1 Autovetor e Autovalor 9. 2 Matrizes Ortogonais e Transformações Lineares Planas e Espaciais 55

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3 Capítulo LINE LINE Autovetor e Autovalor 9 Matrizes Ortogonais e Transformações Lineares Planas e Espaciais 55 Matrizes Simétricas, o Teorema Espectral e Operadores Auto-adjuntos 8 4 Formas Bilineares, Formas Quadráticas, Cônicas, Quádricas, Autovalor Complexo 95

4 INTRODUÇÃO Caros alunos, este livro é uma forma de me aproximar de vocês, e isso é muito bom! Fui coordenadora de Álgebra Linear II por mais de três anos e, ao longo deste tempo, para que o curso se desenvolvesse bem, facilitando o estudo de vocês, fizemos muitos exercícios programados, os nossos EPs. Deixei a coordenação da disciplina, no primeiro semestre de 7, quando assumi o cargo de vice-coordenadora do curso de Matemática a distância. Decidi então juntar todo material dos Exercícios Programados e formar este caderno de exercícios. É muito importante, para um matemático, o estudo de Álgebra Linear. O conteúdo estudado neste curso, como Autovetores e Autovalores, será usado também no estudo de equações diferenciais e em sistemas dinâmicos. Para estudar esta disciplina, você deve, em primeiro lugar, ler as aulas no módulo, acompanhando a programação do professor, depois tente fazer todos os exercícios propostos, se tiver alguma dúvida, procure no seu pólo os tutores ou os seus amigos que estão inscritos nesta disciplina. Somente depois disso você deve fazer os exercícios contidos aqui, neste Caderno de Exercícios de Álgebra Linear II. Espero que vocês aproveitem bem esse material! Na resolução dos exercícios, neste livro, coloquei algumas observações, dentro de boxes, para, desta forma, ajudar vocês neste caminho do aprender. Vamos começar dividindo o nosso curso em quatro capítulos e um apêndice. O Capítulo contém os exercícios referentes a Autovetor e Autovalor (Aulas de a 8); o Capítulo, exercícios sobre Matrizes Ortogonais, Transformações Lineares Planas e Espaciais (Aulas 9 a ); o Capítulo sobre Matrizes Simétricas, Teorema Espectral e a Decomposição Espectral (Aulas e ); o Capítulo 4 sobre Operadores Auto-adjuntos, Formas Bilineares, Formas Quadráticas, Cônicas, Quádricas e Autovalor Complexo (Aulas 4 a 9). Por fim, no Apêndice, colocaremos exercícios sobre toda a matéria. Desejo a vocês um bom estudo! Regina Moreth

5 Capítulo AUTOVETOR E AUTOVALOR É muito importante para um matemático o estudo de Autovetores e Autovalores, pois esses conceitos serão usados também no estudo de equações diferenciais e em sistemas dinâmicos. É importante para o estudo de Álgebra Linear II que você leia o módulo com atenção e faça todos os exercícios propostos. Neste primeiro capítulo, os exercícios aqui envolvidos fazem parte das oito primeiras aulas do Módulo de Álgebra Linear II. Começamos com exercícios simples que dependem somente da compreensão da definição deste assunto, logo depois passamos para o cálculo dos autovetores e autovalores, a diagonalização de matrizes e a diagonalização dos operadores lineares. Agora, vamos lá. Ao estudo!

6 Caderno de Álgebra Linear II Autovetor e Autovalor Exercícios. Dada uma matriz A M n (R), o número real λ é chamado de autovalor de A se existe um vetor não-nulo v (chamado de autovetor) tal que Av = λv. Verifique em cada caso: a) se v é um autovetor da matriz A. Caso seja, determine o autovalor associado a este autovetor. [ ) A =, v = (,) 8 [ ) A =, v = (,) [ ) A =, v = (,) [ 4) A =, v = (, ) [ 5) A =, v = (,) ) A =, v = (,,) b) se λ é um autovalor de A. Caso seja, determine um autovetor associado a este autovalor. [ ) A =, λ = [ 4 ) A =, λ = 5 7 ) A =, λ = 4) A =, λ = C E D E R J

7 . Dada a matriz A, determine os autovalores e bases para os auto-espaços correspondentes das matrizes a seguir e determine as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor encontrado: a) A = [ b) A = c) A =. Dada a matriz A = das matrizes A e A. 5 4, calcule os autovalores CAPÍTULO MÓDULO 4. Seja A matriz de ordem n. Prove que A e sua transposta A t têm o mesmo polinômio característico. 5. Mostre que se A e B são semelhantes então deta = detb.. Dada a matriz A, determine: (a) os polinômios característicos da matriz A; (b) os autovalores de A; (c) uma base para cada auto-espaço próprio de A; (d) as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor encontrado: a) A = b) A = c) A = 5 C E D E R J

8 Caderno de Álgebra Linear II Autovetor e Autovalor 7. Mostre, em cada caso, que as matrizes a seguir são diagonalizáveis e determine uma matriz diagonal D e uma matriz P tal que D = P A P. a) A = b) A = c) A = 8. Verifique se as matrizes a seguir são diagonalizáveis. [ a) A = 4 b) A = Verifique se as matrizes do exercício são diagonalizáveis, justifique sua resposta. a) A = b) A = c) A = C E D E R J

9 . Verifique se as matrizes a seguir são diagonalizáveis. Caso sejam, determine uma matriz diagonal D e uma matriz P, que representa a base dos autovetores, tais que D = P A P. a) A = b) A = 7 5 CAPÍTULO MÓDULO. Em cada caso, verifique se o operador linear T : R R é diagonalizável. Caso seja, determine sua representação diagonal D M (R) e a matriz P que representa a base dos autovetores correspondente. a) T(x,,z) = (z,,x) b) T(x,,z) = (x+, z,+4z) c) T(x,,z) = (x z,, x+4). [ Seja T : R R definida por T(v) = Av, sendo A =. Mostre que v = (,) é autovetor de T e que o operador linear T não é diagonalizável. Agora é sua vez. Mãos à obra! Soluções. Dada uma matriz A M n (R), o número real λ é chamado de autovalor de A se existe um vetor não-nulo v (chamado de autovetor) tal que Av = λv. Verifique em cada caso: a) se v é um autovetor da matriz A. Caso seja, determine o autovalor associado a este autovetor. ) A = [ 8, v = (,) C E D E R J

10 Caderno de Álgebra Linear II Autovetor e Autovalor Solução: Verificamos que: [ [ A v = 8 [ = [ = Resposta: Logo, v = (,) é autovetor da matriz A, e o autovalor associado a este autovetor é λ =. ) A = [, v = (,) Solução: Verificamos que: [ [ A v = = [ 4 4 [ = 4 Resposta: Logo, v = (,) é autovetor da matriz A, e o autovalor associado a este autovetor é λ = 4. ) A = [, v = (,) Solução: Verificamos que: [ [ A v = = [ [ = Resposta: Logo, v = (,) é autovetor da matriz A, e o autovalor associado a este autovetor é λ =. 4) A = [, v = (, ) Solução: Verificamos que: [ [ A v = [ = 4 [ = Resposta: Logo, v = (, ) é autovetor da matriz A, e o autovalor associado a este autovetor é λ =. 5) A = [, v = (,) 4 C E D E R J

11 Solução: Verificamos que: [ [ A v= real λ. = [ [ λ Resposta: Logo, v = (, ) não é autovetor da matriz A. ) A =, v = (,,) para qualquer número CAPÍTULO MÓDULO Solução: Verificamos que: A v = = = Resposta: Logo, v = (,,) é autovetor da matriz A, e o autovalor associado a este autovetor é λ =. b) se λ é um autovalor de A. Caso seja, determine um autovetor associado a este autovalor.! Para que λ seja autovalor, devemos determinar um vetor nãonulo v tal que: A v = λ v A partir daí, temos que: (A λi) v = (Lembre-se de que neste caso o é o vetor nulo). Logo, em cada item devemos encontrar uma solução para este sistema linear. ) A = [, λ =. Solução: Como (A I ) v =, temos que: ([ [ ) [ x ([ 4 ) [ x [ = [ = C E D E R J 5

12 Caderno de Álgebra Linear II Autovetor e Autovalor Resolvendo o sistema: 4 L L + L () Daí, x+ =, ou seja, x =. Logo, Ou seja, S = [(,). S = {(x,) x = } = {(,) R}.! Lembre-se de que S é um subespaço vetorial do R de dimensão (uma reta) que é gerado pelo vetor v = (,). Como A v = λ v, então: [ [ [ = [ = [ Resposta: Dada a matriz A = associado ao autovalor λ =. ) A = [ 4 5, λ =., v = (,) é um autovetor Solução: Como (A I ) v =, temos que: ([ [ ) [ 4 x 5 Resolvendo o sistema: ([ 4 4 ) [ x [ = [ = 4 4 L L L 4 C E D E R J

13 Daí, x+4 =, ou seja, x = 4. Logo, Ou seja, S = [(4,).! S = {(x,) x = 4} = {(4,) R}. Lembre-se de que S é um subespaço vetorial do R de dimensão (uma reta) e é gerado pelo vetor v = (4,). CAPÍTULO MÓDULO Como A v = λ v, então: [ [ Resposta: Dada a matriz A = associado ao autovalor λ =. [ 4 = [ 4 5 [ 4 =, v = (4,) é um autovetor c) A = 7, λ = Solução: Como (A ()I ) v =, temos que: 7 x z 4 x z = = C E D E R J 7

14 Caderno de Álgebra Linear II Autovetor e Autovalor Resolvendo o sistema: 4 4 L L + L () L L + L ( ) Daí, x+ z =, ou seja, x = +z. Logo, S = {( +z,,z) z R} = [(,,),(,,).! S é o auto-espaço associado ao autovalor λ =. Vemos que este subespaço é gerado pelos vetores v = (,,) e v = (,,) e, sendo linearmente independentes, formam uma base para o subespaço S. Geometricamente, o subespaço S representa um plano de R que passa pela origem e é gerado por estes autovetores v e v. Logo, temos dois autovetores associados a este autovalor. Como A v = λ v, então: 7 A v = () v = e, A v = () v = 7 Resposta: Dada a matriz A = = = 7 = =, temos que v = (,) e v = (,,) são autovetores associados ao autovalor λ =. d) A =, λ =. 8 C E D E R J

15 Solução: Como (A ( )I) v =, temos que: x z Resolvendo o sistema: L ( ) L x z = L L + L ( ) L L ( = L L + L ) CAPÍTULO MÓDULO Daí, x+z = e +z =, ou seja, x = z e = z. Logo, S = {( z, z,z) z R} = [(,,).! S é o auto-espaço associado ao autovalor λ =. Vemos que este subespaço é gerado pelo vetor v = (,,), e forma uma base para o subespaço S. Geometricamente, o subespaço S representa uma reta de R que passa pela origem e é gerada pelo autovetor v. Como, A v = λ v então, temos que: = Resposta: Dada a matriz A = autovetor associado ao autovalor λ =. =, v = (,, ) é um C E D E R J 9

16 Caderno de Álgebra Linear II Autovetor e Autovalor. Dada a matriz A, determine os autovalores e bases para os auto-espaços correspondentes das matrizes a seguir e determine as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor encontrado: a) A = Solução: Pelo Teorema da aula, sabemos que os autovalores de uma matriz triangular (superior ou inferior) são os elementos de sua diagonal principal. Logo, os autovalores da matriz A = Devemos agora calcular os autovetores. são, e. Sabemos também que pela definição de autovetor A v = λ v, ou seja: (A (λ)i) v =. Se λ = temos: x z w = 4 x z w = C E D E R J

17 Resolvendo o sistema: 4 L L + L ( ) L 4 L 4 + L () 4 L 4 L 4 + L ( ) ) L L ( ) L L ( 4 L L ( 4 4 ) L L + L ( ) L 4 L 4 + L ( ) CAPÍTULO MÓDULO Para qualquer valor de w, x =, =, z =. A solução deste sistema nos leva a um subespaço S = {(,,,w) w R} = [(,,,) e temos então que {(,,,)} é uma base deste auto-espaço S, logo, v = (,,,) é um autovetor associado ao autovalor λ =. Se λ = temos: = x z w x z w = Resolvendo o sistema: L 4 L 4 + L () Temos então que x++z = e +z w =. Logo, x = z e w = +z. C E D E R J

18 Caderno de Álgebra Linear II Autovetor e Autovalor A solução deste sistema nos leva a um subespaço S = {(x,,z,w) x = z, w = +z e x,,z,w R}={( z,, z, +z) x,, z R}=[(,,, ),(,,,). Temos então que {(,,,),(,,,)} é uma base deste auto-espaço S, logo, v = (,,,) e v = (,,,) são autovetores associados ao autovalor λ =. Se λ = temos: = x z w x z w = 4 Resolvendo o sistema temos que: L L ( ) L L ( ) 4 L L + L ( ) L 4 L 4 + L () 4 L 4 L 4 () 4 Logo: x =, = e = z. 4 L L + L ( ) L 4 L 4 + L ( ) A solução deste sistema nos leva a um subespaço S = {(,,z,z) z R} = [(,,,). Temos então que {(,,,)} é uma base deste auto-espaço S, logo, v = (,,,) é um autovetor associado ao autovalor λ =. Resposta: Os autovalores são,,. Os autovalores e têm multiplicidades geométricas e algébricas iguais a, e o autovalor tem multiplicidade geométrica e algébrica igual a. Para o autovalor a base encontrada foi {(,,, )}. Para o autovalor a base encontrada foi {(,,,),(,,,)}. Para o autovalor a base encontrada foi {(,,,)}. b) A = [ C E D E R J

19 Solução: O polinômio característico de A é dado por: p(x) = det(x I A) = x x = (x )(x )+ p(x) = x 7x+ = (x 4)(x ) Logo, as raízes do polinômio característico são 4 e, ou seja, os autovalores de A são 4 e. Como (λi A)v =, temos: [ 4 Se λ = 4, temos: 4 [ [ [ x Daí: = [ x [ = CAPÍTULO MÓDULO Resolvendo esse sistema encontramos x =, ou seja, x =. A solução deste sistema nos leva a um subespaço S = {(x,x) x R} = [(,). Uma base do auto-espaço é {(,)}, logo, v = (,) é um autovetor associado ao autovalor λ = 4. [ Daí: Se λ =, temos: [ [ x = [ [ x [ = Resolvendo esse sistema, temos que: x =, ou seja, x =, logo x =. A solução deste sistema nos leva a um subespaço S = { (,) R}. Uma base do auto-espaço é {(,)}, logo, (,) é um autovetor associado ao autovalor λ =. Resposta: Os autovalores de A são 4 e. Para o autovalor 4 a base do auto-espaço é {(,)}, para o autovalor a base do auto-espaço é {(, )}. A multiplicidade algébrica dos dois autovalores é, e a multiplicidade geométrica (dimensão dos dois subespaços) também é. c) A =. Solução: O polinômio característico de A é dado por: x p(x) = det(x I A) = x+ x = (x )(x+)(x ) p(x) = (x )(x+)(x ) C E D E R J

20 Caderno de Álgebra Linear II Autovetor e Autovalor Logo, as raízes do polinômio característico são, e, ou seja, os autovalores de A são, e. Daí: Se λ =, temos: + x z = Resolvendo esse sistema, teremos: x z. x z = = Para qualquer valor de x, temos = e z =. A solução deste sistema nos leva a um subespaço S = {(x,,z) = z = } = {(x,,) x R} = [(,,). Uma base para este espaço é {(,,)}, logo (,,) é um autovetor associado ao autovalor λ =. Se λ =, temos: + x z = Daí, 5 x z =. Resolvendo o sistema, temos que z = e x =, ou seja, = x e z =. A solução deste sistema nos leva a um subespaço S = {(x,,z) = x e z = } = {(x, x,) x R} = [(,,). Uma base para este subespaço é {(,,)}, logo (,,) é um autovetor associado ao autovalor λ =. Se λ =, temos: + x z = 4 C E D E R J

21 Daí, 5 x z = Resolvendo o sistema, temos que x = e 5 z =, ou seja, = x e z = x. A solução deste sistema nos leva a um subespaço S = {(x,,z) = x e z = x} = {(x,x,x) x R} = [(,,). Uma base para este subespaço é {(,,)}, logo (,,) é um autovetor associado ao autovalor λ =. Resposta: Os autovalores são, e. Para o autovalor a base do auto-espaço é {(,,)}, para o autovalor a base do auto-espaço é {(,,)} e para o autovalor a base do auto-espaço é {(,,)}. A multiplicidade algébrica dos três autovalores é, e a multiplicidade geométrica (dimensão dos subespaços) dos três autovalores também é.. CAPÍTULO MÓDULO. Dada a matriz A = das matrizes A e A. 5 4, calcule os autovalores! Pelo Teorema da aula temos que se λ é um autovalor de uma matriz A, então λ k é autovalor da matriz A k para todo k natural e diferente de zero. Solução: Dada a matriz A = 5 4 pelo teorema, os autovalores de A são, e., como A é diagonal, Resposta: Os autovalores de A são: ( ) =, () = 4 e () =. Os autovalores de A são: ( ) =, () = 8 e () =. 4. Seja A matriz de ordem n. Prove que A e sua transposta A t têm o mesmo polinômio característico. C E D E R J 5

