Equação Geral do Segundo Grau em R 2

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1 8 Equação Geral do Segundo Grau em R Sumário 8.1 Introdução Autovalores e autovetores de uma matriz real 8.3 Rotação dos Eixos Coordenados Formas Quadráticas Equação Geral do Segundo Grau em R Exercícios Exercícios Suplementares

2 Unidade 8 Introdução 8.1 Introdução Dada uma função f : R R, o conjunto f 1 c = x, y R ; fx, y = c} é a linha de nível c da função f, onde c R. Se f : R R é a função linear fx, y = ax+by, onde a, b 0, 0, as linhas de nível de f são as retas do plano perpendiculares ao vetor v = a, b, pois f 1 c = x, y R ; ax + by = c}, para todo c R. Provaremos, neste capítulo, que as curvas de nível de uma função quadrática de duas variáveis, ou seja, de uma função f : R R, dada por fx, y = Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F, onde A 0, B 0 ou C 0, são as cônicas ou as cônicas degeneradas. Para isso, baseado no estudo das linhas de nível de f, feito nos três capítulos anteriores, quando B = 0, basta mostrar que existe um sistema de eixos ortogonais OX Y, obtido por uma rotação positiva dos eixos OX e OY, para o qual a função f, nas coordenadas x e y, se escreve na forma fx, y = λ 1 x + λ y + Dx + Ey + F. No caso particular em que se tem D = E = F = 0, a função quadrática fx, y = Ax + Bxy + Cy é um polinômio homogêneo de segundo grau todos os termos têm grau. Estes polinômios são chamados formas quadráticas de duas variáveis. 8. Autovalores e autovetores de uma matriz real a11 a Sejam A = 1 uma matriz real do tipo e u = x, y um a 1 a vetor em R. Denimos A u como sendo o vetor a 11 x + a 1 y, a 1 x + a y, ou seja, A u = a 11 x + a 1 y, a 1 x + a y.

3 Equação Geral do Segundo Grau em R Unidade 8 A operação denida acima satisfaz à seguinte propriedade: Observação 1 Aλ u + µ v = λa u + µa v, para quaisquer vetores u e v em R e números reais λ e µ. A prova desta propriedade pode ser feita como exercício. Um número real λ é um autovalor da matriz A se existir um vetor u não nulo tal que A u = λu. Seja λ um autovalor da matriz A. Um vetor u = x, y é um autovetor de A relativo ao autovalor λ se A u = λu, ou seja, a 11 x + a 1 y = λx λ a 11 x a 1 y = a 1 x + a y = λy a 1 x + λ a y = 0 O vetor nulo é um autovetor relativo a qualquer autovalor, mas um número real só é um autovalor se ele possuir um autovetor não nulo. Observação Se u é um autovetor relativo ao autovalor λ da matriz A, então µ u é um autovetor relativo ao autovalor λ, para todo µ R. E se v é outro autovetor relativo ao autovalor λ, então u + v é um autovetor relativo ao autovalor λ. Com efeito, como Aµ u = µa u e A u + v = A u + A v pela Observação 1, temos que: Observação 3 Aµ u = µa u = µλ u = λµ u, A u + v = A u + A v = λ u + λ v = λ u + v. Na linguagem de Álgebra Linear, isso signica que o conjunto u ; A u = λ u } é um subespaço vetorial do espaço vetorial R. Então, um real λ é um autovalor da matriz A se, e somente se, o sistema 8.1 tem uma solução não trivial x, y x, y 0, 0. Mas, pela Proposição 9 do Capítulo 1, o sistema tem uma solução não trivial se, e só se, λ a 11 a 1 det = 0. a 1 λ a 3

4 Unidade 8 Autovalores e autovetores de uma matriz real Com efeito, λ a 11, a 1 x + a 1, λ a y = 0 possui uma solução x, y 0, 0 se, e só se, um dos vetores λ a 11, a 1 e a 1, λ a é múltiplo do outro. O polinômio p : R R, dado por λ a 11 a 1 pλ = det = λ a 11 λ a a 1 a 1, a 1 λ a é denominado polinômio característico da matriz A. Obtemos, assim, o seguinte resultado. Proposição 4 Os autovalores de uma matriz A são as raízes reais do polinômio característico da matriz A. Exemplo 1 Determine, caso existam, os autovalores e os autovetores correspondente da matriz: 4 a A =. 3 4 Solução. O polinômio característico da matriz A é λ 4 pλ = det = λ = λ 8λ +. 3 λ 4 Como o discriminante = = 4 da equação pλ = 0 é negativo, a equação não possui raízes reais. Logo, a matriz A não tem autovalores. 1 6 b B =. 1 Solução. Seja pλ = det λ λ o polinômio característico da matriz B. Sendo λ 1 = = λ 1λ 6 = λ 3λ 4 = 4 e λ = = 1 as raízes reais da equação pλ = 0, temos que λ 1 = 4 e λ = 1 são os autovalores da matriz B. Os autovetores u 1 = x, y relativos ao autovalor λ 1 = 4 são as soluções do sistema 4

