Tópicos de Álgebra Linear Verão 2019 Lista 2: Transformações Lineares

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1 Universidade Federal do Paraná Centro Politécnico ET-DMAT Prof. Maria Eugênia Martin Tópicos de Álgebra Linear Verão 2019 Lista 2: Transformações Lineares Exercício 1. Prove que cada uma das transformações abaixo é linear. 1. T : 3 (, ) (, ) dada por T(y(t)) = y (t) y (t) + 3 y(t). Lembre que 3 (, ) denota o espaço vetorial das funções de em que admitem derivadas contínuas até terceira ordem. 2. T : 3 () 2 dada por T(p) = ( 0 1 p(t) dt, 1 p(t) dt) T : 2 2 () dada por T(a, b) = ax 2 + bx + (a + b). Exercício 2. Seja T : U V uma transformação linear. Mostre que 1. T(0 U ) = 0 V, onde 0 U e 0 V denotam os vetores nulos de U e V, respectivamente. 2. T( u) = T(u), para cada u U. 3. T( m i=1 α iu i ) = m i=1 α i T(u i ), onde α i e u i U para i = 1,..., m. Exercício 3. Mostre que: 1. Se T, G : U V são transformações lineais então T + G : U V é uma transformação linear. 2. Se T : U V é uma transformação linear então αt : U V é uma transformação linear para todo α. 3. Se T : U V e G : V W são transformações lineais então G T : U W é uma transformação linear. Exercício 4. Seja V = (0, ), dados x, y V e α defina as operações: x + y := x y α x : = x α Verifique que V com essas operações é um -espaço vetorial e que T : V dada por T(x) = ln(x) é uma transformação linear. Exercício 5. Dado um espaço vetorial V = V 1 V 2. Considere para cada v V a decomposição v = v 1 + v 2, com v i V i. Prove que as seguintes transformações são lineares: 1. π 1 : V V tal que π 1 (v 1 + v 2 ) = v 1. Esse operador é chamado projeção no espaço V τ : V V tal que τ(v 1 + v 2 ) = v 1 v 2. Esse operador é chamado reflexão no espaço V 1 paralelo a V 2. Exercício 6. Seja T : V W uma transformação linear e V V, W W subespaços vetoriais. Mostre que T V é um subespaço de W e que T 1 W (pré-imagem de W por T) é um subespaço de V. Exercício 7. Considere uma transformação linear T : U V, onde U e V são -espaços vetoriais tais que dim V < dim U <. 1. Prove que existe um elemento não nulo u U tal que T(u) = 0. 1

2 2. Se é uma base arbitrária de U, existe sempre um vetor u tal que T(u) = 0? Prove ou dê um contra-exemplo. Exercício 8. Seja T : 2 () 2 () a função dada por T(a, b, c) = (2c 2b, a + c, a + b + c) onde é a base {1, x, x 2 } e é a base {1, x + x 2, 1 + x 2 }. 1. Verifique que T é uma transformação linear. 2. Existe um vetor u 2 () não nulo tal que T(u) = u? Justifique sua resposta. Exercício 9. Sejam U um -espaço vetorial e T : U U uma transformação linear tal que T T = T. Seja W = {x U : T(x) = x} e V = {x U : T(x) = 0}. Prove que: 1. U = W V 2. T(U) = W 3. T(V ) = {0}. Exercício 10. Sejam U e V dois -espaços vetoriais. Se {u i } i I for uma base de U e se {v i } i I V, mostre que existe uma única transformação linear T : U V tal que T(u i ) = v i para cada i I. (Teorema provado em sala de aula sem a hipótese de dim U < ) Exercício 11. Seja V um -espaço vetorial com dim V 3. Mostre que uma função T : V V é linear se e somente se T restrita a cada subespaço vetorial de V com dimensão 2 é linear. Exercício 12. Seja T : U V uma transformação linear. Mostre que ker(t) é um subespaço de U e que Im(T) é um subespaço de V. Exercício 13. Seja T a função de 3 em 3 definida por: T(x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 x 2 + 2x 3, 2x 1 + x 2, x 1 2x 2 + 2x 3 ) 1. Verifique que T é uma transformação linear 2. Determine a imagem de T 3. Determine o posto 1 de T Exercício 14. Dado M n () o espaço vetorial das matrizes n n sobre e seja B uma matriz fixa em M n (). Se T(A) = AB BA, prove que T(A) é uma transformação linear de M n () em M n (). Determine a imagem e o posto de T. Exercício 15. Construa uma base para o núcleo e a imagem das seguintes transformações lineares e determine a nulidade 2 e o posto: 1. T : 3 3, T(x) = (x 1 + x 2 + x 3, x 1 + x 2 + x 3, x 1 + x 2 + x 3 ) 2. T : 3 3, T(x) = (2x 1 x 2 x 3, x 1 2x 2 + x 3, x 1 + x 2 2x 3 ) 3. T : 3 3, T(x) = ( x 1 + x 2 + x 3, x 1 x 2 + x 3, x 1 + x 2 x 3 ) Exercício 16. Considere 4 e seus subespaços V = (1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 1) e W = {(x, y, z, t) 4 : x + y = 0 e t + z = 0}. Determine uma transformação linear T : 4 4 tal que ker T = V e Im(T) = W. Exercício Encontre T : 3 3 tal que Im(T) = (1, 0, 1), (1, 2, 2). 2. Encontre T : 3 2 tal que Ker(T) = (1, 0, 1). 1 O posto de uma transformação linear T : V W é a dim Im(T) e é denotado por rk(t). 2 i.e. dim ker T 2

