valor mínimo absoluto f 3 (0) = 0. (D) Máximo local em x = 0 onde assume o valor máximo local f 4 (0) = 4. Mínimo absoluto (e local) no conjunto { 2, 2}, onde assume o valor mínimo absoluto f 4 (2) = 0. (E) Máximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume o valor máximo absoluto f 5 (0) = 1. Mínimo absoluto (e local) no conjunto { 1, 1}, onde assume o valor mínimo absoluto

45 Funções 41 f 5 ( 1) = 0. (F) f 6 não é função. (G) Máximo local no conjunto (, 1/4), onde assume o valor máximo local f 7 ( 2) = 3. Mínimo absoluto (e local) no conjunto (, 1/4], onde assume o valor mínimo absoluto f 7 ( 4) = 3. f 8 (H) Máximo absoluto (e local) em x = 2 onde assume o valor máximo absoluto f 8 (2) = 2. não possui nenhum ponto de mínimo. (I) f 9 não possui nenhum ponto de máximo ou de mínimo. f 10 (J) Máximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume o valor máximo absoluto f 10 (0) = 0. não possui nenhum ponto de mínimo. Exercício da página 29: 1) Im (f 1 ) = IR. f 1 não é limitada. f 1 é crescente em todo o seu domínio. f 1 não possui nenhum ponto de máximo ou de mínimo. f 1 é injetora e sobrejetora, possuindo inversa f1 1 : IR IR dada por f1 1 (y) = y ) Im (g 1 ) = [0, + ). g 1 não é limitada. g 1 é decrescente em (, 1/3] e crescente em [1/3, + ). g 1 possui ponto de mínimo absoluto (e local) em x = 1/3 onde assume valor mínimo absoluto 0. g 1 não possui nenhum ponto de máximo. g 1 é sobrejetora mas não é injetora e por isso não é invertível. 3) Im (h 1 ) = (, 9]. h 1 não é limitada. h 1 é crescente em (, 0] e decrescente em [0, + ). h 1 possui ponto de máximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume valor máximo absoluto 9. h 1 não possui nenhum ponto de mínimo. h 1 não é injetora e não é sobrejetora, e por isso não é invertível. 4) Im (p 1 ) = (0, 6]. p 1 é limitada. p 1 é crescente (em todo o seu domínio). p 1 possui ponto de máximo absoluto (e local) em x = 3 onde assume valor máximo 6. p 1 não possui nenhum ponto de mínimo. p 1 dada por p1 1 (w) = w 2. é injetora e sobrejetora, possuindo inversa p 1 1 : (0, 6] (0, 3] 5) Im (q 1 ) = [ 3, + ). q 1 não é limitada. q 1 é crescente em [0, 1] e decrescente em (, 0] e em [1, 5]. q 1 possui ponto de máximo local em x = 1 onde assume valor máximo local 1. q 1 possui ponto de mínimo absoluto (e local) em x = 5 onde assume valor mínimo absoluto 3 e possui ponto de mínimo local em x = 0 onde assume valor mínimo local 0. q 1 não é injetora e não é sobrejetora, e por isso não é invertível. 6) Im (r 1 ) = [0, + ). r 1 não é limitada. r 1 é crescente em [0, 3/2] e em [3, + ) e decrescente em [3/2, 3]. r 1 possui ponto de máximo local em x = 3/2 onde assume

46 42 CAPÍTULO 2 valor máximo local 9/4. r 1 possui ponto de mínimo absoluto (e local) no conjunto {0, 3} onde assume valor mínimo absoluto 0. r 1 é sobrejetora mas não é injetora e por isso não é invertível. 7) Im (s 1 ) = [2, + ). s 1 não é limitada. s 1 é decrescente em (, 0] e crescente em [0, + ). s 1 possui ponto de mínimo absoluto (e local) em x = 0 onde assume valor mínimo absoluto 2. s 1 não possui nenhum ponto de máximo. s 1 não é sobrejetora e não é injetora, e por isso não é invertível. u 1 8) Im (u 1 ) = [2, 11]. u 1 é limitada. u 1 é decrescente em [ 2, 0] e crescente em [0, 3]. possui ponto de mínimo absoluto (e local) em x = 0 onde assume valor mínimo absoluto 2. u 1 possui ponto de máximo absoluto (e local) em x = 3 onde assume valor máximo absoluto 9 e possui ponto de máximo local em x = 2 onde assume valor máximo local 6. u 1 não é sobrejetora e não é injetora, e por isso não é invertível. 9) Im (v 1 ) = IR +. v 1 não é limitada. v 1 é crescente em todo o seu domínio. v 1 não possui nenhum ponto de máximo ou de mínimo. v 1 é injetora e sobrejetora, possuindo inversa v1 1 : IR + IR + dada por v1 1 (z) = z. 10) Im (f 2 ) = (, 0]. f 2 não é limitada. f 2 é crescente em (, 0] e decrescente em [0, + ). f 2 possui ponto de máximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume valor máximo absoluto 0. f 2 não possui nenhum ponto de mínimo. f 2 não é sobrejetora e não é injetora, e por isso não é invertível. 11) Im (g 2 ) = IR. g 2 não é limitada. g 2 é decrescente em todo o seu domínio. g 2 não possui nenhum ponto de máximo ou de mínimo. g 2 é injetora e sobrejetora, possuindo inversa g2 1 : IR IR dada por g2 1 (y) = 3y ) Im (h 2 ) = (, 2). h 2 não é limitada. h 2 é decrescente em todo o seu domínio. h 2 não possui nenhum ponto de máximo ou de mínimo. h 2 é injetora mas não é sobrejetora e por isso não é invertível. 13) Im (p 2 ) = (, 0]. p 2 não é limitada. p 2 é decrescente em todo o seu domínio. p 2 possui nenhum ponto de máximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume o valor máximo absoluto 0. p 2 não possui nenhum ponto de mínimo. p 2 é injetora e sobrejetora, possuindo inversa p 1 2 : (, 0] [0, + ) dada por p 1 2 (t) = t ) Im (q 2 ) = {0, 1}. q 2 é limitada. q 2 não é crescente ou decrescente em intervalo algum. q 2 possui ponto de máximo absoluto (e local) no conjunto [1, 3] onde assume valor máximo absoluto 1. q 2 possui ponto de mínimo local no conjunto (1, 3) onde assume valor mínimo local 1. q 2 possui ponto de mínimo absoluto (e local) no conjunto IR [1, 3] onde assume valor mínimo absoluto 0. q 2 possui ponto de máximo local no conjunto IR [1, 3] onde assume valor máximo local 0. q 2 não é sobrejetora e não é injetora, e por isso não é

47 Funções 43 invertível. 15) Im (r 2 ) = {0} [3, 11]. r 2 é limitada. r 2 é crescente em [1, 3]. r 2 possui ponto de máximo absoluto (e local) em x = 3 onde assume valor máximo absoluto 11. r 2 possui ponto de mínimo absoluto (e local) no conjunto IR [1, 3] onde assume valor mínimo absoluto 0. r 2 possui ponto de máximo local no conjunto IR [1, 3] onde assume valor máximo local 0. r 2 não é sobrejetora e não é injetora, e por isso não é invertível. 16) Im (s 2 ) = IR. s 2 não é limitada. s 2 é decrescente em (, 0] e em [0, + ). s 2 não possui nenhum ponto de máximo ou de mínimo. s 2 é injetora e sobrejetora, possuindo inversa s 1 2 = s 2. 17) Im (v 2 ) = { π} [0, + ). v 2 não é limitada. v 2 é crescente em [0, + ). v 2 possui ponto de máximo local em (, 1) onde assume valor máximo local π. v 2 possui ponto de mínimo absoluto (e local) no conjunto (, 1) onde assume valor mínimo absoluto π. v 2 possui ponto de mínimo local em x = 0 onde assume valor mínimo local 0. v 2 f 3 não é sobrejetora e não é injetora, e por isso não é invertível. 18) Im (f 3 ) = [0, 1]. f 3 é limitada. f 3 é crescente em ( 1, 0] e decrescente em [0, 1]. possui ponto de máximo absoluto (e local) em x = 1 onde assume valor máximo absoluto 1. f 3 possui ponto de mínimo absoluto (e local) em x = 0 onde assume valor mínimo absoluto 0. f 3 não é sobrejetora e não é injetora, e por isso não é invertível. Exercício da página 36 (antes da Seção 2.7): Função COSSENO: Im (cos) = [ 1, 1] cos : IR IR x cos x (Gráfico) cos( x) = cos x (é uma função PAR) cos(x + 2π) = cos x (é uma função PERIÓDICA de período T = 2π) A função COSSENO é CRESCENTE em [kπ, (k + 1)π], k ÍMPAR, k Z... DECRESCENTE em [kπ, (k + 1)π], k PAR, k Z Assume o VALOR MÁXIMO ABSOLUTO 1 em x = 2kπ (k Z) Assume o VALOR MÍNIMO ABSOLUTO 1 em x = 2kπ + π (k Z)

48 44 CAPÍTULO 2 Se cos x 0, então definimos sec x = 1 cos x. Assim, sec : IR {kπ + π/2, k Z} IR associa x sec x = 1/ cos x. (Gráfico) A função COSSENO NÃO É injetora e NÃO É sobrejetora, mas a quando restringimos seu domínio e seu contra-domínio, temos uma nova função g : [0, π] [ 1, 1] x cos x, a qual é BI- JETORA (Gráfico) e tem portanto inversa g 1 : [ 1, 1] [0, π] y g 1 (y) = arc cos y (Gráfico) Função TANGENTE: tg : IR {x IR ; cos x = 0 } IR x tg x = sen x cos x (Gráfico) Im ( tg ) = IR tg ( x) = tg x (é uma função ÍMPAR) tg (x + π) = tg x (é uma função PERIÓDICA de período T = π) A função TANGENTE é CRESCENTE em [kπ π/2, kπ + π/2], k Z NÃO ASSUME VALOR MÁXIMO OU MÍNIMO EM NENHUM PONTO. Se tg x 0, então definimos ctg x = 1 tg x = cos x sen x. Assim, ctg : IR {x IR ; sen x = 0 } IR associa x ctg x = 1/ tg x = cos x sen x. (Gráfico) A função TANGENTE É SOBREJETORA e NÃO É injetora, mas a quando restringimos seu domínio temos uma nova função h : ( π/2, π/2) IR x tg x, a qual é BIJETORA (Gráfico) e tem portanto inversa h 1 : IR ( π/2, π/2) y h 1 (y) = arc tg y (Gráfico)

49 Funções 45 Exercícios da Seção 2.7: 1) f(x) = x ) g(x) = x x ) (b) h : IR IR dada por h(x) = 4x3 + 15x 2 11x 30. 4) (b) g + h = f (c) f(x) = x2 + 1 x x 1 x. 2 5) (a) f 1 : IR IR dada por f 1 (y) = y 4 3. (b) g 1 : IR {0} IR {a} dada por g 1 (w) = 1 + aw w. (c) h 1 : IR {1} IR {a} dada por h 1 (z) = a + az z 1. (d) r 1 : [0, + ) [1, + ) dada por r 1 (x) = x ) (a) K = log (b) M 0 /2 (c) t = [ log(0, 8)] 5730 log anos. 10) (a) M = M 0 e log 0, t (b) t 1/2 = 100. log 2 log 0, 6 135, anos. (c) t = 100. log 0, 15 log 0, 6 371, anos. 16) f(1) = π/2, f(100) = π/2, f( 10 ) = π/6. 17) (d) 1 tgh 2 x = sech 2 x e 1 ctgh 2 x = csch 2 x. 18) f(2) = e8 3e 6 + 3e 2 1, f( 1) = 1 3e + 3e3 e 4 e 6 + e 2 e 3 + e, f(0) = 0.

50 46 CAPI TULO 2

51 Capítulo 3 Limite de uma função e Continuidade 3.1 Motivação Seja dada uma função f : X Y (X, Y IR). Para cada x X, a melhor maneira de se aproximar f numa vizinhança de x por uma função cujo gráfico é uma reta é através da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x, f(x)), se houver esta tangente. Conseqüência: Podemos relacionar uma série de informações sobre o comportamento de f com o coeficiente angular m t da reta tangente ao gráfico de f em cada ponto (onde existir). Por exemplo: (A) f crescente em um intervalo m t > 0 neste intervalo. 47

52 48 CAPÍTULO 3 (B) f decrescente em um intervalo m t < 0 neste intervalo. (C) f assumindo máximo ou mínimo local no interior de um intervalo } m t = 0 no ponto de máximo ou mínimo. (D) Concavidade do gráfico de f voltada para cima, em um intervalo } m t crescente neste intervalo. (E) Concavidade do gráfico de f voltada para baixo, em um intervalo } m t decrescente neste intervalo. Obtendo m t (coeficiente angular da reta tangente) Dada f : X Y (X, Y IR), seja a I(intervalo aberto) X. Queremos obter o coeficiente angular m ta da reta t a, tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)) :

53 Limite de uma função e Continuidade 49 Para fazermos isso, vamos utilizar APROXIMAÇÕES POR RETAS SECANTES : Para cada x a (em I), temos uma reta secante s a (que depende do ponto x), secante ao gráfico de f, passando pelos pontos (a, f(a)) e (x, f(x)) : Temos então uma função m sa : I {a} IR x m sa (x) = f(x) f(a) x a Nos interessa investigar o comportamento de m sa (x) (coeficiente angular das secantes) quando x se aproxima de a, sem assumir o valor a ( x a ). O esperado é que, quando x a, m sa (x) se aproxime tanto quanto quisermos de algum número real e teremos m sa (x) m ta IR, quando x a Neste caso, dizemos que a função f é derivável no ponto a, existe a reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)) e seu coeficiente angular m ta é chamado a derivada de f no ponto a (escrevemos f (a) ). Obs.: É fundamental, para fazermos x a, que possamos aproximar o ponto a por uma seqüência de pontos do domínio X de f, diferentes de a. Exemplo:

54 50 CAPÍTULO 3 Precisamos portanto sistematizar o todo este processo, ou seja, Dada uma função g : X Y e um ponto a que pode ser aproximado por pontos x X, x a queremos estudar o comportamento de g(x) quando x a (x se aproxima de a por valores diferentes de a) e saber se g(x) L IR quando x a. 3.2 Limites Dada uma função f : X IR, nos interessa conhecer o comportamento de f(x) quando x se aproxima de a, x a. Para isso, a não precisa pertencer ao domínio de f, mas deve ser aproximado por pontos do domínio: Definição 3.1. (Ponto de acumulação): Um ponto a é chamado um PONTO DE ACUMULAÇÃO do conjunto X quando podemos encontrar pontos de X, diferentes de a, tão próximos de a quanto quisermos, ou seja, a pode ser aproximado por pontos de X diferentes de a. Denotamos por X o conjunto dos pontos de acumulação de X. Exemplos: (A) A = [ 1, 3) (B) B = (0, 2) (2, 3) (C) C = [1, 2] (3, 5) {7}

55 Limite de uma função e Continuidade 51 Consideremos agora, por exemplo, a função f : IR {1} IR dada por f(x) = 3x2 2x 1 x 1 1 não pertence ao domínio de f, mas é ponto de acumulação de IR {1}. Podemos então observar o comportamento de f(x) quando x 1 (x se aproxima de 1, x 1) Temos: x 0 0, 9 0, 99 0, 999 0, 9999 f(x) 1 3, 7 3, 97 3, 997 3, 9997 x 2 1, 1 1, 01 1, 001 1, 0001 f(x) 7 4, 3 4, 03 4, 003 4, 0003 Observemos que f(x) se aproxima cada vez mais de 4 à medida que x 1. Dizemos então que 4 é o limite de f(x) quando x tende a 1 (x 1) e escrevemos: lim x 1 3x 2 2x 1 x 1 = 4. A definição de limite Definição 3.2. Sejam f : X IR uma função e a X (a é ponto de acumulação do domínio - não precisa pertencer a X). Dizemos que um número real L é o LIMITE de f(x) quando x tende a a, e escrevemos quando... lim f(x) = L x a... podemos obter f(x) tão próximo de L quanto desejarmos, sempre que x se aproxima de a, por valores (no domínio de f) diferentes de a. TRADUZINDO... para cada ɛ > 0 dado, é possível obter um δ > 0 (em geral dependendo do ɛ) tal que : se x X e 0 < x a < δ então f(x) L < ɛ.

