MAT ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA II 1 a Lista de Exercícios - 2 o semestre de 2006

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1 MAT ÁLGEBRA LINEAR PARA ENGENHARIA II 1 a Lista de Exercícios - 2 o semestre de Sejam u = (x 1, x 2 ) e v = (y 1, y 2 ) vetores de R 2. Para que valores de t R a funcão u, v = x 1 y 1 + tx 2 y 2 é um produto interno em R 2? 2. Para cada par de vetores u = (x 1, x 2 ) e v = (y 1, y 2 ) de R 2, defina u, v = 2x 1 y 1 x 1 y 2 x 2 y 1 + 2x 2 y 2. Prove que, é um produto interno em R 2. Ache todos os vetores de R 2 que são ortogonais ao vetor (1, 0). Calcule (1, 0). 3. Seja V um espaço vetorial com produto interno, e sejam u e v em V. (a) Prove que se u = v então u + v, u v = 0. (Observe que essa afirmação é o resultado familiar: as diagonais de um losango são perpendiculares.) (b) Enuncie, na linguagem de espaços com produto interno, o seguinte teorema da geometria elementar: um paralelogramo é um retângulo se, e somente se, as suas diagonais têm o mesmo comprimento. Dê uma demonstração desse teorema. (c) Prove que o vetor u v + v u é paralelo à bissetriz do ângulo formado por u e v. 4. Em P 2 (R) determine λ para que os polinômios p = x 2 1 e q = λx 2 sejam ortogonais em relação aos seguintes produtos internos: (a) p, q = 1 1 p(x)q(x)dx, (b) p, q = p( 1)q( 1) + p(0)q(0) + p(1)q(1) + p(2)q(2). 5. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno e sejam S um subespaço de V e v um vetor de V. Prove que v proj S v < v w, para todo w S, com w = proj S v. (Esse problema mostra que a projeção ortogonal de v sobre S é o vetor de S que está mais próximo de v.) 6. Determine o polinômio de grau menor ou igual a 2 que está mais próximo da função f (x) = e x no intervalo [0, 1], considerando em C([0, 1]) o produto interno usual, ou seja, o produto interno dado por f, g = b a f (x)g(x)dx. 7. No espaço vetorial M 2 (R) considere o produto interno: ( ) ( ) a11 a A, B = 12 b11 b, 12 = a a 21 a 22 b 21 b 11 b 11 + a 12 b 12 + a 21 b 21 + a 22 b

2 (a) Prove que A, B = traço (B t A). {[ ] } x y (b) Se W = : x + y z = 0, determine uma base ortonormal para W. z w ( ) 0 1 (c) Determine o vetor de W que está mais próximo de A = Em P 3 (R) considere o produto interno: p, q = p( 1)q( 1) + p(0)q(0) + p(1)q(1) + p(2)q(2). Calcule proj P1 (R) x3. Esboce o gráfico de x 3 e o de proj P1 (R) x3. 9. Em C([0, 2π]) com o produto interno f, g = 2π 0 f (x)g(x)dx, considere o subespaço S = [1, sen x, cos x]. Calcule proj S (x 2). 10. Considere o espaço C[ π, π] das funções contínuas no intervalo [ π, π], munido do produto interno f, g = π π f (x)g(x)dx. (a) Verifique que o conjunto B = {1, cos x, sen x, cos(2x), sen(2x),..., cos(mx), sen(mx),...} é um conjunto ortogonal e que 1 = 2π e cos(mx) = π = sen(mx), para cada m 1. Seja F m o subespaço gerado por {1, cos x, sen x, cos(2x), sen(2x),, cos(mx), sen(mx)}. Se f é uma função qualquer em C[ π, π], a projeção de f sobre F m é chamada de m-ésima aproximação de Fourier de f. Essa função, denotada por f m, é da forma f m (x) = a 0 + a 1 cos x + b 1 sen x + a 2 cos(2x) + b 2 sen(2x) + + a m cos(mx) + b m sen(mx), para cada x em [ π, π]. Os números a i e b i são chamados Coeficientes de Fourier de f. (b) Seja f (x) = x, para todo x [ π, π]. Calcule a quinta aproximação de Fourier de f. Dica: antes de calcular cada integral, repare quais integrandos são funções pares e quais são funções ímpares. Isso simplifica bastante. Faça num computador os gráficos de f e de f 5. (c) Verifique que, para toda f em C[ π, π] tal que f ( π) = f (π), vale lim f f m = 0. m 11. Considere em R 4 o produto interno usual e seja S = {(x, y, z, w) R 4 : x 2y + z + w = 0}. 2

