Álgebra Linear I - Lista 10. Matrizes e Transformações lineares. Respostas

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1 Álgebra Linear I - Lista 1 Matrizes e Transformações lineares Respostas 1 Sejam A e B matrizes quadradas do mesmo tamanho Dê um exemplo onde (A + B 2 A 2 + 2A B + B 2 Complete: (A + B 2 = A 2 + B 2 +? (determine [?] Dê um exemplo onde (A B 2 A 2 2A B + B 2 Complete: (A B 2 = A 2 + B 2 + [?] (determine [?] Resposta: Para o primeiro item, tome as matrizes ( ( A = ; B = 1 Donde temos: e, portanto, Por outro lado, Donde A 2 = ( 1 1 A + B = (A + B 2 = ( ( ( 4 ; 2AB = A 2 + 2AB + B 2 = Isto termina o primeiro item Para o segundo item, observe que ( 1 ; B 2 = 1 ( (A+B 2 = (A+B(A+B = AA+AB +BA+BB = A 2 +B 2 +AB +BA 1

2 Logo? = AB + BA Para o terceiro item, utilizando as mesmas matrizes do primeiro item, temos: ( 1 A B = 1 Portanto, Mas (A B 2 = A 2 2AB + B 2 = Finalmente, no último item temos ( 1 1 ( (A B 2 = (A+( B 2 = A 2 +( B 2 +A( B+( BA = A 2 +B 2 AB BA Logo? = (AB + BA 2 Encontre, se possível, matrizes A e B, 3 3, tais que, para todo vetor coluna 3 1, se verifique x x + y x x y A y = x y, B y = z z Resposta: No primeiro caso, temos x x + y 1 A y = x y = x 1 z Logo basta tomar: A = y z No segundo caso não é possível encontrar a matriz B, pois se existisse teria que satisfazer a seguinte relação: λx x B λy = λb y λz z 2

3 Por outro lado, λx B λy = λz λ 2 xy Agora é suficiente considerar λ 1 = λ 2 xy = λ 2 B x y z 3 Estude se existem matrizes A, 2 1, e B, 1 2, tais que o produto A B seja a identidade Resposta: Suponhamos que existem tais matrizes e que são iguais a: ( a A = e B = ( c d b Como então AB = ( ac ad bc bd ( 1 1 =, ( 1 1 Logo, ac = 1 implica a e como ad = então d =, mas bd = 1, logo temos um absurdo, portanto não é possível a existência de tais matrizes 4 Estude se a seguinte afirmação é verdadeira A matriz 1 a tem sempre determinante não nulo (independentemente do valor de a Resposta: A afirmação é verdadeira: o determinante da matriz é independente de a e vale 1 5 Seja A uma matriz quadrada Dizemos que uma matriz (quadrada B é uma raiz quadrada de A se B 2 = B B = A Encontre duas raízes quadradas de ( 2 2 A = 2 2 3

4 Encontre quatro raízes quadradas da matriz ( 4 B = 9 Estude se a seguinte afirmação é verdadeira: toda matriz 2 2 possui no mínimo uma raiz quadrada Estude se a seguinte afirmação é verdadeira Represente por a matriz com todas as entradas nulas Se AA = então A = Resposta: Seja tal que BB = A, então: B = ( a b c d a 2 + bc = 2, ab + bd = 2, ac + dc = 2, d 2 + bc = 2 É suficiente, a = b = c = d = ±1 Tomando nesse caso c = b = temos a = ±2 e d = ±3 Se A possui uma raiz quadrada então existe matriz B tal que BB = A, donde det(b 2 = det(a, portanto det(a >, e por conseguinte se tomarmos uma matriz cujo determinante seja negativo esta não vai possuir raiz quadrada Logo a afirmação é falsa ( 1 Falso tome A = 6 Determine as matrizes das seguintes transformações lineares: 1 S : R 3 R 3, S(u = u (1, 1, 1, (exercício 3, lista 1; 2 M : R 3 R 3, M(v = (v uu, onde u(1, 1, 1, (exercício 4, lista 1; 3 N : R 3 R, N(v = (v u, onde u = (1, 1, 1, 4