22 Caderno de Álgebra Linear II Autovetor e Autovalor! Nas questões deste tipo sobre demonstração ou prova de algum resultado, muitos alunos erram, pois, no lugar de tomar uma matriz A qualquer de ordem n, tentam provar que o resultado vale para uma certa matriz (ou seja, mostram que vale para somente um caso), e isso é errado. Devemos aprender a fazer provas genéricas. Observe bem esse exercício. Demonstração Seja A uma matriz de ordem n. Seja λ autovalor de A. Logo sabemos, pela definição, que existe um autovetor v tal que: A v = λv. Daí, (A λi)v =. Mas (A λi) é também uma matriz quadrada e pela operação de transposição: (A λi) t = (A t λi t ) = (A t λi). Como uma matriz e sua transposta têm o mesmo determinante, logo: A λi = (A λi) t = A t λi t = A t λi =. Daí, A e A t têm o mesmo polinômio característico. Outra maneira de mostrar este mesmo resultado: Seja A matriz de ordem n. O polinômio característico de A é dado por: det(xi A). Sabemos que det(xi A) = det((xi A) t ) = det(x(i) t A t ) = det(xi A t ). Como o polinômio característico de A t é dado por: det(xi A t ), temos que A e A t têm o mesmo polinômio característico. CQD C E D E R J

23 5. Mostre que se A e B são semelhantes então deta = detb. Demonstração Sejam A e B matrizes semelhantes. Pela definição da aula 5, temos que duas matrizes A e B são semelhantes se existe uma terceira matriz invertível P tal que B = P A P. Se B = P A P, então det(b) = det(p A P). Porém, det(p A P) = det(p ) det(a) det(p). Mas det(p ) = det(p). Daí, temos que: det(b) = Logo, det(b) = det(a). det(a) det(p) det(p) = det(a). CAPÍTULO MÓDULO CQD. Dada a matriz A, determine: (a) os polinômios característicos da matriz A; (b) os autovalores de A; (c) uma base para cada auto-espaço próprio de A; (d) as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor encontrado: a) A = Solução: O polinômio característico de A é dado por: x+ p(x) = det(x I A) = x x+ p(x) = (x+)(x(x+)) (x) = (x)((x+)(x+) ) p(x) = (x)(x + x+ ) = (x)(x + x) = = (x)(x)(x+) = x (x+) C E D E R J 7

24 Caderno de Álgebra Linear II Autovetor e Autovalor Logo, as raízes do polinômio característico são e, ou seja, os autovalores de A são e. Se λ =, temos: + + x z = Daí, Ou seja, x z = x z = Resolvendo o sistema, temos que: para qualquer, x z =, ou seja, x = z para qualquer valor de. A solução deste sistema nos leva ao subespaço S = {(x,,x) x, R} = [(,,)(,,). Logo, (,,) e (,, ) são autovetores associados ao autovalor λ =...! A multiplicidade algébrica do autovetor é, e a multiplicidade geométrica é. Se λ =, temos: + + x z = Daí, x z =. Resolvendo o sistema: L L + L ( ) 8 C E D E R J

25 L L +L ( ) Ou seja, Daí, x z = e +z =. Logo, x = z e = z. x z = L L (. ) CAPÍTULO MÓDULO S = {(x,,z) x,,z R, x = z e = z} = {( z,z,z) z R} = [(,, ), logo (,, ) é um autovetor associado ao autovalor λ =. Resposta: (a) O polinômio característico é x (x+). (b) Os autovalores são e. (c) Para o autovalor a base do auto-espaço é [(,,),(,,), para o autovalor a base do auto-espaço é [(,,). (d) A multiplicidade algébrica do autovalor é, e a geométrica é. A multiplicidade algébrica de é, e a multiplicidade geométrica é. b) A = Solução: O polinômio característico de A é dado por: x p(x) = det(x I A) = x+ x p(x) = (x )((x+)(x ) )+(x ) = = (x )((x ) )+(x ) = ((x )(x ))+(x ) p(x) = (x )(x +) = (x) (x ) Logo, as raízes do polinômio característico são e, ou seja, os autovalores de A são e. O autovetor com multiplicidade algébrica igual a e o autovetor com multiplicidade algébrica igual a. C E D E R J 9

26 Caderno de Álgebra Linear II Autovetor e Autovalor Se λ =, temos: + x z = Daí, x z =. Resolvendo esse sistema, teremos: L L + L L L + L ( ) Logo, x = e z =. S = {(x,,z) x = e z = } = {(,, ) R} = [(,, ), logo o vetor (,, ) é um autovetor associado ao autovalor λ =.! Neste caso a multiplicidade algébrica do autovalor é, e a multiplicidade geométrica é. Se λ =, temos + x z = Daí, x z =. C E D E R J

27 Resolvendo esse sistema, temos: L L + L Logo, = e x = z. L L + L ( ) S = {(x,,z) = e x = z} = {(x,,x) R} = [(,,), logo (,, ) é um autovetor associado ao autovalor λ =. Resposta: CAPÍTULO MÓDULO (a) O polinômio característico é x (x ). (b) Os autovalores são e. (c) Para o autovalor a base do auto-espaço é [(,, ), para o autovalor a base do auto-espaço é [(,,). (d) A multiplicidade algébrica de é, e a geométrica é. A multiplicidade algébrica de é, e a multiplicidade geométrica é. c) A = 5 Solução: O polinômio característico de A é dado por: x p(x) = det(x I A) = x 5 x+ p(x) = (x )((x )(x+)+5) ( ) p(x) = (x )(x + x +5)+ = (x )(x + x+)+ p(x) = x + x + = x + x = x (x+) Logo, a raiz do polinômio característico é e, ou seja os autovalores de A são e. Se λ =, temos: C E D E R J

28 Caderno de Álgebra Linear II Autovetor e Autovalor 5 + x z = Daí, 5 x z =. Resolvendo o sistema, temos que: L L + L () 5 L L + L ( ) Logo, x = e = z. S = {(x,,z) x = = z} = {(x,x,x) x R} = [(,,), logo (,, ) é autovetor associado ao autovalor λ =.! A multiplicidade algébrica do autovalor é, e a multiplicidade geométrica é. Se λ =, temos: 5 + x z = Daí, 5 x z =. Resolvendo o sistema, temos que: L L + L 5 4 C E D E R J

29 L L + L ( ) Logo, x = e z =. S = {(x,,z) x = e z = } = {(,,) R} = [(,,4), logo (,, 4) é o autovetor associado ao autovalor λ =. Resposta: (a) O polinômio característico é x (x+). CAPÍTULO MÓDULO (b) Os autovalores são e. (c) Para o autovalor a base do auto-espaço é [(,,), para o autovalor a base do auto-espaço é [(,,4). (d) A multiplicidade algébrica de é, e a geométrica é. A multiplicidade algébrica de é, e a multiplicidade geométrica é. 7. Mostre, em cada caso, que as matrizes a seguir são diagonalizáveis e determine uma matriz diagonal D e uma matriz P tal que D = P A P.! i. Aula 5: Pela definição, temos que uma matriz A M n (R) é diagonalizável se A é semelhante a uma matriz diagonal D. Pelo Teorema, se A e B são matrizes semelhantes, então A e B têm o mesmo polinômio característico. Pelo Teorema, se uma matriz A M n (R) tem n autovalores distintos, então ela é diagonalizável. ii. Aula : Pelo Teorema, uma matriz A M n (R) é diagonalizável se e somente se a matriz A tem n autovetores linearmente independentes (esses autovetores formam uma base de R n ). Logo, em cada caso, devemos determinar os autovalores e autovetores da matriz A. A matriz diagonal D é semelhante à ma- C E D E R J

30 Caderno de Álgebra Linear II Autovetor e Autovalor triz A e será formada pelos autovalores de A em sua diagonal principal. A matriz P é formada pelas componentes do k-ésimo autovetor v k da base dos autovetores. a) A = Solução: O polinômio de A é dado por: p(x) = det(x I A) = x = x+ = (x )(x+)(x ) x! A é matriz diagonal, logo o determinante de x I A é igual ao produto da diagonal principal. Os autovalores são, e, todos com multiplicidade algébrica igual a. Como os três autovalores são distintos então, pelo Teorema, A é diagonalizável. Devemos agora determinar os autovetores associados aos autovalores encontrados. Como já sabemos que A é diagonalizável, os autovetores serão linearmente independentes, ou seja, os autovetores formam uma base de R. a) Se λ = temos: + x z = Daí, x z =. 4 C E D E R J

31 Resolvendo o sistema, temos que: L L + L () L L + L ( ) Logo, para qualquer valor de x, = e z =. Daí, S = {(x,,) x R}. Portanto, v = (,,) é o autovetor associado ao autovalor λ =. CAPÍTULO MÓDULO Se λ = temos: + x z = Daí, 5 x z =. Resolvendo o sistema, temos que: L L + L ( 5) 5 Logo, = x e z =. Daí, S = {(x, x,) x R}. Portanto, v = (,,) é o autovetor associado ao autovalor λ =. Se λ = temos: + x z = Daí: 5 x z =. C E D E R J 5

32 Caderno de Álgebra Linear II Autovetor e Autovalor Resolvendo o sistema, temos que: 5 L L + L (5) Logo, = x e z = x. Daí, S = {(x,x,x) x R}. Portanto, v = (,,) é o autovetor associado ao autovalor λ =. Resposta: Se os autovalores de A são, e (distintos), então A é diagonalizável e para os autovalores: λ = determinamos v = (,,) λ = determinamos v = (,,) λ = determinamos v = (,,) A matriz diagonal D, semelhante a matriz A, é dada por: D = Enquanto a matriz P tal que D = P A P é dada por: Observe que se P = P =, então P = 5! Faça esta conta! Veja no módulo de Álgebra Linear I como se determina a matriz inversa! C E D E R J

33 Logo, se D = P A P, então 5 D = = 5 b) A = = = CAPÍTULO MÓDULO Solução: O polinômio característico de A é dado por: x p(x) = det(x I A) = x x = = (x )((x )(x) ) (x ) = = (x )(x x ) (x ) = = (x )(x x ) = (x )(x x ) p(x) = (x )(x+)(x ) Logo, os autovalores são, e, todos com multiplicidade algébrica igual a.! Como os autovalores são distintos já sabemos que A é diagonalizável. Lembre-se de que para determinar os autovetores da matriz A, para cada autovalor λ teremos que resolver o sistema (λi A)v =. Se λ =, temos: x z =. C E D E R J 7

34 Caderno de Álgebra Linear II Autovetor e Autovalor Daí, x z =. Resolvendo o sistema temos: L L + L L L + L ( ) Logo, z = e x =. Daí, S = {(x,,z) z= e x = }={(,,) R}=[(,,). Portanto, o autovetor associado ao autovalor λ = é v = (,,). Se λ = temos que: x z = Daí, x z = Resolvendo o sistema temos: L L + L ( ) L L + L ( ). L L L ( ) L L + L Logo, x = e z =. S = {(x,,z) x = e z= }={(,, ) R}=[(,, ). 8 C E D E R J

35 Portanto, o autovetor associado ao autovalor λ = é v = (,, ). Daí, Se λ=, temos: x z = x z. = Resolvendo o sistema temos: L L + L L L + L CAPÍTULO MÓDULO Logo, x = z e = z. Daí, S = {(x,,z) x = z e = z} = {(z,z,z) z R} = [(,,). Portanto, o autovetor associado ao autovalor λ = é v = (,,). Resposta: Concluímos que o conjunto de autovetores {v,v,v } é linearmente independente, ou seja, A é diagonalizável.! Se você esqueceu a definição de base ou não se lembra de quando os vetores são LI, pegue seus módulos de Álgebra Linear I e reveja esses conceitos. Temos então que para λ = determinamos v = (,,) λ = determinamos v = (,, ) λ = determinamos v = (,,) C E D E R J 9

36 Caderno de Álgebra Linear II Autovetor e Autovalor A matriz diagonal D, semelhante à matriz A, é dada por: D = Enquanto a matriz P tal que D = P A P é dada por: P = e P = Logo, D = = c) A = Solução: O polinômio característico de A é dado por: x p(x) = det(x I A) = x x = p(x) = (x )((x)(x )+) ( (x ) )+( x) = = (x )((x)(x )+)+x ++ x = = (x )((x)(x )+) = (x )(x x+) = p(x) = (x )(x ) Os autovalores são e, o autovalor tem multiplicidade algébrica igual a, e o autovalor tem multiplicidade algébrica igual a, logo esse autovalor deverá estar associado a dois autovetores. 4 C E D E R J

37 ! Para que possamos analisar se A é diagonalizável, precisamos verificar se os seus autovetores são linearmente independentes, ou seja, se os autovetores formam uma base de R. Se λ =, temos que: x z = CAPÍTULO MÓDULO Resolva você mesmo esse sistema! Você verá que a solução é: x = +z. Daí, a solução S é da forma: S = {(x,,z) x = +z}={(+z,,z),z R}= [(,,),(,,). Portanto, para λ =, determinamos v = (,,) e v = (,,), dois autovetores linearmente independentes associados a este autovalor. Se λ =, temos que: x z = Este sistema é equivalente a: x = e z =, logo todas as soluções são da forma: S = {(x,,z) x = e z = } = {(,, ) R} = [(,, ) Portanto, v = (,, ) é o autovetor associado a λ =. Resposta: Pelo Teorema 4 da aula, os autovetores associados a autovalores distintos são LI. Daí, concluímos que o conjunto de autovetores {v,v,v } é linearmente independente, ou seja, A é diagonalizável. Temos então que para λ = determinamos { v = (,,) v = (,,) λ = determinamos v = (,, ) C E D E R J 4

38 Caderno de Álgebra Linear II Autovetor e Autovalor A matriz diagonal D, semelhante à matriz A, é dada por: D = A matriz P tal que D = P A P é dada por: P = e P = Logo, D = = = 8. Verifique se as matrizes a seguir são diagonalizáveis: a) A = [ Solução: O polinômio característico da matriz A é dado por: p(x) = det(x I A) = x x+ = (x )(x+)+ = = x x+x + = x x+ Não existem números reais a e b tal que x x+ = (x a)(x b).! Na aula 5 temos que: Pela definição, temos que uma matriz A M n (R) é diagonalizável se A é semelhante a uma matriz diagonal D. 4 C E D E R J

39 Resposta: Como a matriz diagonal D, equivalente a matriz A, não existe, então dizemos que a matriz A não é diagonalizável. b) A = Solução: O polinômio característico da matriz A é dado por: x 4 p(x) = det(x I A) = x 4 = (x 5)(x 4) x 5 CAPÍTULO MÓDULO Os autovalores são 5 e 4. O autovalor 5 tem multiplicidade algébrica igual a, e o autovalor 4 tem multiplicidade algébrica igual a, então o autovetor 4 deve gerar dois autovetores linearmente independentes.! Para analisar se A é ou não diagonalizável, precisamos verificar se os seus autovetores são linearmente independentes, ou seja, se os autovetores formam uma base de R. Se λ = 4, temos que x z = Resolvendo esse sistema temos que para qualquer valor de, x = e z =, logo todas as soluções são da forma: S = {(,,) R} = [(,,). Portanto, v = (,,) é o único autovetor associado a este autovalor. Mas, como ele tem multiplicidade algébrica igual a, deveria ter associado a ele dois autovetores. Daí, nem precisamos continuar os cálculos, pois não será possível determinar uma base de autovetores para R. Resposta: Pelo Teorema, da aula, esta matriz não é diagonalizável.. C E D E R J 4

40 Caderno de Álgebra Linear II Autovetor e Autovalor Observamos que apesar de termos determinado dois autovalores 5 e 4, o autovalor 4 tem multiplicidade algébrica igual a e multiplicidade geométrica igual a. 9. Verifique se as matrizes do exercício são diagonalizáveis, justifique sua resposta. a) A = As multiplicidades algébrica e geométrica dos autovalores são iguais. Resposta: A matriz A é diagonalizável. b) A = A multiplicidade algébrica do autovalor é, mas a multiplicidade geométrica é. Resposta: A matriz A não é diagonalizável. c) A = 5 A multiplicidade algébrica do autovalor é, mas a multiplicidade geométrica é. Resposta: A matriz A não é diagonalizável.. Verifique se as matrizes a seguir são diagonalizáveis. Caso sejam, determine uma matriz diagonal D e uma matriz P, que representa a base dos autovetores, tais que D = P A P. (Observação: Siga os passos da aula 7.)! Para que você não tenha dúvidas, vamos detalhar cada um dos passos sugeridos na aula C E D E R J

