Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica. Espaços Vetoriais Reais

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1 universidade de aveiro departamento de matemática Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica Agrupamento IV (ECT, EET, EI) Capítulo 4 Espaços Vetoriais Reais

2 Definição de espaço vetorial real [4 01] O conjunto V, munido das operações (adição) e (multiplicação por escalar real), é um espaço vetorial (e.v.) real se, X, Y, Z V e α, β R, 1. V é fechado relativamente a X Y V 2. é comutativa X Y = Y X 3. é associativa (X Y ) Z = X (Y Z) 4. existe (único) o el. neutro 0 V V (zero de V) para 0 V X = X 5. existe (único) o simétrico X V de X em relação a X X = 0 V 6. V é fechado relativamente a α X V 7. é distributiva em relação a α (X Y ) = α X α Y 8. é distributiva em relação a + (α+β) X = α X β X 9. os produtos (o de R e ) são associativos (αβ) X = α (β X) 10. o escalar 1 é o elemento neutro para 1 X = X

3 Exemplos de espaços vetoriais reais [4 02] 1. R n munido das operações adição e multiplicação por escalar usuais. 2. R + munido das operações: x y = xy e α x = x α, x, y R +, α R. 3. O conjunto R m n das matrizes m n munido das operações adição de matrizes e multiplicação de uma matriz por um escalar real. 4. O conjunto de todas as funções reais de variável real munido da adição de funções e multiplicação de uma função por um escalar real. 5. Os conjuntos P de todos os polinómios (de qualquer grau) e P n dos polinómios de grau menor ou igual a n com as operações usuais. Não é e.v. o conjunto dos polinómios de grau n com as operações usuais.

4 Propriedades básicas de um espaço vetorial real [4 03] Proposição: Seja V um e.v. real. Então (a) 0 X = 0 V, X V; (b) α 0 V = 0 V, α R; (c) α X = 0 V α = 0 ou X = 0 V ; (d) ( 1) X = X é o simétrico de X em relação a, X V. Daqui em diante, escreve-se: i. X + Y em vez de X Y, para X, Y V; ii. αx em vez de α X, para α R e X V; iii. X em vez de X, para X V.

5 Subespaço vetorial [4 04] O subconjunto S V é um subespaço (vetorial) do e.v. real V se, munido das mesmas operações de V, for ele próprio um e.v. real. Teorema: S V é um subespaço (vetorial) do e.v. real V se e só se 1. S = ; 2. S é fechado em relação à adição de V; 3. S é fechado em relação à multiplicação por escalar de V. Proposição: Se S é um subespaço de V, então 0 V S. Corolário: Se 0 V S, então S não é um subespaço de V. Exemplos: V e {0 V } são os subespaços triviais de V; {(0, y, z) : y, z R} é um subespaço de R 3 ; {(1, y) : y R} não é subespaço de R 2 ; N (A), o espaço nulo da matriz A m n, é subespaço de R n.

6 Espaço gerado [4 05] Seja K = {X 1,..., X k } V. Chama-se espaço gerado por K ao conjunto S = K = X 1,..., X k = {X = α 1 X 1 + +α k X k : α 1,..., α k R} formado por todas as combinações lineares de X 1,..., X k. Diz-se também que K gera S ou é um conjunto gerador de S. Exercício: Confirme que S é um subespaço vetorial de V. Exemplo: Dados os vetores não colineares X 1, X 2 R 3 \ {(0, 0, 0)}, 1. X 1 é a reta que passa pela origem e tem vetor director X 1 ; 2. X 1, X 2 é o plano que passa pela origem e que contém X 1 e X 2.

7 Espaço das linhas e das colunas de uma matriz [4 06] A matriz m n A = L 1 T. L m T [ ] = C 1 C n tem linhas L 1,..., L m R n e colunas C 1,..., C n R m. Logo, o espaço das linhas e o espaço das colunas de A são os subespaços de R n e, respetivamente, R m C(A) = C 1,..., C n R m e L(A) = L 1,..., L m R n. Lema: Dados X 1,..., X k V e i, j {1,..., k}, com i j, i. X 1,..., X i,..., X j,..., X k = X 1,..., X j,..., X i,..., X k ; ii. X 1,..., X i,..., X k = X 1,..., αx i,..., X k, α R \ {0}; iii. X 1,..., X i,..., X k = X 1,..., X i + βx j,..., X k, β R. Teorema: Se as matrizes A e B são equivalentes por linhas, L(A) = L(B).