56 52 CAPÍTULO 3 Alguns limites fundamentais Fixemos c IR e seja f 1 : IR IR dada por f 1 (x) = c x IR (função constante). Para cada a IR temos: lim f 1(x) = lim c = c x a x a Seja f 2 : IR IR dada por f 2 (x) = x x IR (função identidade). Para cada a IR temos: lim f 2(x) = lim x = a x a x a Seja f 3 : IR IR dada por f 3 (x) = sen x x IR. Temos: lim sen x = 0 x 0 Seja f 4 : IR IR dada por f 4 (x) = cos x x IR. Temos: lim cos x = 1 x 0 Seja f 5 : IR { 0} IR dada por f 5 (x) = sen x x Temos: sen x lim = 1 x 0 x x 0. Seja f 6 : IR { 0} IR dada por f 6 (x) = cos x 1 x Temos: cos x 1 lim = 0 x 0 x x 0. Seja f 7 : IR { 0} IR dada por f 7 (x) = ex 1 x Temos: e x 1 lim = 1 x 0 x x 0.

57 Limite de uma função e Continuidade Teoremas para (ajudar no) cálculo de limites Teorema 3.1. Sejam f : X IR e a X. Temos: lim f(x) = L lim (f(x) L) = 0 lim f(x) L = 0 x a x a x a Em particular, considerando L = 0, temos: lim f(x) = 0 lim f(x) = 0. x a x a Exemplo: Sabemos que lim x 0 x = 0. Então segue que lim x 0 x = 0. Teorema 3.2. (Sanduíche) Sejam f, g, h funções tais que f(x) g(x) h(x) para todo x a em um intervalo aberto contendo a. Se lim x a f(x) = L = lim x a h(x), então lim x a g(x) = L. Exemplo: Vamos mostrar que lim x 0 sen x = 0.

58 54 CAPÍTULO 3 Teorema 3.3. Sejam f, g : X IR, a X e lim x a f(x) = L, lim x a g(x) = M. Então: lim [f(x) ± g(x)] = L ± M ; x a lim f(x) g(x) = L M ; x a lim x a lim x a f(x) g(x) = L M se M 0 ; n n f(x) = L { se n é ÍMPAR e L é qualquer real se n é PAR e L > 0 Exemplos: (A) Seja p : IR IR dada por p(x) = c n x n + c n 1 x n c 1 x + c 0, com c n, c n 1,..., c 1, c 0 IR (constantes) e c n 0 ( p é uma função polinomial de grau n).

59 Limite de uma função e Continuidade 55 (B) Funções racionais (quocientes de funções polinomiais) (C) lim x 0 cos x = 1

60 56 CAPÍTULO 3 (D) lim x 0 sen x x = 1 (E) lim x 0 cos x 1 x = 0

61 Limite de uma função e Continuidade 57 Teorema 3.4. Se lim x a f(x) = 0 e g é limitada num intervalo aberto contendo o ponto a (sem precisar estar definida em a), então lim x a f(x) g(x) = 0. (Exemplo) Teorema 3.5. (Troca de variáveis) Se lim f(u) = L, lim u(x) = b u b x a x a u b, então lim f(u(x)) = lim f(u) = L x a u b (x a u b) e Exemplos: (A) lim x 0 sen 4x 4x (B) lim x 0 sen 3x x (C) lim x 0 5 x 1 x

62 58 CAPÍTULO Exercícios f(x) (A) Prove que se lim f(x) = L 0 e lim g(x) = 0 então (não existe) lim x a x a x a g(x). Sugestão: Suponha que exista lim x a f(x) g(x) (B) Calcule os limites abaixo, justificando: [ ] f(x) = M e considere lim f(x) = lim x a x a g(x) g(x). 1) lim x 3 x 2 9 x 3 2) lim x 1/ x 5 x 3) lim x 0 x x Sugestão: racionalize o numerador 4) lim x 2 x 2 x 4 16 Sugestão: use que (a n b n ) = (a b).(a n 1 + a n 2 b ab n 2 + b n 1 ) 5) lim x 3 x + 3 (1/x) + (1/3) ( ) 1 9) lim x 3 sen x 0 3 x 6) lim x 0 10) lim h 0 x x h h 7) lim x 3 x 2 + 5x + 6 x 2 x x 3x ) lim x 3 x 2 1 8) lim u u 12) lim y 2 y y ) lim t 0 1 cos t sen t x 2 x 2 3x 2 17x ) lim 15) lim x 2 (x 2) 2 x 4 4x 2 25x ) lim w 0 sen 3w sen 5w 17) lim h 0 3 h h 18) lim x tg x sen x 19) lim t 0 sen 2 2t t 2 20) lim x π sen x x π 21) lim x 0 x cos x 25) lim x 1/ 2 22) lim x 0 x 5 (1/ 2) 5 x (1/ 2) 1 cos x x 2 23) lim x 0 3 x 1 x 26) lim x 2 (x 1)(x + 2) x 2 + 4x ) lim x 0 3x 2 1 cos 2 (x/2) 27) lim x 3 x 2 9 x 3 28) lim y 0 e 7y 1 sen y 29) lim x 0 (1 sec x). ctg x. cos x x 30) lim x 3 x 2 6x + 9 (x + 1)(x 3) 33) lim x 0 sen 3 x 5x(1 cos x) 31) lim x ) lim y 0 π 3 πx x e 2y y 32) lim x π/2 x π/2 cos x 35) lim x 2 3x 3 2 x ) lim y 0 sen πy y 37) lim x 1 x 2 1 (1 x) 3

63 Limite de uma função e Continuidade 59 38) lim x π 1 + cos x x + π 39) lim x 0 e x + sen 2 x 1 x 3 x 3 40) lim 41) lim x 3 27 x 3 x 1 43) lim y 0 sen 7y + cos πy 1 y x 3 + 2x 2 + x x ) lim x 0 1 cos x 5 x sen x 42) lim x 0 e sen x 1 2x 45) lim x 3 47) lim x 1 x x 4 3 x 3 + x 2 x 1 x 3 x 46) lim y 0 e 2y 1 sen (3y) 48) lim x π/2 1 sen x x (π/2) Teoremas adicionais sobre limites Teorema 3.6. (Unicidade do limite) Sejam f : X IR e a X. O lim x a f(x), quando existe, é único. Teorema 3.7. Sejam f : X IR e a X. Se existe L = lim x a f(x) então a função f é LIMITADA num intervalo aberto contendo o ponto a. Exemplo: Seja f : IR {0} IR dada por f(x) = 1 x x 0. 0 é ponto de acumulação do domínio IR {0}. Podemos afirmar que NÃO EXISTE o intervalo aberto contendo 0. 1 lim x 0 x, pois f não é limitada em nenhum Teorema 3.8. Sejam f : X IR, a X e L = lim x a f(x). Se L > M então f(x) > M para todo x a do domínio em um intervalo aberto contendo o ponto a. Em particular, se lim f(x) > 0 então f(x) > 0 para todo x a do domínio em um x a intervalo aberto contendo a. Obs.: Analogamente, vale resultado semelhante caso lim x a f(x) = L < M.

64 60 CAPÍTULO 3 Teorema 3.9. (Limites laterais) Sejam f : X IR e a X. Se a pode ser aproximado tanto por pontos de X maiores que a quanto por pontos de X menores do que a, podemos investigar ambos os limites laterais de f: lim f(x) x a + (limite de f(x) quando x tende a a PELA DIREITA, isto é, por valores x X, com x > a) lim f(x) x a (limite de f(x) quando x tende a a PELA ESQUERDA, isto é, por valores x < a em X) Temos, neste caso, que existe L = lim x a f(x) se, e somente se, existem e são iguais a L ambos os limites laterais, ou seja: lim x a + f(x) = lim f(x). x a Exemplos: (a) Seja f : IR {0} IR dada por f(x) = x x. (b) Obs.: OS TEOREMAS ANTERIORES VALEM TAMBÉM PARA LIMITES LATERAIS, COM AS DEVIDAS ADAPTAÇÕES!

65 Limite de uma função e Continuidade 61 Exercícios: 1) Sejam f, g : IR IR dadas por: f(x) = { x se x 1 x + 1 se x > 1 g(x) = { x 2 se x 1 2 se x > 1 Faça um estudo sobre os limites: lim f(x) x 1 lim g(x) x 1 lim (f.g)(x) x 1 2) Mostre que lim x a f(x) f(a) x a = lim h 0 f(a + h) f(a) h (se existirem) 3) Para cada função f : X IR dada a seguir e cada a X X (a é ponto do domínio e ponto de acumulação do domínio), também fornecido, obtenha m ta = coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)). (a) f 1 : IR IR dada por f 1 (x) = 3x 1 e a = 5. (b) f 2 : IR IR dada por f 2 (x) = x 2 e a = 3. (c) f 3 : IR IR dada por f 3 (x) = sen x e a = π/6. (d) f 4 : IR IR dada por f 4 (x) = cos x e a = π/6. (e) f 5 : IR IR dada por f 5 (x) = e x e a = 2. (f) f 6 : (0, + ) IR dada por f 6 (x) = 1/x e a = 2. Faça ainda um esboço e confira se a resposta encontrada faz sentido com o esboço. Sugestões: Aproxime m ta fazendo x a. pelos coeficientes angulares m sa (x) das secantes por (a, f(a)) e (x, f(x)), Para as letras (c),(d) e (e), use também o exercício anterior. Pode tentar também fazer antes o Exercício 4) (veja o enunciado abaixo) e assim este e- xercício se torna um caso particular. 4) Para cada função f : X IR do exercício anterior, tente generalizar o resultado, obtendo m ta para um a X qualquer!

66 62 CAPÍTULO Continuidade Definição 3.3. Consideremos uma função f : X IR tal que X X (todo ponto do domínio é ponto de acumulação). Dado um ponto a, dizemos que f condições são satisfeitas: É CONTÍNUA NO PONTO a quando as seguintes 1) Existe f(a) (ou seja, a X); 2) Existe lim x a f(x) ; 3) lim x a f(x) = f(a). Se f não é contínua em um ponto a pertencente a seu domínio, dizemos que f É DESCONTÍNUA EM a, ou que f TEM UMA DESCONTINUIDADE EM a. Dizemos que f : X IR é uma FUNÇÃO CONTÍNUA EM X quando ela é contínua em todos os pontos de seu domínio. Exemplos: (e contra-exemplos) (A) Toda função polinomial é contínua! (B) Seno e cosseno, no ponto 0 : (C) Contra-exemplo: uma descontinuidade REMOVÍVEL: (D) Contra-exemplo: uma descontinuidade ESSENCIAL:

67 Limite de uma função e Continuidade 63 Continuidade e operações entre funções Teorema Sejam f, g : X IR, X X e a X. Se f e g são contínuas no ponto a X, então: (f ± g) são contínuas em a ; (f g) é uma função contínua em a ; (f/g) é contínua em a se g(a) 0. Teorema (Composição) Sejam f : X IR (X X ) e g : Y IR (Y Y ) de forma que a composta g f : X IR está bem definida Se f é contínua em a X e g é contínua em b = f(a) Y então a composta g f : X IR é contínua no ponto a X. Funções contínuas em intervalos Quando estudamos problemas sobre máximos e mínimos, podemos ter funções que não assumem valores máximos e/ou mínimos. Por exemplo: f : IR IR dada por f(x) = x NÃO ASSUME MÁXIMO NEM MÍNIMO! g : ( 1, 2) IR dada por g(x) = x NÃO ASSUME MÁXIMO NEM MÍNIMO!

68 64 CAPÍTULO 3 Existe uma situação (envolvendo continuidade) na qual estes problemas não ocorrem: Teorema (MAX-MIN) Se f : [a, b] IR é uma função contínua (em todos os pontos do intervalo limitado e fechado [a, b]), então f assume valores máximo e mínimo absolutos neste intervalo [a, b], ou seja, existem pontos c M e c m em [a, b] tais que f(c M ) f(x) para todo x [a, b] f(c m ) f(x) para todo x [a, b] Outra boa propriedade das funções contínuas é a PROPRIEDADE DO VALOR IN- TERMEDIÁRIO : Teorema (Teorema do valor intermediário) Se f : X IR é contínua no intervalo [a, b] X e f(a) f(b), então f assume todos os valores entre f(a) e f(b), ou mellhor, dado qualquer d entre f(a) e f(b), existe x entre a e b tal que f(x) = d. (Ilustração) (Exemplo)

69 Limite de uma função e Continuidade Exercícios 1) Seja f : [0, + ) IR dada por f(x) = x. (i) Mostre que lim x 0 x = 0 (Sugestão: Considere apenas o limite lateral lim x - pois 0 x 0 + só pode ser aproximado pela direita - e para isto, compare x com 3 x para 0 < x < 1 ) (ii) Conclua que f é contínua (em todos os pontos de seu domínio). x (iii) Mostre que lim x 0 x (racionalize). (iv) Generalize para g : [0, ) IR dada por g(x) = n x, n = 2, 4, 6, 8,... 2) Dadas f : X IR abaixo, discuta a sua CONTINUIDADE (onde f é contínua ou não), justificando: (a) f : (, 16] IR dada por f(x) = 16 x. (b) f : [0, + ) IR dada por f(0) = 0 e f(x) = 1 x 2 se x 0. (c) f : IR IR dada por f(x) = x + 1 x se x 1 3 se x = 1. 3) Seja f : IR IR dada por f(x) = { x 5 + x 3 + 2x se x < 0 x + 2 se x 0 (a) Discuta a CONTINUIDADE de f. (b) A equação f(x) = 0 tem uma raiz entre 2 e 1. JUSTIFIQUE. 4) Seja f : IR IR dada por f(x) = { x 3 x 3 se x < 2 5 x se x 2 (a) Onde f é contínua? (JUSTIFIQUE). (Considere os casos: a < 2, a = 2 e a > 2) (b) Em quais dos intervalos [ 2, 0], [0, 1], [1, 3], [3, 6] podemos GARANTIR que existe x tal que f(x) = 0? JUSTIFIQUE.

