2 Espaços Vetoriais. 2.1 Espaços Vetoriais Euclidianos

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1 2 Espaços Vetoriais 2.1 Espaços Vetoriais Euclidianos Definição: Dado n N, considere-se o conjunto de todos os n-uplos ordenados de elementos reais, isto é o conjunto de elementos da forma x = (x 1,, x n ) com x i R. Designamos este conjunto por R n. Notese que dois n-uplos x = (x 1,, x n ) e y = (y 1,, y n ) são considerados iguais se e somente se x 1 = y 1, x 2 = y 2., x n = y n. Definição: Dadas dois elementos x = (x 1,, x n ) e y = (y 1,, y n ) em R n, a soma de x e y é obtida somando as componentes correspondentes de x e y, isto é dada por: x + y = (x 1,, x n ) + (y 1,, y n ) = (x 1 + y 1,, x n + y n ) Exemplo 1: Sejam os elementos x = (4, 5, 6) e y = (1, 2, 3) em R 3 então x + y = (4, 5, 6) + (1, 2, 3) = (4 + 1, 5 + 2, 6 + 3) = (5, 7, 9) Teorema 2.1.1: Sejam três elementos x, y e z em R n, são validas as seguintes propriedades: 1) associatividade da adição: x + (y + z) = (x + y) + z 2) comutatividade da adição: x + y = y + x 3) elemento neutro da adição: existe 0 R n, tal que x + 0 = x = 0 + x 4) elemento simétrico da adição: para cada x R n existe x R n tal que x + ( x) = 0 = ( x) + x Note: Designamos por 0 o elemento de R n com todas as componentes nulas, isto é, 0 = (0, 0,, 0). Sendo x = (x 1,, x n ) um determinado elemento de R n, denotaremos por x o elemento obtido substituindo cada componente de x pelo seu simétrico, ou seja, x = (x 1,, x n ) = ( x 1,, x n ) Definição: Seja um escalar α R e o elementos x = (x 1,, x n ) em R n. O produto de do escalar α por x é dado por: αx = α(x 1,, x n ) = (αx 1,, αx n ) Exemplo 2: Seja um escalar 5 R e o elementos x = (4, 6, 3, 2) em R 4. 5x = 5 (4, 6, 3, 2) = (5 4, 5 6, 5 3, 5 2) = (20, 30, 15, 10) Teorema 1.1.2: Sejam dois elementos x = (x 1,, x n ) e y = (y 1,, y n ) em R n e os escalares α, β R são validas as seguintes propriedades: 1) α(x + y) = αx + αy 2) (α + β)x = αx + βx 3) (αβ)x = α(βx) 1) Sejam os elementos de R 4, x = (3, 2, 1, 4), y = (2, 1, 2, 3) e z = (1, 2, 3, 5) verifique se: a) x + (y + z) = (x + y) + z b) x + y = y + x c) existe 0 R n, tal que x + 0 = x = 0 + x d) para cada x R n existe x R n tal que x + ( x) = 0 = ( x) + x 2) Sejam três elementos x, y e z em R n. Prove as seguintes propriedades: a) associatividade da adição: x + (y + z) = (x + y) + z x + (y + z) = (x 1,, x n ) + ((y 1,, y n ) + (z 1,, z n )) = (x 1,, x n ) + (y 1 + z 1,, y n + z n ) = = (x 1 + (y 1 + z 1 ),, x n + (y n + z n )) = ((x 1 + y 1 ) + z 1,, (x n + y n ) + z n ) =