41 a) A = 7 5 Solução: PASSO : Determinar os autovetores da matriz A.! Como a matriz A não é triangular, devemos calcular seu polinômio característico para obter os autovalores de A. CAPÍTULO MÓDULO O polinômio característico é dado por: x 7 p(x) = det(x I A) = x x 5 p(x) = (x 7)((x )(x 5) 4) ((x 5)) = = (x )(x )(x 9) λ = Logo, os autovalores de A são: λ =, todos os autovalores têm λ = 9 multiplicidade algébrica igual a. PASSO : Determinar uma base de autovetores da matriz A. Se λ =, temos: Resolvendo esse sistema: 4 x z = S = {(x,,z) = x e z = x} = {(x,x,x) x R} = [(,,). Logo, o autovetor associado ao autovalor λ = é v = (,,). Se λ =, temos. x z =. Resolvendo esse sistema: C E D E R J 45

42 Caderno de Álgebra Linear II Autovetor e Autovalor S = {(x,,z) z = x e = } x = {(x, ) } x, x x R = [(,, ). Logo, o autovetor associado ao autovalor λ = é v = (,, ). Se λ = 9, temos: 4 x z = Resolvendo esse sistema: S = {(x,,z) = x e z = } x = {(x, x, ) x. } x R = [(,,). Logo, o autovetor associado ao autovalor λ = 9 é v = (,,). PASSO : Montar a matriz diagonalizada D. A matriz diagonal D, semelhante à matriz A, é dada por: D =. 9 4 C E D E R J PASSO 4: Montar a matriz diagonalizante P. A matriz P tal que D = P A P é dada pelos autovalores: P =. Resposta: A é diagonalizável, sua matriz diagonal é D = 9 e a matriz diagonalizante, base dos autovetores de A, é dada por P =. c) A = Solução: PASSO : Determinar os autovetores da matriz A.,

43 O polinômio característico é dado por: x p(x) = det(x I A) = x x = = (x )((x)(x )+) ( (x ) )+( x) = = (x )((x)(x )+)+x ++ x = = (x )((x)(x )+) = (x )(x x+) = p(x) = (x )(x ) λ = Logo, os autovalores de A são: λ =, o autovalor com multiplicidade algébrica igual a e o autovalor com multiplicidade algébrica λ = igual a. CAPÍTULO MÓDULO PASSO : Determinar uma base de autovetores da matriz A. Se λ =, temos x z = Resolvendo esse sistema, encontramos que x = +z. S = {(+z,,z),z R}.. Temos então dois autovetores, ou seja, v = (,,) e v = (,,). Se λ =, temos x z = Resolvendo esse sistema, x = e z =. Daí, podemos determinar o autovetor, ou seja, v = (,, ).. C E D E R J 47

44 Caderno de Álgebra Linear II Autovetor e Autovalor PASSO : Montar a matriz diagonalizada D. A matriz diagonal D, semelhante à matriz A, é dada por: D =. PASSO 4: Montar a matriz diagonalizante P. A matriz P tal que D = P A P é dada pelos autovetores associados aos autovalores determinados: P = Resposta: A é diagonalizável, sua matriz diagonal é D = e a matriz P que representa a base dos autovetores é dada por P =.,. Em cada caso, verifique se o operador linear T : R R é diagonalizável, caso seja, determine sua representação diagonal D M (R) e a matriz P que representa a base dos autovetores correspondente. a) T(x,,z) = (z,,x). Solução: Seja T(x,,z) = (z,,x), logo, A = [T =.! Para determinar a representação diagonal de T, ou seja, para determinar D, devemos encontrar os autovalores de [T. 48 C E D E R J

45 p(x) = det(x I A) = x x x = (x (x )) (x ) = (x )(x ) = (x ) (x+) λ = Logo, os autovalores de A são: λ = λ =. = Agora iremos determinar os autovetores de A que são associados a estes autovalores encontrados. CAPÍTULO MÓDULO Seja λ =, temos. Logo, para todo valor de, temos que x = z. S = {(x,,x) x, R}. Daí, podemos determinar dois autovetores associados a este autovalor: v = (,,) e v = (,,). Seja λ =, Logo, temos que x = z e =. S = {( z,,z) z R}. Daí, podemos determinar o autovetor, ou seja, v = (,, ). Resposta: T é diagonalizável, sua representação diagonal é D =, a base dos autovetores é {(,,),(,,),(,, )}, logo, P =. b) T(x,,z) = (x+, z,+4z). Solução: Seja T(x,,z) = (x+, z,+4z), logo, A = [T =. 4 C E D E R J 49

46 Caderno de Álgebra Linear II Autovetor e Autovalor Para determinar a representação diagonal de T, ou seja, para determinar D, devemos encontrar os autovalores de [T. det(x I A) = x x x 4 det(x I A) = (x )((x )(x 4)+) = (x ) (x ) λ = Logo, os autovalores de A são: λ = λ = Agora iremos determinar os autovetores de A que são associados a esses autovalores encontrados. Seja λ =, temos: Logo, temos que x = e z =. S = {(,, ) R}. Daí, podemos determinar o autovetor, v = (,, ). Seja λ =, temos Logo, para todo valor de x, temos que = z =. S = (x,, x R}. Daí, podemos determinar o autovetor, v = (,,).! Encontramos aqui um grande problema... A multiplicidade algébrica do autovalor é dois, pois λ = e λ =, logo deveríamos determinar dois autovetores para este autovalor. Como isso não foi feito, esse operador T não é diagonalizável, a multiplidade geométrica deste autovalor é. Resposta: T não é diagonalizável. c) T(x,,z) = (x z,, x+4z). Solução: Seja T(x,,z)=(x z,, x+4z), logo A = [T= 4. 5 C E D E R J

47 det(x I A) = x x x 4 = (x )(x(x 4))+( x) p(x) = (x )(x(x 4)) 4x = x((x )(x 4) 4) = x(x 5x) p(x) = (x) (x 5) = (x ) (x 5) λ = Logo, os autovalores de A são: λ = λ = 5 Agora iremos determinar os autovetores de A. Seja λ =, temos 4 CAPÍTULO MÓDULO Logo, para todo valor de, temos que x = z. S = {(z,,z),z R}. Logo, determinamos dois autovetores, ou seja, v = (,,) e v = (,,).! Observe que diferente do exemplo anterior, neste caso, temos λ = e λ =, porém temos como resultado dois autovetores. Ou seja, a multiplicidade algébrica deste autovalor é dois, e a multiplicidade geométrica também é dois. Seja λ = 5, temos 4 5 Logo, temos que z = x e =. S = {(x,, x) x R}. Daí, podemos determinar o autovetor v = (,, ). Resposta: O operador T é diagonalizável, sua representação diagonal é dada por D =, a base dos autovetores é {(,,),(,,),(,, )}, 5 logo, a matriz que representa a base dos autovetores é P=.. Seja T : R R definida por T(v) = Av, sendo A = C E D E R J 5

48 Caderno de Álgebra Linear II Autovetor e Autovalor [. Mostre que v = (,) é autovetor de T e que o operador linear T não é diagonalizável. [ Solução: Seja T : R R definida por T(v)=Av, sendo A = temos então que para qualquer vetor (x,) R, temos que: [ T(x,) = [ Logo, A = [T =. [ x = (x+, x+) Para determinar a representação diagonal de T, ou seja, para determinar a matriz diagonal D, devemos encontrar os autovalores de [T. p(x) = det(x I A) = x x x+ x = Logo, os autovalores de A são: = (x )(x ) ((x+)(x )) p(x) = (x 4)(x ) { λ = λ = 4. Iremos determinar os autovetores de A associados a estes dois autovalores. Seja λ =, Ou seja, x =. Daí, podemos determinar o autovetor v = (,). Seja λ = 4, temos que:, 5 5 L L ( )+L 5 L L ( 5)+L ( L L ) Logo, a solução deste sistema é x = e =. Porém v = (,) não pode ser autovetor. Logo, T não é diagonalizável. 5 C E D E R J

49 Resposta: T não é diagonalizável, pois T tem os dois autovalores. Para o autovalor λ = determinamos o autovetor v = (,) mas para o autovalor λ = 4, não existe autovetor não-nulo. CAPÍTULO MÓDULO C E D E R J 5

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51 Capítulo MATRIZES ORTOGONAIS E TRANSFORMAÇ ÕES LINEARES PLANAS E ESPACIAIS Neste capítulo, os exercícios correspondem a aulas do Módulo de Álgebra Linear II, ou seja, da aula 9 até a aula. Os assuntos desenvolvidos são: matrizes ortogonais e as transformações lineares planas e espaciais, quer dizer, rotações, reflexões e projeções tanto em R quanto em R, ou seja, no plano e no espaço. Vamos lá! Ao trabalho! Exercícios. Determine o valor de k R tal que os vetores u =(,,k,) e v = (,k,8, 5) sejam ortogonais.. Dado u = (,,) R. (a) Determine uma base de R que contenha u e que seja um conjunto ortogonal de vetores. (b) Transforme este conjunto ortogonal encontrado no item anterior numa base ortonormal.. Determine quais conjuntos S de vetores (bases de R ) são ortogonais e tansforme os conjuntos ortogonais encontrados em conjuntos ortonormais, ou seja, em bases ortonormais. (a) S = {(,,),(,4,),(,,)} (b) S = {(4,, 5),(,,),(,, )} (c) S = {(,, ),(,,),(,,4)}.

52 Caderno de Álgebra Linear II Matrizes Ortogonais e Transformações Lineares Planas e Espaciais 4. Determine uma matriz ortogonal cuja primeira coluna tenha a direção do vetor: ( (a) u =,, ). (b) u = (,,). 5. Prove que: (a) Se A e B M n (R) são matrizes ortogonais, então o produto AB é também ortogonal. (b) Se A e B M n (R) são matrizes ortogonais, então A ( A T + B T) B = A+B.. Verifique quais das matrizes abaixo são ortogonais. Obtenha a matriz inversa das ortogonais somente. (a) A =. (b) B =. (c) C = 7. Encontre as matrizes canônicas das Transformações Lineares em R formadas por: (a) Uma rotação, no plano, de no sentido anti-horário em torno da origem. (b) Uma rotação, no plano, de no sentido horário em torno da origem. 5 C E D E R J

53 8. Determine a imagem do retângulo de vértices v = (,), v = (,), v = (,) e v = (,). (a) Após a rotação, no plano de, no sentido antihorário. (b) Após a rotação, no plano de no sentido antihorário. (c) Após a rotação, no plano, de 9 no sentido antihorário. 9. Obtenha a matriz E que representa, no plano, a reflexão na reta = x e determine a imagem dos pontos P (,) e P (,) por essa reflexão. CAPÍTULO MÓDULO. Obtenha a matriz E que representa, no plano, a reflexão na reta L : x + = e determine a imagem do ponto P(,) por essa reflexão.. Verifique que, no plano, toda matriz de reflexão B ϕ pode ser escrita como o produto de uma matriz de reflexão no eixo x por uma matriz de rotação A φ.. Determine a imagem dos vértices de uma figura após uma reflexão, no plano, com respeito à reta = x, seguida de uma rotação de π radianos. Os vértices da figura são: 4 v = (,), v = (4,), v = (4,), v 4 = (,), v 5 = (,) e v = (,).. Determine a matriz que representa no espaço a rotação, (no sentido anti-horário) de π radianos em torno da reta L, que passa pela origem, e é paralela ao vetor v = (,,). 4. Determine a matriz que representa uma reflexão no plano π : x+ z =, com respeito à base canônica. 5. Determine a matriz que representa, em R, a reflexão no plano π : x + z =, com respeito à base canônica.. Determine a matriz que representa em R a projeção ortogonal sobre a reta = x com respeito à base canônica. 7. Determine a matriz que representa no espaço a projeção ortogonal sobre o plano π : x z =, com respeito à base canônica do R. C E D E R J 57

54 Caderno de Álgebra Linear II Matrizes Ortogonais e Transformações Lineares Planas e Espaciais 8. Determine a matriz que representa, em R, a projeção ortogonal sobre o plano gerado pelos vetores (,,) e (,,), com respeito à base canônica de R. Agora é sua vez. Mãos à obra! Soluções. Determine o valor de k R tal que os vetores u =(,,k,) e v = (,k,8, 5) sejam ortogonais. Solução: Para que os vetores u e v sejam ortogonais é necessário que o produto interno entre eles seja nulo, ou seja: u,v =. u,v = (,,k,),(,k,8, 5) = k+8k 5 = Resolvendo o sistema, encontramos: k =, logo k =. Resposta: k =. Dado u = (,,) R. (a) Determine uma base de R que contenha u e que seja um conjunto ortogonal de vetores.! Nesta questão foi pedida uma base ortogonal. Logo, várias respostas são possíveis. Solução: Seja u = (,,), vamos determinar o vetor v = (a,b,c) ortogonal a u. Mas, para que u e v sejam ortogonais, o produto interno entre eles é nulo, ou seja, u,v =. Temos então que: (,,),(a,b,c) = a b+c =. Determinamos o plano π : a b+c = que é ortogonal ao vetor u dado. Ou seja, qualquer vetor deste plano π é ortogonal ao vetor u = (,, ). Seja b = a + c, assim todo vetor da forma v = (a,a+c,c) = a(,,)+b(,,) (com a, b R, sendo a ou b ) é ortogonal ao vetor u. 58 C E D E R J

55 Em particular, podemos escolher a = e c =. Logo, b =. Obtemos então o vetor v = (,,). Considerando os vetores u e v, devemos determinar o vetor w = (d, e, f) ortogonal a estes dois outros vetores. Assim, temos que: u,w = (,,) (d,e, f) = v,w = (,,) (d,e, f) = { { d e+f = e = d + f Logo temos que:. Daí, d + e = d = e { e = ( e)+f Logo, d = e { 5e = f e = d f = 5 e d = e Todo vetor w = ( e,e, 5 e) é ortogonal a u e v (para qualquer e R, sendo e ). Seja e=, teremos: { f = 5 d = 4 logo, w = ( 4,,5). CAPÍTULO MÓDULO Resposta: Considerando u = (,, ), determinamos v = (,,) e w = ( 4,,5) e formamos o conjunto ortogonal S = {(,,),(,,),( 4,,5)}. (b) Transforme este conjunto ortogonal encontrado no item anterior numa base ortonormal. Solução: Considerando u = (,,), v = (,,) e w = ( 4,,5), temos somente que normalizar esses vetores. Assim: u = +( ) + = 9 = v = +() = 5 w ( 4) +() + 5 =. 45 Logo, û = (,, ) ( ) v = 5, 5, ( ) ŵ = 4 45, 5 45, 45 Resposta: A base ortonormal será: {(,, ) ) ( 5,(, 4 5 5,,,, )} C E D E R J 59

56 Caderno de Álgebra Linear II Matrizes Ortogonais e Transformações Lineares Planas e Espaciais. Determine quais conjuntos S de vetores (bases de R ) são ortogonais e tansforme os conjuntos ortogonais encontrados em conjuntos ortonormais, em bases ortonormais. (a) S = {(,,),(,4,),(,,)} Solução: Seja u = (,,), u = (,4,) e u = (,,) u,u = (,,) (,4,) = u,u = (,,) (,,) = u,u = (,4,) (,,) =. Logo, u, u e u são realmente vetores ortogonais e formam uma base de R. Para transformar esse conjunto ortogonal num conjunto ortonormal, devemos somente normalizar os vetores dados, ou seja, determinar û = u u. Como: u = ( ) +() +() = ( 4. Logo, û = 4, 4, 4 ) u = () +(4) +() = ( ). Logo, û = 4 4,, 4 u = () +( ) +() = ( ). Logo, û =,,! Um conjunto ortonormal de vetores que é uma base, esta base é dita base ortonormal, e a matriz formada por esta base é dita matriz ortogonal. Resposta: Temos que S = {(,,),(,4,),(,,)} forma {( um conjunto),( ortogonal e é),( uma base, )} e S = 4, 4, 4 4 4,,, 4, é um conjunto ortonormal e uma base, logo é uma base ortonormal. (b) S = {(4,, 5),(,,),(,, )} Solução: Seja u = (4,, 5), u = (,,) e u = (,, ) u,u = (4,, 5) (,,) = u,u = (4,, 5) (,, ) u,u = (,,) (,, ) =. C E D E R J

57 Logo, u, u e u não são ortogonais. Resposta: Temos que: S = {(4,, 5),(,,),(,, )} não é um conjunto ortogonal. (c) S = {(,, ),(,,),(,,4)}. Solução: Seja u = (,, ), u = (,,) e u = (,,4). u,u = (,, ) (,,) u,u = (,, ) (,,4) = u,u = (,,) (,,4) =. Logo, u, u e u não são ortogonais. CAPÍTULO MÓDULO Resposta: Temos que: S = {(,, ),(,,),(,,4)} não é um conjunto ortogonal. 4. Determine uma matriz ortogonal cuja primeira coluna tenha a direção do vetor:! Devemos determinar uma base ortonormal, logo, isso significa que podemos encontrar várias bases ortogonais que tenham esse vetor na primeira coluna. (a) u = (,, ) Solução: O vetor u é unitário, ou seja, u =, logo não precisaremos normalizá-lo.! Para determinar esta matriz ortogonal, sendo sua primeira coluna o vetor dado u = (,, ), devemos, na verdade, determinar os vetores u e u tal que esses vetores sejam unitários e u,u =, u,u = e u,u =. Seja u = (a,b,c), tal que u,u =, ou seja: (,, ),(a,b,c) =, daí, a+b+c = C E D E R J

58 Caderno de Álgebra Linear II Matrizes Ortogonais e Transformações Lineares Planas e Espaciais Logo, podemos dizer que: a = b c, ou seja, as soluções para este sistema são vetores da forma ( b c,b,c) = b(,,)+c(,,), sendo b,c R e b ou c. Tomemos então b = e c =, ( temos então que a =, logo: u = (,, ), daí, û =,, ). Seja u = (d,e, f), temos que além de ser um vetor unitário, também deve ser ortogonal a u e u. Ou seja: ( u,u =, daí,,, ) (d,e, f) =, logo, d + e+f =. ( ) u,u =, daí,,, (d,e, f) =, logo, e = f. Ou seja: d = 4e e f = e. Seja e =, teremos ( f = e d )=( = 4, ou seja, u = ) (4,, ). Daí, û = 4 8, 8, 4 8,, Resposta: P = (b) u = (,,) Solução: Seja u = (,,), daí, û = (,, ).! Observe que u não é unitário, logo não precisamos normalizá-lo. C E D E R J Devemos determinar u e u tal que esses vetores sejam ortogonais e unitários. Logo, u,u =, u,u = e u,u =. Logo, seja u = (a,b,c) tal que u,u = : (,,),(a,b,c) =, daí, a+b+c =. Logo, podemos dizer que: a = b c, ou seja, u é da forma (b c,b,c) para qualquer b e c R e b ou c. Tomemos b = e( c =, então temos a =, logo, u = (,,), daí, û =,, ). Seja u = (d,e, f), temos que além de ser um vetor unitário, também deve ser ortogonal com u e u. Ou seja: u,u = daí, (,,) (d,e, f) =, logo, d + e+ f =.