70 66 CAPÍTULO 3 5) Seja f : IR IR dada por f(x) = { 2x + 1 se x 3 x 2 + 8x 8 se x > 3 (a) Responda se f é contínua em a = 3. (JUSTIFIQUE). (b) Sabendo que f é crescente em (, 7/2] e descrescente em [10, + ), podemos afirmar que existe x M [7/2, 10] tal que f(x M ) f(x) para todo x IR? (JUSTIFIQUE) { x + 1 se x < 1 6) Seja f : IR IR dada por f(x) = 1 + sen (x + 1) se x 1 (a) Responda se f é contínua em a = 1. (JUSTIFIQUE). (b) Responda: Se [a, b] IR, é possível afirmar que dado d entre f(a) e f(b), existe c entre a e b com f(c) = d? JUSTIFIQUE a resposta. sen [π(x 1)] 7) (a) Seja f : IR IR uma função tal que f(x) = x 1. f pode ser x 1 contínua em x = 1? Se puder, qual o valor de f(1) para que isso ocorra (JUSTIFIQUE). Se não, JUSTIFIQUE. x 1 (b) Seja g : IR IR uma função tal que g(x) = x 1. g pode ser contínua x 1 em x = 1? Se puder, qual o valor de g(1) para que isso ocorra (JUSTIFIQUE). Se não, JUSTIFIQUE. Respostas de exercícios: Exercício (B) da Seção 3.4: 1) 6 2) 8 9 3) 2 4 4) ) 9 6) 0 7) 1 7 8) 1 2 9) 0 10) ) 2 12) 12 13) 0 14) (não existe) 15) 1 16) ) ) 19) 4 20) 1 21) 0 22) ) ln 3 24) 12 25) 5/4 26) 27) 6 28) 7 29) 1/2 30) 0 31) π 9 32) 1 33) ) 1 40) ) ) ) 0 42) 36) π 37) 38) ) 7

71 Limite de uma função e Continuidade 67 44) ) ) ) 0 48) 0 Exercícios da página 61: 1) lim x 1 f(x), lim g(x), x 1 lim (f.g)(x) = 4 x 1 2) Faça a mudança de variáveis x a = h e aplique o Teorema sobre limites de funções compostas! 3) (a) f 1( 5) = m t 5 = 3 (b) f 2(3) = m t3 = 6 (c) f 3(π/6) = m tπ/6 = 3 2 (d) f 4(π/6) = m tπ/6 = 1 2 (e) f 5(2) = m t2 = e 2 (f) f 6( 2) = m t 2 = 1 2 4) (a) f 1(a) = 3 (b) f 2(a) = 2a (c) f 3(a) = cos a (d) f 4(a) = sen a (e) f 5(a) = e a (f) f 6(a) = 1 a 2 Exercícios da Seção 3.6: 2) Contínua em... a)... (, 16]. Em a = 16 temos: lim x x = 0 = f(16) b)... (0, + ). Em a = 0 temos: lim x 0 + f(x) c)... IR { 1}. Em a = 1 temos: lim f(x) = 1/3 f( 1) x 1

72 68 CAPÍTULO 3 3) (a) f é contínua em todo a 0 e não é contínua em a = 0. (b) Como a função f é contínua no intervalo [ 2, 1] e f( 2) < 0 < f( 1), temos então pelo TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO que existe x entre 2 e 1 tal que f(x) = 0. 4) (a) f é contínua em todo a IR. (b) Nos intervalos [1, 3] e [3, 6] : nestes intervalos a função é contínua e muda de sinal. O TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO nos garante que sob estas condições a função assume o valor 0 (zero) nestes intervalos. 5) (a) f é contínua em a = 3 (verificados também os limites laterais). (b) SIM! f é contínua no intervalo LIMITADO e FECHADO [7/2, 10] e portanto assume aí máximo absoluto em um ponto x M que f(x M ) f(x) x IR. 6) (a) f não é contínua em a = 1 ( lim f(x) ). x 1 (b) NÃO PODEMOS! deste intervalo. Mostra-se então (com as outras hipóteses) Contra-exemplo: considere f no intervalo [ 2, 1]. Temos: 1 = f( 2) < 1/2 < f( 1) = 1 mas não existe nenhum c [ 2, 1] tal que f(c) = 1/2. 7) (a) SIM! f(1) = π para que f seja contínua em x = 1. (b) NÃO! g não pode ser contínua em x = 1, qualquer que seja o valor de g(1).

73 Capítulo 4 Derivada 4.1 A definição da Derivada Definição 4.1. Consideremos uma função f : X IR, com X X (todo ponto do domínio é ponto de acumulação do domínio). Dizemos que f é DERIVÁVEL em a X quando existe o limite f (a) = lim x a f(x) f(a) x a = lim h 0 f(a + h) f(a) h O número f (a) IR é chamado A DERIVADA DE f NO PONTO a. Observações: Em nossas aplicações, o domínio X será quase sempre um intervalo (e já teremos X X ); Outras notações para f (a) : f (a) = D x f(a) = df df (a) = dx dx x=a ou ainda f (a) = y (a) = dy (a), se y = f(x) dx Podemos considerar a função f : x f (x) definida em todos os pontos x X existir f (x). f é chamada a FUNÇÃO DERIVADA DE f. onde 69

74 70 CAPÍTULO 4 Interpretação geométrica Já vimos, como motivação para o estudo de limites, que se f : X IR é derivável em a X, então f (a) representa o coeficiente angular m ta da reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)) : Vimos também que o conhecimento de f (a) = m ta para os pontos a X pode nos trazer uma série de informações sobre o comportamento da função f. Primeiros exemplos: (A) Fixemos c IR (constante) e seja f : IR IR dada por f(x) = c x IR.

75 Derivada 71 (B) Seja g : IR IR dada por g(x) = x 3 x IR. Vamos calcular g (2), por exemplo: Exercício: (i) Generalize o exemplo acima e mostre que se g(x) = x 3 então g (x) = 3x 2 x IR. (ii) Generalize (i) e mostre que se f(x) = x n (n = 1, 2, 3,...) então f (x) = nx n 1. (C) Seja f : IR IR dada por f(x) = sen x. Exercício: Obtenha a derivada de g : IR IR dada por g(x) = cos x. (D) Seja u : IR IR dada por u(t) = e t (função exponencial na base e).

76 72 CAPÍTULO 4 (E) Seja f : IR IR dada por f(x) = x. (F) Seja g : IR {0} IR dada por g(x) = 1 x 4 = x 4. Exercício: Generalize o exemplo acima e mostre que se g(x) = x n (n = 1, 2, 3,...) então g (x) = nx n 1 x 0. (G) Fixemos a > 0. Seja u : IR IR dada por u(t) = a t (função exponencial na base a).

77 Derivada Derivadas e continuidade Teorema 4.1. Se f : X IR é DERIVÁVEL em a X, então f é CONTÍNUA em a. De fato: f(x) f(a) Se f é derivável em a X, então existe o limite lim x a x a Existe f(a) (pois a X). [ ] f(x) f(a) Se x a, temos: f(x) f(a) = (x a). x a Como lim x a f(x) f(a) x a lim f(x) f(a) = lim x a x a = f (a) e lim x a (x a) = 0, segue que f(x) f(a) x a Logo lim x a f(x) = f(a) e portanto f é contínua no ponto a. = f (a). lim x a (x a) = f (a) 0 = 0 Algumas conseqüências: São contínuas em todos os pontos de seus domínios as funções: f : IR {0} IR dada por f(x) = 1 (n = 1, 2, 3....), x n g 1 : IR IR dada por g 1 (x) = sen x, g 2 : IR IR dada por g 2 (x) = cos x, u : IR IR dada por u(t) = a t seus domínios. (a > 0), pois são todas deriváveis em todos os pontos de Se uma determinada função é descontínua em algum ponto de seu domínio, então ela não é derivável neste ponto de descontinuidade. CUIDADO! Não podemos garantir a recíproca do teorema anterior, ou seja, podemos ter uma função que é contínua mas não é derivável em determinados pontos. Exemplo: f(x) = x é contínua no ponto 0 ( lim x 0 x = 0 = f(0) ), mas já vimos que f (0).

78 74 CAPÍTULO Exercícios 1) (a) Seja f(x) = 1 x 3 x 0. Obtenha, via definição, f (1). (b) Seja f(x) = sen x x IR. Obtenha (via definição) f (2π/3). (c) Se g(x) = 5 x x IR, mostre (via definição) que g (x) = 5 x. ln 5 x IR. (d) Seja f : IR IR dada por f(x) = 3 3 x x IR Mostre, via definição, que (não existe) f (0) e que f (a) = 1 3 a 2 a 0. 2) (Derivadas Laterais) Quando f : X IR, a é ponto de acumulação BILATERAL de X e f é definida de modos diferentes à direita e à esquerda de a, a existência do limite que define a derivada no ponto a é verificada observando-se a existência e a igualdade dos limites laterais correspondentes (veja Teorema 3.9), chamados DERIVADAS LATERAIS DE f (À DIREITA OU À ESQUERDA) NO PONTO a: f +(a) = lim x a + f(x) f(a) x a (a) Seja f : IR IR dada por f(x) = { e f (a) = lim x a f(x) f(a) x a x 5 + x 3 + 2x se x < 0 x + 2 se x 0 f é derivável em x = 0? Se for, PROVE e obtenha a derivada f (0). Se não for, justifique. { 6x 2 se x 1 (b) Seja f : IR IR dada por f(x) = 5 x se x > 1 f é derivável em a = 1? Se for, PROVE e obtenha f (1). Se não, justifique. { 2x + 1 se x 3 (c) Seja f : IR IR dada por f(x) = x 2 + 8x 8 se x > 3 f é derivável em a = 3? Se for, PROVE e obtenha f (3). Se não for, justifique. { x 3 x 3 se x < 2 (d) Seja f : IR IR dada por f(x) = 7 x 2 se x 2 f é derivável em a = 2? Se for, PROVE e obtenha a derivada f (2). Se não for, justifique. { x + 1 se x < 1 (e) Seja f : IR IR dada por f(x) = 1 + sen (x + 1) se x 1 f é derivável em a = 1? Se for, PROVE e obtenha f ( 1). Se não, justifique.

79 Derivada Regras de derivação Teorema 4.2. Se f, g : X IR são deriváveis em a X, então: (a) Para cada constante c IR, (cf) : X IR é derivável em a e (cf) (a) = c f (a) ; (b) f ± g são deriváveis em a e (f ± g) (a) = f (a) ± g (a) ; (c) (f g) é derivável em a e (f g) (a) = f (a).g(a) + f(a).g (a) ; (d) (f/g) é derivável em a se g(a) 0 e (f/g) (a) = f (a).g(a) f(a).g (a) [g(a)] 2. Exemplos: (A) Para cada função f dada abaixo, obtenha f (onde existir a derivada) 1) f : IR IR dada por f(x) = 6x 3 3x 2 x ) f : IR IR dada por f(t) = 6t 10 t ) f : IR Z IR, Z = {x IR ; cos x = 0}, dada por f(x) = tg x. Exercício: Obtenha d dx ctg x, d dx sec x, d dx csc x 4) f : IR IR dada por f(u) = e u (u cos u).

80 76 CAPÍTULO 4 5) f : IR IR dada por f(t) = sen 2t. 6) f : IR {0} IR dada por f(x) = 1 x n = x n (n = 1, 2, 3,...). (B) Seja g : IR IR dada por g(x) = 4 x 2. 1) Obtenha as equações das retas tangentes ao gráfico de g e que passam pelos pontos: A(1, 3), B(1, 7), e C(1, 2). 2) Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de g e que é paralela à reta y = 2x.

81 Derivada 77 3) Obtenha a equação da reta normal ao gráfico de g no ponto A(1, 3). 4) Em que ponto a tangente ao gráfico é horizontal? (tem coeficiente angular 0) 5) Onde o coeficiente angular da tangente é positivo? 6) Onde o coeficiente angular da tangente é negativo? A Regra da Cadeia - Derivadas de funções compostas Teorema 4.3. (Regra da Cadeia) Sejam u : X IR e g : Y IR tais que u(x) Y composta (g u) : X IR está bem definida: e a Dado a X, se u é derivável em a (existe u (a)) e g é derivável em b = u(a) (existe g (b) = g (u(a)) ), então a composta (g u) : X IR é derivável em a X em temos ainda: (g u) (a) = g (b) u (a) = g (u(a)) u (a) Quanto à função derivada (g u) : x (g u) (x), escrevemos (g u) (x) = g (u(x)) u (x) para todo x onde existirem as derivadas.

82 78 CAPÍTULO 4 Exemplos: Para cada função f : IR IR dada abaixo, obtenha f (onde existir a derivada): (A) f dada por f(x) = cos(x 3 + 1). (B) f dada por f(t) = (4t 3 t 2 + 3t 2) 2. (C) f dada por f(x) = (5x 2 2x + 1) 3. (D) f dada por f(w) = (2w 2 3w + 1)(3w + 2) 4. (E) f dada por f(t) = e kt, k 0 (constante).

83 Derivada 79 (F) f dada por f(t) = sen 2t. (G) f dada por f(t) = cos 5 t. (H) f dada por f(x) = e (x2). (I) f dada por f(w) = (e w sen w) 2. (J) f dada por f(t) = e π cos(2t3).

84 80 CAPÍTULO 4 Derivadas de funções inversas Teorema 4.4. Seja f : I (intervalo) J (intervalo) uma função INVERTÍVEL (bijetora = injetora e sobrejetora) e CONTÍNUA (em todos os pontos de seu domínio I). Sua inversa g : J I é contínua em todos os pontos de J. Mais ainda: Se f é derivável em a I e f (a) 0, então g é derivável em b = f(a) e podemos obter g (b) através da Regra da Cadeia. Exemplos: (A) Derivada da função logarítmica na base e: Exercício: Fixado a > 0, a 1, obtenha g (x) se g : (0, + ) IR é dada por g(x) = log a x Resposta: g(x) = log a x, x (0, + ) g (x) = 1 x ln a x > 0.

85 Derivada 81 (B) Raízes: (C) Funções trigonométricas e suas inversas: Exercício: (a) Se g : [ 1, 1] [0, π] é dada por g(x) = arc cos x, mostre que g 1 (x) = x ( 1, 1) 1 x 2

86 82 CAPÍTULO 4 (b) Se h : IR ( π/2, π/2) é dada por h(x) = arc tg x, mostre que h (x) = x 2 x IR 4.5 Derivação implícita Seja f : [ 1, 1] IR a função dada por f(x) = 1 x 2 para todo x [ 1, 1]. Pondo y = f(x), temos: y = 1 x 2 y 2 = 1 x 2, y 0 ( ) x 2 + y 2 = 1 (y 0) A equação (*) acima estabelece uma relação entre x e y = f(x). Juntamente com a restrição y 0 ela define bem a função f. Por isso dizemos que f ESTÁ IMPLICITAMENTE DEFINIDA POR (*). Tendo em mente que y = f(x), ou seja, y é função de x, é fácil ver que a equação (*) estabelece a igualdade entre x 2 + f(x) 2 e a função constante e igual a 1. Podemos pensar portanto em DERIVAR EM RELAÇÃO À VARIÁVEL x. Vamos fazer isso, admitindo que y = f(x) é derivável e tomando o cuidado de lembrar que y = f(x), ou seja, y 2 é uma composição de funções e DEVEMOS USAR A REGRA DA CADEIA: x 2 + y 2 = 1 2x + 2yy = 0 ( ) y = x y (y 0) Lembrando que y = f(x) = 1 x 2, temos: f (x) = y x = 1 x 2, x ( 1, 1)

87 Derivada 83 Possíveis vantagens da derivação implícita: Derivar a equação (*) que define f implicitamente pode ser mais simples do que tentar obter a derivada através da expressão explícita de f. Uma equação em x e y pode definir implicitamente várias funções e, caso isto ocorra, a derivação implícita serviria para todas elas. Exemplos: (A) Admitindo que f : (0, + ) IR dada por f(x) = ln x é derivável, obtenha f (x) por derivação implícita. (B) Fixado qualquer α IR e admitindo que f : (0, + ) IR dada por f(x) = x α derivável, use logarítmos para obter f (x) por derivação implícita. seja (C) Obtenha a equação da reta tangente à curva x2 4 + y2 = 1 no ponto (1, 3 /2).

88 84 CAPÍTULO 4 (D) Seja g : (0, + ) IR dada por g(x) = log a x (a > 0, a 1). Admitindo que g é derivável, obtenha g (x) via derivação implícita. x (E) Se y = 3 x 3 + 1, obtenha y (x) por derivação implícita. 4.6 Exercícios (A) O objetivo deste exercício é observar a naturalidade da medida de ângulos em radianos, no seguinte sentido: alguns cálculos podem ser mais simples quando utilizamos radianos ao invés de graus como unidades de medida. Quando lidamos com as funções trigonométricas, por exemplo, quase todos os resultados decorrem do seguinte limite: lim x 0 sen x x = 1 (Limite Trigonométrico Fundamental) Ajuste a demonstração que fizemos em aula para o limite acima, considerando desta vez a medida dos ângulos em GRAUS. Calcule também d sen x dx quando x é medido em graus.

