Autovetor e Autovalor de um Operador Linear

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1 Autovetor e Autovalor de um Operador Linear Definição Seja T : V V um operador linear. Um vetor v V, v 0, é dito um autovetor de T se existe um número real λ tal que T (v) = λv. O número real λ acima é denominado autovalor de T associado ao autovetor v.

2 Autovetor e Autovalor de um Operador Linear Exemplo 1 T : R 2 R 2, T (x, y) = (4x + 5y, 2x + y). T (5, 2) = (30, 12) = 6 (5, 2). 6 é um autovalor associado ao autovetor (5, 2) do operador T.

3 Autovetor e Autovalor de um Operador Linear Exemplo 1 T : R 2 R 2, T (x, y) = (4x + 5y, 2x + y). T (5, 2) = (30, 12) = 6 (5, 2). 6 é um autovalor associado ao autovetor (5, 2) do operador T. Exemplo 2 T : R 3 R 3, T (x, y, z) = (x, y, 0). T (x, y, 0) = 1 (x, y, 0). qualquer vetor (x, y, 0) é um autovetor de T e seu autovalor associado é 1.

4 Determinação dos Autovalores Seja T : R 2 R 2 dada por T (x, y) = (ax + by, cx + dy).

5 Determinação dos Autovalores Seja T : R 2 R 2 dada por T (x, y) = (ax + by, cx + dy). Queremos encontrar λ R tal que exista (x, y) (0, 0) com T (x, y) = λ (x, y).

6 Determinação dos Autovalores Seja T : R 2 R 2 dada por T (x, y) = (ax + by, cx + dy). Queremos encontrar λ R tal que exista (x, y) (0, 0) com T (x, y) = λ (x, y). Isto é o mesmo que encontrar (x, y) (0, 0) tal que { ax + by = λx cx + dy = λy { (a λ)x + by = 0 cx + (d λ)y = 0.

7 Determinação dos Autovalores Seja T : R 2 R 2 dada por T (x, y) = (ax + by, cx + dy). Queremos encontrar λ R tal que exista (x, y) (0, 0) com T (x, y) = λ (x, y). Isto é o mesmo que encontrar (x, y) (0, 0) tal que { { ax + by = λx (a λ)x + by = 0 cx + dy = λy cx + (d λ)y = 0. O sistema linear homogêno acima possui solução não-nula se, e só se, [ ] (a λ) b det = 0. c (d λ)

8 Determinação dos Autovalores Seja T : R 2 R 2 dada por T (x, y) = (ax + by, cx + dy). Queremos encontrar λ R tal que exista (x, y) (0, 0) com T (x, y) = λ (x, y). Isto é o mesmo que encontrar (x, y) (0, 0) tal que { { ax + by = λx (a λ)x + by = 0 cx + dy = λy cx + (d λ)y = 0. O sistema linear homogêno acima possui solução não-nula se, e só se, [ ] (a λ) b det = 0. c (d λ) Os autovalores de T são as soluções da equação acima, se existirem.

9 Determinação dos Autovetores Queremos agora encontrar os autovetores de T associados a um determinado autovalor λ.

10 Determinação dos Autovetores Queremos agora encontrar os autovetores de T associados a um determinado autovalor λ. Isto é, queremos encontrar (x, y) (0, 0) tal que T (x, y) = λ (x, y).

11 Determinação dos Autovetores Queremos agora encontrar os autovetores de T associados a um determinado autovalor λ. Isto é, queremos encontrar (x, y) (0, 0) tal que T (x, y) = λ (x, y). Isto é o mesmo que encontrar (x, y) (0, 0) tal que { ax + by = λx cx + dy = λy { (a λ)x + by = 0 cx + (d λ)y = 0.

12 Determinação dos Autovetores Queremos agora encontrar os autovetores de T associados a um determinado autovalor λ. Isto é, queremos encontrar (x, y) (0, 0) tal que T (x, y) = λ (x, y). Isto é o mesmo que encontrar (x, y) (0, 0) tal que { { ax + by = λx (a λ)x + by = 0 cx + dy = λy cx + (d λ)y = 0. Os autovetores de T associados a λ são as soluções não-nulas do sistema linear homogêneo acima. Obs.: Obrigatoriamente há tais soluções pois o λ foi calculado para que isto aconteça.

13 Determinação dos Autovalores e Autovetores Resumo 1. Dada T : R n R n determine a matriz canônica A = [T ].

14 Determinação dos Autovalores e Autovetores Resumo 1. Dada T : R n R n determine a matriz canônica A = [T ]. 2. Calcule a matriz A λi, onde I é a matriz identidade n n.