5 Equação Geral do Segundo Grau em R Unidade 8 λ 1 1x 6y = 0 x + λ 1 y = 0 3x 6y = 0 x + y = 0 x = y. Logo, todo autovetor relativo ao autovalor λ 1 = 4 é da forma u 1 = y, 1, 1 y R. Assim, 5, e, 1 são os autovetores unitários relativos ao autovalor λ 1 = 4. E os autovetores u = x, y relativos ao autovalor λ = 1 são as soluções do sistema λ 1x 6y = 0 x + λ y = 0 x 6y = 0 x 3y = 0 u = 3y, y = y 3, 1, y R. Portanto, 3 10, x = 3y, 1 10 isto é, 3, 1 são os autovetores unitários relativos ao autovalor λ = e 8.3 Rotação dos Eixos Coordenados Seja OXY um sistema de eixos ortogonais. Dado θ [0, π, seja OX Y o sistema obtido girando os eixos OX e OY do ângulo θ no sentido positivo que vai de OX para OX. Então, v 1 = cos θ, sen θ e v = sen θ, cos θ são os vetores unitários na direção e no sentido dos eixos OX e OY, respectivamente. Figura 8.1: Ângulo θ entre os eixos OX e OX. 5

6 Unidade 8 Rotação dos Eixos Coordenados Considere um ponto P do plano. Como os vetores v 1 e v são ortonormais = v 1 e v não são múltiplos, existem números reais x e y de modo que pois OP = x v 1 + y v. Logo, x, y são as coordenadas do ponto P com respeito ao sistema OX Y, Proj v1 OP = x v1 e Proj v OP = y v. Figura 8.: P = x, y OXY = x, y OX Y. Sejam x, y as coordenadas do ponto P em relação ao sistema OXY, isto é, OP = x e 1 + y e, onde e 1 = 1, 0 e e = 0, 1 são os vetores unitários na mesma direção e no mesmo sentido dos eixos OX e OY, respectivamente. Então, e e x e 1 + y e = x v 1 + y v 8. x = x < v 1, e 1 > + y < v, e 1 > y = x < v 1, e > + y < v, e > x = x < e 1, v 1 > + y < e, v 1 > y = x < e 1, v > + y < e, v > x = x cos θ y sen θ 8.3 y = x sen θ + y cos θ x = x cos θ + y sen θ 8.4 y = x sen θ + y cos θ 6

7 Equação Geral do Segundo Grau em R Unidade 8 cos θ sen θ x, y = x, y 8.5 sen θ cos θ cos θ sen θ e x, y = x, y. 8.6 sen θ cos θ cos θ sen θ A matriz B = é a matriz de passagem das coordenadas sen θ cos θ cos θ sen θ x, y para as coordenadas x, y e, por sua vez, B t = é a sen θ cos θ matriz de passagem das coordenadas x, y para as coordenadas x, y, onde B t é a transposta da matriz B, ou seja, as colunas da matriz B t são as linhas da matriz B. Observe que a primeira e a segunda colunas da matriz B são as coordenadas dos vetores v 1 e v no sistema OXY, respectivamente, e a primeira e a segunda colunas da matriz B t são as coordenadas dos vetores e 1 e e no sistema OXY, respectivamente. Com efeito, pela identidade 8. e pelas equações 8.3 e 8.4, segue que v 1 = cos θ e 1 + sen θ e, e 1 = cos θ v 1 sen θ v, v = sen θ e 1 + cos θ e 8.7 e = sen θ v 1 + cos θ v Temos também que B t B = BB t = I, onde I = é a matriz 0 1 identidade do tipo. Assim, a matriz de passagem do sistema OXY para o sistema OX Y tem a propriedade de que sua transposta é também sua inversa. As matrizes com esta propriedade são chamadas matrizes ortogonais. Dado um sistema de eixos ortogonais OXY, considere o sistema de eixos ortogonais O X Y obtido pela rotação positiva de 45 o dos eixos OX e OY em torno da origem. Uma hipérbole nas coordenadas x e y tem centro na origem, um de seus vértices no ponto, 0 e a reta y = x como uma de suas assíntotas. Exemplo 7

8 Unidade 8 Rotação dos Eixos Coordenados a Determine a equação da hipérbole nas coordenadas x e y e nas coordenadas x e y. b Obtenha o centro, os vértices, os vértices imaginários e as assíntotas da hipérbole nas coordenadas x e y. c Faça um esboço da curva no sistema de eixos OXY, indicando todos os elementos encontrados no item b. Solução. a Nas coordenadas x e y, a reta focal l é o eixo O X, pois o centro C = 0, 0 e o vértice V =, 0 pertencem ao eixo O X. Além disso, a = dc, V = e b =, pois y = x é uma assíntota da hipérbole. a Então, b = a =, e H : x y 8 = 1 é a equação da hipérbole nas coordenadas x e y. Usando as relações de mudança de coordenadas ver 8.4, x = cos 45 o x + sen 45 o y = x + y 8.9 y = sen 45 o x + cos 45 o y = x + y, obtemos que a equação da hipérbole nas coordenadas x e y é: 1 4 x + y x + y = 1 4x + y x + y = 16 4x + xy + y x xy + y = 16 3x + 10xy + 3y = 16 3x + 10xy + 3y 16 = 0 b Nas coordenadas x e y, a hipérbole tem: centro C = 0, 0; vértices: A 1 =, 0 e A =, 0; vértices imaginários: B 1 = 0, e B = 0, ;reta focal: l : y = 0; reta não focal: l : x = 0; assíntotas: y = ±x. Por 8.9, obtemos que l : x + y = 0 é a reta focal; l : x + y = 0 é a reta não focal e x + y = ± x + y, isto é, r : y = 3x e r + : y = 1 x são as assíntotas da hipérbole nas coordenadas x e y. 3 8