89 Derivada 85 (B) Para cada função dada abaixo (por questões de economia, cometemos um abuso ao omitir os domínios e contra-domínios), calcule sua derivada, indicando onde existe: 1) f(x) = 10x 2 + 9x 4 2) h(x) = (2x 2 4x + 1)(6x 5) 3) f(w) = 2w w 3 7 4) f(x) = x + x 2 + x 3 5) g(x) = (8x 7) 5 6) s(t) = ( ) 3 3t + 4 7) h(z) = 9z3 + 2z 6t 7 6z + 1 8) H(x) = 2x + 3 4x ) f(x) = 5 1/x 10) f(x) = 6x 2 5 x x 2 11) f(w) = 3 3w 2 12) f(t) = (t 6 t 6 ) 6 13) f(x) = x m/n m, n 0 Z 14) h(s) = ln(5s 2 + 1) 3 15) f(x) = x ln x 16) g(x) = x2 17) f(u) = ue u 18) h(s) = s 2 e 2s 19) f(x) = e x ln x ln x ( ) e w ) g(w) = ln 21) f(x) = e cos 2x 22) g(x) = x sen x 23) h(x) = ln tg x e w 1 24) f(w) = ln cos 2 3w 25) f(x) = arc tg x x ) f(x) = e 2x arc sen 5x (C) Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de y = 2x 3 + 4x 2 5x 3 no ponto P ( 1, 4). (D) Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de y = 3x 2 + 4x 6 e tal que: (i) Essa tangente seja paralela à reta 5x 2y 1 = 0 ; (ii) Seja tangente ao gráfico no ponto P (1, 1). (E) Obtenha a equação da reta que passa por P (3, 1) e é tangente ao gráfico de y = 4 x. (F) Obtenha a equação da reta normal ao gráfico de f(x) = (x 1) 4 no ponto P (2, 1). (G) Determine as equações da tangente e da normal ao gráfico de y = 8 sen 3 x no ponto P (π/6, 1). (H) Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de f : IR ( 2π, 2π) f(x) = 4. arc tg x no ponto A(1, π). dada por (I) Considere f : IR IR dada por f(x) = e 2x. (i) Qual a equação da reta tangente ao gráfico de f e que passa pelo ponto A(0, 1)? (ii) Qual a equação da reta tangente ao gráfico de f e que tem coeficiente angular 1/2?

90 86 CAPÍTULO 4 (J) Considere f : IR IR dada por f(x) = arc tg x π. (i) Qual a equação da reta tangente ao gráfico de f e que passa pelo ponto A(0, 0)? (ii) Qual a equação da reta normal ao gráfico de f no ponto B( 3, 1/3)? (K) Seja f : IR IR dada por f(x) = e (2x 1) da reta tangente ao gráfico de f e que passa pelo ponto A(1, 0) x IR. Obtenha, se existir, a equação (L) (i) A reta 3y + 8x + 1 = 0 é NORMAL ao gráfico de uma certa função f : IR IR no ponto A(1, 3) (pertencente ao gráfico de f). Obtenha (JUSTIFICANDO) f (1). (ii) Qual o valor de b para que a reta y = 2bx + e seja TANGENTE ao gráfico de g(x) = e (x2 +6x+1) no ponto B(0, e) (pertencente ao gráfico de g)? (JUSTIFIQUE) (M) Para cada função dada abaixo (estamos cometendo um abuso ao omitir os domínios e contra-domínios), calcule sua derivada, indique onde existe e forneça ainda o que se pede: 1) f(x) = (3x 1).(2x + 1) 5. 2) g(w) = 3 3w 1 = (3w 1) 1/3. Obtenha ainda, em particular, g (3). 3) h(s) = π. sec s = π cos s. Obtenha ainda, em particular, h (0). 4) f(t) = e (3t2 t). Obtenha ainda, em particular, f (1/3). 5) f(x) = ln( sen 4 2x). 6) f(x) = 2x2 (x 4) 2. Obtenha ainda, em particular, f (2). 7) h(s) = ctg s 2 = cos s 2 sen s. Obtenha ainda, em particular, h (π/4). 8) g(t) = (2t 1) 3 e (t2 +2t). Obtenha ainda, em particular, g (0). 9) f(w) = ln (5w cos w). Obtenha ainda, em particular, f (0). 10) g(y) = arc tg ( y 1 ). 11) f(x) = x3 e 2x. Responda: Para quais valores de x temos f (x) = 0? 12) h(s) = sen (3s 2 s) + 2 (s2 +3s). Obtenha ainda, em particular, h (0).

91 Derivada 87 13) g(w) = tg w ln(3 w 2 ). Obtenha ainda, em particular, g (0). 14) v(t) = s(t)2 3t (existe s (t) t IR). Se s(1) = 1 e s (1) = 2, obtenha v (1). 15) u(y) = 4 2y cos y = (2y cos y) 1/4. 16) h(s) = 3 s s 2. Obtenha ainda, em particular, h (1). 17) v(t) = ln 2 log 1 (3t 2 + 1). v (1) é positivo, negativo ou zero? Obtenha v (1) para 2 justificar. 18) f(x) = x 2 ln x x2 2. Responda: Para quais valores de x temos f (x) = x? 19) g(w) = csc 2 1 w = sen 2 w. Obtenha ainda, em particular, g (π/4). [ ( )] 1 20) u(y) = tg arc tg. Obtenha ainda, em particular, u ( 3 ). y 21) f(x) = x (ln ln x). Obtenha ainda, em particular, f (2). 22) h(θ) = ( tg θ + 1) 2. Obtenha ainda, em particular, h (π/3). 23) g(w) = ln(w 2 w) + 3(3w2 w 3 ) 24) v(t) = sen [s(t)] t ln 3. Obtenha ainda, em particular, g (2). (existe s (t) t IR). Se s(2) = π/2 e s (2) = e, obtenha v (2). 25) u(y) = 3 3 arc tg y. Obtenha ainda u (1) e responda se u (1) é maior ou menor que 1 (mostre as contas). Respostas de exercícios: Segundo exercício da página 71: d cos x = sen x dx Exercícios da Seção 4.3: 2) (a) f não pode ser derivável em x = 0 pois f não é contínua neste ponto. (b) f não é derivável em a = 1 (apesar de ser contínua neste ponto), pois temos que f +(1) = 1 6 = f (1).

92 88 CAPÍTULO 4 (c) f f(x) f(3) (3) = lim = 2 ( f é derivável em a = 3 ). x 3 x 3 (d) f não é derivável em a = 2 (apesar de ser contínua neste ponto), pois temos que f +(2) = 4 11 = f (2). (e) f não é derivável em a = 1 pois não é contínua neste ponto. Exercício da página 75: d dx ctg x = csc2 x para todo x tal que sen x 0 d sec x = sec x. tg x para todo x tal que cos x 0 dx d csc x = csc x. ctg x para todo x tal que sen x 0 dx Exercícios da Seção 4.6: (A) sen x lim x 0 x = π 180 e d sen x dx = π cos x 180 (se x é dado em GRAUS). (B) 1) f (x) = 20x + 9 x IR 2) h (x) = 36x 2 68x + 26 x IR 3) f (w) = 4w3 14 (w 3 7) 2 w 3 7 4) f (x) = (3x2 + 2x + 1) (1 + x + x 2 + x 3 ) 2 x 1 5) g (x) = 40(8x 7) 6 x 7 8 6) s 135(3t + 4)2 (t) = t 7 (6t 7) 4 6 7) h (z) = 108z3 + 27z (6z + 1) 2 z 1 6 8) H (x) = 18 12x (4x2 + 9) 3 x IR 9) f (x) = 1 5x 5 x x 0 10) f (x) = 12x + 5 x 2 4 3x 3 x 2 x 0 11) f (w) = 2 3 9w w 0 12) f (t) = 6(t 6 t 6 ) 5.(6t 5 + 6t 7 ) t 0 13) f (x) = m n x m n 1 { x > 0 se n é par x 0 se n é ímpar 14) h (s) = 30s 5s s IR 15) f (x) = ln x + 1 x > 0 16) g (x) = 2x ln x x (ln x) 2 x > 0 17) f (u) = (1 u) e u u IR 18) h (s) = (s s 2 ) 2e 2s s IR

93 Derivada 89 19) f (x) = x x (ln x + 1) x > 0 20) g (w) = 2ew e 2w 1 w 0 21) f (x) = 2e cos 2x ( sen 2x x IR 22) g (x) = x sen x cos x ln x + sen x ) x x > 0 23) h (x) = 1 sen x cos x se tg x > 0 24) f (w) = 6 tg 3w se cos 3w 0 25) f (x) = 1 2x arc tg x (x 2 + 1) 2 x IR 26) f (x) = 2e2x arc sen 5x 1 25x 2 5e 2x 1 25x2 ( arc sen 5x) 2 x ( 1 5, 1 5 ) (C) y = 7x 3 (D) (i) y = 5 2 x (ii) y = 10x 9 (E) y = x + 4 ou y = 1 9 x (F) y = x (G) tangente: y = 3 ( ) 3 x + 1 π 3 2 ( 3 normal: y = 9 x π 3 54 ) (H) y = 2x + (π 2) (I) (i) y = 2x + 1 (ii) y = 1 ( ) 1 + ln 4 2 x + 4 (J) (i) y = 1 π x (ii) y = 4π x + ( (K) y = 2e 2 x 2e 2. 12π ) (L) (i) f (1) = 3 8 (ii) b = 3e.

94 90 CAPÍTULO 4 (M) 1) f (x) = (2x + 1) 4 (36x 7) x IR 2) g (w) = 1 3 (3w 1) 2 w 1/3 e g (3) = 1/4 3) h (s) = π. tg s. sec s se cos s 0 e h (0) = 0 4) f (t) = e 3t2 t (6t 1) t IR e f (1/3) = 1 5) f (x) = 8 ctg 2x se sen 2x 0 6) f (x) = 16x (x 4) 3 x 4 e f (2) = 4 7) h (s) = csc2 s 2 se sen s 0 e h (π/4) = 2 8) g (t) = (2t 1) 2 e t2 +2t [6 + (2t 1)(2t + 2)] t IR e g (0) = 4 9) f (w) = 10w sen w 5w cos w w IR e f (0) = 0 10) g (y) = 1 2y y 1 se y > 1 11) f (x) = x2 (3 2x) e 2x x IR. f (x) = 0 quando x = 0 ou x = 3/2. 12) h (s) = cos(3s 2 s).(6s 1) + 2 (s2 +3s). ln 2.(2s + 3) s IR. h (0) = 3 ln ) g (w) = ln(3 w2 ) cos 2 w 2w tg w cos w 0 e 3 < w < 3. g (0) = ln 3. 3 w 2 14) v (t) = 2t s(t) s (t) s(t) 2 3t 2 t 0. v (1) = 1. 15) u (y) = y sen y y IR. (2y cos y) ) h (s) = 2 3 (1 + s 2 ) 2 3(1 + s 2 ) 2. 3 s s 0. h (1) = ) v (t) = 6t 3t t IR. v (1) = 3 2 < 0. 18) f (x) = 2x ln x x > 0. x = f (x) quando x = e.

95 Derivada 91 19) g (w) = 2 cos w sen 3 w sen w 0. g (π/4) = 4. 20) u (y) = 1 y 2 y 0. u ( 3 ) = ) f (x) = ln x + ln 5 x > 0. f (2) = ln ) h (θ) = 2( tg θ + 1). sec 2 θ cos θ 0. h (π/3) = 8( 3 + 1). 23) g (w) = 2w 1 w 2 w + (6w 3w2 ) 3 (3w2 w 3 ) w < 0 ou w > 1. g (2) = ) v (t) = cos[s(t)] s (t) t sen [s(t)] t 2 t 0. v (2) = ) u (y) = y 0. u (1) = 3 < 1. 3 ( arc tg y) y 2 π 2

96 92 CAPI TULO 4

97 Capítulo 5 Aplicações da Derivada 5.1 Acréscimos e diferenciais Consideremos uma função f : X IR derivável em pontos x X. Podemos escrever: f (x) = lim x 0 f(x + x) f(x) x (para cada x onde f for derivável) x é chamado ACRÉSCIMO DE x e representa a variação na variável independente x. Pondo y = f(x) como variável dependente, temos que y = f(x+ x) f(x) representa a VARIAÇÃO DA FUNÇÃO f (devida ao acréscimo x ) e f (x) = lim x 0 Os limites acima significam que, quando x se aproxima cada vez mais de 0 (por valores y x diferentes de 0), y/ x se aproxima cada vez mais de f (x). Então podemos dizer que y/ x é uma boa aproximação para f (x) quando x é pequeno (e diferente de 0) e podemos escrever y x f (x) quando x é pequeno ou então, de modo equivalente, ( ) f(x + x) f(x) = y f (x) x quando x é pequeno A relação (*) acima nos diz que podemos obter boas aproximações para a variação da função, y = f(x + x) f(x), através de f (x) x, com x pequeno!!! 93

98 94 CAPÍTULO 5 Por exemplo, vamos obter uma aproximação para (0, 98) 4 Portanto, f (x) x (que depende dos valores de x e x considerados) desempenha esse importante papel de ser uma boa aproximação para a variação da função f quando x é pequeno. f (x) x será denotado por dy com x e x). e chamado A DIFERENCIAL DE y (varia de acordo Escrevemos também dx = x para a chamada diferencial de x. dy = f (x) x dx = x Geometricamente, temos:

99 Aplicações da Derivada 95 Exemplos: (A) Use diferenciais para obter aproximações para: (a) 3 (2, 001) 2 5 (2, 001) + 3 (b) 4 82 (B) A medida de um lado de um cubo é encontrada como sendo 15 cm, com uma possibilidade de erro de 0,001 cm. Usando diferenciais, encontre o erro máximo no cálculo do volume do cubo.

100 96 CAPÍTULO 5 (C) A Lei da Gravitação de Newton afirma que a força F de atração entre duas partículas de massas m 1 e m 2 é dada por F = g m 1 m 2 onde g é uma constante e s é a distância entre s 2 as partículas. Se s = 20 cm, use diferenciais para obter (aproximadamente) uma variação de s que aumente F em 10%. (D) À medida em que a areia escoa de um recipiente, vai se formando uma pilha cônica cuja altura é sempre igual ao raio. Se, em dado instante, o raio é de 10 cm, use diferenciais para aproximar a variação do raio que ocasiona um aumento de 2 cm 3 no volume da pilha.

101 Aplicações da Derivada 97 Exercícios: 1) Use diferenciais para obter valores aproximados para: (2, 01) 4 3(2, 01) 3 +4(2, 01) 2 5, 3 65, 37, 3 0, 00098, 0, 042, 5(0, 99) 3/5 3(0, 99) 1/5 + 7, ) Considerando ln 2 0, 6931, use diferenciais para aproximar ln(2, 01). 3) Use diferenciais para obter uma aproximação para ctg 46. 4) Use diferenciais para obter o aumento aproximado da área de uma esfera, quando o raio varia de 2 a 2, 02 pés. 5) Os lados oposto e adjacente a um ângulo θ de um triângulo retângulo acusam medidas de 10 pés e 8 pés, respectivamente, com erro possível de 1,5 polegada na medida de 10 pés. Use a diferencial de uma função trigonométrica inversa para obter uma aproximação do erro no valor calculado de θ. (Obs.: 1 pé = 12 polegadas) 6) A altura de um cone circular reto é duas vezes o raio da base. A medida encontrada da altura é de 12 cm, com uma possibilidade de erro de 0,005 cm. Encontre o erro aproximado no cálculo do volume do cone. 7) Se l (em metros) é o comprimento de um fio de ferro quando está a t graus de temperatura, então l = 60e 0, t. Use diferenciais para encontrar o aumento aproximado em l quando t cresce, de 0 a 10 graus. 8) Em um ponto situado a 20 (pés) da base de um mastro, o ângulo de elevação do topo do mastro é de 60, com erro possível de 0, 25. Obtenha, com auxílio de diferenciais, uma aproximação do erro no cálculo da altura do mastro. 9) Uma caixa de metal na forma de um cubo vai ter um volume interno de 64 cm 3. Os seis lados da caixa vão ser feitos de metal com 1/4 cm de espessura. Se o preço do metal que vai ser usado na fabricação da caixa é de R$ 0,80 por cm 3, use diferenciais para encontrar o preço aproximado de todo o metal necessário. 10) A resistência elétrica R de um fio é proporcional ao seu comprimento l e inversamente proporcional ao quadrado de seu diâmetro d. Suponha que a resistência de um fio, de comprimento dado (fixo), seja calculada ( a partir ) do diâmetro com uma possibilidade de erro de 2% d na medida do diâmetro d 100 = 2. Encontre a possível porcentagem de erro no cálculo do valor da resistência.