3 Exercício 18. Seja V um espaço vetorial de dimensão n sobre. 1. Se n for ímpar, prove que não existe nenhuma transformação linear T : V V tal que Im(T) = ker(t). 2. Mostre que a afirmação anterior é falsa se n for par. Exercício 19. Sejam U e V espaços vetoriais sobre e T : U V uma transformação linear. 1. Prove que T é injetora se e somente se T leva cada subconjunto LI de U em um subconjunto LI de V. Conclua que neste caso dim U dim V. 2. Prove que se o conjunto {T(u 1 ),..., T(u r )} for LI em V, então {u 1,..., u r } é LI em U. Exercício 20. Sejam U e V espaços vetoriais sobre e T : U V uma transformação linear. Mostre que se = {u i } i I for uma base de U então {T(u i )} i I gera Im(T). Exercício 21. Dada T : V V uma transformação linear e W um subespaço de V. Defina a aplicação T : V /W V /W por T (v + W ) = T(v) + W Quando T está bem definida e é uma aplicação linear? Quais são Im(T ) e ker(t ). Exercício 22. Uma sequência exata de -espaços vetoriais V i de dimensão finita 0 T 0 T 1 T 2 T 3 T 4 V 1 V 2 V 3 V 4 0 é uma sequência de transformações lineares T i tais que ker T i+1 = Im T i para i = 0, 1, 2, 3 (denotamos por 0 o espaço vetorial nulo). Se na sequência exata acima dim V i = d i, mostre que d 1 + d 3 = d 2 + d 4. Exercício 23. Seja n () o espaço dos polinômios de grau menor que n e seja A h o operador diferença A h (p(x)) := p(x + h) p(x) h sendo h um número fixo não nulo. Ache o kernel e a imagem desse operador. Exercício 24. Seja T : 3 3 a transformação linear definida por T(1, 0, 0) = (1, 0, i); T(0, 1, 0) = (0, 1, 1) e T(0, 0, 1) = (i, 1, 0). Decida se T é um isomorfismo. Exercício 25. Sejam V um espaço vetorial sobre com dimensão finita e T : V V uma transformação linear. Suponha que exista G : V V tal que T G = Id V. Prove que T é um isomorfismo e G = T 1. Dê um exemplo que mostre que isso é falso quando a dimensão de V não for finita. Exercício 26. Dada T : U V uma transformação linear. Mostre que T é um isomorfismo se e somente se T leva base em base. Conclua que se U V então dim U = dim V. Exercício 27. Prove que dada T : U V uma transformação linear, então temos: U ker(t) Im(T) Exercício 28. Dado L = M N. Então a função T : M L/N dada por m m + N é um isomorfismo. Exercício 29. Dados M, N L. Prove que a seguinte aplicação é um isomorfismo Exercício 30. Prove que n / é isomorfo a n 1. (M + N)/N M/(M N) : m + n + N m + M N Exercício 31. Seja V o espaço das funções reais contínuas no intervalo fechado [a, b], V = ([a, b], ) e seja W = Const[a, b] o espaço das funções constantes em [a, b] 3