9 Equação Geral do Segundo Grau em R Unidade 8 E, pelas relações de mudança de coordenadas ver 8.3, x = cos 45 o x sen 45 o y = x y y = sen 45 o x + cos 45 o y = x + y, obtemos que C = 0, 0 é o centro, A 1 = 1, 1 e A = 1, 1 são os vértices, e B 1 =, e B =, são os vértices imaginários da hipérbole nas coordenadas x e y. c Na gura 8.3 mostramos o esboço da hipérbole H. Figura 8.3: Hipérbole H : 3x + 10xy + 3y 16 = 0. Consideremos agora o sistema OX Y obtido por uma rotação positiva de ângulo θ do sistema OXY, seguida de uma translação dos eixos que leva o ponto O = 0, 0 no ponto O = x 0, y 0, onde x 0, y 0 são as coordenadas de O no sistema OXY. Seja OX Y o sistema obtido apenas por uma rotação positiva de ângulo θ dos eixos OX e OY. Se P = x, y é um ponto no sistema OXY, então x, y = x cos θ + y sen θ, x sen θ + y cos θ são as coordenadas de P no sistema OX Y. Em particular, x 0, y 0 = x 0 cos θ + y 0 sen θ, x 0 sen θ + y 0 cos θ são as coordenadas de O no sistema OX Y. Logo, pela mudança de coordenadas dada por uma translação vista do Capítulo 5, temos que Para Saber Mais 9

10 Unidade 8 Rotação dos Eixos Coordenados x = x x 0 e y = y y 0, onde x, y são as coordenadas de P no sistema O X Y. Figura 8.4: Sistemas OXY, OX Y e OX Y. Assim, x = x cos θ + y sen θ x 0 cos θ + y 0 sen θ y = x sen θ + y cos θ x 0 sen θ + y 0 cos θ x = x x 0 cos θ + y y 0 sen θ y = x x 0 sen θ + y y 0 cos θ 8.10 Multiplicando a primeira equação de 8.10 por cos θ, a segunda, por sen θ, e somando as equações encontradas, obtemos que x x 0 cos θ + y y 0 sen θ = x cos θ y sen θ x x 0 cos θ + sen θ = x cos θ y sen θ x = x cos θ y sen θ + x 0. De modo análogo, podemos mostrar que Portanto, as equações y = x sen θ + y cos θ + y 0. nos dão x, y em função de x, y. x = x cos θ y sen θ + x 0 y = x sen θ + y cos θ + y

11 Equação Geral do Segundo Grau em R Unidade 8 Seja r : 3x + y = 4 a equação de uma reta no sistema OXY. Escreva a equação desta reta no sistema O X Y obtido da rotação positiva de ângulo θ = π/6 do sistema OXY, seguida da translação que leva o ponto = 0, 0 no ponto O = 3, 1. Exemplo 3 Solução. Pelas equações 8.11, temos que: x = x cosπ/6 y senπ/6 + 3 y = x senπ/6 + y cosπ/ x = x y + 3 y = x Logo, a reta r : 3x + y = 4, nas coordenadas x e y, é dada por: r : 3 3 x y + x y + 1 = 4 r : 3x 3 y x 3 + y + 1 = 4 r : x + 4 = 4 r : x = 0. Ou seja, a reta r, no sistema O X Y, é o eixo O Y. Figura 8.5: Sistemas OXY e O X Y. 11

12 Unidade 8 Formas Quadráticas Observação 5 Seja v um vetor com coordenadas α, β no sistema OXY e α, β no sistema O X Y. Então, De fato, seja P o ponto tal que v α = α cos θ + β sen θ β = α sen θ + β cos θ α = α cos θ β sen θ β = α sen θ + β cos θ = O P. OXY e P = x, y no sistema O X Y, temos que Se P = x, y no sistema α = x x 0, β = y y 0, α = x e β = y. Logo, por 8.10 e 8.11, obtemos as fórmulas 8.1 e 8.13, respectivamente. 8.4 Formas Quadráticas Dada uma forma quadrática f : R R, fx, y = Ax + Bxy + Cy, a matriz real do tipo, A B/ A = B/ C é a matriz de f. a11 a 1 Uma matriz real do tipo é simétrica se a 1 = a 1. Note a 1 a que a matriz de qualquer forma quadrática é simétrica. Assim, para quaisquer x, y R, fx, y =< Ax, y, x, y > 8.14 Com efeito, < Ax, y, x, y > = x, y, x, y = < Ax + B/y, B/x + Cy, x, y > = Ax + B/yx + B/xy + Cy = Ax + Bxy + Cy = fx, y. A B/ B/ C 1