102 98 CAPÍTULO 5 11) Para medir a altitude de um pico (ponto A, mais elevado e inacessível) em relação ao seu nível, um explorador (ponto B) utilizou dois equipamentos. Usou inicialmente um sofisticado aparelho baseado num feixe de laser e obteve 17 km como medida da distância de B ao ponto A. Porém, para medir o ângulo θ da linha BA com o horizonte foi utilizado um outro aparelho, não tão preciso, e obtida a leitura de θ = π/3 rad, com possibilidade de erro igual a θ = ±0, 01 rad. (a) Obtenha a equação que expressa o desnível h(θ) entre A e B, como função do ângulo θ. (b) Baseado na leitura de θ = π/3 rad, qual o desnível h(θ) calculado pelo explorador? (USE DIFERENCIAIS para obter um resultado aproximado). (c) Utilizando diferenciais, obtenha uma aproximação para o erro h(θ + θ) h(θ) no cálculo do desnível. 12) a) Usando diferenciais, obtenha uma aproximação para a ( VARIAÇÃO ) 5 5 da área de uma esfera quando seu raio aumenta de cm para + 0, 005 cm. π π b) Usando diferenciais, responda: Qual o aumento r do raio que, aplicado à esfera de raio r = 15 cm provoca um aumento aproximado de 10% em seu volume? Obs.: Se uma esfera tem raio r cm, sua área é 4πr 2 cm 2 4 e seu volume é 3 πr3 cm 3 13) Ao encomendar uma pizza gigante, com 50 cm de diâmetro, você recebe a oferta de pagar 10% a mais por um acréscimo de 3 cm no diâmetro. Sem calcular áreas, USE DIFERENCIAIS para responder, JUSTIFICANDO, se aceita ou não a oferta. (Sugestão: Calcule aproximadamente o aumento percentual na área devido ao acréscimo d = 3 cm) Para qual diâmetro (aproximadamente) essa oferta de 3cm a mais no diâmetro com um aumento de 10% no preço seria justa para ambas as partes (você e o vendedor)? 14) Pretende-se construir uma ponte sobre um riacho. No ponto onde será constuída a ponte, o riacho tem 3 m de largura e as margens são desniveladas. Mede-se então o ângulo de inclinação que a ponte terá e obtem-se a medida de 30 o, com possibilidade de erro de 1 o. Use diferenciais para obter uma aproximação do erro no cálculo do comprimento da ponte. 15) Um empresário fabrica tanques com a forma de cones invertidos nos quais a altura é sempre igual ao diâmetro da base. Sem calcular volumes, USE DIFERENCIAIS para obter (JUSTIFICANDO) o aumento percentual aproximado na capacidade (volume) dos tanques se o raio da base é aumentado em 3, %.

103 Aplicações da Derivada A Derivada como razão de variação Variação média: Sejam f : X IR e y = f(x). A variável y representa uma quantidade de alguma grandeza (distância, volume, área, etc.) que depende da variável independente x, a qual por sua vez representa também uma quantidade de alguma grandeza. Já vimos que y = f(x 1 + x) f(x 1 ) é a variação da função, correspondente a uma variação de x 1 a x 1 + x ( x é o chamado acréscimo em x). Então y x = f(x 1 + x) f(x 1 ) é a chamada VARIAÇÃO MÉDIA de y por unidade x de variação de x, quando x varia de x 1 a x 1 + x. Exemplo: Seja S (em centímetros quadrados) a área de um cubo de aresta x (centímetros). Encontre a razão de variação média da área por unidade de variação no comprimento da aresta quando x varia de... (a)... 3 a 3, 2 cm (b)... 3 a 3, 1 cm Variação instantânea: Quando fazemos x 0 no quociente y/ x ( lim x 0 ) y, o limite (quando existir) x será a RAZÃO (TAXA) DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA de y por unidade de variação de x em (no INSTANTE em que) x = x 1. Mas lim x 0 y x = lim x 0 f(x 1 + x) f(x 1 ) x = f (x 1 ) (se existir o limite). Portanto a derivada f (x 1 ) representa a razão (taxa) de variação instantânea de y = f(x) por unidade de variação de x no instante em que x = x 1.

104 100 CAPÍTULO 5 Exemplo: Considerando o exemplo anterior, qual a razão de variação da área do cubo por variação de centímetro no comprimento da aresta quando x = 3? Definimos ainda a taxa (razão) de VARIAÇÃO RELATIVA de y por unidade de variação de x em x 1 como sendo f (x 1 ) f(x 1 ) (proporção da variação instantânea em relação à quantidade f(x 1 ) em x = x 1 ). Multiplicando por 100, temos a taxa de VARIAÇÃO PERCENTUAL, dada por f (x 1 ) f(x 1 ) 100. Exemplos: (A) Um cilindro reto, de base circular, tem altura constante igual a 10 cm. Se V cm 3 é o volume desse cilindro e r cm o raio de sua base, encontre: (a) A razão de variação média do volume por unidade de variação do raio, quando r varia de 5 a 5, 1 cm. (b) A razão de variação instantânea do volume, por unidade de variação do raio, quando r = 5 e quando r = 5, 1 cm. (c) As taxas de variação relativas do volume, por unidade de variação do raio, quando r = 5 e quando r = 5, 1.

105 Aplicações da Derivada 101 (B) O lucro de um depósito de retalhos é de 100y reais quando x reais são gastos diariamente em propaganda e y = x 0, 2x 2. Use a derivada para determinar se seria vantajoso que o orçamento diário de propaganda aumentasse, nos seguintes casos: (a) O orçamento atual é de 60 reais diários; (b) O orçamento atual é de 100 reais diários. (C) Em um circuito elétrico, se E é a força eletromotriz, R ohms é a resistência e I amperes é a corrente, a Lei de Ohm afirma que IR = E. Admitindo que E seja constante, mostre que R decresce em uma razão que é proporcional ao inverso do quadrado de I. Se E = 100 volts, qual a taxa de variação de I por unidade de variação de R quando R = 20 ohms? (D) A Lei de Boyle para os gases afirma que p V = c, onde p é a pressão, V é o volume e c uma constante. Suponhamos que no instante t (minutos), a pressão seja dada por t u.p., com 0 t 10. Se em t = 0 o volume é de 60 cm 3, determine a taxa de variação do volume por unidade de variação do tempo quando t = 5.

106 102 CAPÍTULO 5 Um caso particular: interpretação cinemática da Derivada Suponhamos agora que s = s(t) represente a posição de um objeto ao longo de uma linha reta, como função do tempo t: Se em t 1 o objeto estava em s(t 1 ) e em t 1 + t estava em s(t 1 + t), a variação total da posição do objeto entre os instantes t 1 e t 1 + t é dada por s = s(t 1 + t) s(t 1 ) A taxa de variação média de s por unidade de variação de tempo, entre o t 1 e t 1 + t é s(t 1 + t) s(t 1 ) t Essa é a VELOCIDADE MÉDIA com que o objeto se movimentou de s(t 1) até s(t 1 + t) entre os instantes t 1 e t 1 + t. A razão de variação instantânea da posição s do objeto por unidade de variação do tempo, no instante t 1 é dada por s (t 1 ) = lim t 0 s(t 1 + t) s(t 1 ) t Essa é a VELOCIDADE INSTANTÂNEA do objeto no instante t = t 1. Se s (t 1 ) > 0 então a taxa de variação em t 1 é positiva, ou seja, s está aumentando em t 1, ou melhor, o objeto está se movimentando no sentido adotado como positivo. Se s (t 1 ) < 0, o movimento em t 1 é contrário ao sentido positivo. Se s (t 1 ) = 0 então o objeto está parado no instante t 1. Exemplos: (A) Um foguete é lançado verticalmente para cima e está a s m do solo t s após ter sido lançado (t 0), sendo s(t) = 160t 5t 2 (o sentido positivo é para cima). Determine: (a) A velocidade média entre os instantes t = 0 e t = 4 s. (b) A velocidade instantânea nos instantes t = 0 (velocidade inicial) e t = 2 s. (c) Em t = 20 s, o foguete está subindo ou caindo?

107 Aplicações da Derivada 103 (d) Quanto tempo leva o foguete para alcançar a sua altura máxima? (e) Qual a altura máxima atingida pelo foguete? (B) Uma pedra é solta de um edifício de 80 m de altura e a equação do movimento é dada por s(t) = 5t 2 (t em segundos, t 0, orientação positiva para cima). (a) Qual a velocidade da pedra 1 segundo após ser lançada? (b) Quanto tempo leva a pedra para alcançar o solo? (c) Qual a velocidade (instantânea) da pedra ao atingir o solo? (d) Qual a velocidade média entre os instantes t = 0 e o choque com o solo?

108 104 CAPÍTULO 5 Obs.: Assim como definimos a velocidade como variação da posição por unidade de variação do tempo, definimos a ACELERAÇÃO como sendo a variação da velocidade (olhando v = v(t)) por unidade de variação do tempo. (C) A posição s de um objeto em movimento retilíneo é dada por s(t) = 2t 3 15t t 10, com t medido em segundos e s(t) em metros. Determine a aceleração quando a velocidade é de 12 m/s. Determine a velocidade quando a aceleração é de 10 m/s 2. (D) Um bombardeiro está voando paralelo ao chão a uma altitude de 2 km e a uma velocidade constante de 4, 5 km/min. A que razão varia a distância entre o bombardeiro e o alvo exatamente 20 segundos após o bombardeiro passar sobre o alvo?

109 Aplicações da Derivada 105 Exercícios: 1) O volume de um balão esférico (em pés cúbicos) t horas após 13:00 é dado pela equação V (t) = 4 3 π(9 2t)3, com 0 t 4. Qual a variação média do volume por unidade de variação de tempo entre t = 0 e t = 4? Qual a taxa de variação do volume por unidade de variação de tempo às 16:00? 2) Suponha que, t segundos após ter começado a correr, o pulso de um indivíduo tenha sua taxa dada por P (t) = t 2 t (batimentos por minuto), com 0 t 7. Determine a variação média de P por unidade de variação de t quando t varia de 2 a 4 segundos. Obtenha a taxa de variação de P por unidade de variação de t em t = 2, t = 3, t = 4. 3) O iluminamento I (em u.i. - unidades de iluminamento ) de uma fonte de luz é diretamente proporcional à intensidade S da fonte e inversamente proporcional ao quadrado da distância d da fonte. Se, para uma certa fonte, I = 120 u.i. a uma distância de 2 pés, determine a taxa de variação de I por unidade de variação de d, quando d = 20 pés. 4) A relação entre a temperatura F, na escala Fahrenheit, e a temperatura C, na escala Celsius, é dada por C = 5/9(F 32). Qual a taxa de variação de F em relação a C? 5) Deve-se construir uma caixa aberta com uma folha retangular de cartolina de 40 cm de largura e 60 cm de comprimento, cortando-se um quadrado de s cm de lado em cada canto e dobrando-se a cartolina. Expresse o volume V da caixa em função de s e determine a taxa de variação de V em relação a s. Se queremos obter uma caixa com o maior volume possível, responda se é conveniente ou não aumentar s quando: s = 5cm ou s = 10cm. Obs.: Lembremos que a ACELERAÇÃO de um objeto em movimento retilíneo é a taxa de variação da velocidade v por unidade de variação do tempo t. 6) Para cada uma das situações abaixo, define-se a posição s de um objeto em movimento retilíneo como função do tempo t. Determine a velocidade e aceleração em cada instante t e tente descrever o movimento (posição inicial, velocidade inicial, direções do movimento, quando a velocidade aumenta, diminui, etc.) durante os intervalos de tempo indicados: (a) s(t) = 3t 2 12t+1, t [0, 5] (b) s(t) = t+4/t, t [1, 4] (c) s(t) = 24+6t t 3, t [ 2, 3] (d) s(t) = 1 e 3t 3, t [0, 2] (e) s(t) = 3 cos πt, t [0, 2] (f) s(t) = t 2 4 ln(t+1), t [0, 4] 7) Lança-se um objeto verticalmente para cima, sendo a altura atingida s pés após t segs dada por s(t) = 144t 16t 2. Obtenha a velocidade e a aceleração iniciais e no instante t = 3 s (descreva o que ocorre). Qual a altura máxima atingida? Quando o objeto atinge o solo?

110 106 CAPÍTULO 5 8) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito pela equação s(t) = [ln(1 + t)] t/4 (t medido em segundos, t 0, s = s(t) = posição ao longo de um eixo orientado, medida em metros). (a) Obtenha a velocidade média entre os instantes t = 0 e t = 2. (b) Obtenha a velocidade nos instantes t = 0 (velocidade inicial) e t = 2. (c) Em que instante o objeto pára? Em que posição isto ocorre? Qual a aceleração neste instante? 9) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito pela equação s(t) = 10 ln(2t + 1) (2t + 1) de um eixo orientado, medida em metros). (t medido em segundos, t 0, s = s(t) =posição ao longo (a) Obtenha a velocidade média entre os instantes t = 0 e t = 3. (b) Obtenha a velocidade nos instantes t = 0 (velocidade inicial) e t = 3. (c) Em que instante o objeto está parado? (d) Descreva o deslocamento do objeto, quando t varia de 0 até t +. 10) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito pela equação s(t) = 2t2 e t medida em metros). (t medido em segundos, t 0, s = s(t) =posição ao longo de um eixo orientado, (a) Obtenha a velocidade média entre os instantes t = 0 e t = 2, a velocidade no instante t = 1 e responda qual delas é a maior (mostre as contas). (b) O que ocorre com s(t) quando t +? (c) Qual a maior distância da posição inicial que é atingida pelo objeto? 11) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito pela equação s(t) = t ln(1 + 2t) orientado, medida em metros). (t medido em segundos, t 0, s = s(t) =posição ao longo de um eixo (a) Obtenha a velocidade média entre os instantes t = 0 e t = e3 1. (b) Obtenha a 2 velocidade nos instantes t = 0 e t = e3 1. (c) Obtenha a aceleração no instante t = 0. 2 (d) O que ocorre com a velocidade e com a aceleração quando t +? 12) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito pela equação s(t) = 3 e t2 (t medido em segundos, t 0, s = s(t) =posição ao longo de um eixo orientado, medida em metros). (a) Obtenha a velocidade média entre os instantes t = 0 e t = 2, a velocidade no instante t = 1 e responda qual delas é a maior (mostre as contas). (b) O que ocorre com a velocidade instantânea v(t) quando t +? (c) O que ocorre com s(t) quando objeto (se existir)? t +? Qual a maior distância da posição inicial que é atingida pelo Obs.: Para 9) (d), 10) (b), 11) (d) e 12) (b), (c) use as Seções 5.8, 5.9 e 5.10

111 Aplicações da Derivada Taxas relacionadas Em alguns problemas, podemos ter várias grandezas relacionadas através de equações. Exemplos: (A) Uma escada com 5 m de comprimento está inclinada e apoiada numa parede vertical. Sua base, apoiada no chão, está sendo empurrada na direção da parede a uma velocidade de 0,5 m/s. Qual a velocidade com que a ponta da escada (apoiada na parede) se move quando a base está a 4 m da parede? (B) Infla-se um balão esférico de tal modo que seu volume aumenta à razão de 5 dm 3 /min. A que razão o diâmetro do balão cresce quando o diâmetro é de 12 dm?