59 u,u = daí, (,,) (d,e, f) =, logo, d e+ f =. Logo, e = e d = f. Seja d ( =, logo, f =, ou seja, u = (,, ). Logo, û =,, ).! Para determinar u podemos simplesmente determinar o produto vetorial entre u e u. CAPÍTULO MÓDULO Resposta: P =! Observe que: (i) Existem várias respostas pra essa questão, dependendo das opções que fazemos para escolher os vetores ortogonais ( ao vetor dado; ) (ii) o vetor da primeira coluna û =,, tem a mesma direção do vetor v = (,, ). 5. Prove que: (a) Se A e B M n (R) são matrizes ortogonais, então o produto AB é também ortogonal. Solução: Sejam A e B M n (R) ortogonais. Se A e B são ortogonais, então A T A = I n e B T B = I n.! Para concluir que AB é ortogonal, devemos mostrar que (AB) T AB = I n. Temos que: (AB) T (AB)= ( B T A T) (AB)=B T A T A B = B T ( A T A ) B = B T I n B = B T B = I n C E D E R J

60 Caderno de Álgebra Linear II Matrizes Ortogonais e Transformações Lineares Planas e Espaciais! Mostramos que este resultado é válido para qualquer matriz ortogonal. Um erro muito comum é o aluno pegar um exemplo e mostrar que o resultado vale para aquele exemplo, ou seja, que o produto entre duas matrizes ortogonais dadas é também ortogonal. Neste caso, no entanto, o aluno estará mostrando somente para um caso especial e não mostrado que o resultado vale para qualquer matriz. (b) Se A e B M n (R) são matrizes ortogonais, então A ( A T + B T) B = A+B. Solução: Sabendo que A e B são matrizes ortogonais, então A = A T e B = B T. Logo, A A T = A A = I e B T B = B B = I. Temos então que: A ( A T + B T) B = A A T B+A B T B = ( A A T) B+A ( B T B ) = I A+I B = A+B. Logo, A ( A T + B T) B = A+B.. Verifique quais das matrizes abaixo são ortogonais. Obtenha a matriz inversa somente das matrizes ortogonais.! Pelo teorema da aula 9 temos que uma matriz é ortogonal se suas colunas formam um conjunto de n vetores ortonormais e, portanto, formam uma base ortonormal. (a) A = [. ( ) ( ) Solução: Seja v =, e v =, os vetores formados pelas colunas da matriz A. ( ) ( ) v,v =,, = Logo v e v são ortogonais e ortonormais também. Logo, a matriz A é ortogonal. 4 C E D E R J

61 A = A t = Resposta: A é ortogonal e A = A t = (b) B =. ( ) Solução: Seja v = (,,), v = (,,) e v =,, v,v = (,,),(,,) = ) v,v =,, = ) v,v = (,,),(,, = Logo, esses vetores não são ortogonais. Assim a matriz B não é ortogonal.. CAPÍTULO MÓDULO Resposta: A matriz B não é ortogonal. (c) C = ( ( ) Solução: Seja v =,, ), v =,, e ( ) v =,, v,v = (,, ),(,, ) = v,v = (,, ),(,, ) = ( ),( ) v,v =,,,, = Logo v, v e v são ortogonais, mas como eles são ortonormais, dizemos que a matriz C é ortogonal. C = C T = C E D E R J 5

62 Caderno de Álgebra Linear II Matrizes Ortogonais e Transformações Lineares Planas e Espaciais Resposta: A matriz C é ortogonal (esta é também ortonormal) e C = C T = 7. Encontre as matrizes canônicas das Transformações Lineares em R formadas por: (a) Uma rotação, no plano, de no sentido anti-horário em torno da origem. Solução: A matriz rotação é dada por: [ cos sen A = sen cos = Resposta: A = (b) Uma rotação, no plano, de no sentido horário em torno da origem. Solução: A matriz rotação é dada por: [ cos sen A = sen cos = Resposta: A = 8. Determine a imagem do retângulo de vértices v = (,), v = (,), v = (,) e v = (,). (a) Após a rotação, no plano de, no sentido antihorário: Solução: A matriz rotação é dada por: C E D E R J

63 [ cos sen A = sen cos = = A imagem destes pontos é dada por: [ A D = + + ( Resposta: v = (,), v ( ) = e v =,, = ), v = (, + ) CAPÍTULO MÓDULO (b) Após a rotação, no plano de no sentido antihorário: Solução: A matriz rotação é dada por: [ cos sen A = sen cos = A imagem destes pontos é dada por: [ C = A D = C = + ( Resposta: v = (,), v =, ( e v ) =, ), v = (, = ) + (c) Após a rotação, no plano, de 9 no sentido antihorário: Solução: A matriz rotação é dada por: [ cos9 sen9 A 9 = [ sen9 cos9 = A imagem destes pontos é dada por: [ [ C = A D = [ = = C E D E R J 7

64 Caderno de Álgebra Linear II Matrizes Ortogonais e Transformações Lineares Planas e Espaciais Resposta: v = (,), v = (,), v = (,) e v = (,). 9. Obtenha a matriz E que representa no plano, a reflexão na reta = x, e determine a imagem dos pontos P (,) e P (,) por esta reflexão. Solução: O vetor unitário tangente à reta =x é v = ( 5, 5 ).! O vetor v é unitário, ou seja: v =, poderíamos considerar que um vetor tangente a esta reta é v = (,), pois a reta é = x, mas temos que usar o vetor unitário. ( ) O vetor unitário normal à reta = x é w = 5, 5! O vetor w é ortogonal ao vetor v, neste caso a mesma coisa: um vetor ortogonal a esta reta é w = (,), mas vamos usar o vetor unitário, pois queremos determinar uma base ortonormal. Seja a base β = {v,w }. Daí, temos a matriz ortogonal: A = Logo, A T = A = Seja [ F a matriz que representa a reflexão no eixo x, logo: F = Logo, temos que: E = A F A. A matriz E, que representa, no plano, a reflexão na reta = x é dada por: [ 5 [ 4 E = = C E D E R J

65 Dado o ponto P (,). A imagem deste ponto pela transformação E é: [ 4 [ [ 5 5 E(,) = =! O ponto P (,) pertence a reta = x, logo a reflexão não muda o valor do ponto. Dado o ponto P (,). A imagem deste ponto pela transformação E é: [ 4 [ 5 5 E(,) = = [ CAPÍTULO MÓDULO Resposta: A matriz E que representa, no plano, a reflexão na reta = x, é dada pela matriz E = [ A imagem, por essa reflexão do ponto P (,), é o ponto (,), e a imagem do ponto P (,) é o ponto ( 9 5, ) 5.. Obtenha a matriz E que representa, no plano, a reflexão na reta L : x + = e determine a imagem do ponto P(,) por essa reflexão. Solução: ( O vetor unitário, tangente à reta x + =, é v =, ).! O vetor v é unitário, ou seja: v =, poderíamos considerar que um vetor tangente a esta reta é v = (, ), pois a reta é x+ =, mas devemos usar o vetor unitário. O vetor unitário, normal à reta x+ =, é v = (, ).! O vetor unitário v é ortogonal ao v e v =. Neste caso, como a observação anterior, um vetor ortogonal a esta reta é w = (,), mas vamos usar o vetor unitário, pois queremos determinar uma base ortonormal. C E D E R J 9

66 Caderno de Álgebra Linear II Matrizes Ortogonais e Transformações Lineares Planas e Espaciais Seja a base β = {v,v }. Daí obtemos a matriz ortogonal A = Logo, A = A t = A matriz F que representa, [ no plano, a reflexão no eixo OX é representada por: F =. Sabemos que: E = A F A. A matriz que representa essa reflexão na reta L : x+ = é dada por: [ E = = E = [ 5 5 A imagem do ponto P(,) é dada por: [ 5 [ 5 [ = 9 Resposta: A matriz que representa, no plano, a reflexão na reta L : x+ = é E = [ 5 5 P(,) por essa reflexão é o ponto (, 9. A imagem do ponto ).. Verifique que, no plano, toda matriz de reflexão B ϕ pode ser escrita como o produto de uma matriz de reflexão no eixo x por uma matriz de rotação A φ.! Primeiro iremos desenvolver a matriz de reflexão B ϕ. Sabemos que B ϕ é a reflexão com respeito à reta que forma um ângulo de ϕ com o eixo OX. 7 C E D E R J

67 Solução: O vetor unitário desta reta é da forma u = ( cos ϕ,sen ϕ ), e o vetor unitário ortogonal a esse é: ( u = sen ϕ,cos ϕ ). Daí, B ϕ = A φ L ox A φ = A ϕ L ox A ϕ. [ cos ϕ sen ϕ [ B ϕ = sen ϕ cos ϕ [ cos ϕ sen ϕ sen ϕ cos ϕ [ cos ϕ sen ϕ B ϕ =. sen ϕ cosϕ [ [ cosϕ senϕ Mas B ϕ = = A senϕ cosϕ φ ([ ) [ Sabemos que =. Logo, [ [ cos ϕ sen ϕ B ϕ = A φ = sen ϕ cosϕ [ cosϕ sen ϕ = senϕ cosϕ [ = = Ou seja, a matriz reflexão B ϕ pode ser escrita como o produto de uma matriz de reflexão no eixo x por uma matriz de rotação. CAPÍTULO MÓDULO. Determine a imagem dos vértices de uma figura após uma reflexão, no plano, com respeito à reta = x, seguida de uma rotação de π radianos. Os vértices da figura são: 4 v = (,), v = (4,), v = (4,), v 4 = (,), v 5 = (,) e v = (,). Solução: Usando o exercício anterior, a matriz reflexão, no plano, com respeito à reta = x, forma um ângulo de π 4 radianos com o eixo dos x, logo, pelo exercício anterior, a matriz que representa essa reflexão é dada por: [ cos π sen π B π = sen π cos π A rotação de π 4 radianos é dada por: [ cos π 4 sen π 4 A π 4 = sen π 4 cos π 4 Porém, a reflexão, no plano, com respeito à reta = x, seguida de uma rotação de π 4 radianos = B π seguida pela A π = 4 B π + 4 π = B π. 4 C E D E R J 7

68 Caderno de Álgebra Linear II Matrizes Ortogonais e Transformações Lineares Planas e Espaciais B π 4 = [ cos π 4 sen π 4 sen π 4 cos π 4 = Vamos agora aplicar essa matriz B π à matriz formada pelos 4 vértices, ou seja: [ 4 4 B π 4 = [ 5 = 7 5 Resposta: As imagens dos vértices são da forma: ( I(v ) = I(,) =, ( I(v ) = I(4,) =, 5 ( ) I(v ) = I(4,) = ( I(v 4 ) = I(,) = I(v 5 ) = I(,) = I(v ) = I(,) = ), 7 ), (, 5 ) ) (, [ 4 4 ) =. Determine a matriz que representa no espaço a rotação, (no sentido anti-horário) de π radianos em torno da reta L, que passa pela origem e é paralela ao vetor v = (,,).! Seja v = (,,) o vetor que determina a reta em torno da qual faremos a rotação de π radianos, sentido positivo desta rotação. Temos que construir uma base ortonormal de R contendo esse vetor. Os outros dois vetores desta base, v e v, pertencem ao plano π que passa pela origem e cujo vetor normal é v. Logo, este plano é descrito pela equação: π : x +z =. Solução: O vetor v, pode ser qualquer vetor que pertença a esse plano π : x +z, por exemplo, seja v = (,,). 7 C E D E R J

69 Vamos determinar o vetor v = (a,b,c) ortogonal a v e a v. Logo, v é ortogonal a v e pertence ao plano π. Daí: v,v =, isto é: a b+c = v,v =, isto é: a+b+c = A partir daí temos que: c = e a = b. Logo, tomando a =, temos: v = (,,). Portanto, o conjunto {v,v,v } é uma base de R e é um conjunto ortogonal de vetores ortogonal. Normalizando esta base, obtemos a base ortogonal formada pelos vetores: u = (,, ), u = (,, ) e u = (,, ). CAPÍTULO MÓDULO Esses formam uma base ortogonal B = {u,u,u }. A matriz que representa esta rotação na base B é escrita como: A B [v B = cos π sen π sen π cos π = Com respeito à base canônica esta matriz é escrita como: A = P A P A = = = = = Resposta: A = C E D E R J 7

70 Caderno de Álgebra Linear II Matrizes Ortogonais e Transformações Lineares Planas e Espaciais 4. Determine a matriz que representa uma reflexão no plano π : x+ z =, com respeito à base canônica. Solução: Dado o plano π : x+ z =, o vetor v = (,, ) é um normal a este plano.! Devemos construir uma base (ortonormal) contendo a direção do vetor v, de forma que {v,v,v } forme uma base ortogonal. Logo, os vetores v e v são vetores de π e devem ser ortogonais entre si. Seja v um vetor arbitrário de π : v = (,,). Devemos determinar o vetor v = (a,b,c) ortogonal a v e a v. Ou seja: v,v =, isto é: a+b c = v,v =, isto é a+c = Logo, resolvendo o sistema encontramos: b = a e c = a. Tomando a =, temos: v = (,, ). Determinamos então B = {v,v,v } uma base e um conjunto ortogonal. Agora para determinar a base ortonormal precisamos normalizar esses vetores, ou seja, dividir cada vetor pelo seu módulo. Assim, a base ortonormal será formada pelos vetores: ( ( ) ( ) u =,, ), u =,, e u =,, A matriz reflexão no espaço é dada por: A = Sabemos que P =, e P = P T = 74 C E D E R J

71 Daí, a reflexão com respeito à base canônica é determinada pelo produto P A P. Assim teremos: R = R =. = CAPÍTULO MÓDULO Resposta: A reflexão é dada pela matriz R =. 5. Determine a matriz que representa, em R, a reflexão no plano π : x + z =, com respeito à base canônica.! Assim como no item anterior, vamos determinar a matriz que representa esta reflexão, depois escreveremos esta matriz em função da base canônica. Solução: Dado o plano π : x + z =, o vetor v = (,, ) é um vetor normal a este plano. Determinaremos agora os vetores v e v (que formam uma base contendo esse vetor v e tal que seja um conjunto ortogonal de vetores) que são vetores de π e devem ser ortogonais entre si. Vamos então escolher v = (x,,z) um vetor arbitrário de π que seja ortogonal ao v. Logo v,v =, ou seja: (x,,z),(,, ) = Logo, z = x+. x+ z = Tomando x = e =, teremos: v = (,,). Devemos determinar o vetor v = (a,b,c) ortogonal a v e a v (pertence a π). Ou seja: v v =, ou seja: a+b c = v v =, ou seja: a+b+c = C E D E R J 75