5 4 L: R 3 R 2 tal que L(1, 1, 1 = (6, 3, L(2, 1, = (5, 1 e L(2,, 1 = (7, 2; 5 K : R 3 R 3, K(v = (v w w, onde w = (1, 1, 1 Resposta: (1 [S] = , (2 [M] = (3 [N] = ( ( 2 1 3, (4 [L] = (5 [K] = ,, 7 Considere a base β = {(1, 1, 1, (1, 1,, (,1,1 e para cada vetor v escreva v = v 1 (1, 1, 1 + v 2 (1, 1, + v 3 (, 1, 1 Considere T β : R 3 R 3 a transformação definida como T β (v = v 1 (1, 1, 1 + v 2 (1, 1, Veja que T β é uma transformação linear Determine a forma geral de T β (x, y, z e a matriz associada a T β Interprete T β como uma projeção Encontre uma base β tal que a transformação T β (definida como acima seja uma projeção ortogonal em um plano Resposta: Veja que De forma análoga temos, (1,, = (1, 1, 1 (, 1, 1 = u 1 u 3 (,, 1 = (1, 1, 1 (1, 1, = u 1 u 2, 5

6 e Logo Portanto, (, 1, = (1, 1, 1 + (, 1, 1 + (1, 1, = u 1 + u 2 + u 3 [T] = T(1,, = u 1 = (1, 1, 1, T(, 1, = u 1 + u 2 = (,, 1, T(,, 1 = u 1 u 2 = (,, , T(x, y, z = (x, x, x y + z Veja que T é a projeção no plano paralelo a (1, 1, 1 e (1, 1, (ou seja x y = que passa pela origem segundo a direção de (1, 1, É suficiente considerar qualquer base ortogonal de R 3 8 Considere os vetores de R 3 e a transformação linear u 1 = (1, 1, 2, u 2 = (2,, 1 T : R 3 R 3, T(v = (v u 1 u 1 + (v u 2 u 2 (a Determine a matriz de T na base canônica (b Determine o conjunto de vetores v tais que T(v = v (c Determine a equação cartesiana da imagem de T (d Considere o plano V: x + y + 2 z = Determine uma base do subespaço T(V, a imagem do plano V pela transformação linear T Resposta: 6

7 (a Devemos determinar T(i, T(j e T(k Estes vetores serão as colunas da matriz de T na base canônica T(i = ((1,, (1, 1, 2 (1, 1,2 + ((1,, (2,, 1 (2,,1 = = (1, 1, 2 + (4,, 2 = (5, 1, 4; T(j = ((, 1, (1, 1, 2 (1, 1,2 + ((, 1, (2,, 1 (2,,1 = = (1, 1, 2; T(k = ((,, 1 (1, 1, 2 (1, 1,2 + ((,, 1 (2,, 1 (2,,1 = = (2, 2, 4 + (2,, 1 = (4, 2, 5 Portanto [T] = (b Devemos encontrar vetores v = (x, y, z tais que x x y = y z z Isto é, resolver o sistema de equações 5 x + y + 4 z = x, x + y + 2 z = y, 4 x + 2 y + 5 z = z Assim obtemos o sistema linear homogêneo 4 x + y + 4 z =, x + 2 z =, 4 x + 2 y + 4 z = Escalonando (considerando a terceira equação menos a primeira 4 x + y + 4 z =, x + 2 z =, y = Isto é, x + z =, x + 2 z =, y = Portanto, x + z =, z =, y = Logo o sistema homogêneo admite somente a solução trivial T(v = v se, e somente se, v = Portanto, 7

8 (c A imagem de T é gerada pelos vetores T(i = (5, 1, 4, T(j = (1, 1, 2 e T(k = (4, 2, 5 Os dois primeiros vetores geram o plano vetorial de vetor normal i j k (5, 1, 4 (1, 1, 2 = = ( 2, 6, Obtemos o plano x + 3 y 2 z = Observe que o vetor T(k = (4, 2, 5 pertence a este plano Logo a imagem é o plano = x + 3 y 2 z = Obviamente, v pode também proceder como segue Observando primeiro que os vetores (1, 1, 2 e (2,, 1 estão na imagem de T Por exemplo, se consideramos um vetor perpendicular a (2,, 1, por exemplo j, temos T(j = (1, 1, 2 Para ver que (2,, 1 também está na imagem considere um vetor perpendicular a (1, 1, 2 (que não seja perpendicular a (2,, 1, por exemplo (, 2, 1 Temos que T(, 2, 1 = ((, 2, 1 (1, 1, 2 (1, 1,2 + ((, 2, 1 (2,, 1 (2,,1 = = (2,, 1 A seguir calculamos o plano vetorial gerado por estes vetores (obtendo plano x + 3 y 2 z = Finalmente, observamos que, por definição, a imagem de qualquer vetor v é combinação linear de (1, 1, 2 e (2,, 1 e portanto está nesse plano (c Para calcular a imagem do plano V: x+y+2 z = escolhemos uma base do plano, por exemplo, β = {(1, 1,, (2,, 1}, 8

9 e observamos que T(V está gerada pelas imagens destes dois vetores: = e = Estes dois vetores são parelelos a (2,, 1 Assim a imagem T(V de V é a reta vetorial (2 t,, t, t R 6 3 9