112 108 CAPÍTULO 5 (C) Um tanque de água com a forma de cone invertido e altura igual ao diâmetro está sendo enchido à razão de 3 m 3 /s. Qual a velocidade com que o nível de água sobe, quando a parte cheia com água tem 2 m de altura? (D) Um farol, situado a 1000 m de uma costa (praticamente) reta está girando com uma velocidade de 3 rpm (rotações por minuto). Qual a velocidade da luz do farol na região costeira quando o ângulo entre o feixe de luz e a perpendicular do farol à praia é de π/4 rad?

113 Aplicações da Derivada 109 Exercícios: 1) Um papagaio de papel está voando a uma altura de 40m. Um garoto está empinando o papagaio de tal modo que este se move horizontalmente a uma razão de 3m/seg. Se a linha está esticada, com que razão deve o garoto dar linha quando o comprimento da corda solta é 50m? 2) Um carro que viaja à razão de 30m/seg aproxima-se de um cruzamento. Quando o carro está a 120m do cruzamento, um caminhão que viaja a 40m/seg atravessa o cruzamento. O carro e o caminhão estão em estradas que formam ângulos retos uma com a outra. Com que rapidez separam-se o carro e o caminhão 2 segundos depois que o caminhão passou pelo cruzamento? 3) De um orifício em um recipiente vaza areia, que forma um monte cônico cuja altura é sempre igual ao raio da base. Se a altura aumenta à razão de 6 pol/min, determine a taxa de vazamento da areia quando a altura da pilha é 10 pols. 4) Uma lâmpada colocada em um poste está a 5m de altura. Se um homem de 2m de altura caminha afastando-se da lâmpada à razão de 1m/seg, com que rapidez se move a extremidade de sua sombra no instante em que ele está a 4m do poste? Com que rapidez se alonga sua sombra neste instante? Qual velocidade é a maior, a da extremidade da sombra ou a de alongamento da sombra? O que ocorre em outros instantes? 5) A Lei de Boyle para os gases afirma que p.v = c, onde p é a pressão, v é o volume e c uma constante. Em certo instante, o volume é de 75 pols 3, a pressão 30 lbs/pol 2 e a pressão decresce à razão de 2 lbs/pol 2 por minuto. Qual a taxa de variação do volume neste instante? 6) Um ponto P (x, y) se move sobre o gráfico da equação y = ln(x 3 ) (x > 0) e sua abscissa x varia à razão de 0,5 unidade por segundo. A ordenada y também varia a uma razão fixa? Qual a taxa de variação da ordenada no ponto (e, 3)? 7) Quando duas resistências elétricas R 1 e R 2 são ligadas em paralelo, a resistência total R é dada por 1/R = (1/R 1 ) + (1/R 2 ). Se R 1 e R 2 aumentam à razão de 0,01 ohms/s e 0,02 ohms/s, respect., qual a taxa de variação de R no instante em que R 1 = 30 ohms e R 2 = 90 ohms? 8) Uma vara de metal tem a forma de um cilindro circular reto. Ao ser aquecida, seu comprimento aumenta à taxa de 0,005 cm/min e seu diâmetro cresce à razão de 0,002 cm/min. Qual a taxa de variação do volume quando o comprimento é 40 cm e o diâmetro é 3 cm?

114 110 CAPÍTULO 5 9) Uma escada com 6 m de comprimento está apoiada em um dique inclinado a 60 em relação à horizontal. Se a base da escada está sendo movida horizontalmente na direção do dique à razão de 1 m/s, com que rapidez move-se a parte superior da escada (apoiada no dique), quando a base estiver a 4 m do dique? 10) Um avião voa a uma altura constante de 5000 pés ao longo de uma reta que o levará diretamente a um ponto acima de um observador no solo. Se, em dado instante, o observador nota que o ângulo de elevação do avião é de 60 e aumenta à razão de 1 por segundo, determine a velocidade do avião neste instante. 11) Um triângulo isósceles tem os dois lados iguais com 6 pols cada um. Se o ângulo entre os lados iguais varia à razão de 2 por min, com que velocidade varia a área do triângulo quando θ = 30? 12) A luz de um farol localizado a 1/8 de milha do ponto mais próximo P de uma estrada retilínea está sobre um carro que percorre a estrada com a velocidade de 50 milhas por hora, se afastando de P. Determine a taxa de rotação do farol no instante em que o carro está a 1/4 de milha do farol. 13) Uma escada de 5 m de altura está apoiada numa parede vertical. Se a parte inferior da escada é puxada horizontalmente para fora da parede de tal forma que o topo da escada escorrega à razão de 3 m/s, com que velocidade está variando a medida do ângulo entre a escada e o solo quando a parte inferior da escada está a 3 m da parede? 14) Um homem num cais está puxando um bote à razão de 2 m/s por meio de uma corda (esta é a velocidade com que puxa a corda). As mãos do homem estão a 30 cm do nível do ponto onde a corda está presa no bote. com que velocidade varia a medida do ângulo de deflexão da corda (entre a corda e o movimento do bote) quando o comprimento da corda é de 50 cm? 15) Um quadro de 40 cm de altura está colocado numa parede, com sua base a 30 cm acima do nível dos olhos de um observador. Se o observador se aproximar da parede à razão de 4 m/s, com que velocidade varia a medida do ângulo subtendido pelo quadro a seus olhos, quando o observador estiver a 1 m da parede?

115 Aplicações da Derivada ) Despeja-se água num recipiente de forma cônica à razão de 8 cm 3 /min. O cone tem 20 cm de profundidade e 10 cm de diâmetro em sua parte superior. Com que velocidade deve aumentar a profundidade da água no recipiente quando a água estiver a 16 cm do fundo? Suponhamos agora que se tenha a informação adicional de que existe um furo no fundo, pelo qual a água escoa, e que a água está subindo à razão de 1/8π cm/min neste instante (quando a água está a 16 cm do fundo). Com que velocidade a água está escoando? 17) Uma escada de 5 m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Sua base, que está apoiada no chão, está sendo empurrada na direção da parede a uma velocidade constante de 1 m/s. (a) Mostre que a velocidade com que o topo da escada se desloca não é constante. (b) Qual a velocidade com que o topo da escada se desloca quando a base está a 3 m da parede? (c) Qual a velocidade com que o topo da escada se desloca quando o ângulo da escada com o chão é de π/4 rad? 18) A luz de um farol que gira à taxa de 1,5 rpm (rotações por minuto) está iluminando (acompanhando) um carro que passa numa estrada retilínea. (Obs.: O farol está distante da estrada) No momento em que o ângulo do feixe de luz do farol com a perpendicular do farol à estrada é de π/3 rad, a distância do farol ao carro é de 250 m = 1/4 km. Obtenha a velocidade do carro neste instante, em km/h. A velocidade de rotação do farol é constante. Responda se a velocidade do carro também é constante e justifique. 19) Uma escada de 4 m está apoiada numa parede vertical. Se a base da escada (apoiada no chão) é empurrada na direção da parede à razão (constante) de 2 m/s, com que velocidade está variando a medida do ângulo (agudo) entre a escada e a parede vertical quando a base da escada está a 2 m da parede? A velocidade de variação deste ângulo é constante? (Justifique) 20) Dois ciclistas partem de um mesmo ponto às 8 horas da manhã, um viajando para leste, a 15 km/hora, e o outro para o sul, a 20 km/hora. (a) Como estará variando a distância entre eles quando for meio-dia? (b) Como estará variando a área do triângulo formado pelo ponto de partida e as posições dos ciclistas ao meio-dia? 21) Um homem num cais está puxando um bote à razão de 1 m/s por meio de uma corda (esta é a velocidade do bote). As mãos do homem estão a 1 m acima do nível do ponto onde a corda está presa no bote. Com que velocidade varia a medida do ângulo de deflexão da corda (entre a corda e o movimento do bote) quando o bote está a 3 m de distância ( medidos na horizontal ) do homem?

116 112 CAPÍTULO Alguns resultados importantes Pontos críticos, máximos e mínimos: Definição 5.1. Um ponto c X é um PONTO CRÍTICO de f : X IR quando f (c) = 0 ou não existe f (c). Exemplos: (A) Seja f 1 : IR IR dada por f 1 (x) = x 3 12x. (B) Seja g : IR IR dada por g(x) = x 3. (C) Seja h : IR IR dada por h(x) = e x. (D) Seja s : IR IR dada por s(x) = cos x. (E) Seja f 2 : IR IR dada por f 2 (x) = (x + 5) 2 3 x 4.

117 Aplicações da Derivada 113 Teorema 5.1. Seja f : X IR uma função. Se c é um ponto de máximo ou mínimo local de f e c I (intervalo aberto) X então c é um ponto crítico de f, ou seja, f (c) = 0 ou f (c). Consequência importante do Teorema 5.1: Se f : [a, b] IR é uma função contínua, sabemos (ver Teorema 3.12) que f assume máximo e mínimo absolutos neste intervalo, ou seja, existem c M e c m em [a, b] tais que f(c M ) f(x) e f(c m ) f(x) para todo x [a, b]. O Teorema 5.1 nos diz que os candidatos a c M e c m são os pontos críticos de f em (a, b) juntamente com os extremos a e b do intervalo [a, b]. Exemplos: (A) f : [ 3, 5] IR dada por f(x) = x 3 12x.

118 114 CAPÍTULO 5 (B) Seja g : IR IR dada por g(x) = x 3. Obs.: Este exemplo mostra que não vale a recíproca do Teorema 5.1 (C) (Aplicação) Um fabricante de caixas de papelão deseja fazer caixas abertas de pedaços quadrados de 12 dm de lado, cortando quadrados iguais nos quatro cantos e dobrando os lados. Encontre o comprimento do lado do quadrado que se deve cortar para obter uma caixa cujo volume seja máximo.

119 Aplicações da Derivada 115 O Teorema do Valor Médio para Derivadas: Teorema 5.2. (Rolle) Se f é contínua em um intervalo limitado e fechado [a, b], derivável no intervalo aberto correspondente (a, b) e f(a) = f(b), então existe (pelo menos um) c (a, b) tal que f (c) = 0. Teorema 5.3. (Teorema do Valor Médio, de Lagrange) Se f é contínua em um intervalo limitado e fechado [a, b] e derivável no intervalo aberto correspondente (a, b) então existe (pelo menos um) c (a, b) tal que f(b) f(a) = f (c) (b a), ou seja, f f(b) f(a) (c) =. b a Principais conseqüências do Teorema do Valor Médio: Teorema 5.4. (Sobre crescimento e decrescimento) Seja f contínua em um intervalo limitado e fechado [a, b] e derivável no intervalo aberto correspondente (a, b). (i) Se f (x) > 0 para todo x em (a, b), então f é CRESCENTE em [a, b]. (ii) Se f (x) < 0 para todo x em (a, b), então f é DECRESCENTE em [a, b].

120 116 CAPÍTULO 5 Teorema 5.5. (Teste da Derivada Primeira) Seja f uma função contínua em [a, b] e derivável em (a, b), exceto possivelmente em um ponto crítico c (a, b). (i) Se f (x) > 0 x (a, c) e f (x) < 0 x (c, b), então c é ponto de máximo local de f. (ii) Se f (x) < 0 x (a, c) e f (x) > 0 x (c, b), então c é ponto de mínimo local de f. (iii) Se f (x) > 0 x c em (a, b) ou se f (x) < 0 x c em (a, b) então c não é nem máximo nem mínimo local de f. Exemplos: (A) Seja g : IR IR dada por g(x) = x 3 12x x IR. Obtenha máximos ou mínimos locais de g e onde g é crescente ou decrescente.

121 Aplicações da Derivada 117 (B) Seja f : IR IR dada por f(x) = x 4 4x 2 x IR. (C) Seja h : IR IR dada por h(x) = x 1/3 (8 x) x IR. (D) Seja u : IR IR dada por u(x) = (x + 5) 2 3 x 4 x IR. 5.5 Concavidade e pontos de inflexão Derivadas de ordem superior: Consideremos, POR EXEMPLO, f : IR IR dada por f(x) = 2x 3 5x 2 + x + 2. Para todo x IR existe f (x) = 6x 2 10x + 1. Podemos considerar portanto a função f : IR IR dada por f (x) = 6x 2 10x + 1 f (x) f (a) e indagar se ela é derivável ou não, ou seja, se existe lim x a x a a IR (existindo, f (a) é chamada a derivada segunda de f em a). = f (a) para cada Como f (neste exemplo) é polinomial, sabemos que existe, x IR, f (x) = 12x 10 e temos portanto uma nova função f : IR IR dada por f (x) = 12x 10 x IR (f é a função derivada segunda de f. Podemos pensar (novamente) em derivar f e assim por diante... (Exemplos) Obs.: (A) Já interpretamos f como taxa de variação instantânea de y = f(x) por unidade de variação de x. Como f é a derivada de f, então f é a taxa de variação instantânea de f (x) por unidade de variação de x. Em resumo: f mede a variação de f ; f mede a variação de f ; f mede a variação de f e assim por diante... (B) Vimos também que se s = s(t) representa a posição s de um objeto ao longo de uma linha reta, como função do tempo t, chamamos de VELOCIDADE (INSTANTÂNEA) a taxa de variação instantânea de s por unidade de variação de t, ou seja, v(t) = s (t). Derivando novamente, temos a variação da velocidade v (t) = s (t) (derivada segunda de s), a qual chamamos de ACELERAÇÃO no instante t.

122 118 CAPÍTULO 5 Testes de concavidade: Teorema 5.6. (Sobre concavidade) Seja f derivável em um intervalo aberto contendo c. (i) Se existe f (c) > 0 então no ponto ponto (c, f(c)) o gráfico de f tem a concavidade voltada para cima. (ii) Se existe f (c) < 0 então no ponto ponto (c, f(c)) o gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo. Exemplos: (A) Seja f : IR IR dada por f(x) = x 3 x IR. (B) Seja g : IR IR dada por g(x) = e x x IR.

123 Aplicações da Derivada 119 (C) Seja h : (0, + ) IR dada por h(x) = ln x x > 0. (D) Seja u : IR IR dada por u(x) = sen x x IR. (E) Seja f 1 : IR IR dada por f 1 (x) = x 3 12x x IR. Definição 5.2. (Ponto de inflexão) Um ponto (c, f(c)) do gráfico de uma função f, f contínua em c, é chamado um PONTO DE INFLEXÃO quando neste ponto a concavidade muda de sentido, ou seja, existe um intervalo aberto (a, b) contendo c tal que uma das seguintes situações ocorre: (i) f (x) > 0 se x (a, c) e f (x) < 0 se x (c, b) ; (ii) f (x) < 0 se x (a, c) e f (x) > 0 se x (c, b).

124 120 CAPÍTULO 5 Teorema 5.7. (Teste da Derivada Segunda) Se f é derivável em um intervalo aberto contendo c e f (c) = 0, temos: (i) Se f (c) < 0 então f tem máximo local em c ; (ii) Se f (c) > 0 então f tem mínimo local em c. Obs.: Se f (c) = 0 nada podemos concluir (tente o Teste da Derivada Primeira). Exemplo: Seja f 1 : IR IR dada por f 1 (x) = x 3 12x. Resumindo: f mede a variação de f; Sinal de f : crescimento e decrescimento de f; Teste da Derivada Primeira: máximos e/ou mínimos. f mede a variação de f ; Sinal de f : concavidade do gráfico de f; Teste da Derivada Segunda: máximos e/ou mínimos. 5.6 Aplicações em problemas de máximos e/ou mínimos (A) Determine as dimensões do retângulo de área máxima que pode ser inscrito num triângulo equilátero de lado a, com dois dos vértices sobre um dos lados do triângulo.