2 = (x 1 + y 1,, x n + y n ) + (z 1,, z n ) = ((x 1,, x n ) + (y 1,, y n )) + (z 1,, z n ) = (x + y) + z b) comutatividade da adição: x + y = y + x x + y = (x 1,, x n ) + (y 1,, y n ) = (x 1 + y 1,, x n + y n ) = (y 1 + x 1,, y n + x n ) = = (y 1,, y n ) + (x 1,, x n ) = y + x c) elemento neutro da adição: x + 0 = x d) elemento simétrico da adição: x + ( x) = 0 3) Sejam dois elementos x = (4, 6, 3, 2) e y = (1, 2, 4, 5) e em R 4, verifique se: a) 5(x + y) = 5x + 5y b) (5 + 2)x = 5x + 2x c) (5 2)x = 5(2x) 4) Sejam dois elementos x = (x 1,, x n ) e y = (y 1,, y n ) em R n e os escalares α, β R. Prove as seguintes propriedades operação de multiplicação por escalar. a) α(x + y) = αx + αy α(x + y) = α(x + y) = α ((x 1,, x n ) + (y 1,, y n )) = α(x 1 + y 1,, x n + y n ) = = (α(x 1 + y 1 ),, α(x n + y n )) = (αx 1 + αy 1,, αx n + αy n ) = (αx 1,, αx n ) + (αy 1,, αy n ) = = α(x 1,, x n ) + α(y 1,, y n ) = αx + αy b) (α + β)x = αx + βx c) (αβ)x = α(βx) 2.2 Espaços Vetoriais Definição: Seja o corpo R e V um conjunto não vazio, onde definimos duas operações, sendo uma a adição de vetores e a outra a multiplicação de um elemento de R por um vetor. Sejam v, u V, a operação de adição é denotada por v + u V. Já a operação de multiplicação de α R, por um vetor v V é denotado por αv V. O conjunto V, com essas operações é denominado de espaço vetorial sobre o corpo R se satisfazer as seguintes propriedades: EV1) comutatividade da adição de vetores v + u = u + v para todos ( ) v, u V; EV2) associatividade da adição de vetores v + (u + w) = (v + u) + w v, u, w V; EV3) elemento neutro da adição de vetores existe 0 V, tal que v + 0 = v = 0 + v v V; EV4) elemento oposto da adição de vetores v V existe ( v) V tal que v + ( v) = 0 = ( v) + v EV5) associatividade da multiplicação por um escalar (αβ)v = α(βv) α, β R, e v V EV6) elemento neutro da multiplicação por um escalar existe 1 R, tal que 1 v = v v V; EV7) distributividade da multiplicação por um escalar com relação à adição (α + β)v = αv + βv α, β R, e v V α(v + u) = αv + αu α R e v, u V; Exemplo 1) Consideremos o conjunto R 2 = {(x 1, x 2 ): x 1, x 2 R} com as operações usuais de adição e de multiplicação por escalar: (x 1, x 2 ) + (y 1, y 2 ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ) para todo (x 1, x 2 ), (y 1, y 2 ) R 2

3 α(x 1, x 2 ) = (αx 1, αx 2 ) para todo α R, e (x 1, x 2 ) R 2. Assim se (x 1, x 2 ), (y 1, y 2 ), (z 1, z 2 ) R 2 e os escalares α, β R, podemos verificar as seguintes propriedades: a) associatividade da adição: (x 1, x 2 ) + ((y 1, y 2 ) + (z 1, z 2 )) = ((x 1, x 2 ) + (y 1, y 2 )) + (z 1, z 2 ) (x 1, x 2 ) + ((y 1, y 2 ) + (z 1, z 2 )) = (x 1, x 2 ) + (y 1 + z 1, y 2 + z 2 ) = (x 1 + (y 1 + z 1 ), x 2 + (y 2 + z 2 )) = = ((x 1 + y 1 ) + z 1, (x 2 + y 2 ) + z 2 ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ) + (z 1, z 2 ) = ((x 1, x 2 ) + (y 1, y 2 )) + (z 1, z 2 ) b) comutatividade da adição: (x 1, x 2 ) + (y 1, y 2 ) = (y 1, y 2 ) + (x 1, x 2 ) (x 1, x 2 ) + (y 1, y 2 ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ) = (y 1 + x 1, y 2 + x 2 ) = (y 1, y 2 ) + (x 1, x 2 ) c) elemento neutro da adição: (x 1, x 2 ) + (0, 0) = (x 1, x 2 ) (x 1, x 2 ) + (0, 0) = (x 1 + 0, x ) = (x 1, x 2 ) d) elemento simétrico da adição: (x 1, x 2 ) + ( x 1, x 2 ) = (0, 0) (x 1, x 2 ) + ( x 1, x 2 ) = (x 1 + ( x 1 ), x 2 + (x 2 ) ) = (x 1 x 1, x 2 x 2 ) = (0, 0) e) associatividade da multiplicação por um escalar: α (β(x 1, x 2 )) = (αβ)(x 1, x 2 ) α (β(x 1, x 2 )) = α(βx 1, βx 2 ) = (α(βx 1 ), α(βx 2 )) = ((αβ)x 1, (αβ)x 2 ) = (αβ)(x 1, x 2 ) f) elemento neutro da multiplicação por um escalar: 1 (x 1, x 2 ) = (x 1, x 2 ) 1 (x 1, x 2 ) = (1 x 1, 1 x 2 ) = (x 1, x 2 ) g) distributividade da multiplicação por um escalar com relação à adição α((x 1, x 2 ) + (y 1, y 2 )) = α(x 1 + y 1, x 2 + y 2 ) = (α(x 1 + y 1 ), α(x 2 + y 2 )) = (αx 1 + αy 1, αx 2 + αy 2 ) = (αx 1, αx 2 ) + (αy 1, αy 2 ) = α(x 1, x 2 ) + α(y 1, y 2 ) (α + β)(x 1, x 2 ) = ((α + β)x 1, (α + β)x 2 ) = (αx 1 + βx 1, αx 2 + βx 2 ) = (αx 1, αx 2 ) + (βx 1, βx 2 ) = = α(x 1, x 2 ) + β(x 1, x 2 ) Portanto R 2, com as operações usuais acima, é um espaço vetorial sobre o corpo R. Identificamos geometricamente R 2 com o plano cartesiano (estudado na geometria analítica): Exemplo 2) O R n com as operações de adição e multiplicação de um escalar é um espaço vetorial sobre o corpo dos reais. Exemplo 3) Sejam m, n N, o conjunto M m n (R) das m n matrizes com elementos reais operações de adição de matrizes e multiplicação é um espaço vetorial sobre o corpo dos reais. Exemplo 4) O conjunto F[a, b] = {f: [a, b] R: f é contínua} com as operações de adição de funções (f, g F[a, b] defina f + g: [a, b] R por (f + g)(x) = f(x) + g(x)) e multiplicação de um número real por uma função (f F[a, b] e λ R defina (λf)(x) = λf(x), x [a, b]) é um espaço vetorial sobre R. Teorema 2.2.1: Sejam V um espaço vetorial, e se u, v W e α, β R então temos os seguintes teoremas: a) O elemento neutro da adição é único. b) O elemento simétrico da adição de cada elemento é único c) Vale a lei do cancelamento, isto é, se v + u = v + w então u = w v, u, w V; d) 0v = 0. e) ( v) = ( 1)v. f) A soma de u com v então existe um único w V tal que u + v = w. 1) Sejam n N P n (R) = {a n x n a 1 x + a 0 ; a i R} o conjunto formado pelo polinômio de grau menor ou igual a n com coeficientes reais, munido com as operações de adição de polinômios (Se p(x) = a 0 + a 1 x + +a n x n e q(x) = b 0 + b 1 x + +b n x n são elementos de P n (R) então p(x) + q(x) = (a 0 + b 0 ) + (a 1 + b 1 )x + + (a n + b n )x n ) e multiplicação de um número real por um polinômio (Se p(x) = a 0 + a 1 x + +a n x n é elemento de P n (R) e λ R então λp(x) = (λa 0 ) + (λa 1 )x + +(λa n )x n ). Verifique se P n (R)é um espaço vetorial sobre os reais.