13 Equação Geral do Segundo Grau em R Unidade 8 Para provarmos o resultado principal deste capítulo, precisamos da proposição seguinte. b11 b Sejam B = 1 um matriz real do tipo e B t b11 b = 1 b 1 b b 1 b sua matriz transposta. Então, Proposição 6 < B u, v >=< u, B t v >, para quaisquer vetores u = x, y e v = z, w em R. De fato, Demonstração < B u, v > = < b 11 x + b 1 y, b 1 x + b y, z, w > = b 11 xz + b 1 yz + b 1 xw + b yw = xb 11 z + b 1 w + yb 1 z + b w = < x, y, b 11 z + b 1 w, b 1 z + b w = < u, B t v >. Precisamos também lembrar que o produto de duas matrizes do tipo, m11 m M = 1 n11 n e N = 1, é a matriz MN do tipo, dada m 1 m n 1 n abaixo: m 11 n 11 + m 1 n 1 m 11 n 1 + m 1 n M =. m 1 n 11 + m n 1 m 1 n 1 + m n Assim, o ij ésimo elemento da matriz produto MN é o produto interno do i ésimo vetor linha, m i1, m i, da matriz M pelo j ésimo vetor coluna, n 1j, n j, da matriz N. É fácil vericar, embora trabalhoso, que o produto de matrizes é associativo, isto é, MN Q = MN Q, quaisquer que sejam as matrizes M, N e Q do tipo. 13

14 Unidade 8 Formas Quadráticas Teorema 7 Seja A = A B/ uma matriz simétrica real do tipo. B/ C a As raízes λ 1 e λ do polinômio característico de A são reais. Isto é, a matriz A tem dois autovalores λ 1 e λ, que têm multiplicidade um se λ 1 λ, e multiplicidade dois se λ 1 = λ. b Existe um par u 1 e u de autovetores ortonormais relativos aos autovalores λ 1 e λ, respectivamente. a1 a c Se B = é a matriz do tipo cuja primeira coluna é formada b 1 b pelas coordenadas do vetor u 1 = a 1, b 1 e a segunda, pelas coordenadas do vetor u = a, b, então B t λ 1 0 AB = λ Demonstração a O polinômio característico da matriz A é λ A B/ pλ = det = λ Aλ C B B/ λ C 4 = λ A + Cλ + AC B 4. Como o discriminante da equação pλ = 0, = A + C 4AC B /4 = A + AC + C 4AC + B = A C + B, é não negativo, as suas raízes λ 1 e λ são reais. b Se = 0, temos que A = C e B = 0 e, portanto, λ = A = C é a única λ 0 raiz de pλ = 0. Neste caso, A = e e 1 = 1, 0, e = 0, 1 são 0 λ autovetores ortonormais relativos ao autovalor λ de multiplicidade dois. Se > 0, a equação pλ = 0 tem duas raízes reais λ 1 e λ distintas. Sejam u 1 isto é, u 1 e u vetores não nulos tais que A u 1 = λ 1u1 e A u = λ u, e u são autovetores não nulos associados aos autovalores λ 1 e λ, 14

15 Equação Geral do Segundo Grau em R Unidade 8 respectivamente. Podemos supor, pela Observação 3, que u 1 unitários isto é, u 1 = u = 1. O vetor u 1 e u é ortogonal ao vetor u. De fato, pela Proposição 6, < A u 1, u >=< u 1, A u > = < λ 1u1, u >=< u 1, λ u > = λ 1 < u 1, u >= λ < u 1, u > = λ 1 λ < u 1, u >= 0 = < u 1, u >= 0. são vetores c Como A u 1 = Aa 1 + B/b 1, B/a 1 + Cb 1 = λ 1 a 1, λ 1 b 1 e A u = Aa + B/b, B/a + Cb = λ a, λ b, segue que A B/ a 1 a λ 1 a 1 λ a AB = =. B/ C b 1 b λ 1 b 1 λ b Além disso, sendo u 1 = a 1 + b 1 = 1, u = a + b = 1 e < u 1, u >= a 1 a + b 1 b = 0, obtemos que: B t a 1 b 1 λ 1 a 1 λ a AB = a b λ 1 b 1 λ b λ 1 a 1 + b = 1 λ a 1 a + b 1 b λ 1 a 1 a + b 1 b λ a + b λ 1 0 =. 0 λ Note que B = 0 e 1 = 1, 0 ou e = 0, 1 é um autovetor da matriz A. Neste caso, A e C são os autovalores e e 1 = 1, 0, e = 0, 1 são autovetores relativos aos autovalores A e C, respectivamente, da matriz A. Observação 8 Seja θ [0, π o ângulo que o vetor u 1 positivo, isto é, u 1 = cos θ, sen θ. Tomemos u de u 1 por uma rotação positiva de π. faz com o eixo OX no sentido = sen θ, cos θ, obtido 15