3 (a) Determine uma base ortonormal de S. (b) Dado v R 4, encontre vetores v 1 S e v 2 S tais que v = v 1 + v Considere em P 3 (R) o produto interno dado por p, q = 1 0 S = {p(x) P 3 (R) : p(1) = 0}. (a) Determine uma base ortonormal de S. p(x)q(x)dx. Seja (b) Dado f P 3 (R) encontre vetores p 1 S e p 2 S tais que f = p 1 + p Encontre uma base ortonormal para o subespaço U de R 4, com relação ao produto interno canônico, gerado pelos vetores v 1 = (1, 1, 1, 1), v 2 = (1, 1, 2, 4) e v 3 = (1, 2, 4, 3). 14. Seja P(R) o espaço vetorial dos polinômios com coeficientes reais com o produto interno definido por f, g = 1 0 f (t)g(t)dt, para f, g P(R). (a) Aplique o algoritmo de Gram-Schmidt ao conjunto {1, t, t 2 } para obter um conjunto ortogonal com coeficientes inteiros. (b) Encontre uma base ortonormal para o subespaço gerado por {1, t, t 2 }. 15. Considere a função:, : R 4 R 4 R dada por (a, b, c, d), (x, y, z, w) = 2ax + by + cz + dw. (a) Mostre que, é um produto interno em R 4. (b) Encontre uma base de S em relação ao produto interno do item (a) sendo S = [(1, 2, 0, 1)]. 16. Sejam V um R-espaço vetorial com produto interno de dimensão 2 e v V um vetor não nulo. Mostre que se {v 2, v 3,..., v n } é uma base para [v] então {v, v 2, v 3,..., v n } é uma base para V. 17. Verifique quais das transformações abaixo são lineares: (a) T : C(R) R T( f ) = f (a), onde a é um número real fixo. (b) T : C (R) C (R) T( f ) = f, a derivada de f. (c) T : C (R) C (R) T( f ) = a f + b f + c f, onde a, b e c são números reais fixos. (d) T : C(R) C(R) T( f ) = x a f (t)dt. 3

4 18. Lembre que o traço de uma matriz quadrada A é a soma de todos os elementos de sua diagonal principal, isto é, se A = [a ij ] 1 i,j n, então traço(a) = a 11 + a a nn. (a) Mostre que a função tr : M n (R) R definida por tr(a) = traço(a) é linear. (b) Mostre que dim ker T = n 2 1. (c) Mostre que tr(a) = tr(a t ) onde A t é a transposta de A. 19. Considere em P 2 (R) o produto interno p, q = 1 0 p(x)q(x)dx. Sejam W = [1, x] e T : P 2 (R) P 2 (R) definida por T(p(x)) = proj W p(x). (a) Calcule T(a + bx + cx 2 ). (b) Mostre que kert = W e Im T = W (c) Encontre uma base ortonormal B de P 2 (R) tal que [T] B = Seja T : M n (R) M n (R) definida por T(M) = AM MA, onde A M n (R) é uma matriz fixada. Verifique que T é linear e determine seu núcleo. Verifique se I Im(T). 21. (a) Ache uma transformação linear de T : P 3 (R) M 3 (R) tal que Im T é gerado pelos vetores 0 1 1, 3 5 2, (b) Ache uma base para Im T e uma base para ker T. 22. Seja T : R 4 R 3 a transformação linear cuja matriz em relação às bases canônicas de R 3 e R 4 é [T] = a 0 b 4 (a) Determine os valores de a e b para os quais T não é sobrejetora. (b) Nos casos acima, determine uma base de Im T e uma base de ker T. 23. Verdadeiro ou falso? (a) T : R R dada por T(x) = x 2 é linear. (b) T : R R dada por T(x) = x é linear. (c) T : P n R dada por T(a 0 + a 1 x + + a n x n ) = a n é linear. (d) Qualquer matriz A de tamanho 5 6 define uma transformação linear de R 6 em R 5. 4