4 1. Prove que W é isomorfo a 2. Prove que V /W é isomorfo ao espaço vetorial das funções continuas em [a, b] que se anulam em a. Exercício 32. Seja V = A+ B e seja a soma direta externa E = A B. Defina a aplicação τ : A B A+ B como τ : (a, b) = a + b. Prove que τ é linear. Qual o kernel de τ? Quando τ é um isomorfismo? Exercício 33. Seja T : U U uma transformação linear e suponha que dim(u) < e rk(t 2 ) = rk(t). Mostre que Im(T) ker(t) = {0}. Exercício 34. Seja n () o espaço dos polinômios de grau menor igual que n. Para as funções abaixo, determine quais são lineares e para as lineares determine sua matriz na base especificada. Dado p(x) n (), seja T : n () n () dado por 1. T(p(x)) = p( x), base {1, x, x 2,..., x n } 2. T(p(x)) = p (x), base {1, 1 + x, 1 + x 2,..., 1 + x n } 3. T(p(x)) = p (n) (x), base {1, x a, (x a) 2,..., (x a) n } 4. Seja T : n () n+1 () dado por T(p(x)) = x p(x), base {1, x a, (x a) 2,..., (x a) n } Exercício 35. Sejam T : 3 2 () e G : 2 () 3 transformações lineares tais que [T] = e [G] = onde e são as bases = {(1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e = {1, 1 + x, 1 + x 2 }. Determine 1. Bases para ker T e Im(T) 2. Bases para ker(g T) e Im(G T) 3. A matriz de H = 3(T G) + Id 2 () com relação à base {1, x, x 2 } de 2 (). Exercício 36. Seja T : M 2 () M 2 () uma transformação linear dada por x y 0 x T =. z w z w 0 1. Determine a matriz de T com relação à base canônica. 2. Determine a matriz de T com relação à base =, de M 2 (). 3. Exiba a matriz M tal que [T] = M 1 [T] Can M., , Exercício 37. Sejam U e V -espaços vetoriais de dimensões n e m e bases fixas e, respectivamente. Prove que dada uma matriz A M m n () existe uma única transformação linear T : U V tal que [T] = A. Exercício 38. Sejam U e V -espaços vetoriais de dimensões n e m e bases fixas e, respectivamente. Sejam T, G : U V duas transformações lineares. Mostre que: 1. [T + G] = [T] + [G] 2. [α T] = α [T] para todo α. 4

5 Exercício 39. Seja U um -espaço vetorial de dimensão finita e sejam S e T transformações lineares em U. Quando existem bases e tal que [S] = [T]? Exercício 40. Seja U um -espaço vetorial de dimensão finita n e sejam e duas bases de U. Mostre que se M = [Id U ] é a matriz mudança de base de para então M 1 é a matriz mudança de base de para. Exercício 41. Seja = ou. Mostre que: 1. Dadas A e B duas matrizes sobre é impossível termos AB BA = I. 2. Conclua que não existem transformações lineais T, G sobre -espaços vetoriais de dimensão finita tais que T G G T = Id. 3. Mostre que isso não acontece se desconsiderarmos a hipóteses de dimensão finita. Exercício 42. Sejam U e V -espaços vetoriais de dimensões n e m, respectivamente. Mostre que (U, V ) M m n (). Exercício 43. Ache a imagem e o núcleo do operador de projeção. Exercício 44. Seja V = V 1 V r. Mostre que existem operadores lineares π 1,..., π r sobre V tais que: 1. π i (v) = v i para cada v = v v r com v i V i para i = 1,..., r. 2. π i π j = 0 se i j e π 2 i = π i para i = 1,..., r. 3. Id = π π r. 4. Im(π i ) = V i para i = 1,..., r. Exercício 45. Dados V e W espaços vetoriais sobre um corpo e seja G um isomorfismo de V em W. Prove que T G T G 1 é um isomorfismo de L(V, V ) em L(W, W ). Seja T : V V uma transformação linear. Mostre que T 2 = 0 se e somente se T(V ) ker(t). Exercício 46. Considere as bases = {1, 1 + x, 1 + x 2 } de 2 () e = {(1, 0), (i, 0), (1, 1), (1, i)} de 2 como espaços vetoriais sobre. Determine as coordenadas da transformação linear T : 2 () 2 dada por T(a + bx + c x 2 ) = (a + bi, b + ci) com relação à base = {T i j } de ( 2 (), 2 ) onde T i j (u k ) = vj se k = i 0 se k i para u k e v j, i = 1, 2, 3 e j = 1, 2, 3, 4. Exercício 47. Mostre que se U U e V V então (U, V ) (U, V ). Exercício 48. Seja D : () () o operador derivação em () e seja p(x) = x 2 +i (). Calcule p(d) em um dado polinômio q(t) = a n t n + + a 1 t + a 0 (). Exercício 49. Dado V espaço vetorial sobre um corpo e seja = {α 1,...., α n } uma base para V. 1. Prove que existe um único operador linear T : V V tal que T(α j ) = α j+1 e T(α n ) = 0. Escreva a matriz de T nessa base. 2. Prove que T n = 0, mas T n Seja G um operador linear em V tal que G n = 0 mas G n 1 0. Prove que existe uma base tal que a matriz para G nessa base é a matriz descrita na parte Prove que se M e N são matrizes n n tal que M n = N n = 0 mas M n 1 0 N n 1, então M e N são semelhantes. Exercício 50. Considere as seguintes afirmações e decida se são Verdadeiras ou Falsas: 5

6 1. Se T : 2 4 é linear e T é não nula, então existem pelo menos 2 vetores LI em 4 que não estão em Im(T). 2. Se T : 3 2 é linear e T é não nula, então é sobrejetora. 3. Se T : 4 4 é linear, então dim ker T dim Im(T) 4. Seja W um subespaço vetorial de 5, dim W = 1. Então existe uma transformação linear T : 5 3 com ker T = W. 6