16 Unidade 8 Formas Quadráticas Seja OX Y o sistema cujos eixos OX e OY têm a mesma direção e o mesmo sentido dos vetores u 1 e u, respectivamente. Assim, por 8.5, a forma quadrática fx, y =< Ax, y, x, y >, nas coordenadas x e y do sistema OX Y, é dada por: fx, y =< ABx, y, Bx, y >. Daí, sabendo que Figura 8.6: Sistemas de eixos ortogonais OXY e OX Y. ABx, y = ABx, y e B t ABx, y = B t ABx, y = B t ABx, y, concluímos, pela Proposição 6 e pelo Teorema 7, que fx, y = < B t ABx, y, x, y > = < B t ABx, y, x, y > = < λ 1 x, λ y, x, y > = λ 1 x + λ y m11 m Para Saber Mais Se M = 1 n11 n, N = 1 são duas matrizes do tipo m 1 m n 1 n e u = x, y é um vetor, então Com efeito, MN x, y = MN x, y. MN x, y = Mn 11 x + n 1 y, n 1 x + n y = m 11 n 11 x + n 1 y + m 1 n 1 x + n y, m 1 n 11 x + n 1 y + m n 1 x + n y = m 11 n 11 + m 1 n 1 x + m 11 n 1 + m 1 n y, m 1 n 11 + m n 1 x + m 1 n 1 + m n y = MN x, y. Exemplo 4 B =. Seja a forma quadrática fx, y = 3x + xy + 3y, com A = C = 3 e 16

17 Equação Geral do Segundo Grau em R Unidade Então A = é a matriz da forma quadrática e 1 3 λ 3 1 pλ = det = λ 3 1 = λ 6λ + 8 = 0 1 λ 3 é a sua equação característica, cujas raízes são λ 1 = 4 e λ =. Isto é, λ 1 = 4 e λ = são os autovalores da matriz A. Os autovetores x, y relativos ao autovalor λ 1 sistema λ 1 3x y = 0 x + λ 1 3y = 0 Portanto, u 1 = 1 1, = x y = 0 x + y = 0 cos π 4, sen π 4 relativo ao autovalor λ 1 = 4. Como o autovetor u = é ortogonal ao autovetor u 1, basta tomar λ sen π 4, cos π 4. = 4 são as soluções do x = y. é um autovetor unitário relativo ao autovalor 1 1, = u = Seja OX Y o sistema de eixos ortogonais obtido girando os eixos OX e OY, no sentido positivo, do ângulo θ = π/4. sistema de eixos, a forma quadrática é dada por fx, y = λ 1 x + λ y = 4x + y. Nas coordenadas x e y deste Portanto, a linha de nível m de f é o conjunto vazio, se m < 0; a origem, se m = 0, e a elipse x m/4 + y = 1, se m > 0. m/ m m No sistema de eixos OX Y, a origem é o centro, a =, b =, m m c =, a reta focal é o eixo OY, a reta não focal é o eixo OX, 0, m m m e 0, são os vértices sobre a reta focal,, 0 e, 0 são m m os vértices sobre a reta não focal, e 0, e 0, são os focos da elipse x m/4 + y m/ = 1. 17

18 Unidade 8 Equação Geral do Segundo Grau em R Figura 8.7: Linha de nível 4 de f. Pela mudança de coordenadas ver 8.5 e 8.6, 1/ 1/ x, y = 1/ 1/ x, y, 1/ 1/ x, y = 1/ 1/ x, y, obtemos que C = 0, 0 é o centro, l : x + y = 0 é a reta focal, l : x + y = 0 m m m m é a reta não focal, A 1 =, e A =, são os vértices m m m m na reta focal, B 1 =, e B =, são os vértices na m m m m reta não focal, e F 1 =, e F =, são os focos da elipse nas coordenadas x e y. 8.5 Equação Geral do Segundo Grau em R Consideremos a equação geral do segundo grau nas variáveis x e y: Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = Esta equação é da linha de nível zero da função quadrática 18