72 Caderno de Álgebra Linear II Matrizes Ortogonais e Transformações Lineares Planas e Espaciais Logo, resolvendo o sistema determinamos: a = 4b e c = 5b. Sendo b =, teremos: v = (4,,5). Determinamos então B = {v,v,v } uma base que é um conjunto ortogonal de vetores. Agora para determinar a base ortogonal precisamos normalizar os vetores (ou seja, dividir cada vetor pelo seu módulo). Assim, a base ortogonal será formada pelos vetores: ( ( ) ( ) u =,, ), u = 4 4, 5 4, 4 e u = 4, 4, 4 A reflexão com respeito a esta base ortonormal, em relação a u, será: A = Sabemos que P = , e P = P T = Daí, a reflexão com respeito à base canônica é determinada pelo produto P A P. Assim teremos: R = R = [ = Resposta: A reflexão é dada pela matriz R = C E D E R J

73 . Determine a matriz que representa em R a projeção ortogonal sobre a reta = x com respeito à base canônica. Solução: O vetor tangente à reta = x é da forma v = (, ). Seja T o operador linear definido pela projeção ortogonal desta reta. T é definido como: T : R R, tal que T(x,) = (x,),v v = x+ (, ). v,v 4 ( ) T(x,) = x+ 4, x+ 4 Ou seja: [T = CAPÍTULO MÓDULO Resposta: A projeção ortogonal é dada pela matriz [T = Outra solução:. Uma nova maneira de fazer esse exercício é a partir da reta dada =. Consideramos a base formada pelo vetor tangente à reta v = (, ) e pelo vetor ortogonal a este vetor v = ( ) {( )},. Logo, a base ortogonal é B =, ),(,. Temos então que B = e B = Mas: T (, ) = (, ) e T (, ) = (,). [ Logo, [T B = Assim como vale a igualdade: [T = B [T B B, logo: [T = = [ [T = [ = = C E D E R J 77

74 Caderno de Álgebra Linear II Matrizes Ortogonais e Transformações Lineares Planas e Espaciais Resposta: A projeção ortogonal é dada pela matriz [T = Determine a matriz que representa no espaço a projeção ortogonal sobre o plano π : x z =, com respeito à base canônica do R. Solução: Seja v o vetor normal ao plano ( π, v = (,, ). O vetor unitário normal ao plano é u =,, ). Vamos determinar os vetores de π, v e v, de tal forma que {v,v,v } forme uma base e um conjunto ortogonal. Faça você mesmo a sua conta... Seja v = (,,) e v = (,,). Determinamos ( os vetores ) unitários, ou seja, u = (,,), u =,, e u = (,, ). Seja T : R R tal que para qualquer vetor v do R, T(v) = v,u u + v,u u. Assim T(v)= (x,,z),(,,)(,,)+ T(v) = (,,)+ ( x+z Logo, [T = x+z,, )( ) (x,,z),(,,,, ) = ( x+z ) x+z,, Resposta: A projeção ortogonal é dada pela matriz [T = Outra solução: Outra forma interessante pra se resolver essa questão é conhecendo a base ortonormal B formada pelos vetores u, u e u, descritos anteriormente. Temos que: T(u ) = u,u u + u,u u = u + u + u T(u ) = u,u u + u,u u = u + u + u T(u ) = u,u u +u,u u = u + u + u 78 C E D E R J

75 Logo, a matriz que representa no R a projeção é dada por: [T B = que é exatamente a matriz da projeção ortogonal no plano x. Para determinar agora [T, teríamos que fazer a mudança de base, ou seja: [T = B[T B B = = CAPÍTULO MÓDULO [T = Resposta: A projeção ortogonal é dada pela matriz [T =. 8. Determine a matriz que representa em R a projeção ortogonal sobre o plano gerado pelos vetores (,,) e (,,), com respeito à base canônica de R.! Os vetores v = (,,) e v = (,,) são ortogonais. Logo, temos somente que determinar o vetor v ortogonal a estes dois vetores, ou seja, o vetor que é normal ao plano formado por v e v. Solução: Seja v = (a,b,c), temos que: v,v = e v,v =. { a+b = Daí, a+b+c =. Tomando a = determinamos v = (,,). Normalizando esses vetores encontramos a base ortogonal (um conjunto ortogonal que é uma base de R ). {( ) ( ( B =,,,,, ),, )}, C E D E R J 79

76 Caderno de Álgebra Linear II Matrizes Ortogonais e Transformações Lineares Planas e Espaciais Logo temos que: B = e B = Sabemos também que a projeção em torno de u com respeito à base B é da forma: [T B = Logo a projeção com respeito à base canônica é dada por: [T = B [T B B T. Assim: [T = = 5 5 = Resposta: A projeção ortogonal é dada pela matriz [T = C E D E R J

77 Capítulo MATRIZES SIMÉTRICAS, O TEOREMA ESPECTRAL E OPERADORES AUTO-ADJUNTOS Este será um capítulo bem pequeno, pois estaremos tratando somente de três tópicos que são Matrizes Simétricas, o Teorema Espectral e Operadores Auto-adjuntos. No próximo capítulo, veremos as formas quadráticas e iremos usar os conceitos estudados aqui sobre a diagonalização das matrizes simétricas. É bom observar que, até aqui, todas as matrizes e vetores têm somente elementos e componentes reais. Agora vamos lá. Ao estudo! Exercícios. Mostre que se a matriz A é simétrica, então A também é simétrica.. Mostre que se a matriz A é diagonalizável por uma matriz ortogonal, então A também é diagonalizável por uma matriz ortogonal.. Para cada matriz simétrica dada, determine a matriz ortogonal P e uma matriz diagonal D tal que A = P D P t : (a) A = (b) A =

78 Caderno de Álgebra Linear II Matrizes Simétricas, o Teorema Espectral e Operadores Auto-adjuntos 4. Obtenha a decomposição espectral das matrizes: [ (a) A = 4 (b) A = 5 4 (c) A = 4 5. Dada a matriz A = 5. Determine uma matriz ortogonal P e uma matriz diagonal D tal que A = P D P t.. Sendo A =, aplique o processo de diago- nalização à matriz A, determinando a matriz ortogonal P e a diagonal D tal que A = P D P t. 7. Verifique se o operador T : R R, definido por T(x,,z) = ( z, x z, x ), é auto-adjunto. Se for, determine uma base ortonormal formada pelos autovetores deste operador T e a matriz que representa T nesta base. 8. Seja T : R R um operador auto-adjunto com autovalores associados λ = e λ = 4. Suponha que v = (,,) e v = (,,) são autovetores associados ao λ =. Determine um autovetor associado ao autovalor λ = 4 e uma base ortonormal de autovetores de T. 9. Verifique se o operador T : R R, definido por T(x,,z) = (x +,x +,z) é auto-adjunto. Se for, determine uma base ortonormal de vetores do operador T e a matriz que representa T nesta base. Agora é a sua vez. Mãos à obra! 8 C E D E R J

79 Soluções. Mostre que se a matriz A é simétrica, então A também é simétrica. Solução: Vamos supor que uma matriz A seja simétrica, logo, por definição A = A t Assim temos que ( A ) t = (A A) t = A t A t = (A t ) Mas como A é simétrica, ou seja, A = A t, temos então que: (A t ) = A Logo, ( A ) t = A. Ou seja, A é também uma matriz simétrica. CAPÍTULO MÓDULO! Para provar um dado resultado você não deve, simplesmente, mostrar que o resultado é válido para certa matriz (ou certo dado) escolhido por você. Se fizer isso estará somente mostrando o resultado para a matriz escolhida. Nem pode mostrar que vale para as matrizes de certa dimensão (matriz quadrada ou matriz, por exemplo). A prova deste resultado deve ser genérica, pegando as definições e resultados válidos. A mesma observação vale para a questão a seguir.. Mostre que se a matriz A é diagonalizável por uma matriz ortogonal, então A também é diagonalizável por uma matriz ortogonal. Solução: Vamos supor que A seja uma matriz diagonalizável, logo existe uma matriz ortogonal P (como P é ortogonal P = P T ) e uma matriz diagonal D tal que: A = P D P T. A matriz A = A A, mas como A = P D P T, então, temos que: A = ( P D P T) (P D P T) Logo, A = ( P D P T P D P T), mas como P T = P, então P T P = I. Daí, A = ( P D I D P T) = ( P D D P T) = ( P D P T). C E D E R J 8

80 Caderno de Álgebra Linear II Matrizes Simétricas, o Teorema Espectral e Operadores Auto-adjuntos Como D é uma matriz ortogonal, sabemos que D também é ortogonal, logo, A é diagonalizável por uma matriz ortogonal D.. Para cada matriz simétrica dada, determine a matriz ortogonal P e uma matriz diagonal D tal que A = P D P T. (a) A = Solução: Os autovalores da matriz A são as raízes do polinômio característico. x p(x) = x = x(x ) x Assim, os autovalores de A são e.! A multiplicidade algébrica do autovalor λ = é, e a multiplicidade algébrica do autovalor λ = é. Se λ = (, então S = {(x,x,x) x R}, daí, v = (,,) e u =,, ). Se λ =, então S = {(x,x z,z) x,z R}, daí, ( ) v = (,,) e u =,, ( ) v = (,, ) e u =,,! A multiplicidde geométrica de λ = é, e a multiplicidade geométrica de λ = é. Ou seja, as multiplicidades geométrica e algébrica se confundem para quase autovalor. Podemos observar que {u,u,u } é uma base ortonormal de autovetores de A. 84 C E D E R J

81 Resposta: Dada a matriz simétrica A, determinamos a matriz ortogonal P = e a matriz dia- gonal D = (b) A = de modo que A = P D P T. CAPÍTULO MÓDULO Solução: Os autovalores da matriz A são as raízes do polinômio característico. x p(x) = x = x(x )(x ) x Os autovalores de A são, e. Se λ = então ( S = {(,,) ) R}, daí, v = (,,), logo u =,, Se λ = então S = {(,,z) z R}, daí, v = (,,), logo u = (,,) Se λ = então ( S = {(x,x,) ) x R}, daí, v = (,,), logo u =,, Resposta: Dada a matriz simétrica A, determinamos a matriz ortogonal P = e a matriz diagonal D = de modo que A = P D P T. 4. Obtenha a decomposição espectral das matrizes: (a) A = [ 4 Solução: A é uma matriz simétrica. O polinômio característico de A é dado por: C E D E R J 85

82 Caderno de Álgebra Linear II Matrizes Simétricas, o Teorema Espectral e Operadores Auto-adjuntos p(x) = det(xi A) = x x 4 = (x )(x 4) 4 = (x )(x 5) Assim os autovalores de A são λ = e λ = 5. Se λ = ( então S = {(x,) x+ = }, daí v = (,) e u = 5, 5 ). Se λ = 5 então ( S 5 = {(x,) x + = }, daí v = (,) e u = 5, 5 ). A decomposição espectral de A é dada por: A = u u t + 5u u t u u t = u u t = [ [ = 5 [ [ = Resposta: A decomposição espectral de A é dada por: [ 4 [ [ A = + 5 = 4 (b) A = Solução: A é uma matriz simétrica. O polinômio característico de A é dado por: x p(x) = det(xi A) = x x 5 = = (x 8)(x )(x ) Assim os autovalores de A são λ = 8, λ = e λ =. Se λ = 8 então S 8 = ({(x,,z) ) x = e z = }, daí v = (,,) e u =,,. { } Se λ = então S = (x,,z) x = = z, daí v = (,,) e u = (,, ). 8 C E D E R J

83 Se λ = então ( S = {(x,,z) x = = z}, daí v = (,,) e u =,, ). A decomposição espectral de A é dada por: A = 8u u t + u u t + u u t u u t = u u t = u u t = [ [ = = = [ = 4 CAPÍTULO MÓDULO Resposta: A decomposição espectral de A é dada por: A = (c) A = 4 4 Solução: A é uma matriz simétrica. O polinômio característico de A é dado por: p(x) = det(xi A) = x 4 x 4 x = (x 7) (x+). Assim os autovalores de A são λ = e λ = 7. C E D E R J 87

84 Caderno de Álgebra Linear II Matrizes Simétricas, o Teorema Espectral e Operadores Auto-adjuntos! Os autovalores de uma matriz simétrica A são números reais e, além disso, autovetores de auto-espaços diferentes são ortogonais. Isso nós já observamos nos exemplos a e b. Agora no item c, a matriz A tem só dois autovalores um com multiplicidade algébrica e outro com multiplicidade algébrica. Assim, devemos encontrar para o autovalor λ = 7 dois autovetores que sejam ortogonais. Se λ = então S = {(x,,z) x = e z = }, daí v = (,, ) e u = (,, ). Se λ = 7 então S 7 = {(x,,z) x+ z = }. Para se obter uma base ortogonal, neste caso, devemos determinar os vetores ortogonais que pertencem ao plano π : x+ z =. Seja v = (,,), v pertence ao plano π. Agora devemos determinar outro vetor que pertença a π e que seja ortogonal a v. { a+b+c = Seja v = (a,b,c) tal que:. Resolvendo o sistema determinamos v = a+c = (,4,). Assim temos: v = (,,) logo u = (,, ) v = (,4,) logo u = ( 8, 4 8, 8 ). A decomposição espectral de A é dada por: A = u u t + 7u u t + 7u u t u u t = u u t = u u t = [ [ = [ = 8 = C E D E R J

85 Resposta: A decomposição espectral da matriz A é dada por: A = Dada a matriz A = , determine uma matriz ortogonal P e uma matriz diagonal D tal que A = P D P t. 8 CAPÍTULO MÓDULO Solução: Como A é uma matriz simétrica, temos, pelo Teorema, que A é diagonalizável por matriz ortogonal. O polinômio característico de A é dado por p(x) = det(xi A), logo teremos: x p(x) = x = (x )(x )(x ) x 5 Os autovalores de A são, e. Se λ =, teremos: 5 elementares obtemos. usando as operações Daí, temos ( que S ) = {(x,,z) x = e z = }, logo, v = (,,) e u =,,. Se λ =, teremos: usando as operações elementares obtemos Daí, temos que S = {(x,,z) ( x = e z = }, logo, v = (,, ) e u =,, Se λ =, teremos: 4 4 ). usando as operações C E D E R J 89

86 Caderno de Álgebra Linear II Matrizes Simétricas, o Teorema Espectral e Operadores Auto-adjuntos 9 C E D E R J elementares obtemos Daí, temos que S = {(x,,z) ( = x e z = x}, logo, v = (,, ) e u =,, ). Resposta: D = e P =. Sendo A =, aplique o processo de diagonalização à matriz A, determinando a matriz ortogonal P e a diagonal D tal que A = P D P t. Solução: Como A é uma matriz simétrica, temos, pelo Teorema, que A é diagonalizável por matriz ortogonal. O polinômio característico de A é dado por det(xi A), logo teremos: x p(x) = x = x(x ) x Os autovalores de A são, e. Se λ =, teremos: + elementares obtemos usando as operações Daí, temos que S = ({(x,,z) x ) = e z = }, ou seja, v = (,,) e u =,, Se λ =, teremos: elementares obtemos usando as operações Daí, temos que S = {(x,,z) x z = }. Para escolhermos os autovetores ortogonais para λ =, temos que determinar os

87 vetores ortogonais que pertencem ao plano x z =. Facilmente determinamos v = (,,), agora para determinar o v, temos que encontrar um vetor deste plano que seja ortogonal ao v encontrado. Ou seja, v = (a,b,c) tal que v v = e v pertence ao plano, ou seja, a b c =. Logo, temos que: a b c = e a + b =. Daí, obtemos v = (,, ). Logo, para( λ = obtemos ) v ( = (,,) e v = (,, ). Logo u =,, e u =,, ). Resposta: D = e P = CAPÍTULO MÓDULO 7. Verifique se o operador T : R R, definido por T(x,,z) = ( z, x z, x ) é auto-adjunto. Se for, determine uma base ortonormal formada pelos autovetores deste operador T e a matriz que representa T nesta base. Solução: A matriz que representa o operador T com respeito à base canônica é: A =! Pelo Teorema da aula 4, temos que um operador é autoadjunto se e somente se a matriz que o representa com respeito a qualquer base ortonormal é uma matriz simétrica. Logo, o operador acima é auto-adjunto. Precisamos agora determinar primeiro os autovetores e a partir deles os autovetores de A (que vai ser uma base ortogonal) e a partir desses autovetores vamos determinar a base ortonormal. O polinômio característico de A é dado por p(x) = det(xi A), logo teremos: x p(x) = x x = (x ) (x+) C E D E R J 9

88 Caderno de Álgebra Linear II Matrizes Simétricas, o Teorema Espectral e Operadores Auto-adjuntos 9 C E D E R J Os autovalores de A são e. Se λ =, teremos: por meio das operações elementares obtemos Daí, temos que V = {(x,,z) x++z = }. Para escolhermos os autovetores ortogonais para λ =, temos que determinar os vetores ortogonais que pertencem ao plano x + + z =. Facilmente determinamos v = (,,), agora para determinar o v temos que encontrar um vetor deste plano que seja ortogonal ao v encontrado. Ou seja, v = (a,b,c) tal que v v = e v pertence a V. Logo, temos que: a + b + c = e a + b =. Daí obtemos v = (,, ). Para ( λ = obtemos ) v = ( (,,) e v = (,, ). Logo u =,, e u =,, ). Se λ =, teremos: por meio das operações elementares obtemos Daí, temos que S = {(x,,z) ( x ) = z e = z}, ou seja, v = (,,). Logo u =,, Resposta: O operador T é auto-adjunto, uma base ortonormal formada pelos autovetores deste operador T é {( ) ),( B =,,,(,,,, )}, e a matriz que representa T nesta base D = 8. Seja T : R R um operador auto-adjunto com autovalores associados λ = e λ = 4. Suponha que v = (,,) e v = (,,) são autovetores associados ao λ =. Determine um autovetor associado ao autovalor λ = 4 e uma base ortonormal de autovetores de T..

