Cálculo Diferencial e Integral I e Aplicações

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1 Cálculo Diferencial e Integral I e Aplicações por PAULO XAVIER PAMPLONA UFCG-CCTA 05

2 Conteúdo Revisão Pré-cálculo 6. Números reais Funções Equações da Reta Cônicas Parábola Circunferência Elípse Hipérbole Para Meditar Exercícios Limites 38. Introdução Definição de Limite Teoremas sobre Limites Limites de Expressões Indeterminadas Limites Unilaterais Limites Infinitos e no Infinito Assíntotas O Teorema do Confronto Limites de Funções Trigonométricas Limites de Funções Logarítmicas e Exponenciais Exercícios Continuidade Definição de funções contínuas Teoremas Sobre Continuidade Continuidade num Intervalo O Teorema do Valor Intermediário Tipos de Descontinuidade Exercícios

3 3.7 Aplicações de Limites e Continuidade Derivadas O problema da reta tangente Taxas de crescimento e a definição de derivadas Diferenciabilidade e Continuidade Gráfico de funções diferenciáveis Teoremas sobre diferenciação Derivada da função potência com expoente racional Derivada das funções exponencial e logarítmica Derivada das funções trigonométricas Diferenciação implícita Derivada da função inversa Regra de L Hôpital Aplicações da Derivada Diferenciabilidade e Monotonia Máximos e Mínimos Teorema do valor médio Teste da primeira derivada Derivadas de ordem superior Teste da segunda derivada Concavidade e pontos de inflexão Esboço de gráficos com o uso de derivadas Problemas de Otimização Taxas relacionadas Integral Definição de Integral Integral Indefinida O Teorema Fundamental do Cálculo Propriedades da Integral Fórmula de Mudança de Variáveis ou Integração por Substituição Integração por Partes Integração de Expressões Envolvendo Potências de Senos e Cossenos Integração de Expressões com Potências de Tangente e Secante Integral de Funções Racionais Integração de Funções Racionais por Divisão de Polinômios Decomposição em Frações Parciais: Fatores Lineares Decomposição em Frações Parciais: Fatores Quadráticos Integração por Substituições Trigonométricas

4 6. Outras Substituições Derivada de Expressões Integrais Aplicações da Integral Definida Área entre Gráficos de Funções Volumes de Sólidos de Revolução O Método dos Discos Circulares O Método dos Anéis Circulares O Método da Casca Comprimento de Arco Área de Superfície Força, Trabalho e Centro de Massa Leis de Crescimento e Decaimento Crescimento Limitado Crescimento Logístico Juros Compostos Continuamente Integração Numérica Regra do Trapézio Regra de Simpson Fórmula Prismoidal Exercícios Integrais Impróprias 7 8. Integrais com Extremos de Integração Infinito Integrais com Descontinuidade nos Extremos de Integração Critério para determinar quando uma integral imprópria é convergente Referências 78 4

5 Introdução Estudaremos aqui o cálculo diferencial e integral de funções de uma variável real e suas aplicações. 5

6 Capítulo Revisão Pré-cálculo Neste capítulo faremos uma breve revisão sobre os assuntos que são pré-requisitos básicos para o cálculo.. Números reais O conjunto R dos números reais é um sistema de números que pode ser descrito por um conjunto de axiomas dados abaixo: A ) (soma e produto) Para todo a, b R, existe um único número a+b denominado soma e existe um um único número a.b denominado produto. A ) (lei comutativa) Para todo a, b R, tem-se a + b = b + a e a.b = b.a. A 3 ) (lei associativa) Para todo a, b R, tem-se a + (b + c) = (a + b) + c. A 4 ) (lei distributiva) Para todo a, b, c R, tem-se a(b + c) = ab + ac. A 5 ) (existência de elemento neutro) Existem 0 e, tais que a + 0 = a e a. = a, a R. A 6 ) (existência de elemento oposto) Todo a R possui um oposto a R tal que a + ( a) = 0. A 7 ) (existência de elemento inverso) Todo a R, a 0 possui um inverso a R tal que a. a =. 6

7 A 8 ) (existência de números positivos) Em R existe um subconjunto denominado números positivos tais que: i) Se a R então uma das três alternativas é verdade a = 0 ou a é positivo ou a é positivo. ii) A soma de dois números positivos é positiva. iii) O produto de dois números positivos é positivo. Definições: ) Se a, b R, definimos a b = a + ( b). ) Para todo a, b R, b 0, definimos a b = a. b. 3) O número a é negativo se, e somente se, a é positivo. Obs.: Segue do axioma A 8 ) item i) e da definição 3) que um número real é positivo, zero ou negativo. Desigualdades e suas propriedades Os símbolos <,, > e são tais que: i) a < b b a é positivo ii) a > b a b é positivo iii) a b a < b ou a = b iv) a b a > b ou a = b. Propriedades das desigualdades: P ) Para todo a R tem-se: i) a > 0 a é positivo ii) a < 0 a é negativo iii) a > 0 a < 0 iv) a < 0 a > 0. P ) Se a < b e b < c, então a < c, a, b, c R. P 3 ) Sejam a, b R. Então a < b a + c < b + c, c R. P 4 ) Se a < b e c < d, então a + c < b + d, a, b, c, d R. P 5 ) Se a < b e c > 0, então ac < bc. P 6 ) Se a < b e c < 0, então ac > bc. 7

8 P 7 ) Se 0 < a < b e 0 < c < d, então ac < bd. P 8 ) Se 0 < a < b, então b < a. Exemplo: Encontre todos os números reais que satisfaçam as seguintes desigualdades: a) x + 5 < 3x 7 b) 5 4 3x Solução: a. Usando as propriedades acima, temos b. Temos < c) x 0 > 3x d) + x x >. x + 5 < 3x 7 x 3x < 7 5 x < x >. Logo o conjunto solução é S = {x R; x > } x < 0 4 3x < 4 3x < 4 3 x > 3. Logo o conjunto solução é S = {x R; 3 < x 4 3 }. c. Temos x 0 > 3x x 3x 0 > 0. As raízes da equação x 3x 0 = 0 são e 5. Logo o conjunto solução é S = {x R; x < e x > 5}. d. Dado + x >, consideremos dois casos: x o caso: Se x > 0, segue que x < e + x ( x) > x + x > x x > 0 x > 0. x Sendo x < e x > 0, segue que 0 < x <. Logo a primeira solução é o caso: Se x < 0, segue que x > e S = {x R; 0 < x < }. + x ( x) < x + x < x x < 0 x < 0. x Como não existe x R tal que x > e x < 0, segue que a segunda solução é S =. Logo a solução é S = S = {x R; 0 < x < }. 8

9 Valor absoluto de um número O valor absoluto de um número x ou módulo de x, denotado por x é definido por: x = { x, se x 0 x, se x < 0. Temos as seguintes propriedades para o valor absoluto de um número x: P ) x = a x = a ou x = a, a > 0. P ) x < a a < x < a, a > 0. P 3 ) x a a x a, a > 0. P 4 ) x > a x > a ou x < a, a > 0. P 5 ) x a x a ou x a, a > 0. P 6 ) x = x, x R. P 7 ) x = x, x R. P 8 ) xy = x y, x, y R. P 9 ) x = x, x, y R, y 0. y y P 0 ) x n = x n, x R e n IN. P ) x x x, x R. P ) x + y x + y, x, y R. P 3 ) x y x + y, x, y R. P 4 ) x y x y, x, y R. Exemplo: Encontre todos os números reais que satisfaçam as seguintes desigualdades: a) 4x + 3 = 7 b) 3x + > 5 c) x < d) 3 x 4 e) 3x > 6 3x. + x Solução: a. Usando as propriedades de valor absoluto dadas anteriormente, temos 4x+3 = 7 4x+3 = 7 ou 4x+3 = 7 4x = 4 ou 4x = 0 x = ou x = 5/. Logo o conjunto solução é S = {x R; x = ou x = 5/}. 9

10 b. Temos c. Temos 3x + > 5 3x + > 5 ou 3x + < 5 x > ou x < 7/3. Logo o conjunto solução é S = {x R; x < 7/3 ou x > }. x < / / < x < / 3/ < x < 5/. Logo o conjunto solução é S = {x R; 3/ < x < 5/}. d. Temos 3 x x + x + x 4. Temos dois casos a considerar: o caso: Se + x > 0, segue que x > e Donde segue que 4( + x) 3 x 4( + x) 8 4x 3 x 8 + 4x. 8 4x 3 x e 3 x 8 + 4x x / e x 5/6. Sendo x >, x / e x 5/6, segue que x 5/6. Logo a primeira solução é S = {x R; x 5/6}. o caso: Se + x < 0, segue que x < e, como no caso anterior, encontramos x / e x 5/6. Donde segue que x /. Logo a segunda solução é S = {x R; x /}. Portanto, o conjunto solução é S = S S = {x R; x / e x 5/6} = (, /] [ 5/6, + ). e. Usando a definição de valor absoluto, escrevemos 3x = { 3x, se x 0 3x, se x < 0 e 6 3x = { 6 3x, se x 6 + 3x, se x > Temos quatro casos a considerar: o caso: x 0 e x. Temos 0 x e 3x > 6 3x 3x > 6 3x x >. Sendo 0 x e x > segue que a primeira solução é S = {x R; < x } = (, ]. 0

11 o caso: x 0 e x >. Temos x > e 3x > 6 3x 3x > 6 + 3x. Como todo x R satisfaz 3x > 6 + 3x, segue que x >. Logo a segunda solução é S = {x R; x > } = (, + ). 3 o caso: x < 0 e x. Segue que x < 0 e 3x > 6 3x 3x > 6 3x. Como não existe x R satisfazendo 3x > 6 3x, segue que a terceira solução é S 3 =. 4 o caso: x < 0 e x >. Neste caso não existe x R satisfazendo x < 0 e x >. Portanto a quarta solução é S 4 =. Portanto a solução geral é dada por S = {x R; x > } = (, + ).. Funções Definição: Dados dois conjuntos A e B, diremos que f : A B é uma função se para cada elemento x A existe um único elemento f(x) B, chamado valor da função. Muitas vezes é conveniente representar uma relação funcional através de uma equação do tipo y = f(x). Neste contexto, x e y são chamadas de variáveis. Em particular, como o valor numérico de y é determinado pelo valor de x, y é chamada de variável dependente e x de variável independente. Dado uma função f qualquer, podemos determinar valores f(x) para valores apropriados de x. Por exemplo, se f(x) = x, temos f(7) = 7 = 5 = 5 f(5) = 5 = 3, 73 f() = = 0 = 0. Por outro lado, não é possível determinar f(), pois f() = = e não está definida nos números reais, visto que os números negativos não possuem raízes quadradas reais. Notemos que qualquer valor x menor que torna f(x) uma raíz de um número negativo. Portanto, f(x) só está definida nos reais para valores de x maiores ou igual a.

12 Domínio, imagem e gráfico de uma função Definição: Seja f : A B uma função. O conjunto A é chamado de domínio da função f, o qual denotaremos por D(f), e é dado por D(X) = {x A; f(x) B}. O conjunto B é chamado de contradomínio de f. Se X A, chama-se imagem de X por f o conjunto f(x) = {y B; y = f(x), com x X} B. Definição: O gráfico de f : A B é o conjunto, denotado por G f, dado por G f = {(x, y) A B; y = f(x)}. A menos que seja especificado de outra forma, se uma expressão é usada para definir uma função f, o domínio de f é o conjunto de todos os números para os quais f(x) é definida. Este é o chamado domínio natural de f. Para determinar o domínio natural de uma função, é preciso excluir, por exemplo, os números x que resultam em uma divisão por 0 ou na raíz quadrada de um número negativo. Da mesma forma, para determinar a imagem de uma função é necessário, primeiro determinar o domínio e depois verificar os possívis valores que a função pode atingir a partir do domínio dado. Exemplo.. Determine o domínio e a imagem das seguintes funções: a) f(x) = b) g(x) = x x c) f(x) = x 3 3 x Solução: a) Como uma divisão só é possível se o denominador for diferente de zero, segue que o domínio de f é o conjunto de todos os números reais que satisfazem x 3 0, isto é, x 3. A imagem de f é o conjunto de todos os números y exceto 0, já que para qualquer y 0, existe um x tal que y = x 3. Este valor de x é dado pela expressão x = 3 +. Logo temos y D(f) = {x R; x 3} e Im(f) = {y R; y 0}. b) Como os números negativos não tem uma raíz quadrada negativa real, g pode ser calculada apenas para x 0. Assim, o domínio de g é o conjunto de todos os números para os quais x. A imagem de g é o conjunto de todos os números não-negativos, porque para qualquer desses números existe um x tal que y = x. Este valor de x é dado pela expressão x = y +. Logo temos D(f) = {x R; x } e Im(f) = {y R; y 0}. x c) Temos que f(x) = só é possível em R se, e somente se, x 0 x e 3 x como 3 x está dentro da raiz devemos ter 3 x 0, mas além disso ele também está no

13 denominador, portanto devemos ter 3 x 0. Logo 3 x > 0 x < 3. Analisando o esquema da figura., segue que D(f) = {x R : x < 3} = [, 3). Figura.: Domínio da função x 3 x Domínio, imagem e gráfico de uma função linear Função linear é uma função que varia a uma taxa constante em relação à variável independente. Ela possui a forma f(x) = ax + b, onde a e b são constantes. A equação de uma função linear pode ser escrita na forma y = ax + b. O domínio de uma função linear é o conjunto dos números reais. A imagem de uma função linear é o conjunto dos números reais se a 0 e é o conjunto formado apenas pelo elemento b se a = 0. O gráfico de f é sempre uma reta e sua direção depende do sinal de a. Vejamos cada situação: o caso: a < 0. A reta será decrescente, isto é, à medida que x aumenta, y também aumenta. Ela corta o eixo y no ponto (0, b) e corta o eixo x no ponto ( b a, 0). o caso: a = 0. A reta é horizontal e a função f é sempre constante para todo valor de x, isto é, y = b para todo x. 3 o caso: a > 0. A reta será crescente, isto é, à medida que x cresce, y cresce. A reta corta o eixo y no ponto (0, b) e corta o eixo x no ponto ( b a, 0). Observações: ) Se a = 0 a função linear é dita uma função constante cujo domínio é R, a imagem é o conjunto formado apenas pelo elemento b e o gráfico é uma reta paralela ao eixo x a uma distância orientada de b unidades do eixo x. ) Se a = e b = 0 a função linear é dita uma função identidade cujo domínio é R, a imagem é R e o gráfico é uma reta crescente que passa pela origem (0, 0). 3

14 Exemplo.. Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico das seguintes funções: a) f(x) = x 6 b) f(x) = 3x + 7 c) f(x) = x d) f(x) = Domínio, imagem e gráfico de uma função quadrática Uma função quadrática é uma função da forma f(x) = ax + bx + c, a 0. O domínio de uma função quadrática é sempre o conjunto dos números reais, a menos que a função seja definida com restrição sobre seu domínio. A imagem de f é um subconjunto dos números reais da forma Im(f) = {y R; y 4a }, a > 0 ou Im(f) = {y R; y }, a < 0, 4a onde = b 4ac. A curva que representa uma função quadrática é chamada de parábola. Todas as parábolas têm forma de U e sua abertura é voltada para cima se a > 0 e para baixo se a < 0. O pico ou vale da parábola recebe o nome de vértice e sempre ocorre no ponto em que x = b, ou seja, no ponto a ( V = b a, ). 4a Para esboçar o gráfico de uma parábola de equação y = ax + bx + c, é preciso:. Conhecer a localização do vértice;. Observar que a parábola se abre para cima se a > 0 e se abre para baixo se a < 0; 3. Observar que a parábola intercepta o eixo y no ponto (0, c); 4. Observar que a parábola intercepta o eixo x nos pontos onde ax + bx + c = 0. A equação ax + bx + c = 0 é chamada de equação do segundo grau e tem soluções reais se, e somente se, = b 4ac 0. Neste caso, as soluções são dadas pela chamada fórmula de Báskara x = b ± a. No esboço do gráfico de f, consideramos as seguintes situações: o caso: a < 0 e > 0. 4

15 Neste caso, a parábola é voltada para baixo, atinge o ponto mais alto em y = 4a, corta o eixo y no ponto (0, c) e corta o eixo x nos pontos (x, 0) e (x, 0), onde x = b + a e x = b. a o caso: a < 0 e = 0. Neste caso, a parábola é voltada para baixo, atinge o ponto mais alto em y = 0, corta o eixo y no ponto (0, c) e corta o eixo x apenas no (x, 0), onde 3 o caso: a < 0 e < 0. x = b a. Neste caso, a parábola é voltada para baixo, atinge o ponto mais alto em y = 4a, corta o eixo y no ponto (0, c) e não corta o eixo x, ou seja, a parábola fica abaixo do eixo x. 4 o caso: a > 0 e > 0. A parábola é voltada para cima, atinge o ponto mais baixo em y =, corta o eixo y no 4a ponto (0, c) e corta o eixo x nos pontos (x, 0) e (x, 0), onde x = b + a e x = b. a 5 o caso: a > 0 e = 0. A parábola é voltada para cima, atinge o ponto mais baixo em y = 0, corta o eixo y no ponto (0, c) e corta o eixo x apenas no ponto (x, 0), onde 6 o caso: a > 0 e < 0. x = b a. A parábola é voltada para cima, atinge o ponto mais baixo em y =, corta o eixo y no 4a ponto (0, c) e não corta o eixo x. Neste caso, a parábola fica acima do eixo x. Exemplo..3 Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico das seguintes funções: a) f(x) = x 5x + 6 b) f(x) = x +3x+4 c) f(x) = x + x + d) f(x) = x + 3x + 3 e) f(x) = x + 3x + f) f(x) = x + x + 4 Solução: a) Para a função f(x) = x 5x + 6, temos que a =, b = 5 e c = 6. Logo, = b 4ac = ( 5) 4()(6) = 5 4 =. O domínio de f é o conjuto dos números reais. Como a > 0, a imagem de f é o conjunto Im(f) = {y R; y 4a } = {y R; y 4 }. 5

16 O gráfico de f é uma parábola voltada para cima, atinge o ponto mais baixo em y = 4 e corta o eixo x nos pontos x = b + a = 5 + = 5 + = 3 e x = b a = 5 b) Para a função f(x) = x + 3x + 4, temos que a =, b = 3 e c = 4. Logo = 5 =. = (3) 4( )(4) = 5. O domínio de f é o conjuto dos números reais. Como a < 0, a imagem de f é o conjunto Im(f) = {y R; y 5 } = {y R; y 4a 4 }. O gráfico de f é uma parábola voltada para baixo, atinge o ponto mais alto em y = 5 4 e corta o eixo x nos pontos x = b + a = = = e x = b a c) Para a função f(x) = x + x +, temos que a =, b = e c = 3. Logo = 3 5 = 4. = () 4()() = 0. O domínio de f é o conjuto dos números reais. Como a > 0, a imagem de f é o conjunto Im(f) = {y R; y } = {y R; y 0}. 4a O gráfico de f é uma parábola voltada para cima, atinge o ponto mais baixo em y = 0 e corta o eixo x no único ponto x = x = b a = =. d) Para a função f(x) = x + 3x + 3, temos que a =, b = 3 e c = 3. Logo = (3) 4()(3) = 4. O domínio de f é o conjuto dos números reais. Como a > 0, a imagem de f é o conjunto Im(f) = {y R; y } = {y R; y }. 4a O gráfico de f é uma parábola voltada para cima, atinge o ponto mais baixo em y = e não corta o eixo x. e) Para a função f(x) = x + 3x +, temos que a =, b = 3 e c =. Logo = (3) 4()() =. 6

17 O domínio de f é o conjuto dos números reais. Como a > 0, a imagem de f é o conjunto Im(f) = {y R; y 4a } = {y R; y 4 }. O gráfico de f é uma parábola voltada para cima (a = > 0), atinge o ponto mais baixo em y = 4, corta o eixo y no ponto (0, ) e corta o eixo x nos pontos (x, 0) e (x, 0), onde x = b + a = 3 + = 3 + = e x = b a = 3 Observação: Também poderíamos determinar a imagem de f, escrevendo, =. y = x + 3x + = x + 3x = (x + 3x ) + ( 9 4 ) = (x + 3 ) 4 4. Ou seja, a imagem é o conjunto dos y R tais que y 4. f) Análogo ao ítem c). Domínio, imagem e gráfico de outras funções Exemplo..4 Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico das seguintes funções: a) f(x) = x 4 b) g(x) = x x c) h(x) = x. Solução: a) O domínio de f é o conjunto dos números reais tais que x 0, isto é, x. Para todo x, podemos escrever f(x) = x 4 x = (x )(x + ) x = x +. A imagem de f é o conjunto de todos os números y exceto 4, já que para qualquer y 4, existe um x tal que y = x 4. Este valor de x é dado pela expressão x = y. Logo x temos D(f) = {x R; x } e Im(f) = {y R; y 4}. O gráfico é dado na figura.. b) O domínio de g é o conjunto dos números reais tais que x 0, isto é, x e x. Ou seja, D(g) = {x R; x e x }. Por outro lado, escrevendo y = x, temos y = x x = y ou x = y x y = ou x + y =. 7

18 Figura.: Gráfico da função f(x) = x 4 x Para x e x a equação x + y = não se verifica. Portanto, a imagem de g é o conjunto dos y R que satisfazem a hipérbole de equação x y = para todo x D(g). Portanto, Im(g) = {y R; y 0} = [0, + ) = R +. O gráfico é dado na figura.3. Figura.3: Gráfico da função g(x) = x c) Para a função h(x) = x, temos D(h) = {x R; x 0} = {x R; x } = [, ]. Por outro lado, escrevendo y = x, temos y = x x = y ou x = y x + y = ou x y =. Para x a equação x y = não se verifica. Portanto, a imagem de g é o conjunto dos y R que satisfazem a circunferência de equação x + y = para todo x D(g). Portanto, Im(h) = {y R; 0 y } = [0, ]. O gráfico é o semi-círculo positivo com centro na origem e de raio dado na figura.4. 8

19 Função Modular Figura.4: Gráfico da função h(x) = x Chamamos de função modular a função f(x) = x definida por: x, se x 0 f(x) = x, se x < 0. Notemos que a função modular é uma função definida por duas sentenças. Para esboçar o gráfico de uma função modular, é conveniente escrevê-la como uma função definida por sentenças. Para isto usamos a definição de função modular dada acima. Podemos representar geometricamente, o módulo de um número real x que é dado pela distância do ponto que representa, na reta real, o número x ao ponto 0 de origem. Assim: Se x < a (com a > 0) significa que a distância entre x e a origem é menor que a, isto é, x deve estar entre a e a, ou seja, x < a a < x < a. Se x > a (com a > 0) significa que a distância entre x e a origem é maior que a, isto é, x deve estar à direita de a ou à esquerda de a na reta real, ou seja: x > a x > a ou x < a. Graficamente Exemplo..5 Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico das seguintes funções: a) f(x) = x b) f(x) = 4 x c) f(x) = x + x d) f(x) = x x. Solução: a) O domínio da função f(x) = x é o conjunto D(f) = R. Como x 0, x R segue que a imagem de f é o conjunto Im(f) = {y R; y 0} = [0, + ) = R +. O gráfico é dado na figura.5. 9

20 Figura.5: Gráfico da função f(x) = x b) O domínio da função f(x) = 4 x é o conjunto D(f) = R. Para determinar a imagem de f escrevemos f(x) = { 4 (x ), se x 0; 4 + (x ), se x < 0. = { x + 6, se x ; x +, se x <. Notemos que se x < a função f é dada por x + e, portanto, f cresce até x =. Por outro lado, se x a função f é dada por x + 6 e, portanto, f decresce após x =. Logo a função f está itada por cima por y = 4, portanto, a imagem de f é o conjunto O gráfico é dado na figura.6. Im(f) = {y R; y 4} = (, 4]. Figura.6: Gráfico da função f(x) = 4 x 0

21 c) O domínio da função f(x) = x + x é o conjunto D(f) = R. Para determinar a imagem de f escrevemos x + (x ), se x 0 e x 0; x, se x 0 e x ; x + (x ), se x < 0 e x 0;, se x < 0 e x ; f(x) = = x (x ), se x 0 e x < 0;, se x 0 e x < ; x (x ), se x < 0 e x < 0. x +, se x < 0 e x <. Notemos que se x 0 e x, então x. Não existe x R satisfazendo x < 0 e x. Se x 0 e x <, então 0 x <. E se x < 0 e x <, então x < 0. Logo x, se x ; f(x) =, se 0 x < ; x +, se x < 0. Notemos que se x < 0 a função f é dada por x + e, portanto, f decresce até x = 0. Por outro lado, se 0 x < a função f permanece constante igual a e se x a função f é dada por x e, portanto, f cresce após x =. Logo a função f está itada por baixo por, portanto, a imagem de f é o conjunto O gráfico é dado na figura.7. Im(f) = {y R; y } = [, + ). Figura.7: Gráfico da função f(x) = x + x d) O domínio da função f(x) = x x é o conjunto D(f) = R. Para determinar a imagem de f escrevemos x (x ), se x 0 e x 0;, se x 0 e x ; x (x ), se x < 0 e x 0; x +, se x < 0 e x ; f(x) = = x + (x ), se x 0 e x < 0; x, se x 0 e x < ; x + (x ), se x < 0 e x < 0., se x < 0 e x <.

22 Notemos que se x 0 e x, então x. Não existe x R satisfazendo x < 0 e x. Se x 0 e x <, então 0 x <. E se x < 0 e x <, então x < 0. Logo, se x ; f(x) = x, se 0 x < ;, se x < 0. Portanto f está itada entre e. Logo a imagem de f é o conjunto O gráfico é dado na figura.8. Im(f) = {y R; y } = [, ]. Figura.8: Gráfico da função f(x) = x x Função Composta Dadas duas funções f e g, a função composta, denotada por f g, é a função definida por (f g)(x) = f(g(x)), x D(g) com g(x) D(f). Vejamos como funciona a composição de funções através dos diagramas. Consideremos os conjuntos A = {,, 0,, }, B = {,, 4, 7, 0} e C = {3, 0, 5, 48, 99}, e as funções f : A B definida por f(x) = 3x + 4 e g : B C definida por g(y) = y. Como nos mostra o diagrama da figura.9, para todo x A temos um único y B tal que y = 3x+4, e para todo y B existe um único z C tal que z = y. Daí, concluímos que existe uma função h de A em C, definida por h(x) = z ou h(x) = 9x + 4x + 5, pois: Sendo y = 3x + 4, então h(x) = z h(x) = y. h(x) = (3x + 4) h(x) = 9x + 4x + 5. A função h(x) é chamada função composta de g com f.

