3 a LISTA DE EXERCÍCIOS

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA DEARTAMENTO DE MATEMÁTICA ÁLGEBRA LINEAR I rofs: Enaldo Vergasta e Glória Márcia a LISTA DE EXERCÍCIOS Sejam u (x, y, z e v (x, y, z vetores do R Verifique se cada uma das seguintes funções é um produto interno em R : a u v x x + y y b u v x x + y y + z z Considere o seguinte produto interno em : <p(x,q(x> a b + a b + a o b o, sendo p(x a x + a x + a o e q(x b x + b x + b o ara os polinômios p x x +, p x e p x, calcule: p a <p, p > b p e p c p + p d p Considere a função: f : R x R R x (( x,y,(x,y a [x y] y Mostre que f é um produto interno em R e calcule: a (, b Um vetor unitário a partir de (, c Um vetor ortogonal a (, Considere o R munido do produto interno usual e o subconjunto B {(,,, (,, } desse espaço vetorial Determine: a O subespaço S gerado por B b O subespaço S ortogonal a S Considere o R munido do produto interno usual Dados os subespaços S {(x,y,z R ; x y + z } e S {t(,, ; t R}, determine S e S 6 Considere, em R, o produto interno usual Em cada um dos seguintes itens, determine os valores de m para os quais os vetores u e v são ortogonais a u ( m,, m e v (,, b u (, m, e v (, m, 7 Considere o R com o produto interno usual Determine um vetor u do R, ortogonal aos vetores v (,,, v (,, e v (,, 8 Determine os valores de a, b e c de modo que o conjunto B {(,,, (,,, (a, b, c} seja uma base ortogonal do R em relação ao produto interno usual Construir, a partir de B, uma base ortonormal

2 9 Quais dos seguintes operadores são ortogonais? a c T : R R, T(x,y ( y, x b T : R R, T (x,y,z (x,, T : R R, T(x,y (x + y,x y Verifique quais das seguintes matrizes são ortogonais: / / a b / / c / / / / Construir uma matriz ortogonal cuja primeira coluna seja: a (, b (,, cosθ d senθ senθ cos θ Determine valores reais de a e b para que os seguintes operadores no R sejam simétricos: a T : R R, T (x, y,z ( x y,ax + y z, by + z b T : R R, T (x, y,z ( x + y,ax + y + bz,x y + z Mostre que, se A e B são matrizes ortogonais, então AB também é ortogonal Determine os polinômios característicos, os autovalores e os autovetores dos operadores a seguir a T : R R, T(x,y ( y,x + y b T : R R, T (x,y ( y,x c T : R R, T (X AX, onde A d e f T : R R definido por T (x,y ( x + y,x + y T : R R, definido por T(x, y,z ( x z,y + z, z T : R R, definido por T(x, y,z ( x y z,y + z, z Verifique quais dos operadores definidos abaixo são diagonalizáveis e dê a sua forma diagonal a T : R R, T(x,y ( x + y,x + y b T : R R, T (x, y,z ( x + y,x y + z,x + y z c T : R R, T (x,y,z,w ( x,x + y,x + y + z,x + y + z + w d T6 : R R, dado por [T6 ] - e T : R R, dado por [T ] - x y x + y y f T6 : R R Ï, dado [T6 ] g T : M M ; T - z w y + z w h T : R R, T(, (, ; T(, (,

3 ara que valores de a as matrizes abaixo são diagonalizáveis? a A a b a B 6 Encontre o operador linear T : R R, tal que T tenha autovalores - e, associados aos autovetores (y,y e (-y,y, respectivamente, com y 7 Seja T : o operador linear definido por : T(t t, T(t+ t + e T( - Determine uma base de T seja diagonal, tal que [ ] 8 Determine uma matriz i que diagonaliza a matriz A i,em cada item abaixo, e calcule a matriz a A b A 7 i Ai 9 Dê exemplo de operadores diagonalizáveis, através de suas matrizes na forma diagonal, satisfazendo as condições citadas em cada item abaixo, quando possível a T : M M,não sobrejetor,com autovalores, e b T :,tal que V [ t + t,t] e V [ ] c T : V V,com polinômio característico p( λ ( λ( λ( λ d T6 :,tal que N(T6 [ t,] e V [ t] Se p(x ( x ( + x ( x é o polinômio característico de um operador linear : V V determine a matriz [ T ] sabendo que é uma base formada por autovetores de T T, Seja T um operador linear em V Classifique em verdadeira ou falsa cada sentença abaixo a Todo operador linear é diagonalizável b Se dim V e T possui três autovalores distintos, então T é diagonalizável c Se dim V e T possui dois autovalores distintos, então T não é diagonalizável d Existem operadores lineares que possui apenas um autovalor e são diagonalizáveis ese o polinômio característico de T possui grau três então dim V

4 RESOSTAS a Sim b Sim a 8 b e c d x a b (, c t( 7, a S {(x,y,z R ; x + y + z } b S {(x,y,z R ; x y z} S {(x, x, x; x R} 6 a /7 b ou - e S {(x,y,z R ; x + y z } 7 u a (, 7,, a R 8 t (,,, t e B {(,,,(,,,(,, } 9 a Sim b Não c Não a Sim b Sim c Não d Sim / / / a / / b / / / / / / / / a a e b b a e b a p ( λ ( λ ( λ +,autovalores e -,com autovetores associados v(x, x, x e u(-y,y, y, respectivamente b p( λ λ +, T não possui autovalores reais c p( λ ( λ ( λ,autovalores e, com autovetores associados v(,,z, z e u(,y,y, y, respectivamente d p( λ λ λ 6, λ, λ 6, V {(x, x;x R} [(, ], V {(x, x; x R} [(, ] ou [(, ] e p( λ ( λ ( λ, λ, λ, V {(z, z,z; z R} [(,,] [(,, ], V {(x,y,;x,y R} [(,,,(,, ]

5 f ( ( p( λ λ λ, λ, λ,,6] ou [(,,], 6 [( R} z,z;z z, 6 {( V, ], [(, R} {(x,,;x V a T é diagonalizável pois {(,,(,} é uma base de auto vetores de T, e [ ] T b T não é diagonalizável c [ ] T, base de autovetores d e f g h 6 Considerando a base { },,,,( ( de R podemos definir R R : T, T(, -(, (-6,- e T(-, (-, (-6, 7 { },,t t + 8 a A ; b A ; 9 a Como T não é sobrejetor, então dimn(t, daí zero é um autovalor de T Então temos autovalores distintos em um espaço de dimensão quatro, logo diagonalizável: [ ] T b [ ] - T, { t + t, t, } c [ ] T, base de auto vetores de T d [ ] T, { t,,t} [ ] T a F ; bv ; c F ; d V ; e V