19 Equação Geral do Segundo Grau em R Unidade 8 fx, y = Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F. Seja, como na seção anterior, o sistema OX Y de eixos ortogonais cujos eixos OX e OY têm a mesma direção e o mesmo sentido dos autovetores u 1 e u, relativos aos autovalores λ 1 e λ, respectivamente, da matriz A B/ A =. B/ C Então, por 8.16, a função quadrática f, nas coordenadas x e y, assume a seguinte forma: fx, y = λ 1 x + λ y + < D, E, Bx, y > +F = fx, y = λ 1 x + λ y + < B t D, E, x, y > +F = fx, y = λ 1 x + λ y + Dx + Ey + F, onde D =< D, E, u 1 > e E =< D, E, u >. Nos capítulos anteriores, provamos que a equação λ 1 x + λ y + Dx + Ey + F = 0, 8.18 que é a equação 8.17 nas coordenadas x e y, representa uma elipse ou uma elipse degenerada se λ 1 λ > 0, uma hipérbole ou uma hipérbole degenerada se λ 1 λ < 0, e uma parábola ou uma parábola degenerada se λ 1 λ = 0 λ 1 0 ou λ 0. Os eixos OX e OY são os eixos principais da cônica C representada pela equação Estes eixos são paralelos às retas focal e não focal da cônica, nos casos em que C é uma elipse ou um hipérbole, e são paralelas à reta focal e à diretriz quando C é uma parábola. O número real I = B 4AC, chamado indicador da equação 8.17, estabelece se a equação representa uma elipse, uma hipérbole ou uma paráboladegenerada ou não, antes de reduzirmos a equação a sua forma canônica A B/ De fato, como det A = det = AC B /4, então I = B/ C 4 det A. cos θ sen θ Além disso, como B = e B t cos θ sen θ =, segue sen θ cos θ sen θ cos θ que det B = det B t = cos θ + sen θ = 1. 19

20 Unidade 8 Equação Geral do Segundo Grau em R Logo, I = 4λ 1 λ, pois, pelo Teorema 7, det A = det B t det Adet B = detb t AB λ 1 0 = det A = det = λ 1 λ. 0 λ Para provar que I = 4λ 1 λ, usamos que o determinante do produto de duas matrizes é o produto dos determinante dessas matrizes. Para Saber Mais Sejam M = tipo. Então, Com efeito, m11 m 1 n11 n e N = 1 m 1 m n 1 n detmn = det Mdet N. duas matrizes reais do detmn = m 11 n 11 + m 1 n 1 m 1 n 1 + m n m 11 n 1 + m 1 n m 1 n 11 + m n 1 = m 11 m 1 n 11 n 1 + m 11 m n 11 n + m 1 m 1 n 1 n 1 + m 1 m n 1 n m 11 m 1 n 1 n 11 m 11 m n 1 n 1 m 1 m 1 n n 11 m 1 m n n 1 = m 11 m n 11 n m 11 m n 1 n 1 + m 1 m 1 n 1 n 1 m 1 m 1 n n 11 = m 11 m n 11 n n 1 n 1 m 1 m 1 n n 11 n 1 n 1 = m 11 m m 1 m 1 n 11 n n 1 n 1 = det Mdet N. Logo, detmn Q = det Mdet N det Q, quaisquer que sejam as matrizes M, N e Q, pois detmn Q = det MN det Q = det Mdet N det Q. Assim, a equação geral do segundo grau 8.17 representa: uma elipse, um ponto ou o conjunto vazio se I < 0; uma hipérbole ou um par de retas concorrentes se I > 0; uma parábola, um par de retas paralelas, uma reta ou o conjunto vazio se I = 0. 0

21 Equação Geral do Segundo Grau em R Unidade 8 Reordenando, quando B 0, os autovalores λ 1 e λ se necessário, podemos supor que θ 0, π/. Vamos determinar agora o ângulo θ, em função dos coecientes A, B e C da equação Temos que: cos θ = sen θ A B/ cos θ sen θ = sen θ cos θ B/ C sen θ cos θ A cos θ + B/ sen θ B/ cos θ + C sen θ A sen θ + B/ cos θ λ 1 0 = 0 λ B/ sen θ + C cos θ λ 1 0 cos θ 0 λ sen θ sen θ cos θ = A cos θ + B/ sen θ sen θ + B/ cos θ + C sen θ cos θ = 0 = A cos θ sen θ B/ sen θ + B/ cos θ + C sen θ cos θ = 0 = B/cos θ sen θ + C A sen θ cos θ = 0 = B cos θ + C A sen θ = 0. Então, quando B 0, θ = π/4, se A = C e tan θ = B A C, se A C Sendo 1 + tan θ = sec θ, segue que cos θ = tan θ, se 1 cos θ = 1 + tan θ, se B A C > 0 B A C < 0 pois, como θ 0, π, cos θ e tan θ têm o mesmo sinal. Conhecendo cos θ, podemos determinar o ângulo θ 0, π/, por meio das relações trigonométricas: cos θ = 1 + cos θ e sen θ = 1 cos θ 1