23 Figura.9: Composição de Funções Indicamos a função h por h = g f e lemos g composta com f ou h(x) = g(f(x)) onde lemos g de f de x. Vejamos alguns exemplos. Exemplo..6 Dadas as funções f(x) = x e g(x) = x, calcule f(g(x)) e g(f(x)). Solução: Temos f(g(x)) = f(x) = (x) = 4x e g(f(x)) = g(x ) = (x ) = x. Exemplo..7 Determine as funções compostas f(g(x)) e g(f(x)) para as funções f(x) = x + 3x + e g(x) = x +. Solução: Temos f(g(x)) = f(x + ) = (x + ) + 3(x + ) + = x + x + + 3x = x + 5x + 5 e g(f(x)) = g(x + 3x + ) = x + 3x + + = x + 3x +. Exemplo..8 Dadas as funções f(x) = 5x e f(g(x)) = 3x +, calcule g(x). Solução: Como f(x) = 5x, então f(g(x)) = 5 g(x). Porém, f(g(x)) = 3x +. Logo 5 g(x) = 3x +, e daí g(x) = 3x +. 5 Exemplo..9 Dadas as funções f(x) = x + e g(x) = 3x 4, determine f(g(3)). Solução: Temos g(3) = = 5 f(g(3)) = f(5) = 5 + = 5 + = 6. 3

24 Funções Sobrejetora, Injetora e Bijetora Função sobrejetora: Dizemos que uma função f : A B é sobrejetora se, e somente se, o seu conjunto imagem for igual ao contradomínio, isto é, se Im(f) = B, ou seja, não pode sobrar elementos no conjunto B sem receber flechas. Em outras palavras, a função f : A B é sobrejetora se para todo y B existe pelo menos um x A tal que y = f(x). Função Injetora: Dizemos que uma função f : A B é injetora se elementos distintos de A tiverem imagens distintas, ou seja, dois elementos de A não podem ter a mesma imagem. Portanto não pode haver nenhum elemento no conjunto B que receba duas flechas. Em outras palavras, uma função f : A B é injetora se f(x ) = f(x ) implica x = x para todo x, x A, ou, se x x implica f(x ) f(x ). Por exemplo, a função f : R R definida por f(x) = 3x é injetora pois se x x então 3x 3x, portanto f(x ) f(x ). Função Bijetora: Uma função é bijetora quando ela é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo. Por exemplo, a função f : R R definida por f(x) = 3x é injetora, como vimos no exemplo anterior. Ela também é sobrejetora, pois Im(f) = B = R. Logo, é uma função bijetora. Já a função f : N N definida por y = x + 5 não é sobrejetora, pois Im(f) = {5, 6, 7, 8,...} e o contradomínio é N. Logo Im(f) N, já que valores diferentes de x possuem imagens distintas. Então essa função não é bijetora. Vejamos exemplos destas funções nos diagramas abaixo: Figura.0: Função Inversa Consideremos os conjuntos A = {0,, 4, 6, 8} e B = {, 3, 5, 7, 9} e a função f : A B definida por y = x +. A função f está representada no diagrama da figura.. A função f é uma função bijetora. A cada elemento x de A está associado um único elemento y de B, de modo que y = x +. 4

25 Figura.: Função y = x + Porém, como f é bijetora, a cada elemento y de B está associado um único elemento x de A, de modo que x = y ; portanto temos uma outra função g : B A, de modo que x = y ou g(y) = y. Essa função está representada no diagrama da figura.. Figura.: Função x = y Pelo que acabamos de ver, a função f leva x até y enquanto a função g leva y até x. A função g : B A recebe o nome de função inversa de f e é indicada por f. O domínio de f é o conjunto imagem de g, e o conjunto imagem de f é o domínio de g. Quando queremos, a partir da sentença y = f(x), obter a sentença de f (x), devemos dar os seguintes passos:. Isolamos x na sentença y = f(x). Pelo fato de ser usual a letra x como símbolo da variável independente, trocamos x por y e y por x. Por exemplo, para obter a função inversa de f : R R definida por y = x +, devemos:. Isolar x em y = x +. Assim, y = x + = y = x = x = y 5

26 . Trocar x por y e y por x. Daí temos que, y = x. Portanto a função inversa de f é: f (x) = x. Para que uma função f admita a inversa f é necessário que ela seja bijetora. Se f não for bijetora, ela não possuirá inversa. Outros Tipos de Funções Função potência Função potência é uma função da forma f(x) = x n, onde n é um número real. As funções f(x) = x, f(x) = x 3 e f(x) = x / são exemplos de funções potência. O mesmo acontece com as funções f(x) = x e f(x) = 3 x que podem ser colocadas na forma f(x) = x e f(x) = x /3, respectivamente. Função polinomial Uma função polinomial é uma função da forma f(x) = a n x n + a n x n a x + a x + a 0, a n 0 onde a 0, a,..., a n R e n é um inteiro não negativo. Se a n 0, o número inteiro n é dito ser o grau do polinômio. Por exemplo, a função f(x) = 3x 6 + x 5 + 3xt x + 5x + é um polinômio de grau 6. É possível demonstrar que o gráfico de um polinômio de grau n é uma curva contínua que cruza o eixo x, até no máximo, n vezes. Função racional Função racional é uma função formada pelo quociente p(x)/q(x) de dois polinômios p(x) e q(x). Por exemplo a função f(x) = x 3x + é uma função racional. x 4 + Função algébrica Função algébrica é uma função formada por um número finito de operações algébricas sobre a função identidade e a função constante. Por exemplo, a função f(x) = (x 3x + ) 3 x4 + é uma função algébrica. Função par Função par é uma função satisfazendo f( x) = f(x), x D(f). Por exemplo, a função f(x) = x é uma função par. De fato, para todo x, tem-se que f( x) = ( x) = x = f(x). Função ímpar Função ímpar é uma função satisfazendo f( x) = f(x), x D(f). Por exemplo, a função f(x) = x 3 é uma função ímpar. De fato, para todo x, tem-se que f( x) = ( x) 3 = x 3 = f(x). Funções Transcendentes Funções Transcendentes são funções especiais como as funções trigonométricas, funções logarítmicas e funções exponenciais. Por exemplo, as funções f(x) = sen(x), f(x) = cos(x), f(x) = tan(x), f(x) = ln(x) e f(x) = e x são exemplos de funções transcendentes. 6

27 .3 Equações da Reta Distância entre dois pontos Dados dois pontos P (x, y ) e P (x, y ) podemos determinar a distância entre P e P pela fórmula d(p, P ) = (x x ) + (y y ). (.) Exemplo.3. Determine a distância entre os pontos P (, 3) e P (4, 7). Solução: Usando a fórmula (.), temos d(p, P ) = (4 ) + (7 3) = = 0 = 5. Declividade ou Coeficiente Angular da Reta Definição.3. A reta é o conjunto de todos os pontos que seguem uma mesma direção. Definição.3.3 Sejam P (x, y ) e P (x, y ) dois pontos que passam por uma reta r não vertical e que formam um ângulo α com o eixo das abscissas. Definimos declividade ou coeficiente angular da reta r por Observações: m r = tg(α) = y y x x. (.). Na definição de m r devemos ter x x, por isso, r deve ser não vertical.. O valor de m r independe da escolha dos pontos P e P. De fato, suponhamos também que r passa pelos pontos P ( x, ȳ ) e P ( x, ȳ ) e que m r = ȳ ȳ x x. Supondo que x < x < x < x e ȳ < y < y < ȳ, então os triângulos P Q P e P QP são semelhantes, onde Q(x, y ) e Q( x, ȳ ). Assim, devemos ter isto é, m r = m r. ȳ ȳ x x = y y x x, 3. Fazendo y = y y e x = x x, segue que m r = y x, ou seja, y = m r x. Portanto, a variação de uma partícula que se move sobre uma reta r, na ordenada y, é proporcional a variação na variável x. 4. Se m r > 0, então a reta r é crescente, se m r < 0, a reta r é decrescente e se m r = 0, então y = y, ou seja, a reta r é paralela ao eixo das abscissas. 7

28 5. Se x = x, então a reta é vertical e, neste caso, não podemos definir m r. Exemplo.3.4 Seja r a reta que passa pelos pontos P (, 3) e P (4, 6). Determine o coeficiente angular da reta r e o ângulo α que a reta r faz com o eixo das abscissas. Solução: Usando a fórmula (.), temos m r = = 3 3 =. Como m r = tg(α), segue que α = arc tg(m r ) = arc tg() = k π, onde k N. 4 Formas de Equações da Reta Vejamos agora algumas formas de escrever a equação de uma reta. a) Forma dois pontos Seja r uma reta que passa pelos pontos P (x, y ) e P (x, y ). Suponhamos que x x, ou seja, que r não é vertical. Temos que m r = y y. Agora seja P (x, y) um ponto x x arbitrário de r com P P. Como a definição de m r independe da escolha dos pontos, então m r = y y. Portanto, x x y y = y y. x x x x Multiplicando a última expressão por x x, obtemos y y = y y x x (x x ). (.3) A fórmula (.3) é denominada forma dois pontos da equação da reta. b) Forma declividade Notando que m r = y y x x, podemos escrever a fórmula (.3) da seguinte maneira y y = m r (x x ). (.4) A fórmula (.4) é denominada forma declividade da equação da reta. c) Forma reduzida ou forma declividade intercepto Tomando o ponto P (x, y ) = (0, b) na fórmula (.4), obtemos a fórmula equivalente y b = m r (x 0), ou seja, y = m r x + b. (.5) A fórmula (.5) é denominada forma reduzida ou forma declividade intercepto da equação da reta. Dizemos que b é o coeficiente linear da reta r ou intercepto y. d) Forma segmentária ou forma interceptos 8

29 Considerando os pontos P (x, y ) = (a, 0) e P (x, y ) = (0, b) na fórmula (.3), obtemos a fórmula equivalente y 0 = b 0 (x a) bx + ay = ab, 0 a ou seja, x a + y =. (.6) b A fórmula (.6) é denominada forma segmentária ou forma interceptos da equação da reta. e) Equação geral da reta A forma geral da equação da reta é dada por Ax + By + C = 0, (.7) onde A, B e C são números reais. Se B 0, escrevemos a equação (.7) na forma reduzida y = A B x C B e, neste caso, a declividade é dada por m r = A B. Se B = 0, então x = C B e, portanto, a reta é vertical. Exemplo.3.5 Seja r a reta que passa pelos pontos P (, 3) e P (4, 7). Escreva a equação da reta r na forma dois pontos, na forma declividade, na forma reduzida e na forma segmentária. Solução: Na forma dois pontos, escrevemos Na forma declividade, escrevemos y 3 = (x ) ou y 7 = (x 4). 4 4 y 3 = (x ) ou y 7 = (x 4). Desenvolvendo a equação na forma declividade, escrevemos na forma reduzida como y = x. Desenvolvendo a equação na forma reduzida, escrevemos na forma segmentária como x (/) + y ( ) =. Exemplo.3.6 Seja r a reta de equação 3x + 4y = 7. Determine o coeficiente angular m r. Solução: Escrevendo a equação da reta r na forma reduzida, obtemos y = 3 4 x Portanto, o coeficiente angular é dado por m r =

30 Definição.3.7 Sejam r e s duas retas quaisquer. Dizemos que r e s são paralelas se uma é múltiplo da outra. Dizemos que r e s são perpendiculares se elas formam um ângulo de 90 entre elas. Teorema.3.8 Sejam r e s duas retas distintas, não verticais e com declividades m r e m s, respectivamente. Então: a) r e s são paralelas se, e somente se, m r = m s. b) r e s são perpendiculares se, e somente se, m r.m s =. Observação: Se duas retas não são paralelas, então elas se interceptam num único ponto. Neste caso, dizemos que elas são concorrentes. Exemplo.3.9 Seja r a reta de equação x + 3y 5 = 0. Encontre a equação da reta perpendicular a r e que passa pelo ponto (, 3). Solução: Note que a declividade de r é m r = 3. Se s é a reta perpendicular a r então m s é dado por m s = = 3. Logo a equação de s é dada por m r y 3 = 3 (x + ) y = 3 x Cônicas.4. Parábola Definição.4. A parábola é o conjunto de pontos equidistantes a uma reta fixa chamada diretriz e a um ponto fixo chamado foco. A Equação da parábola Sejam (x v, y v ) o vértice de uma parábola e (x, y) um ponto qualquer da parábola. Então onde p é a distância do vértive ao foco. Observações: y y v = 4p (x x v),. A reta ortogonal a diretriz que passa pelo vértice da parábola é chamado eixo de simetria da parábola.. A equação da diretriz é dada por y = x v p. 30

31 3. Quando o vértice é o ponto (0, 0), temos y = 4p x. Exemplo.4. Encontre a equação da parábola com foco no ponto (, ) e reta diretriz y = 0. Solução: Denotemos por (x, y) um ponto qualquer da parábola. Então a distância de (x, y) ao foco é dada por d = (x ) + (y ). A distância do ponto (x, y) à reta diretriz y = 0 é d = y. Como a distância de qualquer ponto da parábola ao foco deve ser igual a distância desse ponto à diretriz, devemos ter d = d, isto é, y = (x ) + (y ) y = (x ) + (y ) y = x x +. Logo a equação da parábola é y = x x + ou (y ) = (x ). Exemplo.4.3 Encontre a equação da parábola com foco no ponto (, ) e reta diretriz x = Solução: Seja (x, y) um ponto da parábola. A distância de (x, y) ao foco é dada por d = (x ) + (y ). A distância de (x, y) à reta x = é d = x +. Como devemos ter d = d, então devemos ter x + = (x ) + (y ) (x + ) = (x ) + (y ) (y ) = 6x + 3. De onde concluímos que a equação da parábola é dada por (x + ) = 6 (y ), que é uma parábola com eixo de simetria horizontal..4. Circunferência Definição.4.4 A circunferência é o conjunto de pontos equidistantes a um ponto fixo chamado de centro. A distância de um ponto da circunferência ao seu centro é chamado de raio. A Equação da circunferência Sejam (x c, y c ) o centro de uma circunferência de raio r e (x, y) um ponto qualquer da circunferência. Então (x x c ) + (y y c ) = r. Observação: Se o centro é a origem (0, 0), então a equação da circunferência é dada por x + y = r. Exemplo.4.5 Mostre que a equação x + y 4x + 0y + 3 = 0 representam uma circunferência e determine seu centro e seu raio. Solução: Escrevemos a equação na forma (x 4x + 4) + (y + 0y + 5) 6 = 0. Ou seja, (x ) + (y + 5) = 4. Logo a equação representa uma circunferência de centro (, 5) e raio 4. 3

32 .4.3 Elípse Definição.4.6 A elípse é o lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias a dois pontos fixos, denominados focos, é uma contante. A Equação da elípse Sejam (x c, y c ) o centro da elípse de semieixos a e b e (x, y) um ponto qualquer da elípse. Então a equação geral da elipse é dada por (x x c ) a + (y y c) b =. Aqui, a soma das distâncias de um ponto da elipse a cada um dos focos é igual a a e b = a d, onde d é a distância de quaisquer um dos focos ao centro da elipse. Exemplo.4.7 Determine a equação da elipse com semieixos a = e b = 3 e centro no ponto (, ). Solução: A equação da elipse deve ser da forma (x ) + 4 (y ) 9 Exemplo.4.8 Determine a equação da elipse com focos nos pontos (, 3) e (6, 3) e tal que a soma das distâncias de um ponto da elipse a cada um dos focos é igual a 6. Solução: O centro da elipse é dado pelo ponto médio entre os dois focos. Logo, x c = + 6 = 4 e y c = = 3, isto é, o centro da elipse é (4, 3). Para determinar os semieixos a e b, primeiro notemos que sendo a soma das distâncias de um ponto qualquer da elipse a cada um dos focos igual a 6 segue que a = 6, isto é, a = 3. Por outro lado, a distância do foco (, 3) ao centro (4, 3) é d = (4 ) + (3 3) =. Como b = a d segue que b = 9 4 = 5, isto é, b = 5. Portanto a equação da elipse é dada por.4.4 Hipérbole (x 4) + 9 (y 3) 5 Definição.4.9 A hipérbole é o lugar geométrico dos pontos cujo valor absoluto da diferença das distâncias a dois pontos fixos, denominados focos, é uma contante. A Equação da hipérbole Sejam (x c, y c ) o centro de uma hipérbole de semieixos conjugados a e b e cujos focos se encontram sobre uma linha horizontal. Se (x, y) é um ponto qualquer da hipérbole, então a equação geral da hipérbole é dada por =. =. (x x c ) a (y y c) b =. 3

33 Os eixos de simetria são dados pelas retas y = y c e x = x c. Os vértices da hipérbole são dados pelos pontos (x c a, y c ) e (x c + a, y c ), respectivamente. Os focos são dados por ( d + x c, y c ) e (d + x c, y c ), onde d é dado por d = a + b. No caso em que os focos se encontram sobre uma linha vertical, a equação é dada por (y y c ) b (x x c) a =. Neste caso seus eixos de simetria estão dados pelas retas x = x c e y = y c, respectivamente. Os vértices neste caso, são dados por (x c, y c a) e (x c, y c + a), respectivamente. Os focos são dados por (x c, y c d) e (x c, y c + d), onde d é dado por d = a + b. Exemplo.4.0 Mostre que a equação y x x = 0 representa uma hipérbole, determine se ela tem eixo focal vertical ou horizontal e determine seus focos. Solução: Podemos escrever a equação na forma y (x + ) + = 0 ou seja, (x + ) y =. Logo, a equação representa um hipérbole de centro (, 0) e semieixos a = b =. Como o sinal negativo afeta o termo quadrático em y, então o eixo focal deve ser horizontal. Os vértices da hipérbole são dados por (, 0) e (0, 0). Por outro lado, como c = ±, os focos são (, 0) e ( +, 0). 33

34 .5 Para Meditar Enigma Desejando escolher um marido entre seus muitos pretendentes, uma princesa de um antigo reino resolveu propor-lhes um problema. Colocou um retrato seu dentro de um cofre e o apresentou, junto com outros dois, aos candidatos a sua mão. Aquele que, dentre os três cofres apresentados, escolhesse o que tivesse o retrato da princesa, teria o direito de desposála. Para ajudar o candidato a escolher sabiamente, pois desejava um marido inteligente, a princesa colocou na frente de cada cofre uma afirmação e explicou aos pretendentes que das três, somente uma era verdadeira. As afirmações eram as seguintes: primeiro cofre: O retrato está neste cofre. segundo cofre: O retrato não está neste cofre. terceiro cofre: O retrato não está no primeiro cofre. Descubra em qual dos cofres está o retrato da princesa. Enigma Neste teste cada cofre tem duas afirmações e só pode ter no máximo uma afirmação falsa em cada cofre. As afirmações eram as seguintes: primeiro cofre: a) O retrato não está neste cofre; b) O artista que pintou o retrato é de Veneza. segundo cofre: a) O retrato não está no primeiro cofre; b) O artista que pintou o retrato é de Florença. terceiro cofre: a) O retrato não está nesse cofre; b) O retrato está no segundo cofre. Descubra em qual dos cofres está o retrato da princesa. Enigma 3 Neste teste cada cofre foi feito por Belini ou Celini. Toda vez que Belini fazia um cofre escrevia nele uma afirmação verdadeira e toda vez que Celini fazia um cofre colocava nele uma afirmação falsa. As afirmações nos cofres eram as seguintes: primeiro cofre: O retrato está neste cofre. segundo cofre: O retrato está neste cofre. terceiro cofre: Pelo menos dois desses cofres foram feitos por Celini. Descubra em qual dos cofres está o retrato e qual o autor de cada cofre. Enigma 4 Neste teste são usados somente dois cofres um deles contendo o retrato e o outro vazio. Novamente cada cofre foi feito por Belini ou Celini. As afirmações nos cofres eram as seguintes: primeiro cofre: O retrato não está neste cofre. segundo cofre: Exatamente um desses cofres foi feito por Belini. Em qual cofre está o retrato? Quais as chances do pretendente acertar na sorte? 34

35 Enigma 5 Neste teste existem 9 moedas de mesmo massa, exceto uma, que é mais leve que as demais. Deseja-se saber qual a moeda mais leve usando uma balança e fazendo apenas duas pesagens. Como se deve proceder? 35

36 .6 Exercícios ) Encontre todos os números reais que satisfaçam as seguintes desigualdades: x a) 5x + > x 6 e) x 3 < 4 i) < b) + 3x < 5x + 8 f) (x + 3)(x + 4) > 0 x c) 4 < 3x 0 d) 7 g) x > x + j) x 5 > 3 x > 0 k) x < 4 x h) x x + > 0 l) 6 5x 3 + x ) Encontre todos os valores de x para os quais o número dado abaixo seja real: a) 8x 5 b) x 6 c) x 5x + 4 d) 9 x 3) Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico das funções dadas abaixo: a) f(x) = x 5 b) f(x) = x 4 c) f(x) = 4 x d) f(x) = x x e) f(x) = x + x f) f(x) = 4 x g) f(x) = 3x 4 h) f(x) = x + 6 i) f(x) = x 3x + j) f(x) = x 5x+6 k) f(x) = x 6x + 9 l) f(x) = x 5x + 6 4) Mostre que se a, b 0 e a > b, então a > b. 5) Mostre que se a < b, então a < a + b < b. 6) Mostre que se x + 3 < então 4x + 3 < 3. 7) Suponha que x < 0, 0 e que x 3 < 0, 04. Mostre que (x + y) 5 < 0, 05. 8) Prove que se x x 0 < ε e y y 0 < ε então (x+y) (x 0+y 0 ) < ε e (x y) (x 0 y 0 ) < ε. 9) Mostre as propriedades das desigualdades dadas na revisão. 0) Mostre as propriedades do valor absoluto dadas na revisão. ) Mostre que a função f : R R dada por f(x) = x 3 é bijetora. ) Determine a função inversa da função f : [0, + [ R onde f(x) = x. 3) Encontre a função inversa de f : [3/, + [ R dada por f(x) = x 3x +. 4) Verifique em cada caso se existe ou não a composição de funções a) f(x) = x x e g(x) = x + b) f(x) = x 3 e g(x) = 3 x. 5) Determine a distância entre os pontos (, ) e (6, ). 6) Seja r a reta que passa pelos pontos (3 3, 6) e (4 3, 7). Determine o coeficiente angular da reta r e o ângulo α que a reta r faz com o eixo das abscissas. 7) Determine a equação da reta r que passa pelos pontos (3 3, 6) e (4 3, 7) na forma dois pontos, na forma declividade, na forma reduzida e na forma segmentáia. 8) Seja r a reta de equação 3x + 4y = 7. Determine a declividade de r e escreva a equação de r na forma dois pontos, na forma declividade, na forma reduzida e na forma segmentária. 9) Determine a equação da reta que: a) passa pelo ponto (, 7) e tem declividade /; b) passa pelos pontos ( 4, ) e (3, ); c) tem declividade /3 e coeficiente linear 4; 36

37 d) passa pelo ponto (, 4) e é paralela ao eixo x; e) passa pelo ponto (, 6) e é paralela ao eixo y; f) passa pelo ponto (4, ) e é paralela à reta x + 3y = 7; g) passa pelo ponto (5, 3) e é perpendicular à reta y + 7 = x; h) passa pelo ponto ( 4, 3) e é paralela à reta que passa pelos pontos (, ) e (, 0). 0) Mostre por meio de declividade que os quatro pontos A(6, ), B(8, 6), C(4, 8) e D(, 4) são vértices de um retângulo. ) Dadas as retas r : x 3y = e s : 4x + 3y = 6, trace um esboço de cada reta e encontre o ponto de interseção de r e s. ) Mostre que as retas r : x y = 4 e s : 6x y = 0 não são paralelas e ache o seu ponto de interseção. 3) Encontre a equação da parábola com foco no ponto (, ) e reta diretriz y =. 4) Encontre a equação da parábola com foco no ponto (0, ) e reta diretriz y = 5. 5) Mostre que as equações abaixo representam uma circunferência e determine seu centro e seu raio. a) x + y 4x + 0y + 3 = 0; b) x + y 4x + 0y + 3 = 0; c) x + y 4x + 0y + 3 = 0; 6) Determine a equação da elipse com centro no ponto (0, ), com focos em ( 3, ) e (3, ) e que passa pelo ponto (0, 3). Resposta: x + (y ) =

38 Capítulo Limites. Introdução Nas aplicações do Cálculo, muitas vezes, estamos interessados não somente em valores de uma função f em seu domínio, mas também no comportamento de f para valores de seu domínio próximos de um número qualquer. Neste caso, teremos valores aproximados para f e não exatos. A esse tipo de aproximação damos o nome de ite. Para entender melhor a idéia de ite considere a seguinte função f(x) = x 4 x. O domínio de f é todo número real, exceto x =. Escrevendo x 4 = (x )(x + ), podemos reescrever a função f na forma f(x) = x +, x. A função f não está definida em x =, mas quando x se aproxima de, a função f(x) se aproxima de 4. Ou seja, se x pertence a um intervalo aberto contendo, f(x) pertencerá a um intervalo aberto contendo 4. Em outras palavras, dado um número ɛ > 0, podemos tomar um número δ > 0 dependendo de ɛ de tal forma que Se x ] δ, + δ[ então f(x) ]4 ɛ, 4 + ɛ[, ou ainda, dado ɛ > 0, existe δ > 0 dependendo de ɛ de tal que x < δ f(x) 4 < ɛ. Neste caso, dizemos que 4 é o ite de f(x) quando x se aproxima de. Usamos a seguinte notação f(x) = 4. x Neste capítulo, veremos a definição de ite de modo intuitivo e de maneira formal. Veremos teoremas que facilitam o cálculo de ites, ites de funções trigonométricas, ites de funções logarítmicas e exponenciais e alguns ites especiais. Por último, veremos ites envolvendo infinito e analisaremos os casos de assíntotas ao gráfico de uma função. 38

39 . Definição de Limite A idéia de ite está vinculada à idéia de aproximação. Dizemos que o ite de uma função f(x) quando x se aproxima de um número a (a não necessariamente no domínio de f) é L se a seguinte propriedade é satisfeita: ou seja, Se x está próximo de a, então f(x) estará próximo de L, se x a é pequeno, então f(x) L também é pequeno. Em termos de ɛ e δ, isto significa que Se x a < δ, então f(x) L < ɛ. De maneira formal, a definição de ite é a seguinte: Definição.. Dizemos que L é o ite de uma função f(x) quando x se aproxima de um número a, denotado por f(x) = L, x a se dado ɛ > 0, existe δ > 0, tal que 0 < x a < δ f(x) L < ɛ. Observações: ) Tomamos 0 < x a < δ para enfatizar que x é diferente de a, ou seja, não interessa o valor de f em x = a mas apenas em x próximo de a. ) Para saber o valor de f(x) tão próximo de L quanto quizermos, basta tomar x o mais próximo de a possível. Exemplo.. Mostre que x (3x ) =. Solução: Devemos mostrar que se dado ɛ > 0, existe δ > 0, tal que 0 < x < δ (3x ) < ɛ. Mas (3x ) = 3x 3 = 3 x. Logo, dado ɛ > 0, basta tomar δ = ɛ > 0. Assim 3 ( ɛ 0 < x < δ (3x ) = 3 x < 3δ = 3 = ɛ. 3) Exemplo..3 Usando a definição de ite, mostre que: a) x x 3 = 4 b) x x x = 3 c) x (x + x ) =. 39

40 .3 Teoremas sobre Limites Teorema.3. (Unicidade do Limite) Se x a f(x) = L e x a f(x) = M, então L = M. Teorema.3. Se m e b são constantes quaisquer, então Observação: Segue do teorema anterior que (mx + b) = ma + b. x a x = a e b = b. x a x a Teorema.3.3 Se f(x) = L e g(x) = M, então: x a ( ) x a i) existe o ite f(x) ± g(x) = L ± M; x a ( ) ii) existe o ite f(x).g(x) = L.M; x a f(x) iii) existe o ite x a g(x) = L, caso M 0. M Observação: Na demonstração do teorema anterior, item ii), vemos que se x a f(x) = L, então f é itada no intervalo ]a δ, a + δ[\{a}. Usando o teorema anterior e indução matemática, obtemos o seguinte resultado: Teorema.3.4 Se f (x) = L,..., f n (x) = L n, então: x a ( x a ) i) existe o ite f (x) ±... ± f n (x) = L ±... ± L n ; x a ( ) ii) existe o ite f (x).....f n (x) = L.....L n. x a Usando o item ii) do teorema anterior com f =... = f n = f e L =... = L n = L, obtemos o seguinte resultado: Teorema.3.5 Se f(x) = L e n é um inteiro positivo qualquer, então x a ( n f(x)) = L n. x a Teorema.3.6 Se f(x) = L, então x a n n f(x) = L. x a para L > 0 quando n é um inteiro positivo qualquer e para L 0 quando n > é um inteiro positivo ímpar. Exemplo [.3. Usando os teoremas ] sobre ites, verifique que: a) (3x + x 5) (3x + 6) = d) (3x 7) 8 = x [ ] x b) (x 3 6x).(4x 5 8x) = 56 x 3 + x + 3 x e) = x + 7x 5 c) = 5 x x + 5 f) 3 4x 8 = x 3 x 7 4 x

41 .4 Limites de Expressões Indeterminadas Nesta seção, veremos ites de expressões com indeterminações matemáticas do tipo 0 0. Exemplo.4. Calcule os seguintes ites: x 4 a) x x Solução: Escrevendo x 4 = (x )(x + ), segue que x 4 x x = (x )(x + ) x x = x (x + ) = 4. x 3 7 b) x 3 x 3 Solução: Escrevendo x 3 7 = (x 3)(x + 3x + 9), segue que x 3 7 x 3 x 3 = (x 3)(x + 3x + 9) x 3 x 3 = x (x + 3x + 9) = 7. x n a n c), n é um número inteiro positivo e a um número real qualquer. x a x a Solução: Neste caso, usamos que De fato, temos que x n a n x a x a x n a n = (x a)(x n + x n a + x n 3 a xa n + a n ). = x a (xn +x n a+x n 3 a +...+xa n +a n ) = a n +a n +...+a n = na n. x d) x x + Solução: Escrevendo x = (x + )(x x + 4), segue que x x x + = (x + )(x x + 4) x x + e) x a x + a Solução: Neste caso, usamos que = x (x x + 4) = x n + a n, n é um número inteiro positivo e a um número real qualquer. x n + a n = (x + a)(x n x n a x a n 3 xa n + a n ), se n for ímpar; x n a n x n a, se n for par. n De fato, se n for ímpar, temos que x n + a n x a x + a = x a (xn x n a x a n 3 xa n + a n ) 4