89 Solução: Como T é um operador auto-adjunto, o autovetor associado ao autovalor λ = 4 vai ser o vetor v que é ortogonal a v e v. Logo, v = (,, ). Podemos observar que v e v não são ortogonais, logo precisamos determinar o vetor w ortogonal a v e v. Seja w = (,,). Temos a base ( ortonormal de vetores ( de T) formada ( pelos vetores: u =, ), ); u =,, e u =,, Resposta: O autovetor associado ao autovalor λ = 4 é v = (,, ). A base ortonormal é {( ( ) β =,, ),,,,(,, )}. CAPÍTULO MÓDULO! Se tomar o vetor w ortogonal a v e v, a base será: {( ),( ( 5 β =,, 5,, 5 ),,, )} 9. Verifique se o operador T : R R, definido por: T(x,,z) = (x +,x +,z) é auto-adjunto. Se for, determine uma base ortonormal de vetores do operador T e a matriz que representa T nesta base. Solução: Seja A a matriz que representa este operador na base canônica: A = é matriz simétrica, logo o operador T é auto-adjunto. Os autovalores de A são, e. ( ) Se λ = então v = (,,), logo u =,,. Se λ = então v = (,,), logo u = (,,). ( ) Se λ = então v = (,,), logo u =,,. C E D E R J 9

90 Caderno de Álgebra Linear II Matrizes Simétricas, o Teorema Espectral e Operadores Auto-adjuntos Resposta: {( O operador ) T é auto-adjunto, uma )} base ortonormal é B =,,,(,,),(,, e a matriz que representa T nesta base D =. 94 C E D E R J

91 Capítulo 4 FORMAS BILINEARES, FORMAS QUADRÁTICAS, CÔNICAS, QUÁDRICAS, AUTOVALOR COMPLEXO Este é o último capítulo! Nele estamos tratando os conceitos: Fórmulas Bilineares e Quadráticas, Cônicas, Quádricas e também o Autovalor Complexo. No primeiro capítulo fizemos todas as contas para determinar autovalores e autovetores, mas aos poucos, nos outros capítulos, deixamos de ter esse cuidado. Agora, neste capítulo, não estamos mais fazendo as contas pois achamos que vocês já estão aptos a fazê-las. Vamos lá. Ao trabalho! Exercícios. Seja F uma forma bilinear no espaço vetorial V e A a matriz que representa F numa base α de V. Mostre que F é uma forma bilinear simétrica se e somente se A é uma matriz simétrica.. Seja A M n (R). Verifique que a aplicação F : R n R n R, definida por F(u,v) = u t Av, é uma forma bilinear.. Seja F : R R R definida por F(u,v) = u,v, o produto escalar em R. (a) Determine a matriz A que representa a forma bilinear F com respeito à α, base canônica de R. (b) Determine a matriz B que representa a forma bilinear F com respeito à base β = {(,,),(,,),(,,)}.

92 Caderno de Álgebra Linear II Formas Bilineares, Formas Quadráticas, Cônicas, Quádricas, Autovalor Complexo 4. Seja F : R R R definida por F(u,v)=F((x,x ),(, ))= x x + x. (a) Determine a matriz A que representa a forma bilinear F com respeito à α, base canônica de R. (b) Determine a matriz B que representa a forma bilinear F com respeito à base β = {(,),(,)}. (c) Determine a matriz C que representa a forma bilinear F com respeito à base δ = {(,),(, )}. (d) Determine a matriz mudança de base P, da base β para a base δ, e verifique que B = P t CP. 5. Determine, em cada caso, uma mudança de variável P que transforme as formas quadráticas q : R R, definidas a seguir, dadas na base canônica, em uma forma diagonal. Obtenha também a expressão dessa forma diagonal. 9 C E D E R J (a) q(x,x,x ) = x +5x +x x x +x x x x (b) q(x,x,x ) = x + x + x + x x. Em cada caso, aplique o procedimento apresentado na aula 7, simplificando a equação ao máximo e identificando a cônica apresentada. Reescreva a equação da cônica na forma matricial (v t Av+Bv+n = ). Lembre-se de que v t Av é a forma diagonal e Bv a forma linear e n é o termo independente. Determine os autovetores (base ortonormal: P) e autovalores da matriz simétrica A. Lembre-se de que P é a matriz que diagonaliza a matriz A, e a matriz diagonal D é composta dos autovalores e D = P t AP. A forma[ diagonal de q é dada por: q(x, ) = x [x D. A forma linear se transforma em Bv = B (P(x, )) o que vai ser feito aqui é simplesmente uma mudança de base. Reescreva a equação com a forma diagonal e a forma linear.

93 ! Resolva os quadrados perfeitos, e a equação estará simplificada. Classifique a cônica. Se os autovalores forem diferentes de zero: se os autovalores tiverem o mesmo sinal (todos maiores que zero ou menores que zero), teremos uma elipse, um ponto ou o conjunto vazio; se os autovalores tiverem sinais contrários, a cônica será uma hiperbole ou um par de retas concorrentes. Se um dos autovalores for igual a zero, teremos uma parábola, ou um par de retas paralelas ou uma única reta ou o conjunto vazio. CAPÍTULO 4 MÓDULO (a) 7x + 8x 7 5x+ 5+4 = (b) 4x + + 4x+5 5x+ 5+5 = (c) x + x+ x + = 7. Em cada caso, aplique o procedimento apresentado na aula 8, simplificando a equação ao máximo e identificando a quádrica apresentada. Reescreva a equação da quádrica na forma matricial (v t Av+Bv+ p = ). v t Av é a forma diagonal e Bv a forma linear, e p é o termo independente.! Observe agora que A é uma matriz, e v é um vetor do R. Determine os autovetores (base ortonormal: P) e autovalores da matriz simétrica A. Lembre-se de que P é matriz que diagonaliza a matriz A, e a matriz diagonal D é composta dos autovalores e D = P t AP. A forma diagonal de q é dada por q(x, ) = x [x z D. z C E D E R J 97

94 Caderno de Álgebra Linear II Formas Bilineares, Formas Quadráticas, Cônicas, Quádricas, Autovalor Complexo A forma linear se transforma em Bv = B(P(x,,z )) o que vai ser feito aqui é simplesmente uma mudança de base. Reescreva a equação com a forma diagonal e a forma linear. Resolva os quadrados perfeitos, e a equação da quádrica estará simplificada. Classifique a quádrica.! Se os autovalores forem diferentes de zero: se p é diferente de zero, a quádrica é dita ser de centro e será uma elipsóide, se os autovalores tiverem o mesmo sinal teremos uma elipsóide, um ponto ou o conjunto vazio; se os autovalores tiverem sinais contrários, a cônica será uma hiperbolóide de uma folha (com um sinal negativo) ou de duas folhas (com dois sinais negativos); se p é igual a zero, teremos um cone ou um par de retas concorrentes. Se um dos autovalores for igual a zero, teremos um parabolóide elíptico ou hiperbólico, um cilindro elíptico ou parabólico, dois planos secantes ou dois planos paralelos. (a) x 4 x+ +z 9 = (b) x+xz+z x 4z 9 = (c) 7x +7 +z x 4xz+4z x++z 4 = 8. Determine os autovalores e uma base para cada auto-espaço das matrizes a seguir: [ (a) A = [ (b) A = 5 98 C E D E R J 9. Calcule [ os autovalores e autovetores da matriz a b A =, onde a e b são números reais tal que a b a diferente de zero ou b diferente de zero. Agora é a sua vez. Mãos à obra!

95 Soluções. Seja F uma forma bilinear no espaço vetorial V e A a matriz que representa F numa base α de V. Mostre que F é uma forma bilinear simétrica se e somente se A é uma matriz simétrica. Solução: Se F é uma forma bilinear no espaço vetorial V, temos que: F(u,v) = u t Av. Observe que u t Av é um escalar, logo, u t Av = (u t Av) t. Daí, F(u,v) = (u t Av) t = v t A t u. Pela definição temos que se F é bilinear, ou seja, F(u,v) = F(v, u), assim: CAPÍTULO 4 MÓDULO Logo, v t Au = F(u,v) = F(v,u) = v t Au. v t A t u = v t Au Daí, A t = A, ou seja, A é uma matriz simétrica. Reciprocamente, se A é uma matriz simétrica, então A t = A, então: F(u,v) = u t Av = ( u t Av ) t = v t A t u = v t Au = F(v,u) Logo, a forma bilinear F também é simétrica.! Ficou provado então que F é uma forma bilinear simétrica se somente se a matriz A que representa F numa base α do espaço vetorial V é matriz simétrica.. Seja A M n (R). Verifique que a aplicação F : R n R n R, definida por F(u,v) = u t Av é uma forma bilinear. Solução: Seja u, v, w R n e a R. F(u + aw,v) = (u+aw) t Av = (u t + aw t )Av = u t Av+aw t Av = = F(u, v) + af(w, v), ou seja, F é bilinear na primeira variável. F(u,v+aw)=u t A(v+aw)=(u t Av)+(u t Aaw)=(u t Av)+a(u t Aw)= F(u,v) + af(w,v), ou seja, F é bilinear também na segunda variável. Logo, F é forma bilinear. C E D E R J 99

96 Caderno de Álgebra Linear II Formas Bilineares, Formas Quadráticas, Cônicas, Quádricas, Autovalor Complexo. Seja F : R R R definida por F(u,v) = u,v, o produto escalar em R. (a) Determine a matriz A que representa a forma bilinear F com respeito à α, base canônica de R. Solução: Temos que: F((,,),(,,)) = ; F((,,),(,,)) = ; F((,,),(,,)) = ; F((,,),(,,)) = ; F((,,),(,,)) = ; F((,,),(,,)) = ; F((,,),(,,)) = ; F((,,),(,,)) = e F((,,),(,,)) = Logo A = Resposta: A matriz que representa a forma bilinear F com respeito à base canônica é A =. (b) Determine a matriz B que representa a forma bilinear F com respeito à base β = {(,,),(,,),(,,)}. Solução: F((,,),(,,)) = ; F((,,),(,,)) = ; F((,,),(,,)) = ; F((,,),(,,)) = ; F((,,),(,,)) = ; F((,,),(,,)) = ; F((,,),(,,)) = ; F((,,),(,,)) = ; e F((,,),(,,)) = 5. Logo B = 5 Resposta: A matriz que representa a forma bilinear F com respeito à base canônica é B =. 5 C E D E R J 4. Seja F : R R R definida por: F(u,v)=F((x,x ),(, ))= x x + x.

97 (a) Determine a matriz A que representa a forma bilinear F com respeito à α, base canônica de R. Solução: F((,),(,)) = ; F((,),(,)) = ; F((,),(,)) = ; e F((,),(,)) =. [ Logo A = Resposta: A matriz que representa [ a forma bilinear F com respeito à base canônica é A =. CAPÍTULO 4 MÓDULO (b) Determine a matriz B que representa a forma bilinear F com respeito à base β = {(,),(,)} Solução: F((,),(,)) = ; F((,),(,)) = ; F((,),(,)) = ; F((,),(,)) =. [ Logo B = Resposta: A matriz que representa [ a forma bilinear F com respeito à base canônica é B =. (c) Determine a matriz C que representa a forma bilinear F com respeito à base δ = {(,),(, )} Solução: F((,),(,)) = ; F((,),(, )) = 9; F((, ),(,)) = ; F((, ),(, )) =. [ 9 Logo C = Resposta: A matriz que representa [ a forma bilinear F 9 com respeito à base canônica é C =. (d) Determine a matriz mudança de base P, da base β para a base δ, e verifique que B = P t CP. Solução: Observe que, neste caso, a matriz P é a matriz mudança de base, da base β para a base δ, que é definida por δ β (reveja este conceito no seu livro de Álgebra Linear I). C E D E R J

98 Caderno de Álgebra Linear II Formas Bilineares, Formas Quadráticas, Cônicas, Quádricas, Autovalor Complexo Temos que: [ β = Logo P = δ β = Além disso, P t = [ ; δ = [ [ Logo, B = P t CP, ou seja: [ = [ [ [ 9 e δ = [ [ = [ Resposta: A matriz mudança de base é P = e vimos que B = P t CP. [ 5. Determine, em cada caso, uma mudança de variável P que transforme as formas quadráticas q : R R, definidas a seguir, dadas na base canônica, em uma forma diagonal. Obtenha também a expressão dessa forma diagonal. (a) q(x,x,x ) = x +5x +x x x +x x x x Solução: Observando os coeficientes de q, podemos observar que a matriz A, que representa q na base canônica, é dada por: A = 5 Diagonalizar a forma quadrática q é equivalente a diagonalizar a matriz simétrica A. O polinômio característico de A é dado por: x p(x) = det(xi A) = x 5 x = = (x )(x )(x ) As raízes do polinômio característico são, e, ou seja, os autovalores de A são, e. C E D E R J

99 Se λ =, temos Resolvendo o sistema 5 x z x z = = determinamos: S = {(x,,z) x = z e = z} = {(z, z,z) z R} = [(,,). Logo v = (,,). x Se λ =, temos 5 =. z x Resolvendo o sistema, =, z determinamos: S = {(x,,z) = e x = z} = {( z,,z) z R} = [(,,). Logo v = (,,). x Se λ =, temos 5 =. z x Resolvendo o sistema, =, z determinamos: S = {(x,,z) z = e x = } = {(,,) R} = [(,,). Logo v = (,,). A base dos autovetores é B = {(,,),(,,),(,,)} que é uma base ortogonal, porém, precisamos determinar a base ortonormal, ou seja,,. CAPÍTULO 4 MÓDULO {( P =,, ( ( ),,, ),,, )}, ou seja: P = Devemos tomar os autovetores de tal forma que det P =. A matriz diagonal correspondente é: D = C E D E R J

100 Caderno de Álgebra Linear II Formas Bilineares, Formas Quadráticas, Cônicas, Quádricas, Autovalor Complexo A expressão na forma diagonal de q é dada por: q(,, )=[ = + + Resposta: A matriz mudança de variável é P = e a expresssão desta forma diagonal é, q(,, ) = C E D E R J (b) q(x,x,x ) = x + x + x + x x Solução: Observando os coeficientes de q, podemos observar que a matriz A que representa q na base canônica é dada por: A = Diagonalizar a forma quadrática q é equivalente a diagonalizar a matriz simétrica A. O polinômio característico de A é dado por: x p(x) = det(xi A) = x x = = (x )(x )(x ) Logo, os autovalores são, e. Se λ =, temos que: (I A)v =, ou seja, x z = Este sistema é equivalente a: x = e z =, logo a solução é da forma: V = {(,, ) R}=[(,, ). Portanto, v = (,, ) é o autovetor associado a λ =.