22 Unidade 8 Equação Geral do Segundo Grau em R Exemplo 5 Considere a função quadrática fx, y = x + 6xy + y 60x + 10y + 1, com A = 1, B = 6, C =, D = 60, E = 10 e F = Seja A = a matriz da função quadrática. Então, a equação 6 característica da matriz A é λ 1 6 pλ = det = λ 1λ 6 = λ 3λ 4 = 0, 6 λ cujas raízes são λ 1 = 4 e λ = 1, isto é, λ 1 = 4 e λ = 1 são os autovalores de A. Os autovetores x, y relativos ao autovalor λ 1 sistema Tomemos u 1 = λ 1 1x 6y = 0 6x + λ 1 y = 0 = 4 são as soluções do 3x 6y = 0 6x + y = 0 6 x = 3 y = y. 6 6,, que é um autovetor unitário relativo ao autovalor λ 1 = 4. Como os autovetores relativos ao autovalor λ = 1 são ortogonais ao autovetor u 1, basta tomar 6 u =, Seja OX Y o sistema de eixos ortogonais tal que OX tem a mesma direção e sentido do vetor u 1, e OY tem a mesma direção e o mesmo sentido do vetor u. Ou seja, o sistema OXY é obtido girando os eixos OX e OY, no sentido positivo, do ângulo θ 0, π/, tal que cos θ = 6 e sen θ = tan θ = tan θ 1 tan θ = 6 = B A C No sistema OX Y, a função f se escreve como fx, y = 4x y / 10 6/ / 10 / 60, 10, x, y fx, y = 4x y x y fx, y = 4x y y + 1 fx, y = 4x y

23 Equação Geral do Segundo Grau em R Unidade 8 Portanto, a curva de nível da função f é dada pela equação 4x y = 4x y + 1 = 0 y + 1 = x ou y + 1 = x, que representa duas retas concorrentes no ponto 0, 1, nas coordenadas x e y. Como / 10 6/ 10 x, y = 6/ 10 / x, y = 10 temos que as retas, nas coordenadas x e y, são: x + 6y, 6x + y, x y = 1 x + 6y 6x + y = x + 6 y = 10; x + y = 1 x + 6y + 6x + y = x y = 10. Estas retas se cortam no ponto P = / 10 6/ 10 6/ 10 / 10 0, 1 = 6 10, 10. Para m, a linha de nível m da função f é a hipérbole 4x y + 1 = m x m 4 y + 1 m = 1. Se m >, a reta focal da hipérbole é a reta y = 1, paralela ao eixo OX, e se m <, a reta focal é o eixo OY. Para m =, a hipérbole é dada pela equação x + y = 1. Nas coordenadas x e y, 0, 1 é o centro, a =, b = 1, c = 5, x = 0 é a reta focal, y = 1 é a reta não focal, 0, 3 e 0, 1 são os vértices, 1, 1 e 1, 1 são os vértices imaginários, 0, 1 5 e 0, são os focos e x = ± 1 y + 1 são as assíntotas da hipérbole. 3

24 Unidade 8 Equação Geral do Segundo Grau em R Pela mudança de coordenadas, x, y = Figura 8.8: Linha de nível de f. / 10 6/ 10 6/ 10 / 10 x, y = x 6y 6x + y,, obtemos que C =, 3 6 é o centro, A 1 =, e A =, são os vértices, B 1 =, 6 e B = , são os vértices imaginários, F 1 =, e F =, 1 5 são os focos da hipérbole nas coordenadas x e y. E, pela mudança de coordenadas, / 10 6/ 10 x, y = 6/ 10 / x, y = 10 x + 6y, 6x + y, segue que l : x + 6y = 0 é a reta focal, l : 6x + y = 10 é a reta não focal e r ± : x + 6y = ± 6x + y + 10 r ± : 4 ± 6x + 6 y = ± 10 são as assíntotas da hipérbole nas coordenadas x e y. 4

25 Equação Geral do Segundo Grau em R Unidade 8 Seja a função quadrática fx, y = x + xy + y + 6 3x + 3, com A = 1, B =, C =, D = 6 3, E = 0 e F = 3. 1 A matriz A = é a matriz de f. Portanto, Exemplo 6 pλ = det λ 1 λ = λ 1λ = λ 3λ = 0, é sua equação característica, cujas raízes são λ 1 = 3 e λ = 0. Ou seja, λ 1 = 3 e λ = 0 são os autovalores da matriz A. Os autovetores x, y da matriz A relativos ao autovalor λ 1 = 3 são as soluções do sistema λ 1 1x y = 0 x y = 0 x + λ 1 y = 0 y = x. x + y = 0 Logo, 1 u 1 = 3, é um autovetor unitário relativo ao autovalor λ 1 = 3 3 e, portanto, 1 u =, é um autovetor unitário relativo ao autovalor 3 3 λ = 0. Seja OX Y o sistema de eixos ortogonais obtido girando os eixos OX e OY, no sentido positivo, do ângulo θ 0, π/ tal que cos θ = 1 e sen θ = 3 3 tan θ = B A C =. Nestas coordenadas, a função quadrática se escreve como fx, y = 3x 1/ 3 / 3 + < / 3 1/ 6 3, 0, x, y > +3 3 fx, y = 3x + 6x 6 y + 3 fx, y = 3x + x 6 y + 3 fx, y = 3x y. Então, a linha de nível 6 m, m R, de f é a parábola x + 1 = y + m, que tem vértice V = 1, m, p = /, reta focal l : x = 1, foco F = 1, m + / e diretriz l : y = m /, nas coordenadas x e y. 5