42 = ( a) n a( a) n +...+a n 3 ( a) a n ( a)+a n = a n +a n +...+a n = na n. Se n for par, teremos x n + a n x a x + a = an 0 = +. x + 5x + 6 f) x 3 x x Solução: Escrevendo x + 5x + 6 = (x + 3)(x + ) e x x = (x + 3)(x + 4), segue que x + 5x + 6 x 3 x x = (x + 3)(x + ) x 3 (x + 3)(x + 4) = x + x 3 x + 4 = 7. x 5x + g) x 5x 7x 6 Solução: Escrevendo x 5x + = (x )(x ) e 5x 7x 6 = (x )(5x + 3), segue que x 5x + x 5x 7x 6 = (x )(x ) x (x )(5x + 3) = x x 5x + 3 = 3 3. x 9 h) x 9 x 3 Solução: Racionalizando o denominador, temos x 9 x 9 [( x 9 )( x + 3 )] (x 9)( x + 3) = = x 3 x 9 x 3 x + 3 x 9 x 9 3 x i) x 8 x 8 Solução: Podemos escrever = x 9 ( x + 3) = 6. x 8 = ( 3 x) 3 3 = ( 3 x )[( 3 x) + 3 x + 4] e x 8 = ( x 8)( x + 8). Logo, Ou seja, ( x 8)( x + 8) = ( 3 x )(( 3 x) + 3 x + 4). 3 x x 8 = Tomando ite com x 8, segue que x + 8 ( 3 x) + 3 x + 4. x 8 3 x x 8 = x + 8 x 8 ( 3 x) + 3 x + 4 = 8 = 3. 4 x j) x 6 x 4 Solução: Escrevendo x 4 = ( 4 x) = ( 4 x )( 4 x + ), 4

43 segue que Logo, x + k) x 0 x Solução: Temos x 6 4 x x 4 = 4 x +. 4 x = x 4 x 6 4 = x + 4. x 0 x + x [( x + = x 0 x )( x + + )] = = x + + x 0 x x 3 + x x l) x x Solução: Escrevendo segue que x 3 + x x = (x )(x + x + ) e x = (x )(x + ), x 4 + x x m) x x 3 + x 3 Solução: Escrevendo x 3 + x x x x = x x + x + x + x 4 + x x = (x )(x 3 + x + x + ) e x 3 + x 3 = (x )(x + x + 3), segue que n) f(x), onde f(x) = x 4 Solução: Temos x 4 + x x x x 3 + x 3 { x 3, x 4; 5, x = 4. x 4 = x x 3 + x + x + x + x + 3 f(x) = (x 3) =. x 4 Observação: No exemplo anterior, temos que f(x) f(4) = 5. O fato que f(x) x 4 x 4 f(4) nos diz que f é uma função descontínua em x = 4. Veremos isto com mais detalhes no próximo capítulo. =. =..5 Limites Unilaterais Considere a seguinte função f(x) = { x +, x ; x, x <. 43

44 Desejamos saber se existe o ite x f(x). Podemos ver que quando x se aproxima de por valores menores que (pela esquerda de ), a função f(x) se aproxima de -. Por outro lado, quando x se aproxima de por valores maiores que (pela direita de ), a função f(x) se aproxima de 3. Escrevemos x x f(x) = e f(x) = 3. + Os ites acima significam ite à esquerda de e ite à direita de, respectivamente. A definição mais precisa é dada a seguir. Definição.5. Dizemos que L é o ite pela esquerda para uma função f(x) quando x se aproxima de a, por valores menores que a, denotado por se dado ɛ > 0, existe δ > 0, tal que f(x) = L, x a 0 < a x < δ f(x) L < ɛ. Analogamente, dizemos que L é o ite pela direita para f(x) quando x se aproxima de a, por valores maiores que a, denotado por se dado ɛ > 0, existe δ > 0, tal que f(x) = L, x a + 0 < x a < δ f(x) L < ɛ. Os ites pela esquerda e pela direita são denominados ites unilaterais. Todos os teoremas sobre ites, visto anteriormente, continuam válidos para ites unilaterais. Uma vantagem dos ites unilaterais é que eles podem existir sem que exista o ite da função. Veremos a seguir que o ite da função existirá se existir os ites unilaterais e se estes forem iguais. Teorema.5. Existe o ite f(x) = L se, e somente se, existem os ites f(x) x a x a + e f(x) e se f(x) = f(x) = L. x a x a + x a Exemplo.5. Dada a função f(x) = esboce o gráfico de f. { x, se x < 0 x +, se x 0 verifique se existe x 0 f(x) e Solução: Temos que x 0 f(x) = (x ) = e f(x) = + +(x + ) =. x 0 x 0 Como f(x) f(x), então não existe f(x). x 0 x 0 + x 0 44 x 0

45 , se x > 0 Exemplo.5.3 Dada a função f(x) = 0, se x = 0, se x < 0 esboce o gráfico de f. verifique se existe x 0 f(x) e Solução: Temos que x 0 Como f(x) x 0 x 0 f(x) = ( ) = e f(x) = + +() =. x 0 x 0 f(x), então não existe f(x). + x 0 x 0 Exemplo.5.4 Dada a função f(x) = esboce o gráfico de f. { 4 x, se x + x, se x verifique se existe x f(x) e Solução: Temos que f(x) = x x (4 x ) = 3 e f(x) = x + x +( + x ) = 3. Como f(x) = f(x) = 3, então existe f(x) = 3. x x + x Exemplo.5.5 Dada a função f(x) = x, verifique se existe f(x) e esboce o gráfico x x 0 de f. Solução: Usando a definição de função modular, podemos escrever Logo, x 0 f(x) = {, se x 0, se x < 0. f(x) = ( ) = e f(x) = + +() =. x 0 x 0 Como f(x) f(x), então não existe f(x). x 0 x 0 + x 0 x 0 Exemplo.5.6 Dada a função f(x) = esboce o gráfico de f. { x, se x 0, se x = 0 verifique se existe x 0 f(x) e Exemplo.5.7 Determine os valores de a e b de tal forma que a função possua ite em x = 0. f(x) = { 3x + a, se x 0 7x b, se x < 0 45

46 .6 Limites Infinitos e no Infinito Nesta seção veremos ites de funções f(x) quando x cresce ou decresce iitadamente. Quando x cresce iitadamente, dizemos que x tende ao infinito e denotamos por x + ou x. Quando x decresce iitadamente, dizemos que x tende ao menos infinito e denotamos por x. Também veremos ites quando as funções crescem iitadamente, ou seja, quando o ite tende ao infinito. Definição.6. (Limites ao Infinito) Dizemos que L é o ite da função f quando x tende ao infinito, o qual denotamos por x f(x) = L, se para todo ɛ > 0, existe N > 0 tal que x > N f(x) L < ɛ. Analogamente, dizemos que L é o ite da função f quando x tende ao menos infinito, o qual denotamos por f(x) = L, se para todo ɛ > 0, existe N > 0 tal que x x < N f(x) L < ɛ. Teorema.6. Se r é um inteiro positivo qualquer e C é uma constante, então: C x + x = 0 e C r x x = 0. r Exemplo.6. Calcule os seguintes ites ao infinito. 4x 3 x x + 5 3x + 4 a) b) c) x + x + 5 x 4x 3 x + x 5 3x + 4 d) x x 5. Solução: a) Quando x +, temos que x > 0. Dividindo o numerador e o denominador por x, teremos que 4x 3 x + x + 5 = 4 3 x x x = =. b) Quando x, temos que x < 0. Dividindo o numerador e o denominador por x 3, teremos que x x + 5 x 4x 3 = x + 5 x x x 3 4 = x 3 = 0 4 = 0. c) Quando x +, temos que x > 0 e portanto, podemos escrever x = x. Dividindo o numerador e o denominador por x, teremos que x + 3x + 4 x 5 = x + 3x+4 x x 5 x = x = 3 = 3 x + 5. x 46

47 d) Quando x, temos que x < 0 e portanto, podemos escrever x = x. Dividindo o numerador e o denominador por x, teremos que 3x + 4 x x 5 = = x = 3 x + x + 5. x 3x+4 x x 5 x Definição.6.3 (Limites Infinitos) Dizemos que uma função f cresce iitadamente para o infinito quando x tende a um número a, o qual denotamos por f(x) = +, se para x a todo número M > 0, existe δ > 0 tal que 0 < x a < δ f(x) > M. Analogamente, dizemos que uma função f decresce iitadamente para o infinito quando x tende a um número a, o qual denotamos por f(x) =, se para todo número M > 0, x a existe δ > 0 tal que 0 < x a < δ f(x) < M. Por exemplo, temos que x 0 x = e x 0 x =. Definição.6.4 (Limites Infinitos no Infinito) Dizemos que uma função f cresce iitadamente quando x cresce iitadamente, o qual denotamos por f(x) = +, se para todo número M > 0, existe N > 0 tal que x > N f(x) > M. x + Dizemos que uma função f decresce iitadamente quando x cresce iitadamente, o qual denotamos por f(x) =, se para todo número M > 0, existe N > 0 tal que x + x > N f(x) < M. Dizemos que uma função f cresce iitadamente quando x decresce iitadamente, o qual denotamos por f(x) = +, se para todo número M > 0, existe N > 0 tal que x x < N f(x) > M. Dizemos que uma função f decresce iitadamente quando x decresce iitadamente, o qual denotamos por f(x) =, se para todo número M > 0, existe N > 0 tal que x Por exemplo, temos que x < N f(x) < M. x + (x ) = + e x (x ) = +. 47

48 Teorema.6. Seja a um número real qualquer. Se f(x) = 0 e g(x) = C, onde x a x a C 0 é uma constante, teremos as seguintes conclusões: i) Se C > 0 e f(x) 0 por valores positivos de f(x), então g(x) x a f(x) = +. ii) Se C > 0 e f(x) 0 por valores negativos de f(x), então g(x) x a f(x) =. iii) Se C < 0 e f(x) 0 por valores positivos de f(x), então g(x) x a f(x) =. iv) Se C < 0 e f(x) 0 por valores negativos de f(x), então g(x) x a f(x) = +. Observação: O teorema também é válido trocando x a por x a +, x a, x +, ou x. Exemplo.6.5 Calcule os seguintes ites. x + x + x + x + a) b) x 3 + x x 3 x 3 x x 3 x c) x + x + x x d) x + 3x + 5. Solução: a) Fazendo g(x) = x + x + e f(x) = x x 3 = (x 3)(x + ), temos que x 3 x 3 g(x) = 4 > 0 e f(x) = Notemos que f(x) 0 por valores positivos de f. Usando o item i) do Teorema.6., segue que x + x + x 3 + x x 3 = g(x) x 3 + f(x) = +. b) Fazendo g(x) = x + x + e f(x) = x x 3 = (x 3)(x + ), temos que x 3 x 3 g(x) = 4 > 0 e f(x) = Neste caso, teremos que f(x) 0 por valores negativos de f. Usando o item ii) do Teorema.6., segue que x + x + x 3 + x x 3 = g(x) x 3 + f(x) =. 48

49 c) Podemos escrever x + x x + = Fazendo g(x) = e f(x) = x + x, segue que x + +. x x g(x) = > 0 e f(x) = 0. x + x + Notemos que f(x) 0 por valores positivos de f. Usando o item i) do Teorema.6., segue que x x + x + = g(x) x + f(x) = +. d) Podemos escrever x x x + 3x + 5 = Fazendo g(x) = x e f(x) = 3 x + 5 x, segue que x + x x x g(x) = < 0 e f(x) = 0. x + x + Notemos que f(x) 0 por valores positivos de f. Usando o item iii) do Teorema.6., segue que x x x + 3x + 5 = g(x) x + f(x) =. Teorema.6.3 Seja a um número real qualquer. Se f(x) = + e g(x) = C, onde x a x a C 0 é uma constante, então: { +, se C > 0 [f(x) ± g(x)] = + e [f(x).g(x)] = x a x a, se C < 0. Analogamente, se x a f(x) = e x a g(x) = C, onde C 0 é uma constante, então: {, se C > 0 [f(x) ± g(x)] = e [f(x).g(x)] = x a x a +, se C < 0. Observação: O teorema também é válido trocando x a por x a +, x a, x +, ou x. Exemplo (.6.6 Calcule os seguintes ites. ) a) x 0 + x + x + ( b) x. x + x x ). 49

50 Solução: a) Fazendo f(x) = x e g(x) = x +, temos que x 0 x 0 f(x) = + e g(x) = > Portanto, segue do Teorema.6.3, que ( ) x 0 + x + x + = x 0 +[f(x) + g(x)] = +. b) Fazendo f(x) = x e g(x) = x, temos que x Segue do Teorema.6.3, que ( x x ). x + x.7 Assíntotas f(x) = + e g(x) = > 0. x + x + = [f(x).g(x)] = +. x + Definição.7. Dizemos que a reta y = L é uma assíntota horizontal ao gráfico de uma função f se f(x) = L. x ± Analogamente, dizemos que a reta x = a, a R é uma assíntota vertical ao gráfico de f se x a x a f(x) = ± ou f(x) = ±. + Exemplo.7. Mostre que a reta x = é uma assíntota vertical ao gráfico da função f(x) = (x ). Solução: Basta ver que x + (x ) = + e x (x ) = +. Exemplo.7.3 Determine as assíntotas horizontais e verticais da função f(x) = esboce o gráfico de f. Solução: Temos x + x x = e x x x =. x x e Logo a reta y = é uma assíntota horizontal. Por outro lado, a reta x = é uma possível assíntota vertical (pois f zera seu denominador em x = ). Vejamos: x + x x x = + e x x =. Logo, a reta x = é realmente uma assíntota vertical. 50

51 Exemplo.7.4 Determine as assíntotas horizontais e verticais da função f(x) = e esboce o gráfico de f. Solução: Temos x + x x + = e x x x + =. Logo as retas y = e y = são as assíntotas horizontais. assíntotas verticais (pois x + é sempre positivo). x x + Por outro lado, não existe Exemplo.7.5 Com o auxílio das assíntotas, esboce o gráfico das funções abaixo: a) f(x) = x 6 b) f(x) = x 6 c) f(x) = x x d) f(x) = x x + x + x + x + x +. Exemplo.7.6 Se y = f(x) é dado implicitamente na equação xy y 4x = 0, determine as assíntotas horizontais e verticais e esboce o gráfico de f. Definição.7.7 Dizemos que a reta y = mx + b é uma assíntota oblíqua para o gráfico de uma função f(x) se [f(x) (mx + b)] = 0. x ± Exemplo.7.8 Encontre todas as assíntotas da função f(x) = x x +. Solução: Notemos que x x + x + x = e x x + = +. Logo não existe assíntotas horizontais. Por outro lado, x = é uma assíntota vertical, pois x x + x + x = + e x x + =. Para encontrar as assíntotas oblíquas, devemos determinar m e b de tal forma que Mas, Donde segue que [ x x ± x + (mx+b)] = [ x ] x ± x + (mx + b) = 0. x x + (mx + b) = (m + )x (m + b)x + ( b). x + x ± [ (m + )x (m + b)x + ( b) ] 5 x + = x ± [ (m + )x x + ] (m+b).

52 Portanto, [ x [ (m + )x ] (mx + b)] = 0 (m + b) = 0 x ± x + x ± x + (m + ) = 0 e (m + b) = 0 m = e b =. Logo, a reta y = x + é uma assíntota oblíqua. Exemplo.7.9 Encontre todas as assíntotas da função f(x) = x3 + 3x. x + Resposta: Não existe assíntotas horizontais nem verticais e y = x é uma assíntota oblíqua..8 O Teorema do Confronto Antes de apresentarmos o teorema do confronto, veremos dois resultados preinares. Teorema.8. Seja f : [a, b] R uma função com ite em c ]a, b[. Então existe δ > 0 tal que f é itada em ]c δ, c[ ]c, c + δ[. Teorema.8. (Limites Positivos) Seja f : [a, b] R uma função com ite L > 0 em c ]a, b[. Então existe δ > 0 tal que f é positiva em ]c δ, c[ ]c, c + δ[. Teorema.8.3 (Teorema do Confronto) Sejam f, g e h funções definidas sobre os números reais satisfazendo a desigualdade f(x) g(x) h(x), para todo x ]c δ, c + δ[. Suponhamos que x c Então existe o ite x c g(x) e ainda f(x) = h(x) = L. x c g(x) = L. x c Exemplo.8. Verifique que o teorema do confronto se aplica as funções com c =. f(x) = 4(x ) + 3, g(x) = x 4x + 7 e h(x) = 4(x ) + 3 Solução: É possível mostrar que existe δ > 0 tal que 4(x ) + 3 x 4x + 7 4(x ) + 3, para todo x ] δ, + δ[. Por outro lado, temos também que [ 4(x x ) + 3] = [4(x ) + 3 = 3 = [x 4x + 7]. x x 5

53 Exemplo.8. Considere as funções f(x) = x + e h(x) = x + e suponhamos que existe δ > 0 tal que f(x) g(x) h(x), para todo x ] δ, δ[. Mostre que x 0 g(x) =. Solução: Notemos que f(x) = h(x) =. x 0 x 0 Usando o fato que f(x) g(x) h(x), para todo x ] δ, δ[, segue do teorema do confronto que x 0 g(x) =..9 Limites de Funções Trigonométricas Nesta seção estamos interessados em calcular ite de funções formadas a partir de funções trigonométricas. Alguns desses ites podem ser obtidos substituindo x da função pelo valor da tendência do ite. Por exemplo, x 0 sen(x) = sen(0) = 0, cos(x) = cos(π) =, x π x π 4 sen(x) = sen( π 4 ) =. Este argumento não pode ser usado para todo tipo de funções, pois para algumas delas, podemos chegar a uma indeterminação matemática. Neste caso, o teorema do confronto pode ser usado para obter tais ites, como veremos em alguns exemplos a seguir. Exemplo.9. Mostre que [x sen( )] = 0. x 0 x Solução: Sabemos que sen(x), para todo x R. Em particular, ( sen, para todo x 0. (.) x) Se x > 0, então podemos multiplicar (.) por x e obtermos Aplicando ite com x 0 + e notando que ( x x sen x, para todo x > 0. x) x 0 +( x) = +(x) = 0, x 0 segue, do teorema do confronto, que [x sen( )] = 0. Por outro lado, se x < 0, então x 0 + x podemos multiplicar (.) por x e obtermos ( x x sen x, para todo x < 0. x) 53

54 Aplicando ite com x 0 e notando que x 0 ( x) = (x) = 0, segue, do teorema do confronto, que [x sen( )] = 0. x 0 x Como os ites laterais são iguais, segue que existe o ite [x sen( )] = 0. x 0 x Exemplo.9. Mostre que [x cos( )] = 0. x 0 x Solução: Análogo ao exemplo anterior. Exemplo.9.3 Mostre que x 0 sen(x) x =. Solução: Lembramos que o círculo trigonométrico possui raio unitário e o ângulo é dado em radianos, isto é, o ângulo x é dado pelo comprimento de arco. Suponhamos inicialmente que o ângulo x pertença ao primeiro quadrante, isto é, que 0 x π. Neste caso, teremos que x 0 sen(x) x tan(x) = sen(x) cos(x). (.) Se x está no primeiro quadrante, então sen(x) 0 e, consequentemente, multiplicando (.) por, segue que sen(x) x sen(x) cos(x). Tomando os inversos, temos cos(x) sen(x). x Aplicando ite na última expressão com x 0 + e notando que x 0 segue, do teorema do confronto, que x 0 + quarto quadrante, isto é, que π sen(x) Logo =. x 0 x Exemplo.9.4 Mostre que x 0 tan(x ) x cos(x) = + +() =, x 0 sen(x) x sen(x) > 0. Assim, =. Supondo que o ângulo x pertença ao x 0 segue, de modo análogo, que x 0 = 0. sen(x) x =. 54

55 Solução: Temos x 0 tan(x ) x = x 0 sen(x ) x cos(x ) = x 0 [( x ) ( sen(x ) )] ( 0 ( ). =. = 0. cos(x ) x ) Exemplo.9.5 Mostre que x 0 Solução: Temos x 0 = x 0 cos(x) x cos(x) x = 0. [( cos(x) ) ( + cos(x) )] =. x 0 x + cos(x) sen (x) x( + cos(x)) = x 0 [( sen(x) ) ( sen(x). + cos(x) x Exemplo.9.6 Mostre que x 0 cos(x + x) x + 3x Solução: Temos x 0 cos(x + x) x + 3x = 0. = x 0 )] = cos (x) x( + cos(x)) ( 0 ) ( ). = 0. + [( cos(x + x) ) ( x + x )] =. x 0 x + 3x x + x [( cos(x + x) ) ( x + x )] =. = x 0 x + x x + 3x Exemplo.9.7 Mostre que x 0 sen[π(x )] x Solução: Temos = π. ( ) ( 0. = 0. 3) x 0 sen[π(x )] x = x 0 = x 0 sen(πx π) x sen(πx) x = π x 0 = x 0 sen(πx) πx sen(πx) cos( π) + sen( π) cos(πx) x = ( π).() = π..0 Limites de Funções Logarítmicas e Exponenciais Aqui estamos interessados em determinar ites de formas indeterminadas envolvendo funções logarítmicas e exponenciais. Estes ites são baseados no ite chave ln(x) x x. Lembramos que a função f(x) = ln(x) é a função logarítmica natural e é dada por ln(x) = log e (x), 55

56 onde e, é um número irracional denominado número de Neper e é calculado usando a expressão ( + n ( ) h = e ou + h n n) h 0 A função exponencial natural é a função f(x) = e x. A função logarítmica natural e a função exponencial natural satisfazem o seguinte: = e. x 0 ex =, x + ex = +, x ex = 0, ln(x) = 0, x Exemplo.0. Mostre que ln(x) = +, x + ln(x) x x Solução: Devemos ver como cresce a função ln(x) x = 0. y < e y, y >. Como a função logarítmica é uma função crescente, segue que Tomando y = x p, onde x >, segue que ln(y) < ln(e y ) = y, y >. ln(x p ) < x p, x >. ln(x) =. x 0 + para valores grandes de x. Temos que Ou seja, ln(x) < p xp, x >. Para p < e x >, tem-se 0 < ln(x) x Tomando ite com x +, segue que < xp p. 0 x ln(x) x x p x p Usando o Teorema do confronto, segue o resultado. Exemplo.0. Mostre que x x x =. = 0, pois p < 0. Solução: Usando as propriedades do logarítmo natural e o ite acima, teremos que [ ] x x x = e ln( x x) = e ln(x/x) = e ln(x) x x x x 56 = e x ln(x) x = e 0 =.

57 Exemplo.0.3 Mostre que x 0 ( + 5x) x = e 5. Solução: Usaremos a expressão ( ) h + h h 0 Fazendo h = 5x, segue que h 0 se x 0 e x 0 ( + 5x) x = h 0 ( + h) 5 h = e. {[ ] 5 } [ ] 5 = ( + h) h = ( + h) h = e 5. h 0 h 0 Exemplo.0.4 Mostre que x 0 [ + tan(x)] x. Solução: Usaremos a expressão ( ) h + h h 0 Fazendo h = tan(x), segue que h 0 se x 0 e x 0 [ + tan(x)] x { = [ + tan(x)] x 0 tan(x). tan(x) x } = e. { = [ + tan(x)] x 0 tan(x) } tan(x) x = e = e, pois tan(x) x 0 x [ sen(x) ] =. = e [ + tan(x)] tan(x) = e. x 0 x cos(x) x 0 Exemplo.0.5 Calcule os seguintes ites: b) [ + sen (x)] cot(x) e x c). x 0 x 0 x 57

58 . Exercícios. Calcule os seguintes ites: a) x (x3 x + 3x) x + 3x + 4 b) x x 3 + x c) x x + x 8 d) x 9 x 9 x 5 e) x 5 f) x 9 x + 5 x 8 x 9 x x g) x 0 x x 7x h) x 7 x 7 x x + 6 i) x 4 x 5x + 0 j) x 3 x 6x + 9 x 3 x x 3 k) x 3 x + x x + 7x + 0 l) x m) x 0 x + 4x + 4 x + x x 9x + 0 n) x 4 x + x 0 x 5x + o) x p) x 0 5x 7x 6 x + x (4 + x) 6 q) x 0 x ( r) x 0 x ) x + x { 3 + x, se x. Dada f(x) = x, se x >, x x + 3, se x 3 3. Dada f(x) = x + x + 3, se x > 3, 3 + x, se x < 4. Dada f(x) = 0, se x = x, se x >, { x, se x, 5. Dada f(x) = 3, se x =, 6. Calcule os ites infinitos e no infinito: 4x 3 + x 5 x a) d) x 8x 3 + x + x x x + 4x 3 x + b) e) x + x + 4 x + x 4 x + 4 x 9 c) f) x + 3x 5 x 3 + x 3 verifique se existe x f(x). x + 5x + 6 s) x 3 x x x 4 + x x t) x x x x x + x u) x x ( 4 x ) v) x 0 x ( w) x 0 x ) x + x x) x 0 cos x x y) x sen [π(x )] x z) x 0 cos(x) x verifique se existe x 3 f(x). verifique se existe x f(x). z) x 0 cos(x + x) x + 3x verifique se existe x f(x) e esboce o gráfico de f. ( g) x 0 x ) x 3 + x h) x 0 x x 5 i) x + x 3 x

59 7. Determine as assíntotas horizontais e verticais e esboce o gráfico das funções abaixo: a) f(x) = d) f(x) = 6 x g) f(x) = 3 b) f(x) = x + 3 x (x + ) e) f(x) = 4x h) f(x) = 3x x 3 c) f(x) = x x 9 x + 3 x 4 f) f(x) = x 6 i) f(x) = + x x x 8. Determine as constantes a e b para que as seguintes afirmações sejam verdadeiras [ x + ] a) x + x + (ax + b) ax 3 + bx + x + = 0 b) x 3x x + 9. Determine as assíntotas oblíquas das seguintes funções: =. a) f(x) = x + x b) f(x) = 3x3 + 3x x + x + x + c) f(x) = 3 x Suponha que x a f(x) = L. Mostre que x a f(x) = L.. Suponha que f : [a, b] R é uma função itada em [a, b]. Mostre que a) xf(x) = 0; x 0 b) Se g(x) = 0, então g(x)f(x) = 0. Dê um contraexemplo para mostrar que se f x a x a não é itada, então essa conclusão não é possível.. Mostre que se f(x) g(x) e x a g(x) = 0, então x a f(x) = Se x a f(x) e x a [ f(x) + g(x) ] existem, o que se pode afirmar de x a g(x)? 4. Dê um exemplo de duas funções f e g tais que f(x) e g(x) não existem, mas x a x a que [f(x) + g(x)] existe. x a 5. Dê um exemplo de uma função f tal que x a f(x) existe, mas que x a f(x) não exista. 6. Se x a [f(x) + g(x)] = e x a [f(x) g(x)] =, calcule x a f(x)g(x). 59

60 Capítulo 3 Continuidade 3. Definição de funções contínuas A noção de continuidade de uma função está relacionada ao conceito de suavidade. Definição 3.. Dizemos que uma função f é contínua num número a se as seguintes condições são satisfeitas: i) Existe f(a); ii) Existe x a f(x); iii) x a f(x) = f(a). Se uma das três condições acima não é satisfeita, dizemos que f é descontínua em x = a. Exemplo 3.. Verifique se a função { x 3, se x 3 f(x) =, se x = 3 é contínua em x = 3. Solução: Notemos que existe f(3) = e existe f(x), pois f(x) = f(x) = 0. x 3 x 3 + x 3 No entanto, f(x) f(3). Logo f não é contínua em x = 3. x 3 Exemplo 3..3 Verifique se a função { x 3, se x 3 f(x) = 0, se x = 3 é contínua em x = 3. Solução: Neste caso, existe f(3) = 0 e existe f(x) = 0, ou seja, f(x) = f(3). Logo x 3 x 3 f é contínua em x = 3. 60

61 Exemplo 3..4 Determine o valor de b de modo que a função seja contínua em x =. Solução: f(x) = { x, se x < 6x b, se x É necessário que f(x) = f(). Logo, é necessário que x () = 6() b = b b = 0. Portanto, f será contínua se b = Teoremas Sobre Continuidade Teorema 3.. Se f e g são funções contínuas em x = a, então: i) A função f ± g é contínua em x = a. ii) A função f.g é contínua em x = a. iii) A função f g é contínua em x = a, desde que g(a) 0. Teorema 3.. Uma função polinomial é contínua em todo número de seu domínio. Teorema 3..3 Uma função racional é contínua em todo número de seu domínio. Teorema 3..4 Se x a g(x) = b e f é contínua em b, então ( ) (f g)(x) = f(b) ou f(g(x)) = f g(x). x a x a x a Teorema 3..5 Se uma função g é contínua em a e f é contínua em g(a), então f g é contínua em a. Observação: Dos teoremas acima, segue que: ) Se f(x) = L e g(x) = M, M 0, então x a x a ) Se x a g(x) = L, então f(x) x a g(x) = L M. x a n n g(x) = L, para n um inteiro positivo par e L > 0 ou n um inteiro positivo ímpar. 6