125 Aplicações da Derivada 121 (B) Os pontos A e B são opostos um ao outro nas margens de um rio reto com 3 km de largura. O ponto C está na mesma margem que B, mas a 6 km de B, rio abaixo. Uma companhia telefônica deseja estender um cabo de A até C. Se o custo por km do cabo é 25% mais caro sob a água do que em terra, que linha de cabo seria menos cara para a companhia? (C) Um cartaz de 20 pés de altura está localizado no topo de um edifício de tal modo que seu bordo inferior está a 60 pés acima do nível do olho de um observador. Use funções trigonométricas inversas para determinar a que distância de um ponto diretamente abaixo do cartaz o observador deve se colocar para maximizar o ângulo entre as linhas de visão do topo e da base do cartaz.

126 122 CAPÍTULO 5 Exercícios: 1) Se uma caixa de base quadrada, aberta no topo, deve ter um volume de 4 pés cúbicos, determine as dimensões que exigem a menor quantidade de material (desprezar a espessura e aperda de material). Refaça o problema considerando o caso de uma caixa coberta. 2) Determine as dimensões do cone circular reto de volume máximo que pode ser inscrito numa esfera de raio a. 3) Uma longa folha retangular de metal, de 12 polegadas de largura, vai ser utilizada para formar uma calha, dobrando-se em ângulo reto duas bordas (de mesma medida). Quantas polegadas devem ser dobradas de forma que a capacidade da calha seja máxima? Refaça o problema considerando que os lados da calha devam fazer um ângulo de 2π/3 rad com a base. 4) Encontre as dimensões do retângulo de maior área que tem 200 cm de perímetro. 5) Determine o ponto do gráfico de y = x 3 mais próximo do ponto (4, 0). 6) Um fabricante vende certo artigo aos distribuidores a US$20,00 por unidade para pedidos de menos de 50 unidades. No caso de pedidos de 50 unidades ou mais (até 600), o preço unitário tem um desconto igual a US$0,02 vezes o número de encomendas. Qual volume de encomendas proporciona maior receita para o fabricante? 7) Às 13:00 horas um navio A está a 30 milhas ao sul do navio B e navegando rumo norte a 15 mph (milhas por hora). Se o navio B está navegando rumo oeste a 10 mph, determine o instante em que a distância entre os dois navios é mínima. 8) Uma ilha está num ponto A, a 6 km do ponto B mais próximo numa praia reta. Um armazém está num ponto C a 9 km de B na praia. Se um homem pode remar à razão de 4 km/h e caminhar à razão de 5 km/h, onde ele deveria desembarcar para ir da ilha ao armazém no menor tempo possível? 9) Encontre as dimensões do cilindro circular reto de maior volume que pode ser inscrito num cone circular reto com altura 12 cm e raio da base 6 cm. 10) José comprou uma TV nova, de tela plana, para assistir à Copa do Mundo. A TV tem uma altura de 0,5 m e vai ser colocada a 4 m de distância dos olhos de José, quando ele estiver sentado confortavelmente em seu sofá, xingando aqueles milionários que estão jogando ɛ vezes o que deveriam para ganhar a Copa (ɛ 0). Sabendo que os olhos de José, ao sentar-se, estão a 1,5 m de altura do solo e num nível entre os bordos inferior e superior da TV, a que altura do solo deve ser colocada a TV para que o ângulo de visão de José seja máximo?

127 Aplicações da Derivada ) Um oleoduto deve ligar dois pontos A e B, distantes 3 milhas e situados nas margens opostas e um rio retilíneo de 1 milha de largura. Parte do oleoduto será construída sob a água, de A até um ponto C na margem oposta, e o restante à superfície, de C até B. Se o custo de construção do oleoduto sob a água é quatro vezes o custo da construção à superfície, determine a localização de C que minimize o custo de construção. 12) O proprietário de um pomar estima que, plantando 24 árvores por are, cada árvore produzirá 600 maçãs por ano. Para cada árvore adicional plantada por are, haverá uma redução de 12 maçãs por pé por ano. Quantas árvores deve plantar por are para maximizar o número de maçãs (por are por ano)? 13) Um piloto de testes da Fórmula 1 percorre um circuito elíptico plano, de forma que sua posição, após t vezes 10-segundos, é dada por s(t) = (x(t), y(t)) = (2 cos t, sen t) (faça um esboço da trajetória percorrida pelo piloto). O vetor velocidade (tangencial), num instante t é dado por v(t) = s (t) = ( 2. sen t, cos t) (tente fazer um esboço). A velocidade (tangencial) escalar é dada pelo módulo do vetor velocidade: v(t). Supondo que o deve completar pelo menos uma volta no circuito, calcule os pontos onde o piloto alcança as velocidades máximas e mínimas. (Sugestão: maximizar e minimizar v(t) 2 ) 14) Dado um cilindro circular reto de altura h cm e raio das bases r cm, sua área total é S = (2πr 2 + 2πrh) cm 2 DE ÁREA TOTAL S e seu volume é V = πr 2 h cm 3. DENTRE TODOS OS CILINDROS = 12π cm2, obtenha as dimensões (r e h) daquele que tem o maior volume possível e forneça o maior volume que pode ser obtido. 15) Quando duas resistências elétricas R 1 e R 2 são ligadas em paralelo, a resistência total R é dada por 1 R = 1 R R 2. Se R 1 > 0, R 2 > 0 e R 1 + R 2 = 50 ohms, obtenha (JUSTIFICANDO) R 1 e R 2 tais que R seja máxima. (Sugestão: Exprima R como função de uma única variável para então resolver o problema) E se fossem pedidos R 1 e R 2 tais que R seja mínima? Justifique a resposta. 16) Um fazendeiro dispõe de 1km de cerca. Uma parte da cerca será utilizada para cercar uma área circular e o restante para cercar uma área quadrada. Ele também pode utilizar toda a cerca para cercar uma única área (circular ou quadrada). Como ele deve proceder para que: (a) A área total cercada seja a menor possível; (b) A área total cercada seja a maior possível. 17) Obtenha o raio das bases e a altura do CILINDRO CIRCULAR RETO de VOLUME MÁXIMO que pode ser inscrito numa esfera de raio 3 2 m.

128 124 CAPÍTULO Aplicações em esboços de gráficos Dada uma função f : X IR, nos interessa utilizar nossos estudos sobre derivadas para fazer um esboço do gráfico de f. Algumas dicas: 1) Obter a derivada primeira f e os pontos críticos (onde f se anula ou não existe); 2) Estudando o sinal de f, obter informações sobre o crescimento/decrescimento de f; 3) Obter a derivada segunda f e estudar o seu sinal para obter informações sobre a concavidade do gráfico de f; 4) Usar o Teste da Derivada Primeira ou o Teste da Derivada Segunda para descobrir máximos ou mínimos locais; 5) Obter alguns pontos do gráfico para ajudar no esboço (pontos de máximo ou mínimo, pontos de interseção com os eixos coordenados, etc.); 6) Observar o comportamento de f(x) quando x + ou x (se for o caso) - busca de assíntotas horizontais (*); 7) Observar quando f(x) ± - busca de assíntotas verticais (*). (*) Veremos estes dois últimos ítens com mais detalhes nas próximas aulas. Exemplo: Seja f : IR IR dada por f(x) = 5x 3 x 5.

129 Aplicações da Derivada Apêndice A : Limites no infinito Noção básica: Dada f : X IR, nos interessa investigar (se possível) o comportamento de f(x) quando x ±. Dizemos que um número real L é o limite de f(x) quando x + e escrevemos lim f(x) = L x + quando f(x) se aproxima tanto quanto quisermos de L à medida que x cresce indefinidamente, ou seja, quando x +. Neste caso, a reta y = L é chamada uma ASSÍNTOTA HORIZONTAL do gráfico de f. Analogamente, escrevemos lim f(x) = M IR quando f(x) se aproxima tanto x quanto quisermos de M à medida que x. Neste caso também y = M é assíntota horizontal do gráfico de f. Exemplos: (A) f : [2, + ) IR dada por f(x) = 1 x.

130 126 CAPÍTULO se x 1 (B) g : (, 3) IR dada por g(x) = x 6 se 1 < x < 3 (C) u : IR IR dada por u(x) = sen x. Teoremas sobre limites no infinito: Valem os mesmos teoremas vistos no estudo de limites, com as devidas adaptações. Por exemplo: Se lim f(x) = L e x + lim g(x) = M, então podemos comcluir que x + lim f(x) ± g(x) = L ± M, lim x + (analogamente para x ) f(x) g(x) = L M, lim x + f(x)/g(x) = L/M se M 0 x + Alguns limites básicos no infinito: 1) lim x ± c = c 2) Se k Q, k > 0 e c 0 então lim x ± c x k = 0 (se fizerem sentido) ( 3) lim ) x = e 4) lim x + x x + 5) lim x ex = 0 6) lim x + ln x x = 0 1 = 0 7) lim ex x + 1 ln x = 0

131 Aplicações da Derivada 127 (A) Exemplos: lim x + 5x 3 + 2x x 3 4x (B) lim x 3x 4 5x 2 (C) lim x + 5x2 6 4x + 3 (D) lim x sen x x (E) (Exercício) Use seus conhecimentos sobre derivadas para mostrar que e x > x sempre que x 1 (Sugestão: Mostre que f(x) = e x x é crescente em [1, + ) e f(1) > 0 ) e 1 conclua que lim x + e = 0. x (F) (Exercício) Mostre que quando x + e aplique o Sanduíche). lim x + e x2 = 0 (Sugestão: Mostre que 0 < e x2 = 1 e x2 < 1 e x

132 128 CAPÍTULO Apêndice B : Limites infinitos Dada f : X IR e a X, vamos estudar agora, para auxílio no esboço do gráfico de f, a situação na qual NÃO EXISTE o lim f(x) (f não pode ser contínua em a) e, AINDA x a ASSIM, f(x) tem um comportamento especial quando x se aproxima de a (e x a). Escrevemos lim x a f(x) = + quando f(x) + à medida que x a (x a). Neste caso, a reta x = a é chamada uma ASSÍNTOTA VERTICAL do gráfico de f: Analogamente, lim x a f(x) = quando f(x) à medida que x a (x a). Neste caso também dizemos que x = a é uma assíntota vertical do gráfico de f: Observações: 1) Temos conceitos semelhantes quando analisamos os limites laterais lim f(x) ou lim f(x). x a + x a 2) CUIDADO: A rigor, nestes casos, o limite lim f(x) NÃO EXISTE (não é um número x a real). Apenas escrevemos lim f(x) = ± para descrever um comportamento especial de x a f(x) quando x se aproxima de a.

133 Aplicações da Derivada 129 (A) Exemplos: lim x 3 1 (x + 3) 2 = + (B) 1 lim x 2 + (x 2) = lim x 2 (x 2) = 3 (C) Em geral: Se n é PAR: Se n é ÍMPAR: 1 lim x a (x a) = + n lim 1 1 = + e lim x a + (x a) n x a (x a) = n (D) lim ln x = x 0 + (E) lim tg θ = + θ π/2 Proposição 5.1. (Para ajudar no cálculo de alguns limites infinitos) Sejam lim x a f(x) = +, lim x a g(x) = c IR, lim x a h(x) =. Temos: 1) lim x a [f(x) + g(x)] = +, lim x a [h(x) + g(x)] =. 2) lim x a g(x) f(x) = 0, lim x a g(x) h(x) = 0. 3) c > 0 lim f(x) g(x) = +, x a h(x) lim x a g(x) =. lim h(x) g(x) =, x a f(x) lim x a g(x) = +, f(x) c < 0 lim f(x) g(x) =, lim h(x) g(x) = +, lim x a x a x a g(x) Obs.: Valem resultados análogos para limites laterais. =, lim x a h(x) g(x) = +

134 130 CAPÍTULO 5 Exemplos: (A) f(x) = 2x2 x 2 9 (B) lim x π/2 + sen x tg x (C) x lim x 0 + ln x

135 Aplicações da Derivada 131 Observação: De modo inteiramente análogo ao que fizemos para lim x a f(x) = ±, podemos ter LIMITES INFINITOS NO INFINITO e resultados como a proposição anterior continuam válidos! (apenas não temos mais as assíntotas verticais nestes casos) (D) lim x = +, x + lim x = x (E) lim x + ex = + (F) lim ln x = + x + (G) lim x + 5x4 + 3x + 2 Observação: As conclusões que não podemos (e as que podemos) tirar quando lidamos com limites infinitos: Devemos sempre tomar cuidado com operações entre funções que têm LIMITES INFINI- TOS, pois podem surgir as chamadas INDETERMINAÇÕES, que são as formas cujos comportamentos NÃO PODEMOS PREVER A PRIORI. Destacamos aqui as PRINCIPAIS INDETERMINAÇÕES: 0 0,, 0, 00, 0, 1, Em qualquer um destes casos, devemos trabalhar com as funções dadas de modo que possamos ELIMINAR AS INDETERMINAÇÕES. (EXEMPLOS)

136 132 CAPÍTULO Apêndice C : Formas indeterminadas As formas e a Regra de L Hopital INDETERMINAÇÕES. 0 0,, 0, 00, 0, 1, são todas consideradas Além de tentarmos trabalhar com as expressões que geram as indeterminações visando ELIMINÁ-LAS, veremos a seguir alguns métodos para atacar estes problemas. C.1) Indeterminações do tipo 0 0 ou : Uma ferramenta muito útil é a... Regra de L Hopital: Suponhamos que x ±. Se f (x) g (x) f(x) g(x) tome a forma indeterminada 0 0 ou quando x c ou tem limite (ou tende a ± ) quando x c (ou x ± ), então lim f(x) g(x) = lim f (x) g (x) Exemplos: (A) lim x 0 3 2x 3 cos x 5x (B) lim x + ln x x

137 Aplicações da Derivada 133 (C) lim x + e 2x x 2 Obs.: CUIDADO! Não saia aplicando a Regra de L Hopital antes de verificar que realmente se tem uma indeterminação do tipo 0/0 ou /. C.2) Indeterminações do tipo 0 : Escrevendo-se f(x) g(x) = 0/0 ou /. f(x) 1/g(x) ou f(x) g(x) = g(x) 1/f(x) recai-se numa forma do tipo Exemplos: (A) lim x ln x x 0 + (B) ( lim arc tg x π ) x x + 2

138 134 CAPÍTULO 5 C.3) Indeterminações do tipo 0 0, 0 ou 1 : O roteiro abaixo pode ser útil nestes casos: 0) Seja f(x) g(x) a expressão que gera a indeterminação; 1) Tome y = f(x) g(x) ; 2) Tome logarítmos: ln y = ln f(x) g(x) = g(x) ln f(x) (e recaia em casos já vistos); 3) Determine lim ln y (se existir); 4) Se lim ln y = L então lim y = e L. (Atenção: Não pare em 3) Exemplos: (A) lim x + x1/x (B) ( lim ) x x + x (C) ln x lim x1/ x +

139 Aplicações da Derivada 135 C.4) Indeterminações do tipo : Trabalhe com a expressão para cair em casos conhecidos! Exemplos: (A) lim (sec x tg x) x π/2 (B) ( 1 lim x 0 + e x 1 1 ) x Exercício: APLICANDO RESULTADOS SOBRE DERIVADAS, faça um esboço do gráfico de cada função f dada a seguir: Roteiro: a. Obtenha a derivada primeira f e os pontos críticos de f. b. Estudando o sinal de f, obtenha informações sobre o crescimento/decrescimento de f. c. Obtenha a derivada segunda f e estude seu sinal para obter informações sobre a concavidade do gráfico de f. d. Use o Teste da Derivada Primeira ou o Teste da Derivada Segunda para descobrir máximos ou mínimos locais. e. Obtenha alguns pontos do gráfico de f para ajudar no esboço (pontos de máximo ou mínimo, pontos de interseção com os eixos coordenados, etc.). f. Observar o comportamento de f(x) quando x + ou x (se for o caso) - busca de assíntotas horizontais. g. Observar quando f(x) ± - busca de assíntotas verticais.