15 Determinação dos Autovalores e Autovetores Resumo 1. Dada T : R n R n determine a matriz canônica A = [T ]. 2. Calcule a matriz A λi, onde I é a matriz identidade n n. 3. Calcule p(λ) = det(a λi). Obs.: p(λ) é denominado polinômio característico de T.

16 Determinação dos Autovalores e Autovetores Resumo 1. Dada T : R n R n determine a matriz canônica A = [T ]. 2. Calcule a matriz A λi, onde I é a matriz identidade n n. 3. Calcule p(λ) = det(a λi). Obs.: p(λ) é denominado polinômio característico de T. 4. Resolva a equação p(λ) = 0. As raízes desta equação são os autovalores de T. Obs.: A equação p(λ) = 0 é denominada equação característica de T.

17 Determinação dos Autovalores e Autovetores Resumo 1. Dada T : R n R n determine a matriz canônica A = [T ]. 2. Calcule a matriz A λi, onde I é a matriz identidade n n. 3. Calcule p(λ) = det(a λi). Obs.: p(λ) é denominado polinômio característico de T. 4. Resolva a equação p(λ) = 0. As raízes desta equação são os autovalores de T. Obs.: A equação p(λ) = 0 é denominada equação característica de T. 5. Para cada autovalor λ encontrado, resolva o sistema linear homogêneo cuja matriz dos coeficientes é A λi.

18 Exemplo 1 Determine os autovetores e os autovalores de T : R 2 R 2 dado por T (x, y) = (x + 2y, x + 4y).

19 Exemplo 1 Determine os autovetores e os autovalores de T : R 2 R 2 dado por T (x, y) = (x + 2y, x + 4y). Exemplo 2 Determine os autovetores e os autovalores de T : R 2 R 2 dado por T (x, y) = ( y, x).

20 Exemplo 1 Determine os autovetores e os autovalores de T : R 2 R 2 dado por T (x, y) = (x + 2y, x + 4y). Exemplo 2 Determine os autovetores e os autovalores de T : R 2 R 2 dado por T (x, y) = ( y, x). Exemplo 3 Determine os autovetores e os autovalores de T : R 3 R 3 dado por T (x, y, z) = (4x + 2y, x + y, y + 2z).

21 Propriedades de Autovalores e Autovetores Teorema Seja λ um autovalor do operador T : V V. O conjunto S λ = {v V ; T (v) = λv} (S λ é o conjunto dos autovetores de T associados a λ e o vetor nulo) é um subespaço vetorial de V denominado autoespaço associado a λ.

22 Propriedades de Autovalores e Autovetores Teorema Seja λ um autovalor do operador T : V V. O conjunto S λ = {v V ; T (v) = λv} (S λ é o conjunto dos autovetores de T associados a λ e o vetor nulo) é um subespaço vetorial de V denominado autoespaço associado a λ. Prova T (0) = 0 = λ0. Logo, 0 S λ e S λ.

23 Propriedades de Autovalores e Autovetores Teorema Seja λ um autovalor do operador T : V V. O conjunto S λ = {v V ; T (v) = λv} (S λ é o conjunto dos autovetores de T associados a λ e o vetor nulo) é um subespaço vetorial de V denominado autoespaço associado a λ. Prova T (0) = 0 = λ0. Logo, 0 S λ e S λ. u, v S λ T (u + v) = T (u) + T (v) = λu + λv = λ(u + v). Logo, u + v S λ.

24 Propriedades de Autovalores e Autovetores Teorema Seja λ um autovalor do operador T : V V. O conjunto S λ = {v V ; T (v) = λv} (S λ é o conjunto dos autovetores de T associados a λ e o vetor nulo) é um subespaço vetorial de V denominado autoespaço associado a λ. Prova T (0) = 0 = λ0. Logo, 0 S λ e S λ. u, v S λ T (u + v) = T (u) + T (v) = λu + λv = λ(u + v). Logo, u + v S λ. u S λ, α R T (αu) = α(t (u)) = α(λu) = λ(αu). Logo, αu S λ.

25 Propriedades de Autovalores e Autovetores Teorema Seja λ um autovalor do operador T : V V. O conjunto S λ = {v V ; T (v) = λv} (S λ é o conjunto dos autovetores de T associados a λ e o vetor nulo) é um subespaço vetorial de V denominado autoespaço associado a λ. Prova T (0) = 0 = λ0. Logo, 0 S λ e S λ. u, v S λ T (u + v) = T (u) + T (v) = λu + λv = λ(u + v). Logo, u + v S λ. u S λ, α R T (αu) = α(t (u)) = α(λu) = λ(αu). Logo, αu S λ. Pelo visto acima, S λ é um subespaço vetorial de V.