62 3.3 Continuidade num Intervalo Definição 3.3. Dizemos que uma função f é contínua num intervalo aberto ]a, b[ se f é contínua em todo x ]a, b[. Definição 3.3. Dizemos que uma função f é contínua à direita de num número a se as seguintes condições são satisfeitas: i) Existe f(a); ii) Existe f(x); x a + iii) f(x) = f(a). x a + Analogamente, dizemos que f é contínua à esquerda de a se: i) Existe f(a); ii) Existe f(x); x a iii) f(x) = f(a). x a Definição Dizemos que uma função f : [a, b] R é contínua num intervalo fechado [a, b] se f for contínua no intervalo aberto ]a, b[ e contínua à direita de a e à esquerda de b. Exemplo Mostre que a função h(x) = 4 x é contínua em [, ]. Solução: Considere as funções Temos que f(x) = x e g(x) = 4 x. h(x) = (f g)(x). Notemos que g é contínua em todo x R, pois g é um polinômio. Por outro lado, f é contínua em todo x > 0. Portanto, h = f g é contínua em todo x tal que g(x) > 0. Logo, h é contínua em todo x tal que 4 x > 0, ou seja, em x ], [. Com isso chegamos que h é contínua no intervalo aberto ], [. Resta ver que h é contínua à direita de - e à esquerda de. Como existe o ite h(x) = h( ) = 0, x + segue que h é contínua à direita de -. Por outro lado, como também existe o ite h(x) = h( ) = 0, x segue que h é contínua à esquerda de -. Portanto, h(x) = 4 x é contínua no intervalo fechado [, ]. Exemplo Determine o maior intervalo onde as funções abaixo são contínuas. x 5 x a) h(x) = b) h(x) = 3 + x x 3. 6

63 Respostas: a) ] 3, ] b) [ 5, 3[ ]3, 5]. Teorema 3.3. Se uma função f : [a, b] R é contínua num intervalo fechado e itado [a, b], então f é itada em todo [a, b]. Exemplo Mostre que as funções abaixo são itadas em cada intervalo dado. a) f(x) = x 3 + 3x, [, ] b) f(x) = x3 + x, [, 4]. x O Teorema do Valor Intermediário Teorema 3.4. Seja f uma função contínua num número c, com f(c) 0. Então existe δ > 0 tal que f(x) tem o mesmo sinal de f(c) para todo x ]c δ, c + δ[. Teorema 3.4. (Teorema de Bolzano) Seja f uma função contínua em [a, b] com f(a) e f(b) de sinais contrários. Então existe ao menos um número c ]a, b[ tal que f(c) = 0. Exemplo 3.4. Dado o polinômio p(x) = x 3 x x +, mostre que existe c ], 3[ tal que p(c) = 0. Solução: Notemos que p( ) = e p(3) = 4. Ou seja, p( ) < 0 < p(3). Do Teorema de Bolzano, segue que existe c ], 3[ tal que p(c) = 0. Observação: Segue do Teorema de Bolzano que: Se f é contínua em [a, b] e f(a)f(b) < 0, então existe c ]a, b[ tal que f(c) = 0. O teorema a seguir é uma generalização do Teorema de Bolzano. Teorema (Teorema do Valor Intermediário) Seja f : [a, b] R uma função contínua em [a, b]. Se f(a) < d < f(b), então existe um número c ]a, b[ tal que f(c) = d. Prova: Definimos a função g : [a, b] R pondo g(x) = f(x) d. Sendo f contínua em [a, b], segue que g é também contínua em [a, b] e ainda teremos g(a) = f(a) d < 0 e g(b) = f(b) d > 0. Logo g(a) e g(b) possuem sinais opostos. Portanto, pelo Teorema de Bolzano, segue que existe c ]a, b[ tal que g(c) = 0. Isto é, existe c ]a, b[ tal que f(c) = d. Exemplo 3.4. Mostre que existe c > 0 tal que c =. 63

64 Solução: Definimos a função f(x) = x. Temos que f é contínua em todo x R. Em particular, f é contínua no intervalo aberto ], [. Como f() =, f() = 4 e < < 4, segue que f() < < f(). Do Teorema do Valor Intermediário, existe c ], [ tal que f(c) =. Logo, teremos c = c = ±. Como c ], [, segue que c =. Exemplo Determine para que valores de k a equação x 5 = k possui solução no intervalo [3, 4]. Resposta: Para 4 k. Exemplo Determine para que valores de a o polinômio p(x) = x 3 3x + a possui raízes no intervalo [0, ]. Resposta: Para a 0. Exemplo Mostre que todo polinômio de grau três possui pelo menos uma raíz real. 3.5 Tipos de Descontinuidade Definição 3.5. Dizemos que uma função f : [a, b] R possui descontinuidade de primeira espécie em c [a, b] se os ites laterais de f existem e são diferentes, ou seja, existem os ites f(x) f(x). x c x c + Dizemos que f possui descontinuidade de segunda espécie em c [a, b] quando os ites laterais não existem. Observação: Quando c for igual a a ou b, consideramos apenas o ite lateral correspondente. { x +, se x > Exemplo 3.5. Verificar que a função f(x) = possui descontinuidade x, se x, de primeira espécie em x =. Solução: De fato, existem os ites laterais f(x) = 4 e f(x) =. No entanto, x + x f(x) f(x). x + x Exemplo Verificar que a função f(x) = x em x = 0. possui descontinuidade de segunda espécie 64

65 Solução: A função f possui descontinuidade de segunda espécie em x = 0, pois não existem os ites laterais em x = 0, já que x 0 + x = + e x 0 x =. Exemplo Verificar que a função f(x) = cos( ) possui descontinuidade de segunda x espécie em x = 0. Exemplo Dada a função f(x) = x + x, se x < + x, se x, + x verificar que f possui descontinuidade de primeira espécie em x = e possui descontinuidade de segunda espécie em x =. e x, se x > 0 Exemplo Verificar que a função f(x) = possui descontinuidade, se x 0, de primeira espécie em x = 0. 65

66 3.6 Exercícios x + 3, se x <. Dada a função f(x) = 5, se x = x, se x >, esboce o gráfico.. Dada a função f(x) = x, se x < x, se x < (x ), se x, determine se f é contínua em x = e determine se f é contínua em x = e em x =. 3x + 5, se x < 3. Dada a função f(x) = x 5, se x 5 verifique se f é contínua em x = 5x 5, se x > 5, e em x = 5. { x a, se x < 4. Determine a para que a função f(x) = seja contínua em x =. 6x, se x ; ax x + b, se x 5. Determine a e b para que a função f(x) = x ax + b, se x 3 ax ax b, se x 3, seja contínua em x = e em x = Calcule os ites envolvendo composições de funções: ( ) a) e x3 3x+ e x b) sen cos x + sen x c) x x π x 0 ( ) x + ln cos x 3 cos(3x). x π 3 d) 7. Calcule os ites envolvendo funções exponenciais e logarítmicas: a) ( + 3x) x x 0 b) x e x x c) x 0 e x x 8. Mostre que sen(ax + bx) x 0 cx + dx = b d, d 0 e cos(ax + bx) x 0 cx + dx d) x 0 ( + sen x) cotg x e) x x x f) x 0 + x ln(x) = 0. 66

67 3.7 Aplicações de Limites e Continuidade 0) (POLUIÇÃO DO MAR) Um cano rompido em uma plataforma pretolífera do Mar do Norte produz uma mancha de óleo circular que tem y metros de espessura a uma distância de x metros do local do vazamento. A turbulência torna difícil medir diretamente a espessura da mancha no local do vazamento (x = 0), mas para x > 0 observa-se que y = 0, 5(x + 3x) x 3 + x + 4x. Supondo que a distribuição de óleo no mar seja contínua, qual é a espessura estimada no local do vazamento? 0) (ETOLOGIA) Em algumas espécies de animais, a ingestão de aentos é afetada pelo grau de vigilância que o animal mantém enquanto está comendo. Para resumir, é difícil comer bem se você está em guarda o tempo todo contra predadores que podem comê-lo. Em um modelo, se o animal está se aentando de plantas que permitem uma mordida de tamanho S, a ingestão de aentos, I(S) é dada por uma função da forma I(S) = as S + c, onde a e c são constantes positivas. O que acontece com a ingestão I(S) quando o tamanho S da mordida aumenta indefinidamente (quando S )? 03) (ANÁLISE CUSTO-BENEFÍCIO) Em certas situações, é necessário comparar os benefícios de uma certa medida com o custo necessário para executá-la. Suponha, por exemplo, que para remover x% da poluição causada por um derramamento de petróleo seja preciso gastar C milhares de reais, onde C(x) = x 00 x. a) Quanto custa remover 5% da poluição? E 50%? b) O que acontece quando x se aproxima de 00 pela esquerda (x 00 )? É possível remover toda a poluição? 04) (PRODUÇÃO) O gerente de uma empresa determina que t meses após começar a fabricação de um novo produto o número de unidades fabricadas deve ser P milhares, onde P (t) = 6t + 5t (t + ). O que acontece com a produção a longo prazo (quando t )? 67

68 05) (PSICOLOGIA EXPERIMENTAL) Para estudar o aprendizado em animais, um estudante de psicologia realizou um experimento em que um rato teve que atravessar várias vezes o mesmo labirinto. Suponha que o tempo que o rato levou para atravessar o labirinto na enésima tentativa tenha sido da ordem de T (n) = 5n + 7 n minutos. O que acontece com este tempo quando o número n de tentativas aumenta indefinidamente (quando n )? 06) (COLÔNIA DE BACTÉRIAS) A população (em milhares) de uma colônia de bactérias t minutos após a introdução de uma toxina é dada pela função f(t) = { t + 7 para 0 t < 5, 8t + 7 para t 5. a) Em que instante a colônia deixa de existir? b) Explique por que a população deve ser em algum instante no intervalo < t < 7. c) A função f(t) é contínua em t = 5? 07) (PRODUTIVIDADE) Se uma cultura é plantada em um solo cujo teor de nitrogênio é N, a produtividade Y pode ser modelada pela função de Michaelis-Menten Y (N) = AN B + N, N 0, onde A e B são constantes positivas. Mostre que a produtividade tende para o valor constante A quando o teor de nitrogênio aumenta indefinidamente? (Por este motivo, A recebe o nome de produtividade máxima possível). 08) (POLUIÇÃO DO AR) Estima-se que daqui a t anos a população de um certo bairro será p mil habitantes, onde p(t) = 0 7. Um estudo ambiental mostra que a t + concentração média de monóxido de carbono no ar será c partes por milhão quando a população for p mil habitantes, onde c(p) = 0, 4 p + p +. a) Determine c em função de t; b) Qual será o nível de poluição c a longo prazo (quando t )? 68

69 Capítulo 4 Derivadas 4. O problema da reta tangente A maioria dos problemas de cálculo podem ser resolvidos se encontarmos a equação da reta tangente a uma curva num ponto específico desta curva. A primeira definição de reta tangente foi dada por Euclides no caso do círculo. Euclides definiu reta tangente ao círculo como a reta que intercepta o círculo num único ponto. Esta definição pode ser estendida a qualquer curva fechada e convexa, como por exemplo, uma elipse. O problema da reta tangente aparece quando desejamos determinar a equação da reta tangente a uma curva qualquer. Por exemplo, se a curva é uma parábola, a definição dada para o círculo não se aplica, pois existem infinitas retas que interceptam a parábola em apenas um ponto e estas não coincidem com a noção de tangência dada anterior. A seguir daremos uma idéia de como definir reta tangente a uma curva qualquer e daremos a definição precisa desta reta. Seja y = f(x) uma função contínua. Denotemos pos s a reta secante que passa pelos pontos P (x 0, f(x 0 )) e Q(x 0 + h, f(x 0 + h)) e por t a reta tangente à curva no ponto P (x 0, f(x 0 )). A declividade da reta secante é dada por m s = f(x 0 + h) f(x 0 ), (4.) h Imaginemos agora o ponto P fixo e o ponto Q se movendo ao longo da curva em direção a P. À medida que isto acontece, o ponto x 0 + h se aproxima de x 0 e a reta secante s se aproxima da reta tangente t. Assim podemos dizer que a inclinação da reta secante s se aproxima da inclinação da reta tangente t quando h tende a zero. Em outras palavras, dizemos que o ite da inclinação da reta secante s, quanto h tende a zero, é a inclinação da reta tangente t. Assim, podemos dizer que a inclinação da reta tangente t é f(x 0 + h) f(x 0 ) m t =, h 0 h 69

70 quando o ite existir. Quando o ite não existir, a reta secante deve ser uma reta vertical e, portanto, a reta tangente será x = x 0. A seguir definiremos reta tangente num ponto x 0 de uma curva qualquer. Definição 4.. Seja f uma função contínua num ponto x 0. A reta tangente ao gráfico de f no ponto P (x 0, f(x 0 )) é: i) a reta que passa por P e possui inclinação quando o ite existir. ii) a reta x = x 0 se f(x 0 + h) f(x 0 ) m t (x 0 ) =, h 0 h f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h =. Se não acontece i) nem ii), então não existe reta tangente ao gráfico de f no ponto P (x 0, f(x 0 )). Exemplo 4.. Determinar a equação da reta tangente à curva y = x no ponto (, ). Solução: Fazendo y = f(x) = x, a inclinação da reta tangente é m t () = h 0 f( + h) f() h A equação da reta tangente é = h 0 ( + h) () h = h 0 h + h h = h 0 ( + h) =. y = m t ()(x ) y = (x ) y = x. Exemplo 4..3 Determinar a equação da reta tangente à curva y = x 4x + 3 no ponto (4, 3). Solução: Fazendo y = f(x) = x 4x + 3, a inclinação da reta tangente é m t (4) = h 0 f(4 + h) f(4) h = h 0 (4 + h) 4(4 + h) + 3 [(4) + 4(4) + 3] h h + 4h = h 0 h A equação da reta tangente é = h 0 (h + 4) = 4. y 3 = m t (4)(x 4) y 3 = 4(x 4) y = 4x 3. Exemplo 4..4 Determinar a equação da reta tangente à curva y = x 4x 5 no ponto (, 7). 70

71 Solução: Fazendo y = f(x) = x 4x 5, a inclinação da reta tangente é m t ( ) = h 0 f( + h) f( ) h = h 0 ( + h) 4( + h) 5 [( ) 4( ) 5] h h 8h = h 0 h A equação da reta tangente é = h 0 (h 8) = 8. y 7 = 8(x + ) y = 8x 9. Exemplo 4..5 Sabendo-se que a reta normal à uma curva num ponto dado é a reta perpendicular à reta tangente neste ponto, determinar a equação da reta normal à curva y = 9 4x no ponto ( 4, 5). Solução: Fazendo y = f(x) = 9 4x, a inclinação da reta tangente é f( 4 + h) f( 4) m t ( 4) = h 0 h 9 4( 4 + h) 9 4( 4) = h 0 h 5 4h 5 = = h 0 h 5. A inclinação da reta normal é m n, onde A equação da reta normal é m n = m t ( 4) = 5. y 5 = 5 (x + 4) y = 5 x + 5. Exercício: Determinar a equação da reta normal à curva y = 4x 3 no ponto (3, 3). Resposta: y = 3 x Taxas de crescimento e a definição de derivadas O conceito de derivada aparece quando queremos analisar as taxas de crescimento de uma função ou variações de quantidades com respeito a diversas variáveis. Consideremos, por exemplo, uma partícula se movendo ao longo de uma reta de tal forma que sua distância s em função do tempo t é dada pela função s = f(t). Sabemos, da 7

72 cinemática, que a velocidade média v m da partícula no intervalo de tempo [t, t + t] é dada pela fórmula f(t + t) f(t) v m =. t Quando o intervalo de tempo é pequeno, isto é, quando t tende a zero, a velocidade média se aproxima da velocidade instantânea da função no ponto t. Ou seja, a velocidade instantânea da partícula é dada por f(t + t) f(t) v =. (4.) t 0 t Na seção anterior, vimos que a declividade da reta tangente à curva y = f(x), no ponto (x 0, f(x 0 )) é f(x 0 + h) f(x 0 ) m(x 0 ) =, (4.3) h 0 h quando o ite existe. Os ites que aparecem nas fórmulas (4.) e (4.3) possuem a mesma forma. Este tipo de ite aparece em diversos outros problemas e possui um nome específico. A este ite damos o nome de derivada, cuja definição mais precisa é dada abaixo. Definição 4.. Dizemos que uma função f é diferenciável no ponto x 0 se existe o ite h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ). h Quando este ite existir e for finito, seu valor será chamado de derivada de f no ponto x 0 e denotaremos por f f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) =, (4.4) h 0 h Dizemos que uma função é diferenciável se ela for diferenciável em todo número de seu domínio. Exemplo 4.. Calcule a derivada da função f(x) = 3x + no ponto x 0 =. Solução: Usando a fórmula (4.4), temos que f () = h 0 f( + h) f() h = h 0 h + 3h h = h 0 3( + h) + [3() + ] h = h 0 ( + 3h) =. Observações: ) A derivada da função f(x), para todo x no domínio de f, é dada por f f(x + h) f(x) (x) =, h 0 h 7

73 caso o ite exista; ) Fazendo x = x 0 + h, tem-se h = x x 0 e se h 0, então x x 0 0. Substituindo isto em (4.4), segue que a derivada de f no ponto x 0 pode ser dada por f (x 0 ) = x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0. 3) A declividade da reta tangente à curva y = f(x), no ponto (x 0, f(x 0 )) é m t (x 0 ) = h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h quando o ite existir. 4) Usamos as seguintes notações para derivada: = f (x 0 ), f (x): f linha de x ; y ou dy : derivada de y em relação a x, quando y = f(x) ; dx D x f(x): derivada de f(x) em relação a x. Exemplo 4..3 Determinar a equação da reta tangente à curva y = x no ponto (, ). Solução: Fazendo y = f(x) = x, a inclinação da reta tangente é Logo, a equação da reta tangente é m t () = f () = h 0 f( + h) f() h =. y = (x ) y = x. Exemplo 4..4 Dada a função f(x) = 3 x, determinar para quais valores de x, existe f (x). Determinar a equação da reta tangente à curva no ponto (0, 0). Solução: Supondo que existe f (x), segue que f (x) = h 0 f(x + h) f(x) h (x + h) /3 x /3 = h 0 h [ (x + h) /3 x /3 =. (x + h)4/3 + (x + h) /3 x /3 + x 4/3 ] h 0 h (x + h) 4/3 + (x + h) /3 x /3 + x 4/3 = h 0 [(x + h) /3 ] 3 [x /3 ] 3 h[(x + h) 4/3 + (x + h) /3 x /3 + x 4/3 ] 73

74 Logo, f (x) existe para todo x 0. Ou seja, Por outro lado, xh + h = h 0 h[(x + h) 4/3 + (x + h) /3 x /3 + x 4/3 ] x + h = h 0 (x + h) 4/3 + (x + h) /3 x /3 + x 4/3 f(0 + h) f(0) h 0 h = x 3x 4/3 = 3x /3 = 3 3 x. D(f ) = {x R; x 0}. 3 h = h 0 h = h 0 Logo, a equação da reta tangente é a reta horizontal x = 0. 3 h. = ±. Exemplo 4..5 Dada a função f(x) = + x 3 x, determinar o domínio da função f (x). Solução: Supondo que x 0 está no domínio de f, segue que f (x 0 ) = x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 = x x0 = x x0 ( + x)(3 x 0 ) ( + x 0 )(3 x) (x x 0 )(3 x)(3 x 0 ) Logo, f (x) existe para todo x 3. Ou seja, D(f ) = {x R; x 3}. +x 3 x +x 0 3 x 0 x x 0 = 5 (3 x). 4.3 Diferenciabilidade e Continuidade Nesta seção veremos a ligação que existe entre diferenciabilidade e continuidade. Veremos que diferenciabilidade implica em continuidade, mas que a recíproca não é verdadeira. Teorema 4.3. Se f é uma função diferenciável em x 0, então f é contínua em x 0. A recíproca não é verdadeira, isto é, uma função que é contínua em x 0 não, necessariamente, será diferenciável em x 0. Exemplo 4.3. Mostre que a função f(x) = x é contínua em x = 0, mas não é diferenciável em x = 0. Solução: É claro que f é contínua em x = 0. Por outro lado, temos f(0 + h) f(0) h 0 h = h 0 f(h) f(0) h h = h 0 h. Como h 0 h h não existe, então não existe f (0). Logo f não é diferenciável em x = 0. 74

75 4.4 Gráfico de funções diferenciáveis Vimos no exemplo anterior que a função f(x) = x não é diferenciável em x = 0. Na verdade, x = 0 é o único ponto onde f não é diferenciável. Notamos que não podemos traçar uma reta tangente ao gráfico de f em x = 0 com precisão, pois neste ponto, a curva faz um bico. Em geral, uma função não é diferenciável nos pontos onde seu gráfico apresenta bicos. Graficamente, dizemos que uma função é diferenciável num ponto x 0 se seu gráfico é uma curva suave nas proximidades de x 0, isto é, se não forma bicos no ponto x 0. Definição 4.4. Seja f uma função definida em x 0. A derivada à direita de f em x 0, indicada por f +(x 0 ), é f +(x 0 ) = h 0 + f(x 0 + h) f(x 0 ) h ou f +(x 0 ) = x x + 0 f(x) f(x 0 ) x x 0, caso o ite exista. Analogamente, a derivada à esquerda de f em x 0, indicada por f (x 0 ), é f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ) = ou f f(x) f(x 0 ) h 0 h (x 0 ) =, x x x x 0 0 caso o ite exista. Dizemos que f é diferenciável em x 0 se, e somente se, f +(x 0 ) = f (x 0 ). Exemplo 4.4. Dada a função f(x) = verificar se f é diferenciável em x = 3. Solução: Usando a definição, temos e f +(3) = x 3 + f(x) f(3) x 3 f (3) = x 3 f(x) f(3) x 3 { x, se x < 3 8 x, se x 3,, determinar f +(3) e f (3) e = x 3 + (8 x) (5) x 3 = x 3 (x ) (5) x 3 A função f não é diferenciável em x = 3, pois f +(3) f (3). = x x x 3 = = x 3 x 6 x 3 =. 4.5 Teoremas sobre diferenciação Teorema 4.5. Se C é uma constante e f(x) = C para todo x, então f (x) = 0 para todo x. Teorema 4.5. Se n é um inteiro positivo e f(x) = x n, então f (x) = nx n. 75

76 Teorema Se f é uma função diferenciável e C é uma constante, então a função g(x) = Cf(x) é diferenciável e g (x) = Cf (x). Teorema (Derivada da soma) Se f e g são funções diferenciáveis, então a função h(x) = f(x) ± g(x) é diferenciável e h (x) = f (x) ± g (x). Teorema (Derivada do produto) Se f e g são funções diferenciáveis, então a função h(x) = f(x).g(x) é diferenciável e h (x) = f(x)g (x) + f (x)g(x). Teorema (Derivada do quociente) Se f e g são funções diferenciáveis, então a função h(x) = f(x), g(x) 0 é diferenciável e g(x) h (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) [g(x)]. Teorema Se f(x) = x n, onde n é um inteiro positivo e x 0, então f (x) = nx n. Observação: Segue dos teoremas 4.5., e que se f(x) = Cx r, onde C é uma constante e r é um inteiro qualquer, então f (x) = Crx r. Teorema (Regra da Cadeia) Sejam f : [a, b] R e g : [c, d] R funções diferenciáveis com g([c, d]) [a, b]. Se g é diferenciável em todo x ]c, d[ e f é diferenciável em g(x), então f g é diferenciável em todo x ]c, d[ e d dx (f g)(x) = f (g(x))g (x). Exemplo 4.5. Calcule a derivada das seguintes funções: ( a) f(x) = (x 3 5x + 4) 5 x + ) 4 c) f(x) = 3x b) f(x) = 4x 3 + 5x 7x + 8 d) f(x) = (3x + ) (x 5x) Derivada da função potência com expoente racional A função f(x) = x r é denominada função potência. Sabemos que f (x) = rx r se r é um inteiro qualquer. Veremos o que acontece com a derivada de f quando r é um número racional. 76

77 Teorema 4.6. Se f(x) = x r, onde r é um número racional qualquer, então f (x) = rx r, onde r é tal que x r é bem definido num intervalo aberto contendo 0. Usando o teorema anterior e a regra da cadeia, temos o seguinte resultado. Teorema 4.6. Se g é uma função diferenciável e f(x) = [g(x)] r, onde r é um número racional qualquer, então f (x) = r[g(x)] r.g (x), onde r é tal que [g(x)] r é bem definido num intervalo aberto contendo 0. Exemplo 4.6. Calcular a derivada das seguintes funções: a) f(x) = 4 3 x b) f(x) = x 3 4x + 5 c) f(x) = x 3 3 3x. Solução: a) Escrevendo f(x) = 4x 3, temos b) Escrevendo f(x) = (x 3 4x + 5), temos f (x) = (4)( 3 )x 3 = 8 3 x 3 = x. f (x) = (x3 4x + 5) (x 3 4x + 5) c) Escrevendo f(x) = x 3 (3x ) 3, temos = (x3 4x + 5) (6x 4) = 3x x3 4x + 5. f (x) = (3x )(3x ) 3 + x 3 ( 3 )(3x ) 4 3 (6x) = 3x (3x ) 3 x 4 (3x ) 4 3 = x (7x 3) 3 (3x ) Derivada das funções exponencial e logarítmica Nesta seção estudaremos as derivadas das funções exponenciais e logarítmicas. Usaremos os seguintes ites fundamentais: e h h 0 h = e h 0 ( + h) h = e. 77

78 Teorema 4.7. Temos i) Se f(x) = e ax, então f (x) = ae ax, onde a é uma constante qualquer. ii) Se f(x) = ln(ax), então f (x) =, onde a é uma constante tal que ax > 0 para todo x. x Exemplo 4.7. Dada a função f(x) = e x, calcule f (). Exemplo 4.7. Determine a equação da reta tangente a curva y = 5 ln(x) no ponto (, 5 ln()). Observações: ) Segue do Teorema que d ) (e x = e x d ( ) e ln(x) = dx dx x. ) Usando o teorema anterior e a Regra da Cadeia, segue que, se f é uma função, então d ) (e f(x) = e f(x).f d ( ) (x) e ln(f(x)) = f (x) dx dx f(x). Exemplo Derive as funções: a) f(x) = e x x+ b) f(x) = ln ln(x 3 3). ( x 4 x ) x 3 c) f(x) = e x 5 +4x 3 + d) f(x) = 4.8 Derivada das funções trigonométricas Nesta seção estudaremos as derivadas das funções trigonométricas. Usaremos os seguintes ites fundamentais: sen(h) cos(h) = e = 0. h 0 h h 0 h Exemplo 4.8. Mostre que: De fato, temos d [ ] sen(x) = cos(x). dx d [ ] sen(x + h) sen(x) sen(x) = dx h 0 h sen(x) cos(h) + sen(h) cos(x) sen(x) = h 0 h sen(x)[cos(h) ] + sen(h) cos(x) = h 0 h = sen(x) cos(h) + sen(h) ] cos(x) h 0 [ [ = sen(x) h h cos(h) ] [ sen(h) + h h 0 h = sen(x)(0) + () cos(x) h 0 = cos(x). 78 ] cos(x)

79 Exemplo 4.8. Mostre que: De fato, temos d [ ] cos(x) = sen(x). dx d [ ] cos(x + h) cos(x) cos(x) = dx h 0 h cos(x) cos(h) sen(x)sen(h) cos(x) = h 0 h cos(x)[cos(h) ] sen(x)sen(h) = h 0 [ = cos(x) Exemplo Mostre que: De fato, temos d [ ] sec(x) dx = d [ dx Exemplo Mostre que: De fato, temos d [ ] csc(x) dx = d [ dx h 0 cos(x) sen(x) Exemplo Mostre que: De fato, temos Exemplo Mostre que: De fato, temos h cos(h) ] [ sen(x) h = cos(x)(0) sen(x)() = sen(x). h 0 d [ ] sec(x) = sec(x) tan(x). dx ] = sen(x) [ cos (x) = cos(x) d [ ] csc(x) = csc(x) cot(x). dx ] = cos(x) [ sen (x) = sen(x) d [ ] tan(x) = sec (x). dx d [ ] tan(x) = d [ sen(x) ] = sec (x). dx dx cos(x) d [ ] cot(x) = csc (x). dx sen(h) ] h d [ ] cot(x) = d [ cos(x) ] = csc (x). dx dx sen(x) 79 ][ sen(x) ] = sec(x) tan(x). cos(x) ][ cos(x) ] = csc(x) cot(x). sen(x)