26 Unidade 8 Equação Geral do Segundo Grau em R Pela mudança de coordenadas, x, y = x, y = 1/ 3 / 3 / 3 1/ 3 x, y = 1/ 3 / 3 / 3 1/ x, y = m temos que que V = 3 é a reta focal, F =, m 3 m, m x y x + y, 3 3 x + y, x + y, 3 3 é o vértice, l : x + y = 3 é o foco e l : x + y = m 3 6/ é a diretriz da parábola nas coordenadas x e y. Figura 8.9: Linha de nível zero de f. 6

27 Equação Geral do Segundo Grau em R Unidade Exercícios 1. Obtenha os autovalores caso existam e os respectivos autovalores unitários da matriz: a A = ; b A = ; c A = Descreva geometricamente a linha de nível zero da função f : R R, dada por fx, y = x 4 y 4 x 3 + xy 3x + 3y. 3. Sejam OXY um sistema de eixos ortogonais e OX Y o sistema de eixos ortogonais obtido pela rotação positiva de ângulo θ dos eixos OX e OY, onde cos θ = 4/5 e sen θ = 3/5. Uma parábola, nas coordenadas x e y, tem foco no ponto F = 1/5, 16/5 e vértice no ponto V = 1/5, 9/5. a Determine a equação da parábola nas coordenadas x e y e nas coordenadas x e y. b Obtenha o foco, o vértice, a reta focal e a diretriz da parábola nas coordenadas x e y. c O ponto P = 1, 7, nas coordenadas x e y, pertence à região focal ou à região não focal da parábola? d Faça um esboço da curva no sistema de eixos OXY, indicando seus elementos e o ponto P. 4. Encontre os autovalores da matriz das formas quadráticas abaixo. Descreva suas linhas de nível e, caso seja uma cônica não degenerada, obtenha os seus principais elementos nas coordenadas x e y. a fx, y = xy b fx, y = 5x + 6xy + 5y c fx, y = 4x 1xy + 9y d fx, y = 1x 10 3xy + 31y e fx, y = 39x xy + 11y 7

28 Unidade 8 Exercícios 5. Para cada uma das equações abaixo, identique a cônica que ela representa, encontrando, nos casos não degenerados, os seus principais elementos. Faça também um esboço da curva. a x xy + y + 4y = 0 b 7x 6 3xy + 13y 16 = 0 c 7x 48xy 7y 30x 40y + 75 = 0 d 3x + 3xy + y x 1 8 3y + 5 = 0 e 13x 18xy + 37y x 0 10y + 40 = 0 f 7x + 8xy y + 5x + 5y = 0 6. Mostre que uma equação do segundo grau Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0 representa um círculo, se e somente se, A = C 0, B = 0 e D + E > 4AF. Lembre que um círculo é uma elipse com eixos focais e não focais de iguais comprimentos. 7. Considere a mudança de coordenadas rotação dos eixos dada por x = x cos θ y sen θ, y = x sen θ + y cos θ. Obtenha a equação do círculo x a + y b = r nas coordenadas x e y. 8. Seja OXY um sistema de eixos ortogonais, e considere o sistema OX Y obtido girando os eixos OX e OY de um ângulo θ, θ [0, π/, no sentido positivo. Mostre que se A θ x + B θ xy + C θ y + D θ x + E θ y + F θ = 0 é a equação de segundo grau Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0, nas coordenadas x e y, então A θ +C θ = A+C e Bθ 4A θc θ = B 4AC, para todo θ [0, π/. Conclua que o indicador e o polinômio característico de uma equação do segundo grau são invariantes por rotação dos eixos. 8

29 Equação Geral do Segundo Grau em R Unidade Exercícios Suplementares 1. Sejam O = 3,, P = 4, 4 e Q = 1, 3 pontos num sistema de eixos ortogonais OXY. Considere o sistema O X Y tal que o ponto P pertence ao semieixo positivo O X e o ponto Q pertence ao semieixo positivo O Y. Obtenha as coordenadas x e y do ponto R = 8, e do vetor v = 1, 3.. Seja r : ax+by = c uma reta num sistema de eixos ortognais OXY. Mostre que, mediante uma rotação positiva seguida de uma translação, podemos obter um sistema de eixos ortogonais O X Y no qual a equação de r é x = Sejam OXY e O X Y dois sistemas de eixos ortogonais quaisquer. Se θ é o ângulo que o eixo O X faz com o eixo OX no sentido positivo, então o ângulo φ que o eixo O Y faz com o eixo OY no sentido positivo pode ser φ = θ ou φ = θ + π. No primeiro caso, φ = θ, estudado no texto, dizemos que os sistemas OXY e O X Y têm a mesma orientação. No segundo caso, φ = θ + π, mostre que as fórmulas de mudança de coordenadas são: x = x cos θ + y sen θ + x 0 y = x sen θ y cos θ + y 0 x = x x 0 cos θ + y y 0 sen θ y = x x 0 sen θ y y 0 cos θ, onde x, y e x 0, y 0 são as coordenadas de um ponto P e do ponto O, respectivamente, no sistema OXY, e x, y são as coordenadas de P no sistema O X Y. 9