AUTOVALORES E AUTOVETORES

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1 AUTOVALORES E AUTOVETORES Prof a Simone Aparecida Miloca Definição 1 Uma tranformação linear T : V V é chamada de operador linear. Definição Seja T : V V um operador linear. existirem vetores não-nulos v tais que: Um escalar λ é um autovalor de T se T (v) = λv O vetor não-nulo v é chamado de autovetor de T associado ao autovalor λ. A toda transformação linear podemos associar uma matriz. Seja T A : R n R n v A v onde A é a matriz com relação as bases canônicas. Definiremos autovalor e autovetor de uma matriz. Definição 3 Seja A n n. Um escalar λ é um autovalor da matriz A se existir um vetor v R n, v 0, tal que Av = λv. O vetor não-nulo v é chamado de autovetor de A associado ao autovalor λ. Logo: 1. Autovalores são também chamados de valores próprios ou valores característicos. Nesses casos, os autovetores são chamados de vetores próprios ou vetores característicos, respectivamente.. O escalar λ é uma número real ou complexo. 3. Note que v = 0 sempre satisfaz Av = λv, mas 0 não é uma autovetor, pois segundo a definição v deve ser não-nulo. Pergunta: Dada A n n, como encontrar λ e v? Segundo a definição, λ é autovalor de A se existir um vetor não-nulo v tal que: Av = λv Av λv = 0 (A λi)v = 0 (1) Tem-se assim, um sistema de equações lineares homogêneo. Para tal sistema tem-se uma única solução (solução trivial). Neste caso det(a λi) 0 infinitas soluções. Neste caso det(a λi) = 0 1

2 É desejável que v 0, portanto para que o sistema (1) admita infinitas soluções, det(a λi) = 0 Definição 4 Seja A = [a ij m n uma matriz n n. O determinante a 11 λ a 1 a 1n a 1 a λ a n p(λ) = det(a λi n ) = a n1 a n a nn λ é chamado de polinômio característico de A. A equação p(λ) = det(λi n A) = 0 é a equação característica de A. Teorema 5 Os autovalores de A n n são as raízes do polinômio característico de A. Definição 6 Multiplicidade Algébrica de um autovalor,é a quantidade de vezes que ele aparece como raiz do polinômio característico. Definição 7 Multiplicidade Geométrica de um autovalor λ é a dimensão do subespaço de autovetores associados a λ. [ 5 Exemplo 8 Seja A = Deseja-se encontrar o vetor v e o escalar λ tal que Av = λv [ [ [ 5 x x = λ y y [ [ [ [ 5 x x 0 λ = y y 0 ([ [ ) [ [ x 0 λ = 0 1 y 0 1- Cálculo dos autovalores 5 λ λ = 0 (5 λ)( λ) 4 = 0 Tem-se, λ 7λ + 6 = 0 ou (λ 6)(λ 1) = 0 Logo, λ 1 = 1 e λ = 6

3 - Cálculo dos autovetores associados ao autovalor λ 1 = 1 [ [ [ 5 x x = 1 y y Resolvendo este sistema tem-se [ v = x x 3- Cálculo dos autovetores associados ao autovalor λ = 6 [ [ [ 5 x x = 6 y y Resolvendo-se este sistema tem-se v = [ y y Teorema 9 Se A n n é uma matriz triangular então os autovalores de A n n são os elementos da diagonal principal. Exemplo 10 Seja [ 1 0 Então, λ 1 0 λ = 0 ( λ)( λ) = 0 λ 1 =, λ = Observe que o cálculo de autovalores envolve dois pontos O cálculo de determinantes Encontrar as raízes de um polinômio de grau n. Note que quando se tem uma matriz de ordem maior do que 4, o processo para se calcular o determinante começa a se tornar demorado e também para tais matrizes a equação característica é uma equação polinomial e não existem fórmulas para se determinar as soluções de equações polinomiais de grau maior do que 4. Neste caso, utilizam-se métodos numéricos para encontrar autovalores e autovetores, que não fazem parte do escopo deste curso para podem ser vistos em Poole (004). Teorema 11 Seja A m n e sejam λ 1, λ,..., λ m distintos autovalores de A com os respectivos autovetores v 1, v,..., v m. Então, v 1, v,..., v m são linearmente independentes. Exemplo 1 Seja T : R R definida por T (x, y) = ( 3x + 4y, x + y) cuja matriz com relação a base canônica é [