80 4.9 Diferenciação implícita Seja y = f(x) uma função dada pela equação F (x, y) = 0. (4.5) Se é possível determinar y em função de x através da equação (4.5), dizemos que y é definifa explicitamente em função de x e podemos determinar y calculando f (x). Por outro lado, se não é possível determinar y em função de x através da equação (4.5), dizemos que y é definida implicitamente em função de x e a função y só pode ser calculada usando diferenciação implícita. O procedimento para determinar a derivada y, usando diferenciação implícita é o seguinte: Considere y = f(x) e derive a equação, em relação a x, considerando as fórmulas da derivada do produto, quociente, soma e regra da cadeia. Finalmente, calcule o valor da derivada de f na equação resultante. Exemplo 4.9. Sabendo-se que y = f(x) é dado pela equação determinar y em relação a x. x 6 x = 3y 6 + y 5 y, Solução: Diferenciando a equação em relação a x, temos Agrupando os termos semelhantes, temos que 6x 5 = 8y 5 y + 5y 4 y yy. y = 6x 5 8y 5 + 5y 4 y. Exemplo 4.9. Determine a equação da reta tangente à curva x 3 + y 3 = 9 no ponto (,). Exemplo Determine a equação da reta tangente ao círculo de raio e centro na origem, no ponto (, ). Exemplo Determine a equação da reta tangente a curva 6x 4 + y 4 = 3 no ponto (, ). Exemplo Dada a equação x + y = 9, determine: a) y por diferenciação implícita; b) funções do tipo y = f(x) dada pela equação; c) diferencie cada função encontrada no item b); d) verifique se os resultados encontrados no item c) concordam com o encontrado em a). Exemplo Se x n y m = (x + y) n+m, mostre que xy = y. 80

81 4.0 Derivada da função inversa Dada uma função f : R R, chamamos de função inversa de f a função g : R R, satisfazendo f(g(x)) = x, Dada uma função y = f(x), sua função inversa é denotada por y = f (x). Para calcular a derivada de uma função inversa, primeiro, observamos que y = f (x) f(y) = x. Derivando implicitamente em relação a x, obtemos f (y)y = y = f (y). Exemplo 4.0. Mostre que: d [ ] arcsen(x) = dx x. De fato, temos Derivando em relação a x, temos y = arcsen(x) sen(y) = x. cos(y)y = y = cos(y). Usando o fato que cos(y) = sen (y) e que sen(y) = x, segue que y = sen (y) = x. Donde segue o resultado. Exemplo 4.0. Mostre que: De fato, temos Derivando em relação a x, temos d [ ] arccos(x) dx =. x y = arccos(x) cos(y) = x. sen(y)y = y = sen(y). 8

82 Usando o fato que sen(y) = cos (y) e que cos(y) = x, segue que y = cos (y) =. x Donde segue o resultado. Exemplo Mostre que: De fato, temos Derivando em relação a x, temos d [ ] arctan(x) = dx + x. y = arctan(x) tan(y) = x. sec (y)y = y = Usando o fato que tan(y) = x, segue que cos(y) = sec (y). + x. Logo, y = [ sec (y) = ] [ ] [ = cos(y) = sec(y) + x ] = + x. Donde segue o resultado. Exemplo Mostre que: De fato, temos Derivando em relação a x, temos d [ ] arccot(x) = dx + x. y = arccot(x) cot(y) = x. csc (y)y = y = csc (y). Usando o fato que cot(y) = x, segue que sen(y) = + x. Logo, y = [ csc (y) = ] [ ] [ = sen(y) = csc(y) Donde segue o resultado. + x ] = + x. 8

83 Exemplo Mostre que: De fato, temos d ) (a x = a x ln(a), a > 0. dx y = a x log a (y) = x ln(y) ln(a) Derivando em relação a x, temos Donde segue o resultado. Exemplo Mostre que: a) d [ ] arc sec(x) = dx x x b) d [ ] arc csc(x) = dx x x c) d [ ] arc sen(x/a) = dx a x d) d [ ] arc cos(x/a) = dx a x e) d [ ] arc tan(x/a) = dx a + x f) d [ ] arc cot(x/a) = dx a + x y y = ln(a) y = y ln(a) = a x ln(a). = x ln(y) = x ln(a). 4. Regra de L Hôpital Regra de L Hôpital (Primeira Forma): Suponha que f(a) = g(a) = 0, que f (a) e g (a) existam e que g (a) 0. Então f(x) x a g(x) = f (a) g (a). Regra de L Hôpital (Forma mais Forte): Suponha que f(a) = g(a) = 0, que f e g sejam deriváveis em um intervalo aberto I contendo a e que g (x) 0 em I se x a. Então f(x) x a g(x) = f (x) x a g (x), desde que exista o ite do lado direito da igualdade. 83

84 Exemplo 4.. Usando a Regra de L Hôpital, calcule os seguintes ites. sen(x ) a) x 0 x e x e) x x b) x 0 e x e x sen(x) c) x 0 +(x ln(x)) d) x x x 0 b) x 0 c) x 0 d) x 0 + e) x 0 f) x a 3x sen x x x sen x x 3 cos x x + x sen x x sen x x x a x 3 a 3 x f) x e x Exercício: Usando a regra de L Hôpital, calcule os seguintes ites: ln(x/n) a) g) x n x 0 n x x 6x + 9 h) x 3 x 5x + 6 i) x 0 x 3 x x x 3 j) x e x ( k) x 0 sen(x) ) x ( l) x 0 x ) ln( + x) g) x 0 ( x x cos(x) m) x 0 e x cos(x) x + x cos(x ) n) x 0 x o) x 0 sen( sen(x)) sen(x) ) p) x 0 x sen(x + x) x sen(x x) q) x 0 e x3 cos(x ). x 3 + x 84

85 Capítulo 5 Aplicações da Derivada 5. Diferenciabilidade e Monotonia Definição 5.. Sejam f : [a, b] R uma função e x, x [a, b]. Dizemos que f é uma função crescente em [a, b] se f(x ) < f(x ), sempre que x < x. Dizemos que f é uma função decrescente em [a, b] se f(x ) > f(x ), sempre que x < x. Dizemos que f é uma função monótona decrescente se f é não-crescente, isto é, se f(x ) f(x ), sempre que x < x. Dizemos que f é uma função monótona crescente se f é não-decrescente, isto é, se f(x ) f(x ), sempre que x < x. Teorema 5.. Seja f : [a, b] R uma função contínua em [a, b] e diferenciável em (a, b). Se c (a, b), segue que Se f (c) > 0, então existe δ > 0 tal que f(c) < f(x) para x (c, c + δ) Se f (c) < 0, então existe δ > 0 tal que f(x) < f(c) para x (c, c + δ) e f(c) > f(x) para x (c δ, c). e f(x) > f(c) para x (c δ, c). Teorema 5..3 Seja f : [a, b] R uma função contínua em [a, b] e diferenciável em (a, b). Então f é crescente em [a, b] se f (x) > 0 para todo x [a, b] e f é decrescente em [a, b] se f (x) < 0 para todo x [a, b]. 85

86 Exemplo 5..4 Verifique que a função f(x) = x 3 é crescente para todo x real. Solução: Notemos que f é diferenciável para todo x real e f (x) = 3x 0 para todo x real. Logo f é sempre crescente. Exemplo 5..5 Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função f(x) = x 4x. Solução: Notemos que f é diferenciável para todo x real e f (x) = x 4. Temos que f é crescente onde f (x) > 0, isto é, onde x 4 > 0, ou seja, em x >. Por outro lado, f é decrescente onde f (x) < 0, isto é, onde x 4 < 0, ou seja, em x <. Portanto, f é crescente no intervalo (, + ) e é decrescente no intervalo (, ). Exemplo 5..6 Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função f(x) = x 3 + x x. Solução: Notemos que f é diferenciável para todo x real e f (x) = 3x + x. Temos que f é crescente onde f (x) > 0, isto é, onde 3x + x > 0, ou seja, em x < e x > /3. Por outro lado, f é decrescente onde f (x) < 0, isto é, onde 3x + x < 0, ou seja, em < x < /3. Portanto, f é crescente no intervalo (, ) (/3, ) e é decrescente no intervalo (, /3). 5. Máximos e Mínimos Definição 5.. Sejam f : [a, b] R uma função e x 0 (a, b). Dizemos que x 0 é um ponto de máximo relativo para f se existe δ > 0 tal que f(x) f(x 0 ), para todo x (x 0 δ, x 0 + δ) [a, b]. O valor f(x 0 ) é o máximo relativo para f. Dizemos que x 0 é um ponto de mínimo relativo para f se existe δ > 0 tal que f(x) f(x 0 ), para todo x (x 0 δ, x 0 + δ) [a, b]. O valor f(x 0 ) é o mínimo relativo para f. Dizemos que x 0 é um ponto de máximo absoluto para f em [a, b] se f(x) f(x 0 ), para todo x [a, b]. O valor f(x 0 ) é o máximo absoluto para f. Dizemos que x 0 é ponto de mínimo absoluto para f em [a, b] se f(x) f(x 0 ), para todo x [a, b]. O valor f(x 0 ) é o mínimo absoluto para f. 86

87 Observação: Chamamos de extremo relativo a um valor máximo relativo ou mínimo relativo e de extremo absoluto a um valor máximo absoluto ou mínimo absoluto. Teorema 5.. Seja f : [a, b] R uma função diferenciável em (a, b) e contínua em [a, b]. Se f possui um extremo relativo em x 0 (a, b), então Observações: f (x 0 ) = 0.. O teorema nos diz que se f é diferenciável em x 0 e possui um extremo em x 0, então o gráfico de f possui uma reta tangente horizontal no ponto (x 0, f(x 0 ));. A recíproca do teorema não é verdadeira, isto é, f (x 0 ) = 0 não implica que f terá um extremo em x 0. De fato, para a função f(x) = x 3 temos que f (0) = 0, mas f não possui máximo nem mínimo relativo em x 0 = 0 (prove isto); 3. Se f é diferenciável em (a, b), então os únicos valores x (a, b) onde f pode possuir um extremo relativo são aqueles em que f (x) = 0; 4. O teorema só vale se f for diferenciável em x 0, pois podemos ter uma função f com um extremo em x 0 e não existir f (x 0 ). De fato, a função f(x) = x possui um mínimo relativo em x 0 = 0, mas não existe f (0) (prove isto). Conclusão: Se f é definida em x 0, então f terá um extremo relativo em x 0 se f (x 0 ) = 0 ou se f (x 0 ) não existir. Definição 5..3 Dizemos que x 0 é um número crítico de f se x 0 pertence ao domínio de f e f (x 0 ) = 0 ou f (x 0 ) não existir. Observação: Uma função f possuirá um extremo relativo em x 0 apenas se x 0 for um número crítico de f. Exemplo 5..4 Determine os números críticos das funções abaixo. a) f(x) = 3 x3 x x + 5 b) f(x) = x 3 + x x + c) f(x) = (x 4) /3 d) f(x) = x x e) f(x) = x f) f(x) = x 4/3 + 4x /3. Teorema 5..5 (Teorema do Valor Extremo) Seja f : [a, b] R uma função contínua em [a, b]. Então f possui um máximo absoluto e um mínimo absoluto em [a, b]. Exemplo 5..6 Determine os extremos absolutos das funções em cada intervalo dado. a) f(x) = x 3 x + x em [ 5, 5] b) f(x) = x 3 + x x + em [, ] c) f(x) = (x ) /3 em [, 5] d) f(x) = x 3 + 3x 9x + em [ 4, ] e) f(x) = x + + x 3 6 em [, 4] f) f(x) = 4 x3 4x 4x + 6 em [, 4]. 87

88 5.3 Teorema do valor médio Teorema 5.3. (Teorema de Rolle) Seja f : [a, b] R uma função contínua em [a, b] e diferenciável em ]a, b[. Se f(a) = f(b), então existe c ]a, b[ tal que f (c) = 0. Teorema 5.3. (Teorema do Valor Médio) Seja f : [a, b] R uma função contínua em [a, b] e diferenciável em ]a, b[. Então existe c ]a, b[ tal que f (c) = f(b) f(a). b a Exemplo Se f : [a, b] R possui derivada nula em ]a, b[, mostre que f é uma função constante. 5.4 Teste da primeira derivada Teorema 5.4. (Teste da Derivada Primeira) Seja f : [a, b] R uma função contínua em ]a, b[ e x 0 ]a, b[. Suponhamos que f exista em todos os pontos de ]a, b[, exceto, possivelmente em x 0. Então:. Se f (x 0 ) > 0 para todo x ]x 0 δ, x 0 [ e f (x 0 ) < 0 para todo x ]x 0, x 0 + δ[, então f possui um valor máximo relativo em x 0 ;. Se f (x 0 ) < 0 para todo x ]x 0 δ, x 0 [ e f (x 0 ) > 0 para todo x ]x 0, x 0 + δ[, então f possui um valor mínimo relativo em x 0 ; Observações:. O teorema continua válido mesmo que f (x 0 ) não exista;. O teorema nos diz que se f cresce antes de x 0 e decresce após x 0, então x 0 é ponto de máximo relativo. E se f decresce antes de x 0 e cresce após x 0, então x 0 é ponto de mínimo relativo. Exemplo 5.4. Em cada caso abaixo, use o Teorema da Derivada Primeira para determinar os extremos da função f. Determine também os intervalos de crescimento de decrescimento de f e esboce o gráfico. a) f(x) = x 3 6x + 9x + b) f(x) = x 4/3 + 4x /3 c) f(x) = { x 4, se x < 3 8 x, se x 3 88

89 5.5 Derivadas de ordem superior Definição 5.5. Dizemos que uma função f é duas vezes diferenciável se sua derivada é também uma função diferenciável, isto é, se existem os ites f (x) = h 0 f(x + h) f(x) h e f f (x + h) f (x) (x) =. h 0 h Em geral, dizemos que uma função f é k vezes diferenciável se existem os ites Observações: f (k) f (k ) (x + h) f (k ) (x) (x) =, k =,, 3,... h 0 h. Estamos denotando, f () (x) = f (x), f () (x) = f (x), f (3) (x) = f (x),.... Se (x, y) é um ponto qualquer do gráfico da curva y = f(x), então y define a declividade da reta tangente ao gráfico da curva no ponto (x, y) e y é a taxa de variação da declividade; 3. Se s = f(t) é a função que descreve a equação do movimento de uma partícula em t segundos, então f (t) representa a velocidade instantânea e f (t) representa a aceleração instantânea no tempo t. Exemplo 5.5. Encontre todas as derivadas da função f(x) = x 5 x 4 +x 3 3x +4x 0. Solução: Temos f (x) = 5x 4 4x 3 + 6x 6x + 4 f (x) = 0x 3 x + x 6 f (x) = 60x 4x + f (4) (x) = 0x 4 f (5) (x) = 0 f (6) (x) = 0 f (7) (x) = 0 Em geral, f (k) (x) = 0 para k = 6, 7, 8, Teste da segunda derivada Teorema 5.6. (Teste da Derivada Segunda) Seja x 0 um número crítico de uma função f no qual f (x 0 ) = 0. Suponhamos que f existe para todo x num intervalo aberto contendo x 0 e que f (x 0 ) existe. Então: 89

90 . Se f (x 0 ) < 0, f possui um valor máximo relativo em x 0 ;. Se f (x 0 ) > 0, f possui um valor mínimo relativo em x Se f (x 0 ) = 0, nada se pode afirmar. Observações:. O teorema só se aplica nos casos em que x 0 é um número crítico de f satisfazendo f (x 0 ) = 0. Nos casos em que x 0 é um número crítico de f tal que f (x 0 ) não existe, devemos usar o Teste da Primeira Derivada;. No caso f (x 0 ) = 0, podemos ter x 0 ponto de máximo, ponto de mínimo ou ponto nem de máximo e nem de mínimo. De fato, para a função f(x) = x 4, temos f (0) = 0 e 0 é ponto de mínimo. Para a função f(x) = x 4, temos f (0) = 0 e 0 é ponto de máximo. E para a função f(x) = x 3, temos f (0) = 0 e 0 não é ponto de mínimo nem de máximo. Exemplo 5.6. Em cada caso abaixo, use o Teorema da Derivada Segunda para determinar os extremos da função f. Determine também os intervalos de crescimento de decrescimento de f e esboce o gráfico. a) f(x) = x x3 4x b) f(x) = x 7 x 6 x c) f(x) = (x + 6). 5.7 Concavidade e pontos de inflexão Definição 5.7. Dizemos que o gráfico de uma função f é côncavo para cima no ponto (x 0, f(x 0 )) se existe f (x 0 ) e se existe um intervalo aberto I contendo x 0, tal que para todo x I, x x 0, o ponto (x, f(x)) sobre o gráfico de f está acima da reta tangente ao gráfico no ponto (x 0, f(x 0 )). Dizemos que o gráfico de f é côncavo para baixo no ponto (x 0, f(x 0 )) se existe f (x 0 ) e se ponto (x, f(x)) sobre o gráfico de f está abaixo da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x 0, f(x 0 )) para todo x I, x x 0. Teorema 5.7. Seja f uma função diferenciável num intervalo aberto que contém o número x 0. Então:. Se f (x 0 ) > 0, o gráfico de f é côncavo para cima em (x 0, f(x 0 ));. Se f (x 0 ) < 0, o gráfico de f é côncavo para baixo em (x 0, f(x 0 )); Observações: 90

91 . A recíproca não é verdadeira, isto é, podemos ter o gráfico de f côncavo para cima em (x 0, f(x 0 )) e não ter f (x 0 ) > 0 ou podemos ter o gráfico de f côncavo para baixo em (x 0, f(x 0 )) e não ter f (x 0 ) < 0. De fato, o gráfico da função f(x) = x 4 é côncavo para cima em (0, 0) e f (0) = 0 e o gráfico da função f(x) = x 4 é côncavo para baixo em (0, 0) e f (0) = 0;. Se existe um ponto onde o gráfico de f muda sua concavidade, então ele intercepta a sua reta tangente neste ponto. Tal ponto é chamado de ponto de inflexão. Definição Dizemos que (x 0, f(x 0 )) é um ponto de inflexão para o gráfico de f se existir uma reta tangente ao gráfico de f em (x 0, f(x 0 )) e se existir um intervalo aberto I contendo x 0 tal que se x I, então. f (x) < 0 para x < x 0 e f (x) > 0 para x > x 0 ; ou. f (x) > 0 para x < x 0 e f (x) < 0 para x > x 0 Teorema Seja f uma função diferenciável num intervalo aberto que contém x 0. Se existe f (x 0 ) e se (x 0, f(x 0 )) é um ponto de inflexão para o gráfico de f, então Observações: f (x 0 ) = 0.. A recíproca não é verdadeira, isto é, podemos ter f (x 0 ) = 0 e (x 0, f(x 0 )) não ser ponto de inflexão para o gráfico de f. De fato, para a função f(x) = x 4, temos que f (0) = 0, mas (0, 0) não é ponto de inflexão para o gráfico de f (prove isto);. O gráfico de f pode ter um ponto de inflexão em x 0 e f (x 0 ) pode nem existir. De fato, para a função f(x) = x /3, temos que (0, 0) é ponto de inflexão para o gráfico de f (prove isto), mas f (0) não existe. Exemplo Dada a função f(x) = x 3 6x + 9x +, determine os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade para o gráfico de f. Esboce o gráfico de f. Solução: Temos Fazendo f (x) = 0, segue que f (x) = 3x x + 9 e f (x) = 6x. 6x = 0 x =. Logo (, f()) é o possível ponto de inflexão. Como f (x) existe para todo x R, segue que (, f()) é o único possível ponto de inflexão. Por outro lado, temos 9

92 f (x) < 0, para x < ; f (x) > 0, para x >. Logo (, f()) é o único ponto de inflexão. Como f() = 3, segue que o único ponto de inflexão é (, 3). Segue ainda que o gráfico de f é côncavo para cima para todo x > e côncavo para baixo para todo x <. O gráfico é dado na figura 5.. Figura 5.: Gráfico da função f(x) = x 3 6x + 9x + Exemplo Dada a função f(x) = ( x) 3, determine os pontos de inflexão para o gráfico de f e os intervalos de concavidade para o gráfico de f. Esboce o gráfico de f. Solução: Temos Fazendo f (x) = 0, segue que f (x) = 6( x) e f (x) = 4 48x. 4 48x = 0 x =. Logo (, f()) é o possível ponto de inflexão. Como f (x) existe para todo x R, segue que (, f( )) é o único possível ponto de inflexão. Por outro lado, temos f (x) < 0, para x > ; f (x) > 0, para x <. Logo (, f()) é o único ponto de inflexão. Como f( ) = 0, segue que o único ponto de inflexão é (, 0). Segue ainda que o gráfico de f é côncavo para cima para todo x < e côncavo para baixo para todo x >. O gráfico é dado na figura 5.. 9

93 Figura 5.: Gráfico da função f(x) = ( x) Esboço de gráficos com o uso de derivadas O procedimento para esboçar o gráfico de uma função usando derivadas é o seguinte:. determinar os números críticos de f;. determinar os extremos de f; 3. determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de f; 4. determinar os pontos de inflexão e intervalos de concavidade para f; 5. esboçar o gráfico de f. Exemplo 5.8. Esboce o gráfico da função f(x) = x 3 3x + 3, usando derivadas. Solução: Vejamos cada item para o esboço do gráfico. i) Números Críticos A primeira derivada de f é f (x) = 3x 6x. Fazendo f (x) = 0, segue que x = 0 ou x =. Por outro lado, f (x) existe para todo x R, pois f (x) é uma função polinomial. Logo, os únicos números críticos são 0 e. ii) Extremos: Notemos que f (x) < 0, para 0 < x <. f (x) > 0, para x < 0 e x > Logo, 0 é ponto de máximo relativo e é ponto de mínimo relativo. O máximo relativo é f(0) = 3 e o mínimo relativo é f() =. iii) Intervalos de Monotonia: Analisando o sinal de f (x) temos que 93

94 f cresce para todo x < 0 e x >, ou seja, no intervalo (, 0) (, + ). f decresce para todo 0 < x <, ou seja, no intervalo (0, ). iv) Pontos de Inflexão e Intervalos de Concavidade A segunda derivada de f é f (x) = 6x 6. Fazendo f (x) = 0, segue que 6x 6 = 0 x =. Logo (, f()) é o possível ponto de inflexão. Por outro lado, temos f (x) < 0, para x < ; f (x) > 0, para x >. Logo (, f()) é ponto de inflexão. Como f() =, segue que o ponto de inflexão é (, ). Por outro lado, o gráfico de f é côncavo para cima para todo x > e côncavo para baixo para todo x <. vi) Gráfico O gráfico é dado na figura 5.3. Figura 5.3: Gráfico da função f(x) = x 3 3x + 3 Exemplo 5.8. Esboce o gráfico da função f(x) = 5x /3 x 5/3, usando derivadas. Solução: Vejamos cada item para o esboço do gráfico. i) Números Críticos A primeira derivada de f é f (x) = 0 3 x x 3. 94

95 Fazendo f (x) = 0, segue que 0 3 x x 0 3 = 0 3 x 3 = 5 3 x 3 x =. Logo x = é um número crítico. Como f (0) não existe, segue que x = 0 é também um número crítico. Portanto, os números críticos são 0 e. ii) Extremos: Notemos que f (x) < 0, para x < 0 e x > f (x) > 0, para 0 < x <. Logo, 0 é ponto de mínimo relativo e é ponto de máximo relativo. O mínimo relativo é f(0) = 0 e o máximo relativo é f() = iii) Intervalos de Monotonia: Analisando o sinal de f (x) temos que f cresce para todo 0 < x <, ou seja, no intervalo (0, ). f decresce para todo x < 0 e x >, ou seja, no intervalo (, 0) (, + ). iv) Pontos de Inflexão e Intervalos de Concavidade A segunda derivada de f é Fazendo f (x) = 0, segue que x x f (x) = x x 3. 3 = 0 x 4 3 = x 3 x =. Logo (, f( )) é o possível ponto de inflexão. Como f (0) não existe, (0, f(0)) é outro possível ponto de inflexão. Por outro lado, temos f (x) > 0, para x < ; f (x) < 0, para x >. Logo (, f( )) é o único ponto de inflexão. Como f( ) = 6, segue que o único ponto de inflexão é (, 6). Segue ainda que o gráfico de f é côncavo para cima para todo x < e côncavo para baixo para todo x >. vi) Gráfico O gráfico é dado na figura

96 Figura 5.4: Gráfico da função f(x) = 5x /3 x 5/3 5.9 Problemas de Otimização Além das aplicações clássicas do Cálculo, é interessante aplicar seus conceitos em problemas que surgem no dia a dia, tais como os problemas de otimização, de cálculo de área e do custo de materiais para construção. Abaixo estão colocados problemas de otimização diversos. Exemplo 5.9. Suponha que dispomos de P metros de arame para cercar um terreno que possui uma forma retangular. Determinar as dimensões do terreno de modo que se tenha área máxima cercada. Solução: Sejam x e y as dimensões do terreno. O perímetro da área retangular deve ser constante e igual a P. Logo devemos ter x + y = P y = P x. A área é dada por ( P ) A = xy = x x = x + P x. Derivando A em função de x, tem-se A (x) = x + P. Fazendo A (x) = 0 segue que x = P 4. Donde segue que y = P. Logo o retângulo deve ser 4 um quadrado de lados P 4. Exemplo 5.9. Uma caixa fechada com base quadrada deve ter um volume de.000cm 3. O material da tampa da base custa 3 reais por cada centímetro quadrado e o material para o lado da caixa custa,5 reais por cada centímetro quadrado. Determine as dimensões da caixa de modo que o custo do material seja o menor possível. 96

97 Solução: Sejam x > 0 a medida de cada lado da base e y > 0 a medida da altura da caixa. Como a caixa é fechada, segue que a área das bases é dada por A b = x. Por outro lado, a área dos lados é A l = 4xy e o volume é V = x y. O custo do material é dado pela função C(x, y) = 3A b +, 5A l = 3(x ) +, 5(4xy) = 6x + 6xy. Como o volume deve ser V =.000cm 3, segue que 000 = x y y = 000 x. Logo a função custo material deve ser dada por ( 000 ) C(x) = 6x + 6x = 6x x x. Sendo x > 0, segue que C é uma função contínua para todo x > 0. Logo C (x) = x 000 x = 0 x = 0. Portanto, x = 0 é o único número crítico da função C. Por outro lado, temos que C (x) = x 3 C (0) = 36 > 0, ou seja, x = 0 é um ponto de mínimo relativo para C e é o único. Quando x = 0, segue que y = 0. Ou seja, o custo do material é mínimo quando o lado da base da caixa é 0 cm e quando a altura é 0 cm. Neste caso, o custo mínimo é C(0) = 800, ou seja, o custo mínimo do material é de.800, 00 reais. Exemplo Encontre dois números reais positivos cujo produto seja constante e cuja soma seja mínima. Solução: Sejam x > 0 e y > 0 os dois números e C > 0 a constante. Temos xy = C e f(x) = x + y = x + C x. Logo, f (x) = C x e se f (x) = 0, então C x = 0 x = C, pois x > 0. Segue que y = C x = C C = C. Logo devemos ter x = y = C. 97

98 Exemplo Deseja-se construir uma caixa sem tampa a partir de uma lâmina retangular de dimensões A e B. Determinar o valor do corte x na lâmina de tal forma que o volume da caixa formada seja o maior possível. Solução: Das condições do problema, temos que o volume da caixa formada será V (x) = x(a x)(b x), 0 < x < A e x < B. Derivando V em função de x, segue que Fazendo V (x) = 0, obtemos V (x) = x 4(A + B)x + AB. x = A + B ± (A + B) 3AB. 6 Para que o volume da caixa seja máximo é necessário que x seja mínimo. Logo, devemos ter x = A + B (A + B) 3AB. 6 Exemplo Encontre a menor distância do ponto A(, ) a um ponto sobre a parábola y = x e encontre o ponto sobre a parábola que está mais próximo de A. Solução: Sejam P (x, y) um ponto sobre a parábola e d a distância de A até P. Logo, d é a função de duas variáveis d(x, y) = (x ) + (y ). Como P (x, y) pertence à parábola, segue que y = x. Logo, podemos escrever d(x) = (x ) + (x ) = x 4 4x Derivando d em relação a x, temos d (x) = 4x 3 4 x 4 4x Fazendo d (x) = 0, segue que x =. Logo x = é um número crítico para a função d e é o único, pois d (x) não existirá em x tal que x 4 4x + 7 = d(x) = 0 o que é contradição, 4 pois devemos assumir d > 0. Por outro lado, podemos ver que d (x) = 6x 0. Logo x = 5 é um ponto de mínimo relativo. Neste caso, a distância mínima é dada por d() = e o ponto sobre a parábola que está mais próximo de A é (, ). 98

99 Exemplo (OTIMIZAÇÃO) Um espião é deixado por um submarino para ser embarcado em um bote a km de um ponto P numa praia reta com direção Norte-Sul. Ele precisa chegar a uma casa na praia a 6km ao Norte de P. Remando ele percorre 3km/h e andando 5km/h. Sua intenção é remar a um certo ponto ao Norte de P e depois andar o resto do caminho. Pergunta-se: a) A que distância ao Norte de P ele deve desembarcar para chegar à casa no menor tempo possível? b) Qual a duração da viagem? c) Se remar até P e de P até a casa, quanto tempo a mais ele gastará? d) Se a casa tiver a 8km de P, a resposta de a) será a mesma? e) Se o bote estiver munido de um motor que desenvolve uma velocidade de 5km/h, qual seria a distância ao Norte de P para se chegar no menor tempo possível? f) Qual a menor velocidade em que tal rota continua sendo a mais rápida? Solução: a) Suponha que o espião sai de um ponto O, rema até um ponto Q a uma distância x de P ao Norte de P e depois vá andando até a casa. O tempo de percurso total é dado pela função T (x) = d v + d v, onde d é a distância de O a Q, d é a distância de Q à casa e v e v são as respectivas velocidades. Do enunciado do problema, tem-se Logo Derivando em relação a x, tem-se d = 4 + x, d = 6 x, v = 3, v = 5. T (x) = T (x) = 4 + x x. 5 x x 5. Fazendo T (x) = 0, segue que x = 3. Portanto, o espião deve desembarcar a 3 de P. b) A duração da viagem é dada por ( 3 T = ) 6 5 h. c) Se remar de O até P e andar de P até à casa, o tempo total será Km ao Norte T = =