101 Se λ =, temos que: (I A)v =, ou seja, x = z Este sistema, para qualquer valor de x, é equivalente a = e z =, logo, todas as soluções são da forma: V = {(x,,) x R} = [(,,). Portanto, v = (,,) é o autovetor associado a λ =. Se λ =, temos que: (I A)v =, ou seja, x = z CAPÍTULO 4 MÓDULO Este sistema é equivalente a: x = e z =, logo, todas as soluções são da forma: V = {(,,) R} = [(,,). Portanto, v = (,,) é o autovetor associado a λ =. A base dos autovetores é B = {(,, ),(,,),(,,)} que é uma base ortogonal, porém, precisamos determinar a base ortonormal, ou seja, { ( P = (,,),,, ( ),,, )}, ou seja:! Observe que mudamos a ordem dos vetores de P para que detp =. P =, detp = A matriz diagonal D, semelhante à matriz A, é dada por: D = C E D E R J 5

102 Caderno de Álgebra Linear II Formas Bilineares, Formas Quadráticas, Cônicas, Quádricas, Autovalor Complexo A expressão na forma diagonal de q é dada por: q(,, )=[ = + + Resposta: A matriz mudança de variável P = e a expresssão desta forma diagonal é, q(,, ) = Em cada caso, aplique o procedimento apresentado na aula 7, simplificando a equação ao máximo e identificando a cônica apresentada. (a) 7x + 8x 7 5x+ 5+4 = Solução: Vamos seguir o procedimento sugerido na aula 7 passo a passo. Ou seja: Reescreva a equação da cônica na forma matricial (v t Av+Bv+n = ). [ [ [ 7 4 x [x [ x = 4 Determine os autovetores (base ortonormal P ) e autovalores da matriz simétrica A. Lembre-se de que P é a matriz que diagonaliza a matriz A, e a matriz diagonal D é composta dos autovalores e D = P t AP. [ 7 4 A = 4 Os autovalores de A são: 9 e.! A cônica pode ser uma hipérbole. C E D E R J

103 ( ) Se λ = 9, temos que v = (, ), logo u =, 5 5 ( Se λ =, temos que v = (,), logo u = [ 9 D = e P = 5 5, com detp = 5 5 ), 5 5 [ x A forma diagonal de q é dada por q(x, )=[x D [ 9 q(x, ) = [x [ x CAPÍTULO 4 MÓDULO A forma linear se transforma em Bv = B(P(x, )) o que vai ser feito aqui é simplesmente uma mudança de base. [ 5 Bv = [ x Reescreva a equação com a forma diagonal, a forma linear e o termo independente. [ 9 [x [ x [ [ x +4= Resolva a equação e os quadrados perfeitos, e a equação estará simplificada. ( 9 x 5 ) 9x 45x = 9 ( x ) ( 5x ) 5 = 4 ( 5 ( 5 = 4+9 ) 4 ) 5 4 = 4+8 ( 9 x 5 ( ) 5 = 4+5 = 9 ) ( 9 x 5 ( ) 5 = 9 ) ( ) 5 4 Seja x = ( x 5 ) e = ( 5 ). A equação reescrita será: x 9 de uma hipérbole. = que é a equação Resposta: A equação simplificada é x 9 = que representa uma hipérbole. C E D E R J 7

104 Caderno de Álgebra Linear II Formas Bilineares, Formas Quadráticas, Cônicas, Quádricas, Autovalor Complexo (b) 4x + + 4x+5 5x+ 5+5 =. Solução: Reescreva a equação da cônica na forma matricial (v t Av+Bv+n = ). [ 4 [x [ x [ [ x = Determine os autovetores (base ortonormal P ) e autovalores da matriz simétrica A. Lembre-se de que P é a matriz que diagonaliza a matriz A, e a matriz diagonal D é composta dos autovalores e D = P t AP. [ 4 A = Os autovalores de A são: e 5.! A cônica pode ser uma parábola. Se λ =, temos que v = (, ), logo u = ( 5, 5 ). ( Se λ = 5, temos que v = (,), logo u = [ 5 D = e P = 5 com det P = , 5 5 ). [ x A forma diagonal de q é dada por q(x, )=[x D [ q(x, ) = [x 5 [ x A forma linear se transforma em Bv = B(P(x, )) o que vai ser feito aqui é simplesmente uma mudança de base. [ 5 Bv = [ x 8 C E D E R J

105 Reescreva a equação com a forma diagonal, a forma linear e o termo independente. [ [x 5 [ [ 5 x [ x + 5 = Resolva a equação e os quadrados perfeitos, e a equação estará simplificada. 5 5x = ( 5 + ) = 5x 5 (dividindo por 5) CAPÍTULO 4 MÓDULO ( + 4 ) = x ( + ) = x +4 ( + ) = x + = (x + ) ( + ) = (x + ) Seja x = (x + ) e = ( + ) A equação reescrita será: = x que é a equação de uma parábola. Resposta: A equação simplificada é = x que representa uma parábola. (c) x + x+ x + = Solução: Reescreva a equação da cônica na forma matricial (v t Av+Bv+n = ). [ [x [ x [ + [ x + = Determine os autovetores (base ortonormal P) e autovalores da matriz simétrica A. Lembre-se de que P é a matriz que diagonaliza a matriz A, e a matriz diagonal D é composta dos autovalores e D = P t AP. [ A = Os autovalores de A são: 4 e. C E D E R J 9

106 Caderno de Álgebra Linear II Formas Bilineares, Formas Quadráticas, Cônicas, Quádricas, Autovalor Complexo! Esta cônica pode ser uma elipse. ( ) Se λ = 4, temos que v = (, ), logo u =, ( ) Se λ =, temos que v = (,), logo u =, [ 4 D = e P = [ x A forma diagonal de q é dada por q(x, )=[x D [ 4 q(x, ) = [x [ x A forma linear se transforma em Bv = B(P(x, )) o que vai ser feito aqui é simplesmente uma mudança de base. [ 5 Bv = 7 5 [ x Reescreva a equação com a forma diagonal, a forma linear e o termo independente. [ 4 [x [ x [ + [ x + = Resolva a equação e os quadrados perfeitos, e a equação estará simplificada. 4x + + 8x 4 + = 4 ( x + x ) + ( ) = 4(x + ) + ( ) = +4+ = 4 (x + ) + ( ) = Seja x = (x + ) e = ( ). C E D E R J

107 A equação reescrita será: x + de uma elipse. = que é a equação Resposta: A equação simplificada é x + = que representa uma elipse. 7. Em cada caso, aplique o procedimento apresentado na aula 8, simplificando a equação ao máximo e identificando a quádrica apresentada. (a) x 4 x+ +z 9 = CAPÍTULO 4 MÓDULO Solução: Reescreva a equação da cônica na forma matricial (v t Av+Bv+n = ). [x z x z + [ 4 x z =9 Determine os autovetores (base ortonormal P) e autovalores da matriz simétrica A. Lembre-se de que P é a matriz que diagonaliza a matriz A, e a matriz diagonal D é composta dos autovalores e D = P t AP. A = Os autovalores de A são:, e.! A quádrica pode ser um parabolóide elíptico ou hiperbólico, um cilindro elíptico ou parabólico, dois planos secantes ou dois planos paralelos. Se λ =, temos que v = (,,), logo u = (,,). ( ) Se λ =, temos que v = (,,), logo u =,,. Se λ =, temos que v = (,,), logo u = (,, Observe que a partir deste exercício estamos deixando as contas por conta de vocês. ). C E D E R J

108 Caderno de Álgebra Linear II Formas Bilineares, Formas Quadráticas, Cônicas, Quádricas, Autovalor Complexo D = e P = com det P =. A forma diagonal de q é dada por q(x,,z )=[x z D q(x,,z ) = [x z x z x z A forma linear se transforma em Bv = B(P(x,,z )) o que vai ser feito aqui é simplesmente uma mudança de base. [ Bv = 4 x z Reescreva a equação com a forma diagonal, a forma linear e o termo independente. [x z x z [ + 4 x = 9 z Resolva a equação e os quadrados perfeitos, e a equação estará simplificada. z + x + z = 9 x + ( ) ( z z ) = 9 x +( ) (z ) = 9+ 9 = x +( ) (z ) = Seja x = x, = ( ) e z = (z ). A equação reescrita será: x + z =. A quádrica é um parabolóide hiperbólico. Resposta: A equação simplificada é x + z = que representa um parabolóide hiperbólico. C E D E R J

109 (b) x+xz+z x 4z 9 = Solução: Reescreva a equação da cônica na forma matricial (v t Av+Bv+n = ). [x z x z [ 4 x z = 9 Determine os autovetores (base ortonormal P) e autovalores da matriz simétrica A. Lembre-se de que P é a matriz que diagonaliza a matriz A, e a matriz diagonal D é composta dos autovalores e D = P t AP. A = CAPÍTULO 4 MÓDULO Os autovalores de A são: e. A quádrica pode ser um hiperbolóide de duas folhas. Se λ =, temos que determinar dois autovetores ortogonais associados a este autovalor. Como S = {(x,,z) x++ z = }, temos que determinar dois vetores ortogonais pertencentes a este espaço. Seja v = (,,) e v = (,, ), v e v são ( elementos de S e são vetores ortogonais. Logo, u = ), e u = (,, )., Se λ =, temos que v = (,,), logo u = (,, ). Daí, D = e P = com detp =. A forma diagonal de q é dada por q(x,,z )=[x z D q(x,,z ) = [x z x z x z C E D E R J

110 Caderno de Álgebra Linear II Formas Bilineares, Formas Quadráticas, Cônicas, Quádricas, Autovalor Complexo A forma linear se transforma em Bv = B(P(x,,z )) o que vai ser feito aqui é simplesmente uma mudança de base. Bv = [ 4 x z Reescreva a equação com a forma diagonal, a forma linear e o termo independente. [x z x z +[ 4 x = 9 z Resolva a equação e os quadrados perfeitos, e a equação estará simplificada. x + z + x 4 z = 9 x + z 4 z = 9 ( x + 4 ) (z + 8 ) z = 9 ( x + ) ( z + 4 ) = 9+ ( x + ) ( z + 4 ) = ( ) ( Seja x = x, = e z = z 4 ). = 9 = 9 A equação reescrita será: x + z =. A quádrica é um hiperbolóide de duas folhas. Resposta: A equação simplificada é x + z = que representa um hiperbolóide de duas folhas. (c) 7x z x 4xz+4z x++z 4 = 4 C E D E R J

111 Solução: Reescreva a equação da cônica na forma matricial (v t Av+Bv+n = ). [x z 7 7 x z +[ x z = 4 Determine os autovetores (base ortonormal: P) e autovalores da matriz simétrica A. Lembre-se de que P matriz que diagonaliza a matriz A, e a matriz diagonal D é composta dos autovalores e D = P t AP. A = 7 7 CAPÍTULO 4 MÓDULO Os autovalores de A são: e.! A quádrica pode ser um elipsóide, um ponto ou o conjunto vazio. Se λ =, temos que determinar dois autovetores ortogonais associados a este autovalor. Como S = {(x,,z) x z = }, temos que considerar ( ) v = (,,), ( então v = (,,), logo u =,, e u =,, ). ( Se λ =, temos que v = (,,), logo u =,, Daí, D = detp =. e P = com A forma diagonal de q é dada por q(x,,z )=[x z D q(x,,z ) = [x z x z ) x z A forma linear se transforma em Bv = B(P(x,,z )) o que vai ser feito aqui é simplesmente uma mudança de base. C E D E R J 5

112 Caderno de Álgebra Linear II Formas Bilineares, Formas Quadráticas, Cônicas, Quádricas, Autovalor Complexo Bv = [ x z Reescreva a equação com a forma diagonal, a forma linear e o termo independente. [x z x z +[ x = 4 z Resolva a equação e os quadrados perfeitos, e a equação estará simplificada. x + + z + 44 z = 4 ( x + ( )+ z + ) z = 4 ( x + + ) ( + z ) = = 4 ( x + + ) ( + z ) = 4 (dividindo por ) ( x + + ) ( + z ) = 9 ( ) ( Seja x = x, = + 5 e z = z ). A equação reescrita será: x + +z = 9. A quádrica é um elipsóide. Resposta: A equação simplificada é x + + z = 9 que representa um elipsóide. 8. Determine os autovalores e uma base para cada auto-espaço das matrizes a seguir: (a) A = [ C E D E R J

113 Solução: Determinando os autovalores de A, temos: x x = ((x )(x ))+ = x 4x+5 Logo, os autovalores de A são: +i e i. Determinando os autovetores, temos: Se λ = +i, teremos: [ +i +i [ +i +i Multiplicando a segunda linha por + i e somando este resultado na primeira linha, encontraremos: [ +i CAPÍTULO 4 MÓDULO (b) Logo, x+( +i) =, ou seja: x = ( +i). A solução para esse sistema S +i = {(( + i), ) R} = [( +i,). Ou seja: se λ = +i, então o autovetor v = ( +i,). Se λ = i, teremos: [ i i [ i i Multiplicando a segunda linha por i e somando este resultado na primeira linha, encontraremos: [ i Logo, x+( i) =, ou seja: x = ( i). A solução para esse sistema S i = {(( i), ) R} = [( i,). Ou seja: se λ = i, então o autovetor v = ( i,). Resposta: Os autovalores de A são +i e i, e a base para estes espaços é determinada por P = {( + i,), ( i,)}. [ 5 C E D E R J 7

114 Caderno de Álgebra Linear II Formas Bilineares, Formas Quadráticas, Cônicas, Quádricas, Autovalor Complexo Solução: x+ 5 x = ((x+)(x ))+5 = x + Os autovalores de A são: +i e i. Determinando os autovetores, temos: Se λ = +i, teremos: [ +i+ 5 +i [ +i+ (Multiplicamos a primeira linha por i + e somamos este resultado na segunda linha) Logo, (i+)x+ =, ou seja: = (i+)x. A solução para esse sistema S +i = {((x, (i + )x) x R} = [(, i ). Ou seja: se λ = +i, então o autovetor v = (, i ). Se λ = i, teremos: [ i+ 5 i [ i+ (Multiplicamos a primeira linha por i+ e somamos este resultado na segunda linha) Logo, ( i+)x+ =, ou seja: = ( i+)x. A solução para esse sistema S i = {((x,(i )x) x R} = [(,i ). Ou seja: se λ = i, então o autovetor v = (,i ). Resposta: Os autovalores são +i e i, e a base dos autovetores é determinada por P = {(, i ),(,i )}. [ a b 9. Calcule os autovalores e autovetores da matriz A = b a onde a e b são números reais tal que a diferente de zero ou b diferente de zero. Solução:, x a b b x a = (x a) + b = x ax+(a + b ) 8 C E D E R J

115 Os autovalores de A são: a+bi e a bi. Determinando os autovetores temos: Se λ = a+bi, teremos: [ a+bi a b b a+bi a [ +bi b b bi [ +bi b (Multiplicamos a primeira linha por i e somamos este resultado na segunda linha) Logo, bix+b =, dividindo essa equação por b, encontramos: = ix. A solução para esse sistema S +i = {(x, ix) x R} = [(, i). Ou seja: se λ = a+bi, então o autovetor v = (, i). Se λ = a bi, teremos: [ a bi a b b a bi a [ bi b b bi [ bi b CAPÍTULO 4 MÓDULO (Multiplicamos a primeira linha por i e somamos este resultado na segunda linha) Logo, bix + b =, dividindo essa equação por b, encontramos: = ix. A solução para esse sistema S +i = {(x,ix) x R} = [(,i). Ou seja: se λ = a bi então o autovetor v = (,i). Resposta: Os autovetores são a+bi e a bi. Os autovetores são {(, i),(,+i)}. C E D E R J 9

116

117 Apêndice Já tinha acabado de formatar todo este livro, mas continuava buscando mais exercícios e encontrei algumas provas. Assim, decidi fazer este apêndice como se fosse uma grande prova. São questões envolvendo toda a matéria. Fica então como sugestão para vocês, ao final do estudo de Álgebra Linear II, resolver mais esses exercícios. Caso você consiga, pode se sentir preparado para qualquer prova com o conteúdo estudado aqui. Vamos lá! Eis aqui a prova dos nove! Exercícios. Dada uma matriz A M n (R). Verifique se: 4 (i) v = é um autovetor da matriz A =. 8 Caso seja, determine o autovalor correspondente. (ii) λ = é um autovalor de A = 4. Caso seja, determine um autovetor associado a este autovalor. 4. Mostre que a matriz A = é diagonalizável e determine a matriz diagonal D e uma matriz P tal que D = P A P.. Considere o operador linear T de R definido por: T(x,,z) = (x++z,x++z,x++z). Verifique se é diagonalizável. Caso seja, determine sua representação diagonal D M (R) e a matriz P que representa a base dos autovetores correspondente.

118 4. Mostre que o operador T : R R definido por: T(x,,z) = (x++z,x+4+z,x++z) é diagonalizável. Caso seja, determine sua representação diagonal D M (R) e o conjunto P que representa a base dos autovetores correspondentes. 5. Determine uma matriz ortogonal cuja primeira coluna tenha a direção do vetor v = (,,).. Obtenha uma matriz ortogonal cuja primeira coluna tenha a direção do vetor v = (,, ). 7. Mostre que: Se A M n (R) é ortogonal então det(a)=±. 8. Obtenha: (a) Uma matriz A que representa em R uma reflexão na reta = x. (b) Uma matriz B que representa em R uma rotação de π radianos. (c) A matriz que representa a reflexão (do item a) seguida da rotação (do item b). 9. Determine a matriz rotação de π radianos em torno da reta L que passa pela origem e é paralela ao vetor v = (,,).. Determine a matriz que representa a reflexão no plano Π : x +z com respeito à base canônica do R.. Determine a matriz que representa a projeção ortogonal sobre o plano Π : x++z =, com respeito à base canônica do R.