5 (e) Se T : V W é uma transformação linear, dim V = 6, dim W = 4 e dim(ker T) = 2, então T é sobrejetora. (f) Se T : V W é uma transformação linear e Im T = 0 então T(x) = 0, para todo x. (g) Se T : V W é uma transformação linear e dim V dim W então T é injetora. (h) Se T : V W é uma transformação linear e T é injetora então dim V dim W. [ ] Seja A = a matriz de T : R R 2 em relação às bases B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 2)} e C = {(1, 0), (1, 1)}. (a) Ache uma base de ker T. (b) Determine T(x, y, z). 25. Responda se as seguintes afirmações são Verdadeiras ou Falsas, justificando cada uma de suas respostas. (a) Existe uma transformação linear inversível T : P 3 (R) M 2 (R). (b) Se T : P 3 (R) P 3 (R) é definida por T(p) = p, então T é sobrejetora. (c) É possível encontrar um operador linear injetor T : R 3 M 2 (R). (d) Seja U um espaço de dimensão finita e T : U U um operador linear. T é sobrejetora ker T = {0}. (e) É possível encontrar um operador linear T : R 3 R 3 tal que R 3 = ker(t) Im(T). (f) Sejam B e C bases de um espaço vetorial U de dimensão finita e T : U U um operador linear. Então [T] B e [T] C são semelhantes. 26. Escreva a expressão de um operador linear T : R 2 R 2 cujo núcleo seja a reta y = x e cuja imagem seja a reta y = 2x. 27. Determine um operador linear T : R 2 R 2 que tenha como núcleo e como imagem o eixo x. 28. Determine um operador linear T : R 4 R 4 tal que ker T = Im T. 29. Seja C(R) = { f : R R : f é contínua}. Defina o operador linear Int : C(R) C(R) por Int( f ) = ϕ, onde ϕ(x) = x 0 f (t)dt, x R. Determine o núcleo e a imagem desse operador. 30. Seja W um espaço vetorial com produto interno,. Dado um isomorfismo T : V W defina [u, v] = T(u), T(v), u, v V. Mostre que [, ] é um produto interno em V. 5

6 31. Considere R 3 munido do produto interno usual e seja T : R 3 R 3 uma transformação linear tal que [T] B,C = 1 0 1, onde B = {(0, 0, 1), (0, 1, 1), ( 2, 1, 0)} e C = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}. Prove que (ker T) = Im T. 32. Sejam U e V espaços vetoriais de dimensão finita. Assinale verdadeiro ou falso e justifique: (i) Uma transformação linear T : U V é sobrejetora se, e somente se, vale dim ker T = dim U dim V; (ii) Dada uma transformação linear T : U V, se v V é fixado então o conjunto G = {x U : T(x) = v} é um subespaço de U; (iii) O núcleo de uma transformação linear T : R 5 R 3 tem dimensão 3; (iv) Se a transformação linear T : R m R n for injetora então dim Im T = m; (v) Se T : R m R n for uma transformação linear sobrejetora então temos que dim ker T = m n. 33. Seja D : P 5 (R) P 5 (R) o operador linear definido por D(p(x)) = x p (x). Obtenha bases para ker(d) e Im(D). 34. Determine a matriz do operador derivação D : P 4 (R) P 4 (R), definido por D(p(x)) = p (x), relativamente à base {1, x, x 2, x 3, x 4 }. 35. Considere os subespaços vetoriais U e W do espaço C (R) cujas bases são respectivamente: {cos x, sen x} e {e x cos x, e x sen x, e 2x cos x, e 2x sen x}. Determine a matriz do operador derivação em cada um desses subespaços. 36. Qual é a matriz, na base canônica, do operador T : R 2 R 2 tal que T(2, 3) = (2, 3) e T( 3, 2) = (0, 0)? Considere o plano π gerado pelas colunas da matriz Obtenha números a, b, c de modo que ax + by + cz = 0 seja a equação de π. 38. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e T : V V um operador linear. Prove que V = ker T Im T se, e somente se, ker T Im T = Seja V um espaço vetorial e seja T : V V um operador linear. Prove que T 2 = 0 se, e somente se, Im T ker T. 6

7 [ ] 40. Seja T : R 2 R o operador linear cuja matriz na base canônica é. [ ] 1 0 a11 a Prove que se A = 12 é a matriz de T relativamente a uma base qualquer a 21 a 22 de R 2 então a 12 = 0 ou a 21 = 0. (Em outras palavras, nenhuma matriz de T é diagonal.) 41. Considere as transformações lineares T : R n+1 P n (R), T(a 0, a 1,..., a n ) = a 0 + a 1 x + + a n x n e S : P n (R) R n+1, S(p(x)) = (p(0), p(1),..., p(n)). Determine as matrizes de S T e de T S nas bases canônicas apropriadas. 42. Sejam F, G operadores lineares de R 3 tais que F(x, y, z) = (x, 2y, y z) e que a matriz de 2F G em relação à base B = {(0, 1, 0), (1, 1, 0), (0, 0, 1)} é Ache a matriz de F 2 + G 2 em relação às bases B e C = {(1, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1)}. [ ] Seja B = e considere T : M (R) M 2 (R) definida por T(A) = BA. Ache a matriz de S = T 2 T em relação à base canônica de M 2 (R). 44. Sejam T : R 3 P 2 (R) e G : P 2 (R) R 3 transformações lineares tais que [T] B,C = e [G] C,B = em que B = {(1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 1)} e C = {1, 1 + x, x + x 2 }. (i) Determine bases para ker(g T) e ker(t G). (ii) Ache a matriz de H = 3(T G) + I em relação às bases D = {1, x, x 2 } e C. 45. Seja T : R 2 R 2 um operador linear tal que [ T 2 = ] T. Prove que ou T = 0, ou T = I ou existe uma base de R tal que [T] B = Seja T : R 2 R 2 um operador linear [ não ] nulo tal que T 2 = 0. Prove que existe uma base B de R tal que [T] B = Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e T : V V tal que posto (T) = posto (T 2 ). Prove que ker T Im T = 0. Vale a recíproca? 48. Seja T : R 4 R 4 dada por T(x, y, z, w) = ( y, x y, z, w). Mostre que T 6 = I e então determine T 1. 7