100 Fazendo a diferença 8 6 =. Logo, levará horas a mais d) Sim, pois apesar de mudar a função tempo que ficará T (x) = 4 + x x, 5 a função derivada T (x) é a mesma. Portanto, o mesmo x mínimo. e) Neste caso, a função que representa o tempo total é dada por Portanto, T (x) = 4 + x 5 T (x) = + 6 x 5 = x x x + 6 x. 5 Podemos ver que não existe x tal que T (x) = 0. Mas como as velocidades são iguais, o espião deve percorrer a menor distância que é saindo do ponto O até a casa. Neste caso, o valor de x deve ser 6. f) A menor velocidade é v = km/h. Exemplo (OTIMIZAÇÃO) Determine as dimensões do retângulo de maior área inscrito num círculo de raio R. Solução: Considere o plano carteziano com origem no centro do círculo e x e y os lados do retângulo. Segue que ( x ) + ( y A área do retângulo é ) = R Derivando A em relação a x, tem-se x + y = 4R y = 4R x. A = xy = x 4R x. A (x) = 4R x x 4R x. Fazendo A (x) = 0, segue que x = R. Segue que y = R. Portanto, o retângulo de maior área inscrito num círculo de raio R é um quadrado de lados R. Exemplo (OTIMIZAÇÃO) Duas cidades A e B devem receber suprimentos de água de um reservatório a ser localizado às margens de um rio em linha reta que está a 0km de A e a 0km de B. Se a distância entre A e B é de 0km e A e B estão do mesmo lado do rio, a que distância de A e de B deve estar localizado o reservatório para que se gaste o mínimo de tubulação. 00

101 Solução: Considere os pontos A e B as projeções dos pontos A e B sobre o rio, respectivamente e sejam R um ponto do rio que representa a localização do reservatório a uma distância x do ponto B. É facil ver que a distância entre A e B é 0 3. A função tubulação é dada por d(x) = d AR + d BR, onde d AR e d BR são as distâncias das cidades A e B, respectivamente, até o ponto R do reservatório. Das condições do problema, segue que d AR = (0 3 x) e d BR = x Logo, a função a ser minimizada é d(x) = (0 3 x) x Derivando d em relação a x, tem-se d (x) = x 0 3 x (0 + 3 x) x Fazendo d (x) = 0, segue que 0 3 x (0 = 3 x) x x + 00 (0 3 x) (0 3 x) = x x + 00 (0 3 x) x + 400x = (0 3 x) x + 00(0 3 x) 400x = 00(0 3 x) x = 0 3 x x = Portanto, o reservatório deve esta a 0 3 km horizontalmente a B. Neste caso, teremos 3 d AR = 40 3 e d 3 BR = Exemplo (OTIMIZAÇÃO) O departamento de estradas de rodagem pretende construir uma área de piquinique para motoristas à beira de uma rodovia movimentada. O terreno deve ser retangular, com uma área de metros quadrados, e ser cercado nos três lados que não dão para a rodovia. Qual o menor comprimento da cerca necessária para a obra? Exemplo (OTIMIZAÇÃO) Uma lata cilíndrica deve conter um certo volume de líquido. O custo do material usado para o fundo e para a tampa da lata é de 3 centavos por centímetros quadrado e o custo do material usado para o lado da lata é de centavos por centímetros quadrados. Obtenha uma relação simples entre o raio e a altura da lata de modo que o custo do material seja o menor possível. 0

102 Exemplo 5.9. (OTIMIZAÇÃO) Pretende-se estender um cabo de uma usina de força à margem de um rio com 900 metros de largura até uma fábrica situada do outro lado do rio, metros metros rio abaixo. O custo para estender o cabo pelo rio é de 5 reais o metro e o custo para estender o cabo por terra é de 4 reais o metro. Qual o percurso mais econômico para estender o cabo. Exemplo 5.9. (TEMPO DE PERCURSO) Um agente da polícia se encontra ao meiodia dirigindo um gipe na areia do deserto, no pequeno principado de Alta Loma. O agente se encontra a 3 km do ponto mais próximo de uma estrada pavimentada retilínea. A uma distância de 6 km, nesta mesma estrada, existe uma usina de energia elétrica abandonada na qual um grupo de bandidos está mantendo refém o chefe do agente. Se o agente não chegar com o resgate até as h50min, os bandidos irão executar o refém. O jipe pode viajar a 48 km/h na areia do deserto e a 80km/h na estrada pavimentada. O agente conseguirá chegar a tempo? Exemplo (TEMPO DE PERCURSO) Um homem está de pé na margem de um rio com km de largura e quer chegar a uma cidade situada na margem oposta, km rio acima. Para isso, pretende remar em linha reta até um ponto P na margem oposta do rio e caminhar até a cidade. Qual deve ser a localização do ponto P para que o percurso seja coberto no menor tempo possível, sabendo que o homem é capaz de remar a 4km/h e andar a 5km/h? Exemplo (OTIMIZAÇÃO) Determine as dimensões do retângulo de maior área inscrito na elípse de eixos a e b. Exemplo (OTIMIZAÇÃO) Determine as dimensões que deve ter uma lata na forma de um cilindro reto de um litro de volume, de modo que o material usado na sua fabricação seja mínimo. Exemplo (OTIMIZAÇÃO) Determine as dimensões do cilindro reto de maior volume que pode ser inserido num cone reto de base circular com raio r e altura h. Exemplo (PRODUTIVIDADE) Um estudo de eficiência realizado em uma fábrica durante o turno da manhã mostra que um operário que começa trabalhar às 8 horas terá produzido, em média, Q(t) = t 3 + 9t + t unidades t horas mais tarde. Supondo que o turno da manhã vá de 8 horas ao meio-dia, em que hora da manhã os operários são mais produtivos. Exemplo (VELOCIDADE INSTANTÂNEA) Um objeto move-se ao longo de uma reta de acordo com a equação do movimento s(t) = 4t + 3 com t 0. Determine os valores de t para os quais a medida da velocidade instantânea é: a) v=0; b) v=; c) v=. 0

103 Exemplo (CRESCIMENTO DE UMA POPULAÇÃO) Uma projeção válida para 5 anos, revela que daqui a t anos a população de um certo bairro será P (t) = t 3 + 9t + 48t + 50 mil habitantes. Determine em que instante, dentro do período de 5 anos, a taxa de crescimento da população será máxima e em que instante será mínima? Exemplo (MINIMIZAÇÃO DE DISTÂNCIAS) Um sitiante tem sua casa situada em um ponto A, um galinheiro situado em um ponto B, e dispõe de um riacho que segue o curso praticamente em linha reta. Diariamente ele sai de casa, vai até o riacho, enche um balde de água e leva para o galinheiro. A distância entre o riacho e a casa é de 600 m, entre a casa e o galinheiro é de 500 m e entre o galinheiro e o riacho é de 800 m, conforme figura abaixo. Determine qual deve ser a trajetória do sitiante para que ele ande o mínimo possível na execução dessa tarefa. Dica: Deve-se minimizar a função d(x) = x (500 x)

104 5.0 Taxas relacionadas Consideremos uma equação envolvendo as variáveis x e y, onde estas variáveis dependem de uma terceira variável t, isto é, x = x(t) e y = y(t). Aplicando a Regra da Cadeia, encontramos taxas de variações do tipo ou de uma variável envolvendo x e y. dx dt e dy dt, Exemplo 5.0. O lados de um retângulo estão crescendo com velocidades 3m/s e 4m/s. Determine com que velocidade cresce a área deste retângulo quando os lados medem 4 e 5 metros, respectivamente. Solução: Sejam x e y os lados do retângulo. Estes lados crescem com velocidades dx dt = 3m/s e dy dt = 4m/s, respectivamente. Como a área é dada por A = xy, segue que Quando x = 4 e y = 5, temos da dt da dt = dx.y + x.dy dt dt. = (3)(5) + (4)(4) = 3. Logo, a área do retângulo cresce com velocidade 3 m/s. Exemplo 5.0. O volume de um cubo cresce a 0cm 3 /min. Determine com que velocidade cresce seus lados quando possuem 5cm de comprimento. Solução: Seja x a medida dos lados do cubo e V o volume. Segue que V = x 3 e V = 3x x, onde V é a velocidade de crescimento do volume e x dos lados. Para x = 5, tem-se V = 0 e x é tal que 0 = 3.(5).x x = 5. Logo, os lados crescem com velocidade x = 5 cm/min. Exemplo Um cateto de um triângulo retângulo cresce com velocidade igual ao dobro do outro. A que velocidade cresce a hipotenusa quando os catetos são iguais a b. 04

105 Solução: Sejam x e y as medidas dos catetos e h da hipotenusa. Dos dados do problema, tem-se x = y e h = x + y. Logo, hh = xx + yy h = xx + yy. h Quando os catetos são iguais a b, tem-se x = y = b e h = b. Portanto, h = b(y ) + by b = 3 y. Logo, a hipotenusa cresce com velocidade h = 3 y. Exemplo Uma escada de 5 m de comprimento se encontra apoiada numa parede e sobre um plano horizontal. Se o lado inferior da escada é arrastado com velocidade de m/s quando ela está a 4m de distância da parede, determine com que velocidade o outro extremo da escada está descendo. Solução: Sejam x = x(t) a distância no plano horizontal do pé da escada até a parede, y = y(t) a altura da escada na parede e h o comprimento da escada, onde t é o tempo. Dos dados do problema, tem-se que a velocidade com que o lado inferior é arrastado é dado por x (t) = m/s e a velocidade y (t) com que a escada desliza sobre a parede é o que devemos determinar. Derivando a expressão x + y = 5 implicitamente em relação a t, tem-se Quando x = 4 e x = segue que y = 3 e xx + yy = 0 y = xx y. y = 4. 3 = 8 3. Logo, a escada desliza sobre a parede a uma velocidade de 8 3 m/s. Exemplo Considere no exemplo anterior que a escada está apoiada sobre um plano inclinado que faz um ângulo de 30 graus com a horizontal. Solução: Sejam x = x(t) a distância no plano horizontal do pé da escada até o plano inclinado, y = y(t) a altura da escada no plano inclinadado e h o comprimento da escada, onde t é o tempo. Dos dados do problema, segue que os lados x e y formam um ângulo de 0 o entre eles. Da Lei dos cossenos, tem-se que Quando x = 4, segue que x + y xy cos(0) = 5 x + y + xy = y +4y = 5 y +4y 9 = 0 y = 4 ± 5 y = ± 3. 05

106 Como y deve ser positivo, então y = + 3. Por outro lado, derivando x + y + xy = 5 implicitamente em relação a t, segue que xx + yy + x y + xy = 0. Substituindo x = 4, y = + 3 e x =, obtemos (4)() + ( + 3)y + ( + 3) + 4y = 0 y = Exemplo O volume de uma região esférica cresce a uma taxa de 3cm 3 /s. A que taxa cresce o raio quando r =? Solução: Sejam V = V (t) o volume da esfera e r = r(t) o seu raio, onde t é o tempo. Sabendo-se que o volume da esfera é dado por V = 4 3 πr3, segue da derivação implícita em relação a t, que V = 4πr r r = V 4πr, onde V é a taxa de crescimento do volume e r a do raio. Quando r = segue que r = 3 4π. Logo, a taxa de crescimento do raio é de 3 4π cm/s. Exemplo Dois corpos se movimentam em trajetórias paralelas com uma separação de 0 metros e em direções opostas. Se um corpo se movimenta a 0 m/s e o outro a 5m/s, encontre a velocidade com que estes corpos se acercam quando a distância horizontal entre eles é de 5m. Solução: Sejam x = x(t) a distância horizontal entre os carros e y = y(t) a distância de aproximação dos carros, onde t é o tempo. Dos dados do problema, segue que a velocidade horizontal é x = 0m/s + 5m/s = 5m/s Derivando a expressão y = x + 0 implicitamente em relação a t, tem-se yy = xx y = xx y. Quando x = 5 e x = 5, segue que y = 5 5 e y = (5)(5) 5 = 3 5. Logo os carros se acercam a uma velocidade de 3 5m/s. 06

107 Exemplo Dois carros estão viajando em direção ao cruzamento de duas rodovias. O primeiro vai dirigindo à taxa de 7km/h na direção a Oeste-Leste e o outro vai dirigindo à taxa de 54km/h na direção a Norte-Sul. A que taxa os carros se aproximam um do outro no instante em que o primeiro estiver a 400 metros e o segundo a 300 metros do cruzamento? Solução: Sejam x = x(t) a distância do primeiro carro até o cruzamento, y = y(t) a distância do segundo carro até o cruzamento z = z(t) a distância de aproximação dos carros, onte t é o tempo. Dos dados do problema, segue que x (t) = 7km/h = 0m/s, e y (t) = 54km/h = 5m/s. Derivando a expressão z = x + y implicitamente em relação a t, tem-se zz = xx + yy z = xx + yy. z Quando x = 400 e y = 300, segue que z = 500 e z = xx + yy z = (400)(0) + (300)(5) 500 = 5. Logo os carros se acercam a uma velocidade de 5m/s ou 90km/h. Exemplo Um tanque tem a forma de um cone invertido tendo uma altura de 5 metros e raio da base igual a metro. O tanque se enche de água à uma taxa de m 3 /min. Com que velocidade o nível da água sobe quando ele está a 3 metros de profundidade? Solução: Sejam V = V (t) o volume de água no tanque, r = r(t) o raio e h = h(t) a altura com que o nível da água está subindo. Sabendo-se que o volume do cone é dado pela fórmula V = 3 πr h. Podemos einar a variável r usando semelhança de triângulos. De fato, considere dois triângulos retângulos onde o primeiro representa a altura do cone com 5 metros e raio da base igual a metro e o segundo com altura h e raio r, ambos arbitrários. Segue que h 5 = r r = h 5. Substituindo na expressão do volume, temos V = 75 πh3. Derivando implicitamente em relação a t, tem-se V = 5 πh.h h = 5V πh. Quando h = 3, segue que h = 5() = 50 π3 9π. Logo o nível da água sobe a uma taxa de 50 9π m/min. 07

108 Capítulo 6 Integral 6. Definição de Integral 6. Integral Indefinida Chamamos de integral indefinida de uma função f na variável x a integral sem os ites de integração que representamos por f(x)dx. Para calcular uma integral indefinida, devemos antes saber qual é a função primitiva de f ou a sua antiderivada. Definição 6.. Dizemos que F (x) é uma função primitiva de f(x) se Observações: F (x) = f(x).. Existem infinitas primitivas para uma função f. De fato, se F é uma primitiva para f, então F + C também é primitiva para f, onde C é uma constante arbitrária;. Se F e G são funções primitivas para f, então F (x) = G(x) + C, onde C é uma constante. De fato, d dx [F (x) G(x)] = F (x) G (x) = f(x) f(x) = 0. Como d [F (x) G(x)] = 0, segue que F (x) G(x) = C, ou seja, F (x) = G(x) + C. dx 3. Se F (x) é uma primitiva para f(x), então f(x)dx = F (x) + C. 08

109 4. Calcular uma integral indefinida de uma função f é o mesmo que determinar primitivas para f. Este processo é denominado antidiferenciação. Exemplo 6.. Calcule as integrais indefinidas: a) xdx Solução: Neste caso, devemos encontrar uma primitiva para a função f(x) = x. Notemos que, a função F (x) = x Logo b) x 3 dx é uma primitiva para f, pois F (x) = d dx (x ) = x = f(x). xdx = x + C. Solução: Uma primitiva para a função f(x) = x 3 é a função F (x) = x4, pois Logo F (x) = d dx (x4 ) = x3 = f(x). x 3 dx = x4 + C. c) e x dx Solução: Uma primitiva para a função f(x) = e x é a função F (x) = e x, pois F (x) = d dx (ex ) = e x = f(x). Logo e x dx = e x + C. d) a x dx, a > 0. Solução: Uma primitiva para a função f(x) = a x é a função F (x) = F (x) = d dx ( ax ln(a) ) = ax = f(x). ax ln(a), pois Logo a x dx = ax ln(a) + C. 09

110 e) x dx. Solução: Uma primitiva para a função f(x) = x F (x) = d dx (ln x ) = x = f(x). Logo dx = ln x + C. x é a função F (x) = ln x, pois f) sen(x)dx Solução: Uma primitiva para a função f(x) = sen(x) é a função F (x) = cos(x), pois Logo F (x) = d ( cos(x)) = sen(x) = f(x). dx sen(x)dx = cos(x) + C. g) cos(x)dx Solução: Uma primitiva para a função f(x) = cos(x) é a função F (x) = sen(x), pois Logo F (x) = d (sen(x)) = cos(x) = f(x). dx cos(x)dx = sen(x) + C. h) sec (x)dx Solução: Uma primitiva para a função f(x) = sec (x) é a função F (x) = tan(x), pois Logo F (x) = d dx (tan(x)) = sec (x) = f(x). sec (x)dx = tan(x) + C. i) csc (x)dx Solução: Uma primitiva para a função f(x) = csc (x) é a função F (x) = cot(x), pois Logo F (x) = d dx ( cot(x)) = csc (x) = f(x). csc (x)dx = cot(x) + C. 0

111 j) sec(x) tan(x)dx Solução: Uma primitiva para a função f(x) = sec(x) tan(x) é a função F (x) = sec(x), pois Logo F (x) = d (sec(x)) = sec(x) tan(x) = f(x). dx sec(x) tan(x)dx = sec(x) + C. k) csc(x) cot(x)dx Solução: Uma primitiva para a função f(x) = csc(x) cot(x) é a função F (x) = csc(x), pois F (x) = d ( csc(x)) = csc(x) cot(x) = f(x). dx Logo csc(x) cot(x)dx = csc(x) + C. l) + x dx Solução: Uma primitiva para a função f(x) = é a função F (x) = arctan(x), pois + x Logo De modo análogo, tem-se que onde a é um número real qualquer. m) a x dx n) x x a dx F (x) = d dx (arctan(x)) = + x = f(x). dx = arctan(x) + C. + x a + x dx = a arctan(x a ) + C, 6.3 O Teorema Fundamental do Cálculo Se F (x) é uma primitiva para f(x), então b a f(x)dx = F (b) F (a).

112 6.4 Propriedades da Integral Teorema 6.4. Sejam f e g funções integráveis e K uma constante arbitrária, então: i) Kdx = Kx + C; ii) Kf(x)dx = K f(x)dx; iii) [f(x) ± g(x)]dx = f(x)dx ± g(x)dx; Observação: Do Teorema anterior, segue que se f, f,..., f n são funções integráveis e k, k,..., k n são constantes, então [k f (x) ± k f (x) ±... ± k n f n (x)]dx = k f (x)dx ± k f (x)dx ±... ± k n f n (x)dx. Teorema 6.4. Se n é um número real qualquer, então x n+ x n + C, se n ; dx = n + ln x + C, se n =. Exemplo 6.4. Calcule as integrais indefinidas. a) 3dx b) 6xdx c) 3x 5 dx d) 3x 4 dx e) x 3 dx f) 3 4 x 3 dx g) (x 4)dx h) (5x 5 4x 3 x 4x + )dx i) x dx x 3 j) x(x + )dx x 6.5 Fórmula de Mudança de Variáveis ou Integração por Substituição Teorema 6.5. Considere f : [a, b] R e g : [c, d] R tais que g([a, b]) [a, b] funções diferenciáveis. Então d f[g(x)]g (x)dx = g(d) c g(c) f(u)du, u = g(x).

113 Observação: A fórmula nos diz que num intervalo [a, b] qualquer, tem-se b f[g(x)]g (x)dx = g(b) a g(a) f(u)du, u = g(x). Exemplo 6.5. Calcule as integrais definidas: a) 0 πxsen(πx )dx Solução: Seja g(x) = πx e f(x) = sen(x). Segue que g (x) = πxdx e sen(πx ) = sen(g(x)) = f(g(x)). Usando a fórmula de mudança de variáveis para a integral definida, temos g() πxsen(x )dx = f(g(x))g (x)dx = f(u)du, 0 0 onde g(0) = 0, g() = π, u = g(x) = πx e du = g (x)dx = πxdx. Portanto, temos 0 πxsen(x )dx = π 0 ( sen(u)du = g(0) ) π cos(u) = cos(π) + cos(0) =. 0 Observação: A fórmula de integração por substituição para a integral indefinida é dada por f[g(x)]g (x)dx = f(u)du, u = g(x). Sendo assim, mesmo que a integral seja definida, podemos determinar a integral indefinida e depois aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo à função primitiva encontrada. No que segue, veremos exemplos onde se aplica a fórmula de mudança de variáveis para determinar integrais indefinidas. Exemplo 6.5. Calcule as integrais indefinidas: a) xe x dx Solução: Fazendo a mudança de variável u = x, temos que du = xdx xdx = du. Logo, xe x dx = e x (xdx) = e u du = e u du = eu + C. Voltando para a variável x, temos xe x dx = ex + C. b) x sen(x 3 + )dx Solução: Fazendo a mudança de variável u = x 3 +, temos que du = 3x dx x dx = du 3. 3

114 Logo, x sen(x 3 +)dx = sen(x 3 +)(x dx) = 3 sen(u)du = 3 cos(u)+c = 3 cos(x3 +)+C. c) (3x + ) 8 dx Solução: Fazendo a mudança de variável u = 3x +, temos que du = 3dx dx = du 3. Logo, (3x + ) 8 dx = 3 u 8 du = 7 u9 + C = 7 (3x + )9 + C. d) x 4 x 5 + 5dx e) 3x x + 6 dx f) x + /3 e dx x3 +x g) e x + e dx x g) tan(x)dx h) cot(x)dx i) sec(x)dx j) csc(x)dx k) e x dx 4 + ex l) arctan(x) dx + x m) x e x dx n) x + x + dx o) x + xdx g) x 3 x 3x + dx t) sen(x)e sen (x) dx 4

115 Em resumo, temos as seguintes fórmulas básicas para integração:. Kdx = Kx + C (K = constante). Kf(x)dx = K f(x)dx(k = constante) 3. x n dx = xn+ + C (n ) n + 4. dx = ln x + C x 5. sen(x) dx = cos(x) + C 6. cos(x) dx = sen(x) + C 7. sec (x) dx = tan(x) + C 8. cossec (x) dx = cot(x) + C 9. sec(x) tan(x) dx = sec(x) + C 0. cossec(x) cot(x) dx = cossec(x) + C. tan(x) dx = ln cos(x) + C = ln sec(x) + C. cot(x) dx = ln sen(x) + C = ln cossec(x) + C 3. e x dx = e x + C 4. a x dx = ax + C (0 < a ) ln a 5. senh(x) dx = cosh(x) + C 6. cosh(x) dx = senh(x) + C 7. dx = arcsen(x/a) + C a x 8. a + x dx = a arctan(x/a) + C 9. x x a dx = a arcsec x/a + C 0. dx = arcsenh(x/a) + C (a > 0) a + x. dx = arccosh(x/a) + C (x > a > 0). x a Exercício: Calcular as integrais: a) x 4 + x dx b) 3x h) cot(x) dx + x 3 dx c) 4(x 3 i) ln(x) dx + x) (x 4 + x ) dx x 7 d) x x + dx e) x x(x ) dx f) sen(3x) cos (3x) dx g) tan(x) dx j) 4x ( 8x 3 ) 4 dx k) xe 4 x dx l) 4x + x + x + dx m) cos(x) + sen(x)dx n) ln (3x) dx x o) cos( x) dx x p) tan(x) sec (x)dx q) 5 x4 +x (4x 3 + )dx r) e x e ex dx s) e x e x + dx t) sen(x)e sen (x) dx 6.6 Integração por Partes Sejam u = f(x) e v = g(x). A fórmula de integração por partes é dada por u dv = uv v du, onde du = f (x)dx e dv = g (x)dx. Geralmente, usamos a integração por partes para calcular integrais do tipo x n e mx dx, x n sen(mx)dx, x n cos(mx)dx, e nx sen(mx)dx, e nx cos(mx)dx. 5

116 Exemplo 6.6. Usando integração por partes, calcule as seguintes integrais indefinidas. a) xe x dx Solução: Sejam u = x e dv = e x dx. Segue que du = dx e v = e x. Logo xe x dx = udv = uv vdu = xe x e x dx = xe x e x + C = e x (x ) + C. b) x e x dx Solução: Sejam u = x e dv = e x dx. Segue que du = xdx e v = e x. Logo x e x dx = udv = uv vdu = x e x xe x dx. Como xe x dx = e x (x ) + C, segue que x e x dx = x e x [e x (x ) + C] = e x (x x + ) + C. c) x 3 e x dx Solução: Sejam u = x 3 e dv = e x dx. Segue que du = 3x dx e v = e x. Logo x 3 e x dx = udv = uv vdu = x 3 e x 3x e x dx. Como x e x dx = e x (x x + ) + C, segue que x e x dx = x 3 e x 3[e x (x x + ) + C] = e x (x 3 3x + 6x 6) + C. d) xsen(x)dx Solução: Sejam u = x e dv = sen(x)dx. Segue que du = dx e v = cos(x). Logo xsen(x)dx = udv = uv vdu = x( cos(x))+ cos(x)dx = x cos(x)+sen(x)+c. e) x cos(x)dx Solução: Sejam u = x e dv = cos(x)dx. Segue que du = dx e v = sen(x). Logo x cos(x)dx = xsen(x) sen(x)dx = xsen(x) + cos(x) + C. f) x sen(x)dx Solução: Sejam u = x e dv = sen(x)dx. Segue que du = xdx e v = cos(x). Logo x sen(x)dx = udv = x [ cos(x)] + x cos(x)dx. Como x cos(x)dx = xsen(x) + cos(x) + C, segue que x sen(x)dx = x cos(x)+[xsen(x)+cos(x)+c] = x cos(x)+xsen(x)+ cos(x)+c. 6

117 g) x cos(x)dx Solução: Sejam u = x e dv = cos(x)dx. Segue que du = xdx e v = sen(x). Logo x cos(x)dx = udv = x sen(x) xsen(x)dx. Como xsen(x)dx = x cos(x) + sen(x) + C, segue que x cos(x)dx = x sen(x) [ x cos(x)+sen(x)+c] = x sen(x)+x cos(x) sen(x) +C. h) xsen(x)dx Solução: Sejam u = x e dv = sen(x)dx. Segue que du = dx e v = cos(x). Logo xsen(x)dx = x[ cos(x)] + cos(x)dx = x cos(x) + sen(x) + C. 4 i) x cos(x)dx Solução: Sejam u = x e dv = cos(x)dx. Segue que du = dx e v = sen(x). Logo x cos(x)dx = xsen(x) sen(x)dx = xsen(x) + cos(x) + C. 4 j) x cos (x)dx Solução: Usando que cos (x) = [ + cos(x)], segue que x cos (x)dx = x[+cos(x)]dx = [x+x cos(x)]dx = xdx+ x cos(x)dx = ( x ) + ( xsen(x) + ) 4 cos(x) + C = 4 x + 4 xsen(x) + cos(x) + C. 8 k) e x sen(x)dx Solução: Sejam u = e x e dv = sen(x)dx. Segue que du = e x dx e v = cos(x). Logo e x sen(x)dx = e x cos(x) + e x cos(x)dx. (6.) Agora precisamos determinar a integral e x cos(x)dx. Sejam u = e x e dv = cos(x)dx. Segue que du = e x dx e v = sen(x). Logo e x cos(x)dx = e x sen(x) e x sen(x)dx. (6.) Substituindo (6.) em (6.), segue que e x sen(x)dx = e x cos(x)+[e x sen(x) e x sen(x)dx] = e x cos(x)+e x sen(x) e x sen(x)dx. 7

118 Donde, e x sen(x)dx = e x cos(x) + e x sen(x) + C Logo, e x sen(x)dx = ex [sen(x) cos(x)] + C. l) e x cos(x)dx Solução: Sejam u = e x e dv = cos(x)dx. Segue que du = e x dx e v = sen(x). Logo e x cos(x)dx = e x sen(x) e x sen(x)dx. Usando que e x sen(x)dx = ex [sen(x) cos(x)] + C, segue que [ e e x cos(x)dx = e x x ] sen(x) [sen(x) cos(x)] + C = ex [sen(x) + cos(x)] + C. Observação: Em geral, temos e ax sen(bx)dx = e m) ln(x)dx e ax cos(bx)dx = [ ] eax asen(bx) b cos(bx) + C a + b [ ] eax a cos(bx) + bsen(bx) + C. a + b Solução: Sejam u = ln(x) e dv = dx. Segue que du = dx e v = x. Logo x ln(x)dx = x ln(x) dx = x ln(x) x + C = x(ln(x) ) + C. n) x ln(x)dx Solução: Sejam u = ln(x) e dv = xdx. Segue que du = x dx e v = x o) x ln(x)dx x ln(x)dx = x ln(x) xdx = x x ln(x) 4 + C = x Solução: Sejam u = ln(x) e dv = x dx. Segue que du = x3 dx e v = x x ln(x)dx = x3 3 ln(x) 3 x dx = x3 3 x3 ln(x) 9 + C = x3 3 Observação: Em geral, temos [ x n ln(x)dx = xn+ ln(x) ] + C, n. n + n + 8. Logo [ ln(x) 3. Logo [ ln(x) 3 ] + C. ] + C.