140 136 CAPÍTULO 5 1) f(x) = 4 x 2 2) f(x) = x 3 3) f(x) = x 3 9x 4) f(x) = x 4 6x 2 5) f(x) = 1 3 x 6) f(x) = x2 1 + x 2 7) f(x) = 10x 3 (x 1) 2 8) f(x) = 3 x (8 x) 9) f(x) = (x + 5) 2 3 x 4 10) f(x) = x 2/3 (x 2 8) 11) f(x) = x x (x 0) 12) f(x) = 1 (x 0, 3) x(x 3) 2 13) f(x) = 2x2 3x2 (x ±1) 14) f(x) = (x 9) 1 x2 (x 9) 2 15) f(x) = e x 16) f(x) = e x 17) f(x) = e x x 18) f(x) = e x2 19) f(x) = ln x (x > 0) 20) f(x) = e 1/x (x 0) 21) f(x) = x e x 22) f(x) = ln x x (x > 0) 23) cosh x = ex + e x 2 senh x = ex e x 2 tgh x = ex e x e x + e x 24) f(x) = arc tg x 25) f(x) = e x sen x (x [0, 4π] ) 26) f(x) = 2 cos x + sen 2x (x [0, 2π] ) 27) f : IR {4} IR dada por f(x) = 2x2 28) f : IR IR dada por f(x) = 3x (x 4) 2 e x 29) f : IR IR dada por f(x) = x2 e x 30) f : IR {±2} IR dada por f(x) = x2 4 x 2 31) f : IR {1} IR, f(x) = 3x (1 x) 2. 32) f : IR {0} IR, f(x) = x ln(x2 ). 33) f : IR {0} IR dada por f(x) = ex x 3 34) f : IR IR dada por f(x) = 3 1 x 2 35) f : IR IR dada por f(x) = 2x2 1 + x 2 x IR.

141 Aplicações da Derivada Apêndice D: Aproximações via Polinômios de Taylor Recordando... Quando estudamos acréscimos e diferenciais, vimos que se f : X IR é derivável em x X, ou seja, se existe f f(x + x) f(x) (x) = lim, então a variação da função y = f(x), x 0 x dada por y = f(x + x) f(x), pode ser aproximada por f (x) x quando x está próximo de 0: y = f(x + x) f(x) f (x) x = dy quando x 0 Isto é o mesmo que f(x + x) f(x) + f (x) x. Geometricamente: A idéia é aproximar o gráfico de f por uma reta numa vizinhança em torno de x. A reta que melhor cumpre esse papel é a reta tangente ao gráfico de f em (x, f(x)), cujo coeficiente angular é f (x). Quando fazemos essa aproximação, cometemos um erro r = r( x). Quanto menor é x, ou seja, quanto mais próximos estão x e 0, melhor a aproximação obtida e menor é o erro cometido. Pergunta: Podemos melhorar este processo e obter aproximações cada vez melhores? Resposta: SIM! (sob certas condições)

142 138 CAPÍTULO 5 Um passo adiante: Se f : I (intervalo aberto) IR é duas vezes derivável em um ponto x I então, se x + x I, temos f(x + x) f(x) + f (x) x + f (x) 2! ( x) 2 ( x pequeno) Da mesma forma que antes, quanto menor x, melhor é a aproximação. Porém, desta vez estamos aproximando f (em torno de x) por um polinômio do 2 o grau, ou seja, geometricamente, o gráfico de f é aproximado por um arco de parábola e a expectativa é que isto funcione melhor como aproximação do que uma reta: Generalizando: Se f : I (intervalo aberto) IR é n vezes derivável em um ponto x I então, se x + x I, temos: f(x + x) f(x) + f (x) x + f (x) 2! e quanto menor x, melhor é a aproximação. ( x) 2 + f (x) 3! ( x) f (n) (x) n! ( x) n Obs.: 1) Como o ponto x I, onde a função é n vezes derivável, está fixo e x varia ( x 0), vamos adotar uma NOVA NOTAÇÃO: f : I IR n vezes derivável em um ponto a I. Se a + h I, temos: f(a + h) f(a) + f (a) h + f (a) 2! e quanto menor h, melhor é a aproximação. h 2 + f (a) 3! h f (n) (a) n! h n

143 Aplicações da Derivada 139 2) Se f : I IR é n vezes derivável em um ponto a I, definimos o POLINÔMIO DE TAYLOR DE GRAU n DA FUNÇÃO f NO PONTO a: P n,f(a) (h) = a 0 + a 1 h + a 2 h a n h n sendo a 0 = f(a), a 1 = f (a), a 2 = f (a) 2!,..., a n = f (n) (a) n!, ou seja, a i = f (i) (a) i! i = 1, 2,..., n Neste caso temos: f(a + h) P n,f(a) (h) Exemplos: (A) f(x) = e x, a = 0, n = 5. (B) g(x) = sen x, a = 0, n = 7. (C) h(x) = cos x, a = 0, n = 10 (Exercício)

144 140 CAPÍTULO 5 Buscando estimativas: A Fórmula de Taylor: Teorema 5.8. (Fórmula de Taylor) Se uma função f é n + 1 vezes derivável em um intervalo aberto I contendo x = a então, se a + h I, temos: f(a + h) = f(a) + f (a) h + f (a) 2! com z = z(n, h) entre a e a + h. h f (n) (a) n! h n + f (n+1) (z) (n + 1)! h n+1 Continuamos tendo f(a + h) P n,f(a) (h) quando h está próximo de 0. R n (h) = f (n+1) (z) (n + 1)! (quanto menor h, menor o erro). h n+1 é o erro cometido na aproximação f(a + h) P n,f(a) (h) A Fórmula de Taylor nos permite, além de aproximar f(a + h) por P n,f(a) (h), tentar obter estimativas para o erro cometido. (Exemplo)

145 Aplicações da Derivada 141 Indo um pouco mais além: A Série de Taylor: Uma função f : I (intervalo aberto) IR é chamada ANALÍTICA quando para cada a I admite o desenvolvimento em Série de Taylor numa vizinhança em torno de a: f(a + h) = f(a) + f (a) h + f (a) 2! h 2 + f (a) 3! h Quando a + h está próximo de a (o quanto, depende de f e sua Série) a soma à direita, chamada a SÉRIE DE TAYLOR DE f EM TORNO DE a converge para o valor (exato de) f(a + h), ou seja, se aproxima tanto quanto desejarmos de f(a + h). Obs.: 1) Uma função analítica pode ser derivada tantas vezes quanto desejarmos. 2) As funções clássicas p(x) = a 0 +a 1 x+...+a n x n, e x, sen x, cos x, ln x são todas analíticas. Exemplos: (A) f : IR IR dada por f(x) = e x em torno de a = 0. (B) g : IR IR dada por g(x) = sen x em torno de a = 0. Exercício: Obtenha a Série de Taylor de f(x) = ln x em torno do ponto a = 1.

146 142 CAPÍTULO 5 Respostas de exercícios Exercícios das páginas 97 e 98: 1) a) Expressão 3, 12 b) /48 = 193/48 c) /12 = 73/12 3 d) 0, e) 0, 042 0, 205 f) Expressão = g) = 8, 976 2) ln(2, 01) 0, ) ctg 46 1 π 90 5) θ ± ) S(2, 02) S(2) 8π 25 pés2 rad 6) V ±9π 50 cm3 7) l 0, 6 cm 8) h ± 4π 3 pols 9) R$19,20 10) Erro ±2% em d Erro no cálculo de R 4% 11) (a) h(θ) = 17 sen θ km (b) h(π/3) 25 7 = 3, km (c) h(θ + θ) h(θ) ± km (com θ = π/3, θ = ± ) 12) (a) S(r + r) S(r) S (r) r = 1/5 cm 2 (b) r = 0, 5 cm. 13) Aceito a oferta, pois 3 cm a mais no diâmetro gera um aumento aproximado de 12% na área da pizza. d = 60 cm para que a oferta seja justa para ambos. 14) l ± π/90 m. 15) 10% (aumento percentual aproximado no volume) Exercícios das páginas 105 e 106: 1) V t = 728π 3 pés 3 /hora ; V (3) = 72π pés 3 /hora. 2) P t = 11 bpm/s ; P (2) = 7 bpm/s ; P (3) = 11 bpm/s ; P (4) = 15 bpm/s. 3) I (20) = 0, 12 u.i./pé 4) F (C) = 9 5 F/ C 5) V (s) = 4s 3 200s s ; V (s) = 12s 2 400s ; V (5) = 700 cm 3 /cm é conveniente aumentar s quando s = 5; V (10) = 400 cm 3 /cm não é conveniente aumentar s quando s = 10.

147 Aplicações da Derivada 143 6) (a) s(0) = 1 ; v(t) = s (t) = 6t 12 v(0) = 12 ; a(t) = v (t) = 6 ; v(t) = 0 t = 2 s(2) = 11 ; v(5) = 18 ; s(5) = 16. (b) s(1) = s(4) = 5 ; v(t) = 1 4/t 2 ; v(1) = 3 ; v(4) = 3/4 ; a(t) = 8/t 3 ; v(t) = 0 t = 2 s(2) = 4. (c) s( 2) = 20 ; s(3) = 15 ; v(t) = 6 3t 2 ; v( 2) = 6 ; v(3) = 21 ; a(t) = 6t ; v(t) = 0 t = ± 2 s( 2) 18, 3, s( 2) 29, 7. (d) s(0) = 0 ; s(2) o, 33 ; v(t) = e 3t > 0 ; v(0) = 1 ; v(2) 0, 0025 ; a(t) = 3e 3t. (e) s(0) = s(2) = 3 ; v(t) = 3π sen (πt) ; v(0) = v(2) = 0 ; a(t) = 3π 2 cos(πt) ; v(1) = 0 ; s(1) = 3. (f) s(0) = 0 ; s(4) 9, 5 ; v(t) = 2t 4 ; v(0) = 4 ; v(4) = 7, 2 ; t a(t) = 2 + ; v(t) = 0 t = 1 s(1) = 1 4 ln 2. (t + 1) 2 7) v(0) = 144 pés/s ; a(0) = 32 (pés/s)/s ; v(3) = 48 pés/s ; a(3) = 32 (pés/s)/s ; Em t = 3s, o objeto está a 288 pés de altura, subindo e perdendo velocidade ; Altura máxima: 324 pés (em t = 9/2s) ; Atinge o solo em t = 9 segundos. 8) (a) v m [0, 2] = 1 2 ( ln 3 1 ) m/s 2 (b) v(0) = 3 4 m/s ; v(2) = 1 12 m/s (c) v = 0 em t = 3 s : s(3) = ln m e a(3) = 1 16 (m/s)/s 9) (a) v m [0, 3] = 10 ln 7 21 m/s (b) v(0) = 20 m/s ; v(3) = ln 7 49 (c) v = 0 em t = e 1 s (d) s(0) = 0 m, v(0) = 20 m/s (inicialmente) ; 2 ( ) e 1 s = 10 m (objeto parado) ; 2 e lim s(t) = 0 (se aproxima da posição 0 qdo t + ). t + m/s 10) (a) v m [0, 2] = 4 e 2 m/s, v(1) = 2 e m/s e v(1) > v m[0, 2]. (b) lim t + s(t) = 0. (c) A maior distância é atingida em t = 2 (justifique) e s(2) = 8 e 2 m. 11) (a) v m [0, e3 1 2 ] = 3 m/s (b) v(0) = 0 m/s ; v( e3 1 ) = 4e3 1 2 e 3 (c) a(0) = 4 (m/s)/s. (d) lim v(t) = + e lim t + a(t) = 0. t + m/s

148 144 CAPÍTULO 5 12) (a) v m [0, 2] = e4 1 m/s e v(1) = 2 2e 4 e m/s. v m[0, 2] < v(1). (b) v(t) = 0. (c) lim s(t) = 3. A maior distância do objeto à posição inicial lim t + t + NÃO É ATINGIDA em momento algum, pois s(t) < 3 t e lim s(t) = 3. t + Exercícios das páginas 109, 110 e 111: 9 1) 5 m/s 2) 14 m/s 3) 600π pol3 /min 4) Extremidade: 5 3 m/s ; Alonga: 2 3 5) 5 pol 3 3 /min 6) 2e u/s 7) Ω/s 8) 21π 160 cm3 /min 9) m/s 4 10) 1000π 27 m/s (menor). Outros inst.: mantêm velocidades pés/s 11) π 3 10 pol2 /min 12) 100 rad/hora = 5 6π rpm 13) -1 rad/s 14) 3 rad/s 15) 0, 778 rad/s 16) 1 2π cm/min, 6cm3 /min (escoando) 17) x(t) = dist. da base da escada à parede ; y(t) = dist. do topo até o chão (a) y = x y (b) quando x = 3 m : y = 3 4 m/s (c) quando θ = π/4 rad : y = 1 m/s 18) x(t) = dist. do carro a (perp. estrada) ; θ(t) = ângulo feixe-perpendicular Quando θ = π/3 rad : x = 90π km/h ; x não é constante ( x = 45π ) sec2 θ 2 19) A velocidade de variação do ângulo não é constante (depende de θ ) e temos 3 θ = rad/s quando x = 2 m. 3 20) (a) d = 25 km/h ao meio-dia. (b) S = 1200 km 2 /h ao meio-dia. 21) θ = 1 4 rad/s quando x = 3 m.

149 Aplicações da Derivada 145 Exercícios das páginas 122 e 123: 1) Aberta: b = 2 pés, a = 1 pé; Coberta: b = a = 3 4 pés 2) h = 4a 3, r = 2a 2 3 3) Ângulo reto: d = 3 pols ; Ângulo 2π/3 : d = 4 pols 4) a = b = 50 cm 5) P (1, 1) 6) 500 unidades 7) t = 18/13 horas após 13:00 8) a 8 km de B, entre B e C 9) h = r = 4 cm 10) a 1,25m do solo 11) a 1 15 milhas de B, entre B e C 12) 37 árvores por are 13) Máxima em: s(π/2) e s(3π/2) ; Mínima em: s(0) e s(π) 14) h = 6 r2 r (relação entre h e r nos cilindros de área total 12π cm 2 ) V = V (r) = π(6r r 3 ), 0 < r < 6 Ponto crítico: r = 2. Analisando o crescimento/decresc. do volume, temos que o volume é máximo quando r = 2 e h = 2 2 e temos V ( 2 ) = 4π 2 cm 2. 15) R é MÁXIMA quando R 1 = 25 ohms e R 2 = 25 ohms. R NÃO ASSUME MÍNIMO. 16) (a) A área total cercada é a menor possível quando y = 4 é o perímetro da área 4 + π quadrada e x = π é o perímetro da área circular. 4 + π (b) A área total cercada é a maior possível quando toda a cerca é utilizada para cercar uma única área circular. 17) h = 3 2 m e r = 6 2 m para que o volume do cilindro seja máximo.

150 146 CAPI TULO 5

151 Referências [1] Flemming, Diva M. e Gonçalves, Mirian B., Cálculo A. Prentice Hall Brasil. (*) [2] Swokowski, Earl W., Cálculo com geometria analítica, vol. 1. Makron Books. [3] Leithold, Louis, Cálculo com geometria analítica. Makron Books. [4] Simmons, George F., Cálculo com geometria analítica. Makron Books. [5] Stewart, J., Cálculo, vol. 1. Thomson Learning. [6] Munem, Mustafa e Foulis, David J., Cálculo. Editora Guanabara Dois. [7] Guidorizzi, Hamilton Luiz, Um curso de cálculo, vol. 1. Editora LTC. [8] Anton, H., Cálculo, um novo horizonte, vol. 1. Bookman. (*) Principal referência 147

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