4 2) Se V é um espaço vetorial e v V, e α K prove que s Se αv = 0, então α = 0 ou v = 0. Resposta: Se α 0 então v = 1v = (α 1 α)u = α 1 (αu) = α 1 0 = 0. Mas se α = 0 então αv = 0v = 0 3) Seja C o conjunto dos números, munido com as operações de adição de polinômios (z 1 = a 1 + b 1 i e z 2 = a 2 + b 2 i são números complexos então z 1 + z 2 = (a 1 + a 2 ) + (b 2 + b 2 )i) e multiplicação de um número real (z = a + bi é um números complexo e λ R então λz = λa + (λb)i). Verifique C é um espaço vetorial sobre os reais. 2.3 Subespaço Vetorial Definição: Seja V um espaço vetorial. Dizemos que um subespaço W V é um subespaço de V se as seguintes condições forem satisfeitas: 1) W contém o vetor nulo 0 W 2) W é fechado em relação à operação de Adição: se u, v W então u + v W; 3) W fechado em relação à operação de Multiplicação por Escalar: se α R e v V então αv W; Observação 1: O subconjunto W = {0} V, formado apenas pelo vetor nulo 0 V, é um subespaço de V, denominado subespaço nulo. Observação 2: Os subespaços V e {0} de V são denominados subespaços triviais. Observação 3: Note que todo subespaço vetorial W é ele próprio o espaço vetorial V. De fato, as propriedades de espaços vetoriais (1), (2), (3), (5), (6) e (7) são herdadas de V. A propriedades (4) espaços vetoriais resulta que, dado u W, então u = ( 1)u W, portanto u W contém um elemento oposto da adição. Exemplo 1) Verifique se o plano S = {(x, y, z) R 3 ; x + y + z = 0} é um subespaço vetorial de R 3 a) É claro que (0, 0, 0) satisfaz = 0. b) Se (x 1, y 1, z 1 ), (x 2, y 2, z 2 ) S então (x 1 + x 2 ) + (y 1 + y 2 ) + (z 1 + z 2 ) = (x 1 + y 1 + z 1 ) + (x 2 + y 2 + z 2 ) = = 0 e, portanto, (x 1, y 1, z 1 ) + (x 2, y 2, z 2 ) S. c) Se (x, y, z) S então λx + λy + λz = λ(x + y + z) = 0 para qualquer λ R. Assim, λ(x, y, z) S. Portanto o plano S é um subespaço vetorial de R 3. Exemplo 2) Se M 2 2 (R) e considere W = {A M 2 2 (R); det(a) = 0} assim a) É claro que a matriz nula O W pois det(o) = 0. b) É claro que A = [ ], B = [0 ] W pois det(a) = 0 e det(b) = 0 mas det(a + B) = 1 0, portanto, A + B W. Assim, o conjunto W não é um subespaço vetorial de M 2 2 (R) Exemplo 3) Sejam as matrizes A = [ 0 1 1] e 0 = [ 0]. O conjunto W = {X = [ x 2 ] ; AX = 0}, ou seja, x 3 W M 3 1 (R) é o conjunto solução do sistema homogêneo AX = 0 é um subespaço de M 3 1 (R). Pois a) A solução trivial é uma solução do sistema homogêneo, ou seja, A0 = 0 logo 0 W. b) Se X 1, X 2 W então AX 1 = 0 e AX 2 = 0 logo A(X 1 + X 2 ) = AX 1 + AX 2 = = 0. Assim, X 1 + X 2 W. c) Se X W então AX = 0 assim A(λX) = λ(ax) = λ0 = 0 para qualquer λ R, portanto λx W. x 1

5 Exemplo 4) Uma n n matriz A é dita simétrica quando A T = A, ou seja quando A é igual a sua transposta. Seja W = {A M n n (R); A T = A} vamos provar que W M n n (R) é um subespaço de M n n (R). a) É claro que a matriz nula O M n n (R) é simétrica (O T = O) logo O W. b) Se A, B W então A T = A e B T = B logo (A + B) T = A T + B T = A + B assim, A + B W. c) Se A W então A T = A assim (λa) T = λa T = λa para qualquer λ R, portanto λa W. Exemplo 5) O conjunto R 2 não está contido no conjunto R 3, isto é, R 2 R 3. Assim, o R 2 não é um subespaço vetorial de R 3. 1) Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais. a) W = {(x, y, z, w); x R; 2x + y w = 0 e z = 0 } R 4. b) W = {(x, x 3 ); x R } R 2. c) W = {(x, 3x); x R; x 0 } R 2