119 Exercício: Calcular as integrais: a) x 3 e x dx b) x e 3x g) x cos(x)dx dx c) x 3 h) e 3x sen(4x)dx e x dx d) xe x i) e x sen(x)dx dx e) j) x 3 ln(x)dx x cos(5x)dx f) x k) x ln(x)dx cos(x)dx l) (ln x) dx m) x ln(x)dx n) sen(x) ln(cos x)dx o) e x cos(x)dx. p) x + x dx e x 6.7 Integração de Expressões Envolvendo Potências de Senos e Cossenos Veremos aqui como determinar integrais do tipo sen m (x) cos n (x) dx, onde m e n são inteiros positos quaisquer. Veremos três casos. o caso: m ímpar e n = 0 ou m = 0 e n ímpar. Usaremos a identidade sen x + cos x =. Exemplo 6.7. Calcule as seguintes integrais indefinidas. a) sen 3 (x)dx Solução: Escrevendo sen 3 (x) = sen (x)sen(x) = [ cos (x)]sen(x) e fazendo a substituição u = cos(x), segue que du = sen(x)dx e sen 3 (x)dx = [ cos (x)]sen(x) dx = ( u )du = u+ 3 u3 +C = cos(x)+ 3 cos3 (x)+c. b) cos 3 (x)dx Solução: Escrevendo cos 3 (x) = cos (x) cos(x) = [ sen (x)] cos(x) e fazendo a substituição u = sen (x), segue que du = cos(x)dx e cos 3 (x)dx = [ sen (x)] cos(x) dx = ( u )du = u 3 u3 +C = sen(x) 3 sen3 (x)+c. 9

120 c) sen 5 (x)dx Solução: Escrevendo sen 5 (x) = sen 4 (x)sen(x) = [sen (x)] sen(x) = [ cos (x)] sen(x) e fazendo a substituição u = cos(x), segue que du = sen(x)dx e sen 5 (x)dx = [ cos (x)] sen(x) dx = ( u ) ( du) = [ u + u 4 ]du d) cos 5 (x)dx Solução: Escrevendo = u + 3 u3 5 u5 + C = cos(x) + 3 cos3 (x) 5 cos5 (x) + C. cos 5 (x) = cos 4 (x) cos(x) = [cos (x)] cos(x) = [ sen (x)] cos(x) e fazendo a substituição u = sen(x), segue que du = cos(x)dx e cos 5 (x)dx = [ sen (x)] cos(x) dx = ( u ) du = [ u + u 4 ]du = u 3 u3 + 5 u5 + C = sen(x) 3 sen3 (x) + 5 sen5 (x) + C. o caso: m par e n = 0 ou m = 0 e n par. Usaremos sen x = [ cos(x)] e cos x = [ + cos(x)]. Exemplo 6.7. Calcule as seguintes integrais indefinidas. a) sen (x)dx Solução: Escrevendo sen (x) = [ cos(x)], segue que sen (x)dx = [ cos(x)]dx = [x ] sen(x) b) cos (x)dx Solução: Escrevendo cos (x) = [ + cos(x)], segue que cos (x)dx = [ + cos(x)]dx = [x + ] sen(x) = x 4 sen(x) + C = x + 4 sen(x) + C c) sen 4 (x)dx Solução: Escrevendo [ ] [ )] sen 4 (x) = sen [ ] (x) = cos(x) = cos(x) + cos ( (x) 4 0

121 = [ cos(x) + ( )] + cos(4x) = [ cos(x) + ] cos(4x). segue que sen 4 (x)dx = [3 4 cos(x) + ] cos(4x) dx = 3 8 x 4 sen(x) + ] 3 sen(4x) + C. d) cos 4 (x)dx Solução: Escrevendo [ ] [ )] cos 4 (x) = cos (x) = + cos(x) = ( 4 = [ + cos(x) + ( )] + cos(4x) = 4 4 [ ] + cos(x) + cos (x) [ 3 + cos(x) + cos(4x) ]. segue que cos 4 (x)dx = [3 4 + cos(x) + ] cos(4x) dx = 3 8 x + 4 sen(x) + ] 3 sen(4x) + C. 3 o caso: m e n ímpares Usaremos a identidade sen x + cos x =. Exemplo Calcule as seguintes integrais indefinidas. a) sen(x) cos(x)dx Solução: Neste caso usa-se a substituição direta u = sen(x) ou u = cos(x). Por exemplo, usando a substituição u = sen(x), segue que du = cos(x)dx e sen(x) cos(x)dx = u du = u + C = sen (x) + C. b) sen(x) cos 3 (x)dx Solução: Escrevendo cos 3 (x) = cos (x) cos(x) = [ sen (x)] cos(x) e fazendo a substituição u = sen(x), segue que du = cos(x)dx e sen(x) cos 3 (x)dx = [ sen (x)] cos(x)sen(x)dx = ( u )u du = u 4 u4 + C = sen (x) 4 sen4 (x) + C. c) sen 3 (x) cos(x)dx Solução: De modo análogo ao ítem anterior, encontra-se sen(x) cos 3 (x)dx = cos (x) + 4 cos4 (x) + C.

122 d) sen 3 (x) cos 3 (x)dx Solução: Podemos usar a substituição direta u = sen(x) ou u = cos(x). sen 3 (x) cos 3 (x)dx = sen 3 (x) cos (x) cos(x)dx = sen 3 (x)[ sen (x)] cos(x)dx. Fazendo a substituição u = sen(x), segue que du = cos(x)dx e sen 3 (x) cos 3 (x)dx = u 3 ( u )du = 4 u4 6 u6 + C = 4 sen4 (x) 6 sen6 (x) + C. 4 o caso: m e n pares Usaremos sen x = [ cos(x)] e cos x = [ + cos(x)]. Exemplo Calcule as seguintes integrais indefinidas. a) sen (x) cos (x)dx Solução: Temos sen (x) cos (x)dx = 4 [ cos(x)][ + cos(x)]dx = 4 [ cos (x)]dx = 4 [ ( )] + cos(4x) dx = [ 4 ] cos(4x) dx = 8 x sen(4x) + C. 3 b) sen 4 (x) cos (x)dx Solução: Temos sen 4 (x) cos (x)dx = [ ] [ ] cos(x) + cos(x) dx 8 = [ ] cos(x) cos (x) + cos 3 (x) dx 8 = 6 x 64 sen(x) 48 sen3 (x) + C. Aqui usamos o o caso para calcular cos (x)dx e o o caso para calcular cos 3 (x)dx. c) sen (x) cos 4 (x)dx Solução: Análogo ao caso anterior. d) sen 4 (x) cos 4 (x)dx Solução: Exercício. 5 o caso: m par e n ímpar ou m ímpar e n par. Usaremos a identidade sen x + cos x =. Exemplo Calcule as seguintes integrais indefinidas.

123 a) sen (x) cos(x)dx Solução: Fazendo a substituição u = sen(x), segue que du = cos(x)dx e sen (x) cos(x)dx = u du = 3 u3 + C = 3 sen3 (x) + C b) sen(x) cos (x)dx Solução: Fazendo a substituição u = cos(x), segue que du = sen(x)dx e sen(x) cos (x)dx = u du = 3 u3 + C = 3 cos3 (x) + C c) sen (x) cos 3 (x)dx Solução: Escrevendo cos 3 (x) = cos (x) cos(x) = [ sen (x)] cos(x) e usando a substituição u = sen(x), segue que du = cos(x)dx e sen (x) cos 3 (x)dx = sen (x)[ sen (x)] cos(x)dx = u [ u ]du = 3 u3 5 u5 + C = 3 sen3 (x) 5 sen5 (x) + C. d) sen 3 (x) cos (x)dx Solução: De modo análogo ao ítem anterior, escrevendo sen 3 (x) = sen (x)sen(x) = [ cos (x)]sen(x) e usando a substituição u = cos(x), obtemos sen 3 (x) cos (x)dx = 3 cos3 (x) + 5 cos5 (x) + C. 6.8 Integração de Expressões com Potências de Tangente e Secante Veremos aqui como determinar integrais do tipo sec m (x) tan n (x) dx, onde m e n são inteiros positos quaisquer. Veremos três casos. o caso: m ímpar e n = 0 ou m = 0 e n ímpar. Exemplo 6.8. Calcule as seguintes integrais indefinidas. 3

124 a) sec(x)dx b) sec 3 (x)dx Solução: Temos sec 3 (x)dx = sec(x) sec (x)dx. Sejam u = sec(x) e dv = sec (x)dx. Segue que du = sec(x) tan(x)dx e v = tan(x). Logo sec 3 (x)dx = udv = uv vdu = sec(x) tan(x) sec(x) tan (x)dx. Usando que tan (x) = sec (x), segue que sec 3 (x)dx = sec(x) tan(x) sec(x)(sec (x) )dx = sec(x) tan(x) sec 3 (x)dx+ sec(x)dx. Lembrando que sec(x)dx = ln sec(x) + tan(x), temos sec 3 (x)dx = sec(x) tan(x) + ln sec(x) + tan(x) + C. Logo, sec 3 (x)dx = [ ] sec(x) tan(x) + ln sec(x) + tan(x) + C. o caso: m par e n = 0 ou m = 0 e n par. Exemplo 6.8. Calcule as seguintes integrais indefinidas. a) sec (x)dx b) tan (x)dx c) sec 4 (x)dx d) tan 4 (x)dx 3 o caso: m par e n ímpar ou m ímpar e n par. Exemplo Calcule as seguintes integrais indefinidas. a) sec(x) tan(x)dx a) sec (x) tan(x)dx a) sec(x) tan (x)dx a) sec (x) tan 3 (x)dx a) sec 3 (x) tan (x)dx 4

125 6.9 Integral de Funções Racionais Consideremos uma função racional f dada por f(x) = P (x) Q(x), onde P e Q são polinômios. Se o grau de P for maior ou igual que o grau de Q, podemos dividir os polinômios P por Q e determinar a integral da função quociente somado com a integral da função racional formada pelo resto como numerador e pelo divisor como denominador. Já no caso em que o grau de P (x) for menor que o grau de Q(x), usamos o método da decomposição de frações parciais. Este método consiste em decompor o polinômio Q(x) como um produto de termos que podem ser lineares ou quadráticos Integração de Funções Racionais por Divisão de Polinômios Veremos aqui integrais do tipo P (x) Q(x) dx, onde P e Q são polinômios com o grau de P maior ou igual ao grau de Q. Exemplo 6.9. Calcule a integral x + 3x + dx. x + Solução: Fazendo a divisão de polinômios, encontramos x + 3x + x + = x +. Logo, x + 3x + dx = x + Exemplo 6.9. Calcule a integral (x + )dx = x + x + C. x + 4x + dx. x + 3 Solução: Fazendo a divisão de polinômios, encontramos x + 4x + x + 3 = x + x + x + 3. Logo, x + 4x + dx = x + 3 xdx + x + x + 3 dx = x + x ln x C. 5

126 Exemplo Calcule a integral x + 4x + 3 x + x + dx. Solução: Fazendo a divisão de polinômios, encontramos x + 4x + 3 x + x + = + x + x + x + = + x + x + x + x + x +. Logo, x + 4x + 3 x + x + dx = dx + x + x + x + dx = x + ln x + x + arctan(x + ) + C. (x + ) + dx 6.9. Decomposição em Frações Parciais: Fatores Lineares Veremos aqui integrais do tipo P (x) Q(x) dx, onde P e Q são polinômios com o grau de P menor que o grau de Q e o denominador Q pode ser decomposto em fatores lineares. Vejamos dois casos. o caso: Raízes Simples (O denominador possui fatores lineares que não se repetem). Suponhamos que o polinômio Q tem grau n e que possui n raízes distintas, isto é, x, x,..., x n. Então podemos escrever Q(x) = (x x )(x x )...(x x n ). Se P tem grau menor que n, então escrevemos P (x) Q(x) = A (x x ) + A (x x ) A n (x x n ), (6.3) onde A, A,..., A n devem ser determinados a partir da Eq. (6.3). Desta forma, temos P (x) Q(x) dx = A (x x ) dx + A A n dx (x x ) (x x n ) dx = A ln x x + A ln x x A n ln x x n + C. Exemplo Calcule a integral x + 3x + dx. 6

127 Solução: Neste caso temos P (x) = e Q(x) = x + 3x +. As raízes de Q(x) são e. Assim, podemos escrever Q(x) = (x + )(x + ). Logo x + 3x + = (x + )(x + ) = A (x + ) + B (x + ) (A + B)x + A + B =. x + 3x + Donde segue que (A + B)x + A + B. Portanto devemos ter A + B = 0 e A + B =. Resolvendo encontramos que A = e B =. Assim, x + 3x + dx = (x + ) dx+ + dx = ln x+ ln x+ +C = ln x (x + ) x + +C. Exemplo Calcule a integral x 4 dx. Solução: Podemos escrever x 4 = (x + )(x ). Assim, temos x 4 = A (x ) + B (x + ) (A + B)x + A B =. x 4 Donde segue que (A + B)x + A B. Portanto devemos ter A + B = 0 e A B =. Resolvendo encontramos que A = /4 e B = /4. Assim, x 4 dx = /4 /4 (x ) dx + (x + ) dx = 4 ln x + C. x + Observação: Em geral, temos Exemplo Calcule a integral x a dx = a ln x a + C. x + a 9 x dx. Solução: Podemos escrever 9 x = (3 x)(3 + x). Assim, temos 9 x = A (3 x) + B (3 + x) = (A B)x + 3A + 3B 9 x. Donde segue que (A B)x + 3A + 3B. Portanto devemos ter A B = 0 e 3A + 3B =. Resolvendo encontramos que A = /6 e B = /6. Assim, 9 x dx = /6 (3 x) dx + /6 (3 + x) dx = ( ) ln 3 x + ln 3 + x + C 6 = 6 ln 3 + x + C = 3 x 6 ln x C. x 3 Observação: Em geral, temos a x dx = a ln x + a + C. x a 7

128 Exemplo Calcule a integral x x 3 x x dx. Solução: Podemos escrever x 3 x x = x(x )(x + ). Assim, temos x x 3 x x = A x + B x + C x + = (A + B + C)x + (B A C)x A. x 3 x x Donde segue que (A + B + C)x + (B A C)x A x. Portanto devemos ter A+B +C = 0, B A C = e A =. Resolvendo encontramos que A = /, B = /6 e C = /3. Assim, x x 3 x x dx = / /6 /3 x dx + x dx + x + dx = ln x + 6 ln x 3 ln x + + C = ln x / (x ) /6 (x + ) /3 + C. o caso: Raízes Múltiplas (O denominador possui fatores lineares e alguns se repetem). Suponhamos agora que o polinômio Q(x) pode ser expresso como produto de termos que se repetem. Por exemplo, suponhamos que Então, escrevemos P (x) Q(x) = A x a + B x b + Q(x) = (x a)(x b) (x c) 4. C (x b) + D x c + E (x c) + F (x c) + G 3 (x c). 4 Exemplo Calcule a integral Solução: Temos x(x ) dx. x(x ) = A x + B x + C (x ) = (A + B)x + (C A B)x + A. x(x ) Portanto devemos ter A + B = 0, C A B = 0 e A =. Resolvendo encontramos que A =, B = e C =. Assim, x(x ) dx = x dx + x dx + (x ) dx = ln x ln x x + C = ln x x x + C. 8

129 Exemplo Calcule a integral Solução: Temos x (x ) dx. x (x ) = A x + B x + C x = (A + C)x + (B A)x B. x (x ) Portanto devemos ter A + C = 0, B A = 0 e B =. Resolvendo encontramos que A =, B = e C =. Assim, x (x ) dx = x dx x dx + x dx Exemplo Calcule a integral Solução: Temos = ln x + x + ln x + C = x + ln x x x(x + ) 3 = A x + x(x + ) 3 dx. B x C. C (x + ) + D (x + ). 3 Resolvendo encontramos que A =, B =, C = e D =. Assim, x(x + ) dx = 3 x dx x + dx (x + ) dx (x + ) dx 3 Exemplo 6.9. Calcule a integral Solução: Temos = x + + (x + ) + ln x + C. x + x 3 x (x ) 3 = A x + B x + x 3 x (x ) 3 dx. C x + D (x ) + E (x ). 3 Resolvendo encontramos A = 3/6, B = /8, C = 3/6, D = 5/4 e E = 7/4. Assim, x 3 x (x ) dx = 3 8x 5 4(x ) 7 8(x ) ln x + C. x 9

130 6.9.3 Decomposição em Frações Parciais: Fatores Quadráticos Veremos aqui integrais do tipo P (x) Q(x) dx, onde P e Q são polinômios com o grau de P menor que o grau de Q e o denominador Q(x) é decomposto em fatores quadráticos. Vejamos dois casos. o caso: Os fatores quadráticos não se repetem. Suponhamos que na decomposição de Q(x) aparece termos quadráticos da forma ax + bx + c e que estes termos quadráticos não se repetem. Neste caso escrevemos a fração parcial Ax + B ax + bx + c, onde A e B são constantes a serem determinadas. Exemplo 6.9. Calcule a integral x x 3 (x )(x + x + ) dx. Solução: Temos x x 3 (x )(x + x + ) = A x + Bx + C x + x +. Resolvendo encontramos A = 4 5, B = 9 5 e C = 7. Assim, escrevemos 5 Donde segue que x x 3 (x )(x + x + ) dx = 4 5 x x 3 (x )(x + x + ) = x + x x + x + = 4 [ ] + [ 9x x 5 x + x + ] x + x + = 4 [ ] + 9 [ x + ] [ ]. 5 x 5 x + x + 5 (x + ) + x dx x + x + x + dx 5 (x + ) + dx = 4 5 ln x ln x + x + arctan(x + ) + C 5 = 0 ln (x + x + ) 9 arctan(x + ) + C. (x )

131 Exemplo Calcule a integral x 3 8 dx. Solução: Podemos decompor x 3 8 = (x )(x + x + 4). Portanto, escrevemos x 3 8 = A x + Bx + C x + x + 4. Resolvendo encontramos A =, B = e C =. Assim, temos 3 Donde segue que x 3 8 dx = x x 3 8 = x + 3 x + x + 4 = [ ] [ x + 4 ]. x x + x + 4 = [ ] [ x + x x + x ]. x + x + 4 = [ ] [ x + ] [ ]. x x + x (x + ) + 3 x dx x + x + x + 4 dx 4 (x + ) + 3 dx = ln x 4 ln x + x + 4 ( x + ) 4 3 arctan + C 3 = ln x 3 ( x + ) x + x + 4 arctan + C. 3 o caso: Os fatores quadráticos se repetem. Suponhamos agora que na decomposição de Q(x) aparece termos quadráticos que se repetem. Exemplo Calcule a integral x(x + x + ) dx. Solução: Temos x(x + x + ) = A x + Bx + C x + x + + Dx + E (x + x + ). Resolvendo encontramos A =, B =, C =, D = e E =. Assim, temos x(x + x + ) dx = x dx x + x + x + dx x + (x + x + ) dx. 3

132 Depois de alguns cálculos, encontramos x + x + x + dx = 3 ( 3 ln x + x + + arctan 3 x + e x + (x + x + ) dx = 3 ( 3 (x + x + ) + 8 arctan 3 x ) + 3 ) + C. 3 x + / [ 3 4(x + /) + 3 Portanto, temos x(x + x + ) dx = ln x 5 3 ( 3 3 ) (x + x + ) / 9 arctan 3 x (x + x + ) x + / [ ] + C. 3 4(x + /) Integração por Substituições Trigonométricas Queremos determinar integrais do tipo ] + C. a + x dx, a x dx, x a dx e x a x dx. Usaremos as seguintes desigualdades: sen (x) = cos (x); tan (x) = sec (x) ; cos (x) = + cos(x) ; e sen(x) = sen(x) cos(x). Na tabela abaixo estão colocados os tipos de integrando que aparece na integral e a substituição que deve ser usada. INTEGRANDO x + a x a a x SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA x = a tan(θ) x = a sec(θ) x = a sen(θ) ou x = a cos(θ) Vamos analisar cada caso. o caso: Quando o integrando contém uma expressão da forma a + x, a > 0. Neste caso, fazemos a substituição x = a tan(θ), onde 0 θ π, se x a > 0 e π θ < 0, se x < a. Exemplo 6.0. Calcule a integral 4 + x dx. 3

133 Solução: Fazendo x = tan(θ), segue que dx = sec (θ)dθ. Assim, 4 + x dx = tan (θ) sec (θ)dθ = 4 + tan (θ) sec (θ)dθ sec = 4 (θ) sec (θ)dθ = 4 sec 3 (θ)dθ. Mas sec 3 (θ)dθ = = sec(θ) tan(θ) sec(θ) sec (θ)dθ = sec(θ) tan(θ) ( ) sec(θ) sec (θ) dθ = sec(θ) tan(θ) = sec(θ) tan(θ) sec 3 (θ)dθ + ln sec(θ) + tan(θ). sec(θ) tan (θ)dθ sec 3 (θ)dθ + sec(θ)dθ Logo sec 3 (θ)dθ = sec(θ) tan(θ) + ln sec(θ) + tan(θ) + C. Substituindo, temos 4 ) + x dx = ( sec(θ) tan(θ) + ln sec(θ) + tan(θ) + C. Voltemos à variável x. Temos x = tan(θ) tan(θ) = x/ e sec(θ) = Substituindo tan(θ) e sec(θ), temos + tan (θ) = + x /4 = 4 + x dx = x 4 + x 4 + x + ln + x + C. x + 4. Ou ainda, Em geral, teremos 4 + x dx = x 4 + x + ln x x + C. a + x dx = x a + x + a ln x + a + x + C. o caso: Quando o integrando contém uma expressão da forma x a, a > 0. Neste caso, fazemos a substituição x = a sec(θ), onde 0 θ < π, se x a > 0 e π θ < 3 π, se x a < 0. Exemplo 6.0. Calcule a integral x 4dx. 33

134 Solução: Fazendo x = sec(θ), segue que dx = sec(θ) tan(θ)dθ. Assim, x 4(sec 4dx = (θ) ) sec(θ) tan(θ)dθ = 4 sec(θ) tan (θ)dθ = 4 ( ) sec(θ) sec (θ) dθ = 4 sec 3 (θ)dθ 4 sec(θ)dθ. Como e segue que sec 3 (θ)dθ = [ ] sec(θ) tan(θ) + ln sec(θ) + tan(θ) + C sec(θ)dθ = ln sec(θ) + tan(θ) + C x 4dx = sec(θ) tan(θ) ln sec(θ) + tan(θ) + C Voltando à variável x, temos Substituindo, temos x = sec(θ) sec(θ) = x/ e tan(θ) = sec (θ) = x 4. x 4dx = x x 4 x 4 ln + x + C. Ou ainda, Em geral, teremos x 4dx = x x 4 ln x + x 4 + C. x a dx = x x a a ln x + x a + C. 3 o caso: Quando o integrando contém uma expressão da forma a x, a > 0. Neste caso, fazemos a substituição x = a sen(θ), onde 0 < θ < π, se x > 0 e π < θ < 0, se x < 0. Exemplo Calcule a integral 4 x dx. Solução: Fazendo x = sen(θ), segue que dx = cos(θ)dθ. Assim, 4 4 x dx = 4sen (θ) cos(θ)dθ = 4 cos (θ)dθ = 4 ( + cos(θ))dθ = dθ + cos(θ)dθ = θ + sen(θ) + C = θ + sen(θ) cos(θ) + C. 34

135 Sendo x = sen(θ) segue que θ = arcsen(x/), sen(θ) = x/ e cos(θ) = sen (θ) = 4 x. Substituindo, temos 4 x dx = arcsen(x/) + x 4 x + C. Em geral, temos a x dx = x a x + a arcsen(x/) + C. a Exemplo Calcule a integral x + 4x + 4dx. Solução: Primeiro, notemos que x + 4x + 4 = 8 (x ). Fazendo x = 8 sen(θ), segue que dx = 8 cos(θ)dθ. Assim, x x + 4dx = (x ) dx = 8sen (θ) 8 cos(θ)dθ = 8 cos (θ)dθ = 4 ( + cos(θ))dθ = 4θ + 4sen(θ) cos(θ) + C. Sendo x = 8 sen(θ), segue que θ = arcsen( x 8 ), sen(θ) = x 8 e cos(θ) = 8 (x ) sen (θ) =. Substituindo, temos 8 x + 4x + 4dx = 4 arcsen( x ) + (x ) 8 (x ) + C. 8 Exercício: Mostre que:. 9 + x dx = ln x x + C.. x x + 4 dx = x C. Em geral, temos a. a + x dx = ln x + a + x + C. 3. x 5 dx = ln x + x 5 + C. 4. x x 4 dx = x 4 + C. c. x a dx = ln x + x a + C. b. x x + a dx = x + a + C. Exercício: Calcular as seguintes integrais: c) x x + 3 dx a) x + 5dx b) dx 4 + x d) x 8dx d. x x a dx = x a + C. e) dx x 6 f) 3 4x dx g) dx x 6 x h) 9 x x. 35

136 6. Outras Substituições Veremos aqui algumas integrais que não podem ser resolvidas diretamente por algum método de integração, mas que podem ser reajustadas de modo que tais métodos possam ser usados. Exemplo 6.. Calcule as integrais indefinidas. a) x x + dx. Solução: Fazendo u = x +, segue que x = u, du = dx e x x + dx = u u du = du du = u ln u + C = x + ln x + + C. u b) x + x + dx. Solução: Fazendo u = x +, segue que x + = u, du = dx e x + x + dx = u u du = u ln u + C = x + ln x + + C. c) x x + dx. Solução: Fazendo u = x +, segue que x = u, du = dx e x x + dx = (u )u / du = (u 3/ u / )du = (x + )5 (x + )3 + C. 5 3 d) x e x dx. Solução: Escrevemos x e x = e ln x e x = e x ln +x = e (ln +)x. Logo, e) sen( x)dx. x e x dx = e (ln +)x dx = e(ln +)x ln + + C = x e x ln + + C. Solução: Fazendo u = x, segue que du = dx ou dx = u du e x sen( x)dx = u sen(u)du = [ u cos(u)+sen(u)]+c = [ x cos( x)+sen( x)]+c. f) cos( x)dx. Solução: Fazendo u = x, segue que du = dx ou dx = u du e x cos( x)dx = u cos(u)du = (u sen(u) + cos(u)) + C = [ x sen( x) + cos( x)] + C. 36

137 6. Derivada de Expressões Integrais Se F (x) = g(x) f(t)dt, então a Em geral, se F (x) = g(x) f(t)dt, então h(x) F (x) = f[g(x)]g (x). F (x) = f[g(x)]g (x) f[h(x)]h (x). Exemplo 6.. Derive as seguintes funções. a) F (x) = sen(x) 0 t dt. Solução: Fazendo f(t) = t, g(x) = sen(x) e a = 0 segue que b) F (x) = x t4 dt. Solução: Escrevemos F (x) = f[g(x)]g (x) = f(sen(x))cos(x) = sen (x)cos(x). F (x) = Fazendo f(t) = t 4, g(x) = x e a = segue que x t 4 dt = x t 4 dt. F (x) = f[g(x)]g (x) = f(x)() = x 4. c) F (x) = x t dt. x Solução: Fazendo f(t) = t, g(x) = x e h(x) = x, segue que F (x) = f[g(x)]g (x) f[h(x)]h (x) = f(x )(x) f(x)() = (x )(x) x = x x. 37