4 Autovalores: λ 1 = 1 e λ = Autovetores associados a λ 1 : (1,1) Autovetores associados a λ : (4,1) Teorema 13 Seja A n n e λ 1, λ,..., λ n autovalores de A. Então: det A = n i=1 λ i n i=1 a ii = n i=1 λ i Exemplo 14 Seja T : R [ R definida por T (x, y) = ( 3x + 4y, x + y) cuja matriz com 3 4 relação a base canônica é 1 Autovalores: λ 1 = 1 e λ = Teorema 15 Os autovalores de uma matriz triangular são os elementos da sua diagonal principal. Exemplo 16 Seja T : R 3 canônica é R 3 uma transformação linear cuja matriz com relação a base

5 1 Semelhança e Diagonalização Para matrizes triangulares e matrizes diagonais, que seus autovalores se manifestam de forma transparente, pois são os elementos de sua diagonal principal. Seria interessante relacionar uma matriz a outra matriz triangular ou diagonal de forma que ambas tivessem exatamente os mesmos autovalores. Um procedimento para a conversão de uma matriz quadrada em uma forma triangular é o método da eliminação de Gauss, mas infelizmente esse processo não preserva os autovalores da matriz. Comenta-se nesta seção, um tipo diferente de transformação de uma matriz que é bem comportada em relação aos autovalores. 1.1 Matrizes Semelhantes Definição 17 Sejam A e B matrizes n n. Dizemos que A é semelhante a B se existir uma matriz n n invertível P tal que P 1 AP = B. Se A é semelhante a B, escrevemos A B. Exemplo 18 A = que [ Diagonalização [ 1 1 [ 1 0 é semelhante a B = pois existe P = [ [ [ 1 0 = 1 [ tal A possibilidade de uma matriz quadrada ser semelhante a uma matriz diagonal está relacionada estreitamente com os autovalores e autovetores da matriz. Definição 19 Uma matriz n n é diagonalizável se existe uma matriz diagonal D tal que A seja semelhante a D, ou seja, se existe uma matriz P n n invertível tal que P 1 AP = D. Teorema 0 Seja A n n. Entao, A será diagonalizável se, e somente se, tiver n autovetores linearmente independentes. Mais precisamente, existem uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D de maneira que P 1 AP = D se, e somente se, as colunas de P forem n autovetores de A, linearmente independentes, e os elementos da diagonal de D forem os autovalores correspondentes àqueles, colocados na mesma ordem. Teorema 1 Se A n n possui n autovalores distintos entre si, então A é diagonalizável. Exemplo Sendo possível, determine P que diagonaliza A. [ 3 A = 5 Os autovalores de A são λ 1 = 1 e λ = 4. Os autovetores associados v 1 = (3, 1) t e v = (1, ) t. [ 3 1 P = 1 5

6 Exemplo 3 Sendo possível, determine P que diagonaliza A. 3 1 A = Os autovalores de A são λ 1 = 0, λ = 1 e λ 3 = 1. Os autovetores associados v 1 = (3, 1, 1) t, v = (1,, 0) t e v 3 = (0,, 1) t. P = Exemplo 4 Sendo possível, determine P que diagonaliza A. [ 1 1 A = 0 1 Os autovalores de A são λ 1 = λ = 1. Os autovetores associados são múltiplos de v 1 = (1, 0) t. A não pode ser diagonalizada. Teorema 5 Seja V é um espaço vetorial de dimensão n e T : V V um operador linear que possui n autovalores distintos, então V possui uma base cujos vetores são todos autovetores de T. Definição 6 Seja T : V V um operador linear. Diz-se que T é um operador diagonalizável se existe uma base de V cujos elementos são autovetores de T. 1.3 Potência de Matriz Se A é uma matriz diagonalizável, então Logo Exemplo 7 Seja A = [ A = P DP 1 A k = (P DP 1 )(P DP 1 ) (P DP 1 ) A k = P DP 1 P DP 1 P DP 1 A k = P D P 1 P DP 1 A k = P D k P 1. Calcule A 10 6