8 RESPOSTAS 1. t > { (a, 2a) : a R } ; (1, 0) = (a) não existe λ; (b) λ = (210e 570)x 2 + ( e)x + (39e 105). 7. (b) A resposta não é única. Uma possível base é { 1 (c) 1 3 ( ) (14x + 3). 9. π 2 2 sen x. 2 [ ] 1 0, 1 0 [ ] 1 1 2, (b) f 5 (x) = π 2 4 π [cos x cos(3x) cos(5x)]. 11. (a) 1 2 (1, 0, 0, 1), 1 3 (1, 1, 0, 1), 1 42 ( 1, 2, 6, 1); (b) Se v = (x, y, z, w) então [ ]} v 1 = 1 7 (6x + 2y z w, 2x + 3y + 2z + 2w, x + 2y + 6z w, x + 2y z + 6w), v 2 = 1 7 (x 2y + z + w, 2x + 4y 2z 2w, x 2y + z + w, x 2y + z + w). 12. (a) { 3(x 1), 5(4x 2 5x + 1), 7(15x 3 25x x 1)}; (b) Se f = a + bx + cx 2 + dx 3 então p 1 = 1 [(5a + b + c + d) (15a + 11b + 15c + 15d)x 4 + (45a + 45b + 49c + 45d)x 2 (35a + 35b + 35c + 31d)x 3 ], 13. e 1 = (1/2, 1/2, 1/2, 1/2) ( e 2 = 1, 1 ) 2, 0, ( 2 e 3 = 10, 3 ) , 3 5, 5 p 2 = 1 4 (a + b + c + d)( x 45x2 + 35x 3 ). 8

9 14. (a) {1, 2t 1, 6t 2 6t + 1} (b) {1, 3(2t 1), 5(6t 2 6t + 1)} 15. (b) A resposta não é única. Uma possível base é: {(1, 0, 0, 2), (0, 1, 0, 2), (0, 0, 1, 0)}. 17. (a), (b), (c) e (d) são transformações lineares. 19. (a) (b + c)x + a c 6 (c){1, 3(2x 1), 5(6x 2 6x + 1)} 20. ker T = {M M(R) : AM = MA} e I / Im(T). Por que? 21. (a) A resposta não é única. Defina, por exemplo, a + 2b b + 6c a + 4b + 2c T(a + bx + cx 2 + dx 3 ) = 3b + c a + 5b a 2b. 2a b a 3b c (b) Para o exemplo dado em (a), uma base de ker T é {x 3 }. Uma base de Im T é constituída pelas matrizes dadas no enunciado do exercício. 24. (a) ker T = [(3, 1, 2)] (b) T(x, y, z) = (x + 3y, y z 2 ) 25. (a) Verdadeira (b) Falsa (c) Verdadeira (e) Verdadeira 26. A resposta não é única. (d) Verdadeira (f) Verdadeira Exemplo: T(x, y) = (x y, 2x 2y) 27. A resposta não é única. Exemplo: T(x, y) = (y, 0) 28. A resposta não é única. Exemplo: T(x, y, z, t) = (z, t, 0, 0) ker T = Im T = [e 1, e 2 ] 29. ker(int) = {0} Im(Int) = C 1 (R) = { f : R R : f é contínua} 32. (i) Verdadeira (ii) Falsa (iii) Falsa (iv) Verdadeira (v) Verdadeira 33. Base de ker D = {1, x, x 2 } Base de Im D = {x, x 2, x 3 } 9

10 [ ] e [ 4/13 ] 6/13 6/13 9/ Por exemplo: a = b = 1 e c = Ambas as matrizes são iguais a n... 1 n n 2 n n Ordenando a base canônica de M 2 (R) como can = {E 11, E 21, E 12, E 22 } temos [T 2 T] can = (i) Uma base de ker(g T) é {(1, 2, 1)} e uma base de ker(t G) é {x + x 2 } (ii) [H] D,C =