138 Capítulo 7 Aplicações da Integral Definida 7. Área entre Gráficos de Funções Consideremos o problema da determinação de áreas de regiões planas itadas lateralmente pelas retas verticais x = a e x = b, superiormente por uma função contínua f e, inferiormente, por uma função contínua g, definidas em um intervalo [a, b] e tais que g(x) f(x), em [a, b]. Como g(x) f(x), para todo x em [a, b], então, f(x) g(x) 0, em [a, b]. Usando somas de Riemann e a definição de integral, concluímos que a área da região itada pelas curvas f e g e as retas verticais x = a e x = b, é dada por A = b a [f(x) g(x)]dx 0. Observações: ) Quando são dados apenas as duas funções f e g, o intervalo de integração [a, b] é encontrado determinando os pontos de interseção dessas funções. ) As funções podem ser dadas em termos de x ou de y, ou seja, a região pode ser itada por curvas do tipo y = f(x) ou x = g(y). Exemplo : Determinar a área da região itada pelas curvas y = x e y = x. Solução: Como o intervalo de integração não é dado, devemos encontrá-lo determinando os pontos de interseção das duas curvas. Fazendo x = x, encontramos x = ±. Por outro lado, x x, para todo x [, ]. Logo, a área procurada é dada por ) A = ( x x )dx = ( x )dx = (x x3 = Exemplo : Determinar a área da região itada pelas curvas y = x e y = x. Solução: Fazendo x = x, encontramos x = 0 ou x =. Por outro lado, x x, para todo x [0, ]. Logo, a área procurada é dada por ) A = (x x )dx = (x x3 = =

139 Exemplo 3: Determinar a área da região itada pelas curvas y = x e y = x + 5. Solução: Para determinar os pontos de interseção das curvas y = x e y = x + 5, basta resolver a equação x = x + 5 ou, equivalentemente, resolver a equação quadrática x x 6 = 0. Resolvendo esta equação encontramos x = ou x = 3. Por outro lado, podemos ver que x x + 5, para todo x [, 3]. Logo, a área procurada é dada por A = 3 [ ] (x + 5) (x ) dx = 3 ( x (x + 6 x )dx = ) x x = Exemplo 4: Determinar a área da região itada pelas curvas y = x e x y = 4. Solução: Neste caso, fica mais simples calcular a integral em relação a variável y. Para isto, escrevemos as duas curvas como funções de y pondo x = y e x = y + 4. Os pontos de interseção são dados resolvendo a equação y = y + 4 ou, a equação quadrática na variável y dada por y y 4 = 0. Resolvendo esta equação encontramos y = ou y = 4. Por outro lado, podemos ver que y y + 4, para todo x [, 4]. Logo, a área procurada é dada por A = 4 [(y + 4) ( y ) ] dy = 4 ( (y + 4 y y )dy = ) y y =

140 7. Volumes de Sólidos de Revolução Um sólido de revolução é obtido fazendo-se girar uma superfície plana em torno de um eixo, chamado eixo de revolução. Esferas, cones, bolas de futebol e pneus são exemplos de sólidos de revolução. Vamos considerar sólidos de revolução obtidos girando-se, em torno do eixo x, do eixo y ou de uma reta qualquer, a região itada por uma função contínua, positiva e definida num intervalo fechado. Por exemplo, quando a parábola y = x gira sobre o eixo y ela gera um parabolóide. Se a curva y = f(x) é uma reta, o sólido resultante é um cilindro do qual conhecemos o volume. A seguir descreveremos três métodos para determinar volumes de sólidos de revolução. 7.. O Método dos Discos Circulares Veremos abaixo como determinar o volume de um sólido resultante após a revolução sobre o eixo x, ou sobre o eixo y, de uma região sob o gráfico de uma função contínua não-negativa f entre x = a e x = b. Definição 7.. Seja f uma função contínua em [a, b], com f(x) = y. Se a região deitada pelo gráfico de f, pelo eixo x e pelas retas verticais x = a e x = b gira em torno do eixo x, então o volume do sólido de revolução resultante é dado por V = π b a [f(x)] dx. De modo análogo, se g é contínua em [c, d], com g(y) = x, e a região deitada pelo gráfico de g, pelo eixo y e pelas retas horizontais y = c e y = d gira em torno do eixo y, então o volume do sólido de revolução resultante é dado por V = π d c [g(y)] dy. Exemplo 7.. Determine o volume do sólido gerado pela revolução da região sob o gráfico da função f(x) = x 3 no intervalo [, ], em torno do eixo x. Solução: Temos V = π (x 3 ) dx = π ( x x 6 7 dx = π ) 7 = π 7 (7 7 ) = 7π 7. Exemplo 7..3 A região itada pelo eixo x, pelo gráfico da equação y = x + e pelas retas x = e x = gira em torno do eixo x. Determine o volume de revolução do sólido resultante. 40

141 Solução: A função f(x) = x + é contínua em [, ]. Da definição, segue que ( x V = π (x +) dx = π (x +) dx = π (x 4 +x 5 +)dx = π 0 0 ) 5 +x3 3 +x 0 = 56π 5. Exemplo 7..4 A região itada pelo eixo y e pelos gráficos de y = x 3, y = e y = 8 gira em torno do eixo y. Determine o volume do sólido resultante. Solução: A função g(y) = 3 y é contínua em [, 8]. O volume do sólido resultante é dado por 8 8 V = π [g(y)] dy = π y /3 dy = 3π 5 (85/3 5/3 ) = 93π 5. Exemplo 7..5 A região itada pelo eixo y e pelos gráficos de y = x para x 0 e y = 4 gira em torno do eixo y. Determine o volume do sólido resultante. Solução: Resolvendo a equação y = x para x em termos de y e usando o fato de que x 0, temos x = y. pelo método dos discos circulares, segue que V = π 4 0 [ y] dy = π 4 0 ydy = 8π. Exemplo 7..6 Determine o volume do sólido gerado pela revolução da região sob o gráfico da função f(x) = a x no intervalo [ a, a] em torno do eixo x. Solução: Temos V = π a a [f(x)] dx = π a a [ a x ] dx = π a a ) (a x )dx = π (a x x3 a 3 a = 4 3 πa3. Notemos que o gráfico de f(x) = a x em [ a, a] é um semicírculo e o sólido de revolução correspondente é uma esfera de raio a. Assim, obtemos a fórmula já conhecida V = 4/3πa 3 que representa o volume de uma esfera de raio a. 4

142 7.. O Método dos Anéis Circulares Considere agora uma região do plano itada acima pela curva y = f(x) e abaixo, pela curva y = g(x), onde f e g são duas funções contínuas e positivas. Ao girarmos esta região em torno do eixo x, obtemos um sólido de revolução, chamado anel de revolução. Vejamos abaixo como determinar este volume. Definição 7..7 Considere duas funções f e g definidas num intervalo [a, b] com f(x) g(x) > 0, para todo x [a, b]. Se a região itada pelas curvas f e g e o intervalo [a, b] gira sobre o eixo x, então o volume do sólido de revolução resultante pode ser obtido subtraindo-se o volume do sólido gerado pela região menor do volume do sólido gerado pela região maior. Ou seja, b ) V = π ([f(x)] [g(x)] dx. a De modo análogo, se f e g são definidas num intervalo [c, d] com f(y) g(y) > 0, para todo y [c, d] e a região itada pelas curvas f e g e o intervalo [c, d] gira sobre o eixo y, então o volume do sólido de revolução resultante é dado por V = π d c ([f(y)] [g(y)] ) dy. Exemplo 7..8 Determine o volume do sólido gerado pela revolução da região itada pelas curvas f(x) = x e g(x) = x + quando a região gira em torno do eixo x. Solução: Os pontos de interseção das curvas são (, 4) e (, ). Pelo método dos anéis circulares, temos ] ) V = π [(x + ) (x ) dx = π (x + 4x + 4 x 4 dx = 7π 5. 4

143 Exemplo 7..9 Determine o volume do sólido de revolução gerado pela revolução da região itada à direita pelo gráfico de x =, à esquerda pelo gráfico de y = x 3 e abaixo pelo eixo x, quando a região gira em torno do eixo y. Solução: Neste caso, fazemos f(y) = e g(y) = 3 y. Pelo método dos anéis circulares, temos 8 V = π [ ( 3 ] y) dy = π (4y 3 ) 8 5 y5/3 = 64π Exemplo 7..0 Determine o volume do sólido gerado pela região itada pelas curvas f(x) = x + e g(x) = x/ + e pelas retas verticais x = 0 e x =, quando a região gira em torno do eixo x. 43

144 Solução: Se a região gira em torno do eixo x, então V = π 0 [(x + ) (x/ + ) ] dx = π 0 (x x x + 3)dx = 79π 0. Exemplo 7.. A região do primeiro quadrante deitada pelos gráficos de y = 8 x3 e y = x gira em torno eixo y. Determine o volume do sólido resultante. Solução: Como devemos integrar em relação a y, expressamos as equações dadas como funções do tipo x = g(y). Assim temos, respectivamente, que x = y /3 e x = y. Os pontos de interseção destas duas curvas são x = 0 e x = 8. Portanto, o volume do sólido resultante da rotação desta região, em torno do eixo y, será dada por V = π 8 0 [(y /3 ) ( y) ] dy = π 8 0 (4y /3 ) [ 4 y dy = π 5 y5/3 ] 8 y3 0 = 5 π 07,. 5 O método dos anéis circulares é também usado para sólidos gerados pela revolução de regiões planas em torno de eixos diferentes dos eixos x e y. Exemplo 7.. Determine o volume do sólido gerado pela região itada pelas curvas f(x) = x + e g(x) = x/ + e pelas retas verticais x = 0 e x =, quando a região gira em torno da reta y = 3. 44

145 Solução: Girar a região dada, em torno da reta y = 3, é equivalente a girar a região itada pelas funções y = x + 3 = x e y = x/ + 3 = x/, em torno do eixo x, isto é, a transladar verticalmente toda a região, três unidades para baixo, de modo que a reta y = 3 passe a coincidir com o eixo x. Raciocinando como no exemplo anterior, temos que o volume do sólido gerado pela revolução desta nova região em torno do eixo x é dado por V = π 0 [(x/ ) (x ) ] dx = π 0 (3 x x x 4 )dx = 5π 0. Exemplo 7..3 Determine o volume do sólido gerado pela revolução da região itada pelo eixo x, pela curva y = x e pela reta x = 4 a) Quando a região gira em torno do eixo y; b) Quando a região gira em torno da reta x = 6. Solução: textbfsolução: a) Usando o método do anel circular, devemos integrar em relação à variável y no intervalo [0, ]. A região encontra-se entre as curvas x = 4 e x = y. Como 4 y, para todo y [0, ], segue que o volume do sólido de revolução é V = π 0 [(4) (y ) ] dy = π 0 [6 y 4 ] dy = 8π 5. b) Usando novamente o método do anel circular, devemos integrar em relação à variável y no intervalo [0, ]. A região encontra-se entre as curvas x = 6 4 = e x = 6 y. Como 6 y, para todo y [0, ], segue que o volume do sólido de revolução é V = π 0 [(6 y ) () ] dy = π 0 [ ] y 4 y + 3 dy = 9π 5. Exemplo 7..4 Determine o volume do sólido gerado pela região itada pelos gráficos de y = 4x e x = 4 em torno da reta x = 6. 45

146 Solução: Temos que o raio interno do anel circular ao nível y é 6 4 = e o raio externo é 6 (y /4). Logo 4 ] 4 ( y V = π [(6 y /4) 4 ) dy = π y + 3 dy = 768π O Método da Casca Considere uma região do plano itada pelo eixo x e pela função contínua y = f(x) 0, a x b. Se esta região gira em torno da reta vertical x = L, então o volume do sólido de revolução pode ser obtido por V = π b a (raio da casca)(altura da casca)dx, onde o raio da casca é a distância de L até x [a, b] e a altura da casca é a distância do eixo x até a função f. Por outro lado, se a região é itada pelo eixo y e pela função contínua x = f(y) 0, c y d e gira em torno da reta horizontal y = L, então o volume do sólido de revolução pode ser obtido por V = π d c (raio da casca)(altura da casca)dy, onde o raio da casca é a distância de L até y [c, d] e a altura da casca é a distância do eixo y até a função f. Exemplo 7..5 Determine o volume do sólido gerado pela revolução da região itada pelo eixo x, pela curva y = x e pela reta x = 4: a) Quando a região gira em torno do eixo y; b) Quando a região gira em torno do eixo x; c) Quando a região gira em torno da reta x = 6. 46

147 Solução: a) Temos que o intervalo de integração é [0, 4], o raio da casca é x e a altura da casca é x. Logo, o volume é 4 V = π (x)( 4 x)dx = π x 3/ dx = 8π 5. 0 b) Para este caso, escrevemos x = y, com 0 y. Portanto o intervalo de integração é [0, ], o raio da casca é y e a altura da casca é 4 y. Logo, o volume é V = π 0 (y)(4 y )dy = π 0 0 (4y y 3 )dy = 8π. c) Temos que o intervalo de integração é [0, 4], o raio da casca é 6 x e a altura da casca é x. Logo, o volume é V = π 4 0 (6 x)( x)dx = π 4 0 ] [6x / x 3/ dx = π [4x 3/ ] 4 5 x5/ = 9π 0 5. Exemplo 7..6 Determine o volume do sólido gerado pela revolução da região itada pelo eixo x e pela curva y = x + 3x quando a região gira em torno da reta x =. Solução: Fazendo x + 3x = 0, encontramos x = 0 ou x = 3. Logo, o intervalo de integração é [0, 3]. O raio da casca é x ( ) = x + e a altura da casca é x + 3x. Logo, o volume é V = π 3 0 (x + )( x + 3x)dx = π 7.3 Comprimento de Arco 3 0 ( x 3 + x + 3x)dx = 45π. Nosso problema consiste em determinar o comprimento de uma curva definida pelo gráfico de uma função f : [a, b] R dada por y = f(x). O resultado que usaremos é o seguinte: Teorema 7.3. Seja f uma função contínua em [a, b] e diferenciável em ]a, b[. O comprimento de arco S da curva descrita por f desde (a, f(a)) até (b, f(b)) é dado por S = b a + (f (x)) dx. Exemplo 7.3. Determine o comprimento de arco da curva y = x no intervalo [0, ]. Solução: Temos que f(x) = x o que implica que f (x) = x e o comprimento de arco é dado por S = 0 + (x) dx. Primeiro calculemos a integral indefinida + (x) dx. Fazendo a substituição trigonométrica x = tan(θ), segue que dx = / sec (θ)dθ e + (x) dx = + tan (θ) sec (θ)dθ = sec 3 (θ)dθ 47

148 = ( sec(θ) tan(θ) + ) ln sec(θ) tan(θ) + C = ( ) sec(θ) tan(θ) + ln sec(θ) + tan(θ) + C 4 Voltando à variável x, temos tan(θ) = x e sec(θ) = + 4x. Substituindo, temos + (x) dx = ( x + 4x 4 + ln ) + 4x + x + C Portanto, o comprimento de arco é dado por = x + 4x + 4 ln + 4x + x + C S = 0 ( + (x) dx = x + 4x + 4 ln + 4x + x ) = ln( 5 + ). Exemplo Determine o comprimento de arco da curva y = x /3 desde o ponto (, ) até o ponto (8, 4). Solução: Temos f(x) = x /3, o que implica que f (x) = dado por S = 8 + ( 3x /3 ) dx = 3 8 3x /3 9x /3 + 4 dx. x /3 e o comprimento de arco é Primeiro calculemos a integral indefinida 9x /3 + 4 dx. Fazendo u = 9x /3 + 4 segue que x /3 du = 6 x dx e /3 9x /3 + 4 dx = udu = x /3 6 9 (9x/3 + 4) 3/ + C. Portanto, S = 7 (9x/3 + 4) 3/ 8 = 7 (403/ 3 3/ ) 7, 6. Exemplo Determine o comprimento de arco da curva dada por x /3 + y /3 = 4 no intervalo [0, 8]. Solução: Usando diferenciação implícita, temos Assim, temos que f (x) = 3x + /3 3y /3 y = 0 y = y/3 S = x /3 x /3 + ( x /3 = 4 x /3 x /3. e o comprimento de arco é dado por 4 x /3 x /3 ) dx = x/3 dx x /3

149 = dx = x/3 8 0 x dx = /3 /3 3x 8 =. 0 Observação: Em geral, o comprimento da curva dada por x /3 + y /3 = a /3 no intervalo [0, a] é S = 3a /3. Exemplo Mostre que o comprimento de um semicírculo de raio R é πr. Ou equivalentemente, que o comprimento de uma circunferência de raio R é πr. Solução: Suponhamos que o círculo está centrado na origem. A equação é dada por x +y = R. Usando diferenciação implícita, segue que x + yy = 0 y = x y = x R x. Assim, temos que f x (x) = e o comprimento de arco é dado por R x S = R R + ( x ) R dx = R R x Primeiro calculemos a integral indefinida R x dx. R R x dx. Fazendo a substituição trigonométrica x = R cos(θ), segue que dx = Rsen(θ)dθ e R x dx = R R cos (θ) ( Rsen(θ))dθ = sen(θ) cos (θ) dθ = sen(θ) sen (θ) dθ = dθ = θ + C = arccos(x/r) + C, pois sendo x = R cos(θ) tem-se que θ = arccos(x/r). Portanto, o comprimento de arco é dado por R S = R R R x dx = R( arccos(x/r)) R R = R[arccos() arccos( )] = R[0 π] = πr. Observação: Segue do exemplo que o comprimento de uma circunferência de raio R é dada por C = S = πr. 7.4 Área de Superfície Teorema 7.4. Seja f(x) 0 uma função contínua e diferenciável num intervalo [a, b]. A área de superfície gerada pela rotação da curva y = f(x) em torno do eixo x é dada por S = π b a f(x) + [f (x)] dx 49

150 De modo análogo, se x = g(y) 0 é uma função contínua e diferenciável num intervalo [c, d], então a área de superfície gerada pela rotação da curva x = g(y) em torno do eixo y é dada por S = π d c g(y) + [g (y)] dy Exemplo 7.4. Determine a área da superfície gerada pela rotação da curva y = x, x em torno do eixo x. Solução: Temos S = π ( ) x + x dx = 4π 8π ( x + dx = 3 3 ). 3 Exemplo Determine a área da superfície gerada pela rotação da curva x = y, 0 y em torno do eixo y. Solução: Temos S = π 0 ( y) + ( ) dy = π 0 ( y)dy = π. 50

151 7.5 Força, Trabalho e Centro de Massa Trabalho Realizado por uma Força Constante Quando a bateria do carro descarrega e você precisa empurrá-lo para que o motor pegue no tranco, você está realizando um trabalho, e o efeito deste trabalho é fazer o carro funcionar e se movimentar. Quando o carro é empurrado para que o motor pegue no tranco, o motor vai ser acionado dependendo da força F que você está aplicando e da distância d durante a qual a força é aplicada. Neste caso, a força exercida é constante e, a definição de trabalho para esta força é a seguinte: Definição: Quando uma força constante de módulo F move um objeto de uma distância d, então o trabalho W realizado pela força F sobre o objeto é da do por W = F d. Exemplo: Determinar o trabalho realizado quando se aplica uma força constante F = 50N para empurrar um carro por uma distância de 0 metros. Solução: O trabalho é dado por W = F d = (50N)(0m) = 500N.m. Trabalho Realizado por uma Força Variável Agora, suponhamos que uma partícula P se move ao longo do eixo x sob a influência de uma força variável F = F (x) que, possivelmente, varia com a posição x, deslocando-se desde x = a até x = b. O trabalho total realizado pela força F é dado por W = b a F (x)dx. Exemplo 7.5. Uma partícula P se move ao longo do eixo x sob a ação de uma força F (x) = 3x + desde x = 0 até x =. Determine o trabalho realizado. Solução: O trabalho realizado é dado por W = 0 (3x + )dx = (x 3 + x) = 0. 0 Exemplo 7.5. Uma partícula P se move ao longo do eixo x sob a ação de uma força que cresce exponencialmente F (x) = 3e x deslocando-se desde x = 0 até x =. Determine o trabalho realizado. Solução: O trabalho realizado é dado por W = 0 (3e x )dx = 3e x = 3e 3 = 3(e ). 0 5

152 Exemplo Uma força F dada por F (x) = 3 x3 + Newtons age numa partícula P no eixo x e move a partícula de x = metros até x = 5 metros. Qual o trabalho realizado. Solução: O trabalho realizado é dado por W = 5 ( 3 x3 + )dx = ( x4 + x) 5 = 5 4 = 53, 75. Um dos principais exemplos de forças variáveis é dado pelas forças restauradoras de corpos elásticos, como por exemplo, uma mola. Quando esticamos uma mola, à medida que a deformação aumenta, aumenta também a força restauradora. A forma com que se dá este aumento é estabelecido pela lei de Hooke. Lei de Hooke: Para pequenas deformações de um objeto, o deslocamento ou o tamanho da deformação é diretamente proporcional a força. Ou seja, a força F produzida por uma deformação x de um material elástico é dada por F = kx, onde k é uma constante que depende do material. Em geral, o sinal da força restauradora possui sinal negativo devido ao fato que ela atua no sentido contrário ao deslocamento. No entanto, aqui usaremos apenas a fórmula sem o sinal negativo. Exemplo Determinar o trabalho produzido por uma mola de coeficiente k = 0,, quando ela se deforma 5 unidades de sua posição de repouso. Solução: Pela Lei de Hooke, a força restauradora da mola é dada por F (x) = 0, x, onde por x estamos denotando a deformação da mola desde a posição de repouso. O trabalho realizado é dado por W = 5 0 (0, x)dx =, 5 unidades de trabalho. Exemplo Determine o trabalho necessário para comprimir uma mola partindo de seu comprimento inicial de m até um comprimento de 0,75m se a constante da mola é k = 4 N/m. Solução: Considere a mola não comprimida ao longo do eixo x com sua extremidade móvel na origem e sua extremidade fixa em x = m. A força para comprimir a mola de 0 até x é F = 4x. O trabalho realizado é dado por W = 0,5 0 4x dx = 3 J = 0, 75J. 4 5

153 Exemplo Uma mola tem comprimento natural de m. Uma força de 4 N estica essa mola até o comprimento de,8m. a) Determine a constante de força k; b) Quanto trabalho será necessário para esticar a mola m além de seu comprimento original? c) Até onde uma força de 45 N esticará a mola? Solução: a) Usando a lei de Hooke, para F = 4N e x = 0, 8m, segue que 4 = k(0, 8) k = 4 0, 8 = 30 N/m. b) Imaginamos a mola em repouso pendurada ao longo do eixo x com sua extremidade livre em x=0. A força necessária para esticar a mola até x m além de seu comprimento original á a força necessária para puxar a extremidade livre da mola até x unidades a partir da origem. A lei de Hooke com k=30 diz que essa força é dada por F (x) = 30x. Logo, o trabalho realizado por F sobre a mola desde x=0 m até x= m é W = 0 30x dx = 60J. c) Basta substituir F = 45 na fórmula F = 30x e determinar o valor de x. Isto é, 45 = 30x x = =, 5m. Exemplo Uma mola tem um comprimento natural de 0 cm. Se uma força de 8 N é necessária para distender a mola de cm, qual o trabalho realizado ao alongarmos a mola de 6 cm. Solução: Usando a lei de Hooke, para F = 8N e x = cm = 0, 0m, segue que 8 = k(0, 0) k = 8 0, 0 = 400 N/m. Logo, a força é dada por F = 400x. Portanto, o trabalho realizado por esta força ao alongarmos a mola por 6 cm (0,06 m) é dado por W = 0,06 0 (400x)dx = 00x 0,06 = 00(0, 06) = 00(0, 0036) = 0, 7J. 0 Exemplo Um balde com peso Kg e capacidade para 0 litros de água está sendo puxado, a partir do solo, por uma corda de 5m de comprimento a uma velocidade constante. Se a corda pesa 0,06 Kg por cada metro, determine o trabalho realizado para elevar o balde cheio desde o solo até o topo. Assuma que a água pesa Kg por litro. 53

154 Solução: Seja x [0, 5] a distância de elevação do balde desde o solo até o topo com x = 0 representando a posição inicial do balde no solo e x = 5 representando o ponto de chegada do balde no topo. A força total produzida para puxar o balde, a água e a corda é F (x) = F a (x) + F b (x) + F c (x), onde F a (x) é a força produzida pela água, F b (x) a força produzida pela balde e F c (x) a força produzida pela corda. A força produzida pelo balde é constante, pois o peso do balde é constante e igual a Kg. Logo, F b (x) =. De modo análogo, a força produzida pela água é constante, pois o peso da água no balde cheio é constante e igual a 0Kg. Logo, F a (x) = 0. Por outro lado, a força produzida pela corda varia com a distância x de elevação do balde, pois à medida que o balde vai sendo puxado, a corda vai ficando cada vez menor. Logo, F c (x) = (0, 06)(5 x) = 0, 06x + 0, 3. A força total é: O trabalho total realizado é F (x) = [] + [0] + [ 0, 06x + 0, 3] = 0, 06x +, 3 W = 5 0 F (x)dx = 5 0 [ 0, 06x +, 3]dx = 60, 75Kg.m. Exemplo Um balde com peso Kg está sendo usado para puxar água de uma cisterna com metros de profundidade. O balde tem capacidade para 0 litros de água e a corda pesa 0,0 Kg por metro. O balde tem um furo no fundo e é puxado inicialmente cheio de água chegando na boca da cisterna com metade de sua capacidade. Supondo que o balde é puxado a uma velocidade constante e que a água sai pelo furo a uma razão constante, determine o trabalho realizado para puxar o balde até a boca da cisterna. Assuma que a água pesa Kg por litro. Solução: Seja x [0, ] a distância entre a boca da cisterna e a posição do balde na cisterna, com x = 0 representando a posição inicial na boca da cisterna e x = representando o nível da água na cisterna. A força total produzida para puxar o balde, a água e a corda é F (x) = F a (x) + F b (x) + F c (x), onde F a (x) é a força produzida pela água, F b (x) a força produzida pela balde e F c (x) a força produzida pela corda. A força produzida pelo balde é constante, pois o peso do balde é constante e igual a Kg. Logo F b (x) =. 54

155 Por outro lado, a força produzida pela corda varia com a distância x de elevação do balde, pois à medida que o balde vai sendo puxado, a corda vai ficando cada vez menor. Logo, F c (x) = (0, )(x) = 0, x. De modo análogo, a força produzida pela água também varia com a distância x de elevação do balde, pois devido ao vazamento da água pelo furo do balde, no momento x = a água pesa 0 Kg e no momento x = 0 pesa 5 Kg. Desta forma, se o balde sobe a uma velocidade constante v m/s e a água vaza a uma razão de z kg/s, o tempo t necessário para elevar o balde desde o nível da água até a boca da cisterna é igual ao tempo necessário para que a água vaze até que o balde fique com 5 kg de água. Logo, t = 5 z = v z v = 5. O comprimento da corda é x = vt, donde segue que t = ( x). Por outro lado, o v peso da água após um tempo t é dado por F a (x) = 0 zt = 0 z v ( x) = 0 5 ( x) = x. A força total é: F (x) = [5 + 5 x] + [] + [0, x] = 0, 5x + 7 O trabalho total realizado é W = 0 F (x)dx = 0 [0, 5x + 7]dx =, 44Kg.m. Trabalho realizado no bombeamento de um líquido Um reservatório contém um líquido que pesa w unidades de força por unidade cúbica de volume. Deseja-se bombear parte deste líquido até uma certa altura, acima do reservatório, e depois descarregá-la. Se desejamos calcular o trabalho realizado pela bomba, estabelecemos um eixo vertival y com sua origem no nível até o qual o líquido será bombeado. Por simplicidade, seja a direção positiva tomada para baixo. Suponha que o nível do líquido no início do bombeamento seja y = a e que este nível, no final, seja y = b. Suponha que a área da seção transversal da superfície do líquido ao nível y seja A(y) unidades quadradas. A fatia infinitesial de líquido entre o nível y e o nível y + dy tem um volume de A(y)dy unidades cúbicas e pesa wa(y)dy unidades de força. O trabalho infinitesimal realizado ao elevarmos esta fatia de y unidades ao nível da origem será dw = ywa(y)dy, de modo que o trabalho total necessário para bombear o líquido de y = a até y = b é dado por W = w b a ya(y)dy, onde A(y) é a área da seção transversal da superfície do líquido ao nível y dado em unidades quadradas. 55

156 Exemplo A água, que pesa.000kg/m 3, é usada para encher um reservatório hemisférico de raio igual a 5 metros. A água é bombeada do reservatório a um nível de 6 metros acima da borda do reservatório, até que a superfície da água remanescente esteja a 4 metros abaixo da borda do reservatório. Qual o trabalho realizado? Solução: Escolhendo um eixo de referência vertical, apontando para baixo, através do centro do reservatório com sua origem 6 metros acima da borda. Quando a superfície superior da água está na posição de coordenada x, seu raio a satisfaz a + (y 6) = 5 5, pelo Teorema de Pitágoras. Assim, a área da seção tranversal é dada por A(y) = πa = π[5 (y 6) ]. No início do bombeamento y = 6 e no final do bombeamento, y = 0. Logo o trabalho realizado é dado por W = yπ[5 (x 6) ]dy =.000π 6 0yπ[ y 3 + y y]dy = π. Centro de Massa Chamaremos de centro de massa ou centro de gravidade de um corpo ao ponto onde deve ser aplicada uma força pontual igual ao peso do corpo para que o mesmo permaneça em 56