119 . Determine: (a) A matriz que representa a projeção ortogonal dos pontos P = (,, ) e P = (,,) sobre o plano Π : x+ z =. (b) A matriz que representa a reflexão sobre o plano Π : x++z =.. Represente a matriz E, que representa em R, uma reflexão no plano Π gerado pelos vetores v = (,,) e w = (,,). 4. Obtenha a composição espectral de A = 5. Obtenha a decomposição espectral da matriz A = 5. Seja T : R R um operador auto-adjunto com autovalores associados λ = e λ = 4. Suponha que v = (,,) e v = (,,) são autovetores associados ao λ =. Determine um autovetor associado ao autovalor λ = 4 e uma base ortonormal de autovetores de T. 7. Seja a forma bilinear F : R R R definido por: F((x,x ),(, )) = x x + x (a) Determine a matriz A que representa F com respeito à base canônica α = {(,),(,)}. (b) Determine a matriz B que representa F com respeito à base β = {(,),(, )}. 8. Identifique a cônica representada pela equação: x 4x+4 + x 4 =

120 9. Identifique a quádrica representada pela equação a seguir. Determine a matriz diagonal, que diagonaliza a forma quadrática e a equação da quádrica no novo sistema. x + + 5z 4x xz+z x z = 7. Determine os autovalores e uma base para cada auto-espaço da matriz [ A = 5 Mãos à obra! Tente fazer essas questões antes de ler as soluções apresentadas aqui. Boa sorte! Soluções. Dada uma matriz A M n (R). Verifique se: 4 (i) v = é um autovetor da matriz A =. 8 Caso seja, determine o autovalor correspondente. Solução: Pela definição temos que: se v é autovetor da matriz A, então existe λ R tal que A v = λv. Assim 4 8 = = Resposta: v = é autovetor da matriz A = e o autovalor correspondente é λ =. 4 8,

121 (ii) λ = é um autovalor de A = 4 determine um autovetor associado a este autovalor.. Caso seja, Solução: Pela definição temos que λ é autovalor de A, existe vetor não-nulo v tal que av = λ v. Assim: 4 x z = x z = x z Reescrevendo como sistema: x++z = x x+4+z = x++z = z x++z = x +z = x+ z = Resolvendo o sistema: { x+z = x = { z = x = x A solução deste sistema determina S = {(x,,z) z = x e = x} = [(,,). Logo, qualquer vetor de S é um autovetor associado ao autovalor λ =. Resposta: λ = é um autovalor de A = autovetor associado é v = (,,).. Mostre que a matriz A = 4 4, e um é diagonalizável e determine a matriz diagonal D e uma matriz P tal que D = P A P.

122 Solução: A equação característica de A é determinada por: x 4 p(x)=det(xi A)= x x = (x )(x )(x ) Portanto, os autovalores da matriz A são, e. Todos com multiplicidade algébrica. λ = v = (,,) Temos que: λ = v = (,, ) λ = v = (,, ) Resposta: A matriz A é diagonalizável. Sua representação diagonal é dada por D = e P = tal que D = P A P.. Considere o operador linear T de R definido por: T(x,,z) = (x++z,x++z,x++z). Verifique se é diagonalizável. Caso seja, determine sua representação diagonal D M (R) e a matriz P que representa a base dos autovetores correspondente. Solução: A matriz determinada por T é: A = [T = A equação característica de A é dada por: x p(x)=det(xi A)= x x = (x )(x )(x 5) Portanto, os autovalores da matriz A são e 5. { λ = v Temos que: = (,,) e v = (,,) λ = 5 v = (,,)

123 Resposta: O operador linear T é diagonalizável, sua matriz diagonal é dada por: D =, e P = 5 é a matriz que representa a base dos autovetores correspondentes. 4. Mostre que o operador T : R R definido por: T(x,,z) = (x++z,x+4+z,x++z) é diagonalizável. Caso seja, determine sua representação diagonal D M (R) e o conjunto P que representa a base dos autovetores correspondentes. Solução: A matriz determinada por T é A = [T = 4 Autovalores: e. Autovetores: λ = S = {(x,,z) x = z} v = (,,) e v = (,,). λ = S = {(x,,z) x = z e = z} v = (,,) Resposta: T é diagonalizável. A representação diagonal é dada por D =, e o conjunto que representa a base dos autovetores é P = {(,,),(,,),(,,)}. 5. Determine uma matriz ortogonal cuja primeira coluna tenha a direção do vetor v = (,,). Solução: Seja u = (x,, z). Para que u seja ortogonal a v = (,,), o produto interno entre eles é zero, ou seja, u,v =, daí: (,,),(x,,z) =. Ou seja, x++z =. Logo, x = z. Assim, todo vetor da forma: u = ( z,,z) = (,,)+ z(,,) com, z R e tal que ou ou z é ortogonal ao vetor v = (,,).

124 Tomemos = e z =. Obtemos u = (,,) ortogonal ao vetor v. Seja o vetor w = (a,b,c) ortogonal aos vetores u = (,,) e v = (,,). { v,w = Logo, u,w = { (,,),(a,b,c) = Daí: (,,),(a,b,c) = { a+b+c = Ou seja: a+b = { c = b Resolvendo esse sistema : a = b Assim todo vetor da forma: w = (b,b, b) = b(,, ) para qualquer b R, tal que b é ortogonal aos vetores u e v. Tomemos b =, obtemos w = (,, ). Já temos aqui uma base ortogonal de vetores formada pelos vetores: v = (,,), u = (,,) e w = (,, ) Normalizando os vetores: u = v v = ( ) (,,) =,, u = u u = ( ) (,,) =,, u = w w = (,, ) = (,, ) Resposta: A =. Obtenha uma matriz ortogonal cuja primeira coluna tenha a direção do vetor v = (,, ). Solução: Seja v = (x,,z) tal que (x,,z),(,, ) =. Logo, x+ z =, ou seja, z = x+. S = {(x,,z) z = x+} = [(,,),(,,) Tomando x = e =, obtemos v = (,,).

125 Seja v = (a,b,c) tal que (a,b,c),(,, ) = e (a,b,c),(,,) =, logo, a + b c = e a + c =, ou seja, c = a e b = a. S = {(a,b,c) c = a e b = a} = [(,, ) Tomando a =, obtemos v = (,, ). ( ) v = (,, ) u =,, ( ) Assim: v = (,,) u =,, ( ) v = (,, ) u =,, Resposta: A = 7. Mostre que: se A M n (R) é ortogonal, então det(a) = ±. Solução: Seja A M n (R) tal que A é ortogonal, então A t A = I n e det(a t ) = det(a). (det(a)) = det(a) det(a) = det(a t ) det(a) = det(a t A) = = det(i n ) = Se (det(a)) =, então det(a) = ±. 8. Obtenha: (a) Uma matriz E que representa em R uma reflexão na reta = x. Solução: Se = ( x, então o vetor tangente à reta v =, ) ( e u =, ), e o vetor normal à reta ( é v = ) (, e u =, ). Logo, A = [ F = E = A F A E = [, A = =

126 Resposta: A matriz E = reflexão na reta = x. representa a (b) Uma matriz A que representa em R uma rotação de π radianos. Solução: A matriz que representa a rotação de π radianos é dada por: [ cos π sen π A π = sen π cos π = Resposta: A = (c) A matriz C que representa a reflexão (item a) seguida da rotação (item b). Solução: Basta multiplicar as matrizes determinadas nos itens anteriores, ou seja: C = A π E = = + = Resposta: C = + 9. Determine a matriz rotação de π radianos em torno da reta L que passa pela origem e é paralela ao vetor v = (,,). Solução: Seja v = v = (,,), logo u = (,, ). O plano ortogonal a v é representado por Π : x++z =. Seja v Π, v = (,,), logo teremos u = (,, ).

127 Devemos agora determinar { v. Seja v = (a,b,c) { tal que a+b+c = b = c v Π e v v, logo v = daí, a+c = a = c v = (,,) ( ) Logo, u =,, Temos assim determinada a matriz P: P = Matriz da rotação é representada por: cos π sen π A B [v B = sen π cos π = Com respeito à base canônica, esta matriz é escrita como: A = P A P. Resposta: A =. Determine a matriz que representa a reflexão no plano Π : x +z com respeito à base canônica do R. Solução: Vetor ortogonal ao plano Π é o vetor v = (,,). Seja v Π, v = (,, ). Seja { v = (a,b,c) tal que { v Π, v v, logo a b+c = b = a v = daí, v a c = c = a = (,,) ( u =,, ( ); u =, ), ( e u =,, ) P =

128 A matriz que representa reflexão com respeito a esta base ortonormal, em relação a u, será: A = é a reflexão com respeito à base canônica é determinada pelo produto P A P. Resposta: R = R = =. Determine a matriz que representa a projeção ortogonal sobre o plano Π : x++z =, com respeito à base canônica do R. Solução: Seja v o vetor normal ao plano, v = (,,). Seja v Π, v = (,,). Seja { v = (a,b,c) tal que { v Π, v v, logo a+b+c = b = a v = daí, a b = c = a e v = (,, ). ( ) ( ) ( Daí, u =,,, u =,, e u =,, ). Seja T : R R tal que para qualquer vetor v do R, T(v) = v,u u + v,u u. Assim T(v)= ( ),, T(v) = ( x T(v) = ) ) (x,,z),(,,)(,, + (x,,z),(,,, x ( x+ z, x+ z,) + ( x z, x+ z, x +z Resposta: [T =, x +4z ) )

129 Pode ser feito também de outra forma, considerando [T B = e a base ortonormal B determinada pelos vetores u, u e u anteriores. Assim [T = B[T B B =. Determine:. (a) A matriz que representa a projeção ortogonal dos pontos P = (,, ) e P = (,,) sobre o plano Π : x+ z =. Solução: Seja v = (,, ) vetor ortogonal a Π. v = (,,) e v = (,,) são vetores de Π ortogonais a v. ( ( ) ( ) Assim: u =,, ), u =,, e u =,, formam uma base ortogonal. A matriz que representa a projeção [T = Daí P = e P = P T =.. Logo: A = P B P = A matriz que representa a projeção ortogonal sobre o plano Π : x+ z = é: A =

130 A projeção no ponto P = (,, ) é : A P = = A projeção no ponto P = (,,) é: A P = = Resposta: A matriz projeção A =. A projeção do ponto P (,, ) é (,, ), e a projeção do ponto P (,,) é (,, ). (b) A matriz que representa a reflexão sobre o plano Π : x++z =. Solução: Seja v = (,,) vetor ortogonal a Π. v = (,, ) e v = (,,) são vetores de Π ortogonais a v. ( ( ) ( ) Assim: u =,, ), u =,, e u =,, formam uma base ortogonal. A matriz que representa a reflexão B = [T=. Logo, P= e P = P T =.

131 Daí: A = P B P = A = Resposta: A matriz reflexão é representada por A =. Represente a matriz E que representa em R uma reflexão no plano Π gerado pelos vetores v =(,,) e w=(,,). Solução: Dado os vetores v = (,,) e w = (,,), devemos determinar um vetor v, ortogonal a estes dois vetores. Logo, v,v = e w,v =. v = (,, ) Logo, o plano gerado pelos vetores v e w é Π : x+ z. Como v e w não são ortogonais, devemos ainda determinar um vetor v de Π ortogonal a v = (,,). Daí, v = (,, ). Daí, v = (,,), v = (,, ) e v = (,, ). ( ( Logo, u =,, ), u = formam uma base ortogonal.,, ) e u = (,, ), Temos, então que a reflexão com respeito a esta base ortonormal, em relação a u, será: A =. Temos ainda que: P = e P = P t =

132 A reflexão é determinada pelo produto P A P. Assim teremos: E = Resposta: A matriz que representa a reflexão é dada por E = 4. Obtenha a composição espectral de A = Solução: A = é uma matriz simétrica. Os autovalores de A são λ =, λ = e λ =. Os autovetores de A são: ( ) Se λ =, então v = (,,) e u =,, ( ) Se λ =, então v = (,,) e u =,, ( ) v = (,, ) e u =,, A decomposição espectral de A é dada por: A = 8u u t +u u t + u u t. u u t = u u t = u u t = [ [ = = [ = 4

133 Resposta: A decomposição de A é dada por: A = + A = Obtenha a decomposição espectral da matriz A = 5 Solução: Seja A = A é uma matriz simétrica. 5 Os autovalores de A são λ = 8, λ = e λ =., podemos observar que Se λ = 8, então V 8 ( = {(x,,z) ) x = e z = }, daí v = (,,) e u =,,. Se λ =, então V = { ( ) (x,,z) x = = z}, daí v = (,,) e u =,, Se λ ( =, então V) = {(x,,z) x = = z}, daí v = (,,) e u =,, A decomposição espectral de A é dada por: A = 8u u t +u u t + u u t u u t = u u t = u u t = [ [ [ = = = 4

134 Resposta: A decomposição espectral de A é: A = Seja T : R R um operador auto-adjunto com autovalores associados λ = e λ = 4. Suponha que v = (,,) e v = (,,) são autovetores associados ao λ =. Determine um autovetor associado ao autovalor λ = 4 e uma base ortonormal de autovetores de T. Solução: Como T é um operador auto-adjunto o autovetor associado ao autovalor λ = 4 vai ser o vetor v que é ortogonal a v e v. Logo, v = (,, ). Mas v e v não são ortogonais, logo, precisamos determinar o vetor w ortogonal a v e v. Seja w = (,,). Temos a base ortonormal de vetores de T formada pelos vetores: ( ( ) ( ) u =,, ); u =,, e u =,, Resposta: O autovetor associado ao autovalor λ = 4 é v = (,, ). {( ) ) A base ortonormal é β =,,,(,,,(,, )}. 7. Seja a forma bilinear F : R R R definido por: F ((x,x ),(, )) = x x + x (a) Determine a matriz A que representa F com respeito à base canônica α = {(,),(,)}. Solução: F((,),(,)) = F((,),(,)) = F((,),(,)) = F((,),(,)) = [ Resposta: A =

135 (b) Determine a matriz B que representa F com respeito à base β = {(,),(, )}. Solução: F((,),(,)) = 4 F((,),(, )) = F((, ),(,)) = F((, ),(, )) = [ 4 Resposta: B = 8. Identifique a cônica representada pela equação: x 4x+4 + x 4 = Solução: Escrevendo a equação de forma matricial: [ [ [ x x [x +[ 4 = 4 Logo, [ A = 4 Os autovalores de A são: e 5. A cônica pode ser uma hipérbole. Se λ =, temos que v = (4, ), logo u = ( 4 5, ) 5. Se λ = 5, temos que v = (,4), logo u = ( 5, 4 5). [ [x 5 [ D = 5 [ x e P = [ [ [ x 5 + 4x = 4x + 8x 4 = 4 4 ( x + x ) ( + 4 ) = [ x 4(x + ) ( + ) = = 4 Seja x = (x + ) e = ( + ). = Resposta: A equação reescrita será: 4x = 4 que representa uma hipérbole.

136 9. Identifique a quádrica representada pela equação a seguir. Determine a matriz diagonal que diagonaliza a forma quadrática e a equação da quádrica no novo sistema: x + + 5z 4x xz+z x z = 7 Solução: [x z 5 A = x z Os autovalores de A são:, e.! +[ 5 x z =7 A quádrica pode ser um parabolóide elíptico ou hiperbólico, um cilindro elíptico ou parabólico, dois planos secantes ou dois planos paralelos. Se λ =, temos que v = (,, ). Logo u = (,, ). ( Se λ =, temos que v = (,,). Logo u =,, ). ( ) Se λ =, temos que v = (,,). Logo u =,. D = e P = Reescrevendo a equação:, e detp =. [x z x z +[ x =7 z x + + z + x + z = 7 x + ( + ) = z + 7

137 ( x + + ) = z + 7+ ( x + + ) = ) z + 8 = 8( z + ( x + + ) ) = 8( z + Seja x = (x ), = + e z = z +. Resposta: A equação reescrita será: x + = 8z que representa um parabolóide elíptico.. Determine os autovalores e uma base para cada auto-espaço da matriz [ A = 5 Solução: x+ 5 x = ((x+)(x ))+5 = x + = (x+i)(x i) Os autovalores de A são: +i e i. Se λ = +i, então o autovetor v = (, i ), logo S +i = {(x, (i+)x) x R}. Se λ = i, então o autovetor v = (,i ), logo S i = {((x,(i )x) x R}. Resposta: Os autovalores de A são: +i e i. S +i = {((x, (i+)x) x R} e S i = {((x,(i )x) x R}.

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139 Referências ANTON, H., RORRES, C. Álgebra Linear com aplicações. 8. ed. Porto Alegre: Bookman,. BEDOYA, H., CAMALIER, R. Álgebra Linear II. ed. Rio de Janeiro: Fundação CECIERJ, 4.V. BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra Linear.. ed. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 98. DE MAIO, W. Espaços Vetoriais: aplicações lineares e bilineares. Rio de Janeiro: LTC, 7. LANG, S. Álgebra Linear. São Paulo: Edgard Blucher Ltda, 97. LIPSCHUTZ, S. Álgebra Linear. ed. Pernambuco: McGRAW- Hill, 978. POOLE, D. Álgebra Linear. São Paulo: Thomson, 4. STEINBRUCH, A., WINTERLE, P. Álgebra Linear. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 987.

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