8 Independência linear [4 07] K = {X 1,..., X k } V é linearmente independente (l.i.) no e.v. real V se α 1 X α k X k = 0 V α 1 = = α k = 0. Caso contrário, K é linearmente dependente (l.d.) em V, ou seja, existem α 1,..., α k R não todos nulos tais que α 1 X 1 + +α k X k = 0 V. Nota: 0 V K K é linearmente dependente. Exemplos: Dois vetores não nulos de R 2 ou R 3 são colineares se e só se são l.d. Três vetores não colineares de R 3 definem um plano se e só se são l.d.

9 Geradores e independência linear [4 08] Sejam V um e.v. real, K = {X 1,..., X k } V e S = K. Lema: Seja X K. Então, as duas afirmações são equivalentes: 1. X é combinação linear dos vetores de K \ {X}; 2. S é gerado por K \ {X}. Teorema: K é um conjunto linearmente dependente existe X K que satisfaz 1. ou 2. do lema anterior; independente para cada X V \ S, o conjunto K {X} é l.i. Corolário: Se K gera V e não é l.i., o conjunto obtido retirando um oportuno elemento de K ainda é gerador de V. Se K é l.i. e não gera V, é possível acrescentar um oportuno elemento a K mantendo a independência linear.

10 Base de um espaço vetorial [4 09] Uma base de um e.v. V = {0 V } é um conjunto (a) l.i. e (b) gerador de V. Nota: Por convenção, o e.v. trivial {0 V } tem como base o conjunto vazio. Um conjunto l.i. é base do espaço por ele gerado. Exemplos: 1. Sejam e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1,..., 0),..., e n = (0,..., 0, 1). Então C n = {e 1, e 2,..., e n } é a base canónica de R n. 2. Seja E ij a matriz m n que tem a entrada (i, j) igual a 1 e todas as outras iguais a 0. Então C m n = {E ij : i = 1,..., m, j = 1,..., n} é a base canónica de R m n. 3. A base canónica do e.v. P n dos polinómios na variável x de grau menor ou igual a n é P n = {1, x,..., x n }. O e.v. P de todos os polinómios não admite uma base com um número finito de elementos.

11 Base de um espaço vetorial [4 10] Sejam V um e.v. real e K = {X 1,..., X k } V. Proposição: Se K gera V, então qualquer elemento de V pode escrever-se como combinação linear dos elementos de K, de pelo menos uma maneira. Se K é l.i., então qualquer elemento de V pode escrever-se como combinação linear dos elementos de K, de no máximo uma maneira. Proposição: Se K é uma base de V, então cada vetor de V escreve-se de forma única como combinação linear dos elementos de K.

12 Dimensão de um espaço vetorial [4 11] Teorema: V tem uma base de n elementos e K V contém r vetores. i. K l.i. r n (ou seja, r > n K linearmente dependente) Neste caso, existe uma base de V que contém K. ii. K gera V r n (ou seja, r < n K não gera V) Neste caso, existe um subconjunto de K que é uma base de V. Corolário: Duas bases de V possuem o mesmo número de elementos. A dimensão de V, dim V, é o número de elementos de qualquer base dele. Exemplos: dim{0 V } = 0, dim R n = n, dim R m n = mn e dim P n = n+1. Teorema: Se K = {X 1,..., X n } V e dim V = n, então i. K l.i. K é base de V; ii. K gera V K é base de V.

13 Exemplo Espaços L(A) e N (A) Seja A = A e = A r = , sendo A e e A r as formas escalonada e, respetivamente, reduzida de A. [4 12] Teorema: As linhas não nulas de A e e A r formam bases de L(A). Seja X = (x 1, x 2, x 3, x 4 ). Então, X N (A) AX = 0 A r X = 0 { x1 = 2x 2 +x 4 x 3 = x 4 X = 2x 2 +x x 2 x 4 = x x = x 2N 2 +x 4 N 4, x x 2, x 4 R. Teorema: Os vetores na combinação linear de X (N 2 e N 4 ) são uma base de N (A). Assim, dim N (A) = nul(a) = n. de inc. livres do sistema AX = 0.

14 Exemplo Espaço C(A) [4 13] B = (a, b, c) C(A) o sistema AX = B é possível. Logo, sendo [A B] = a a b b a, B C(A) a b+c = c a b+c A equação que define C(A) é um sistema homogéneo e pode aplicar-se o teorema anterior: C(A) = N ([1 1 1]) = (1, 1, 0), ( 1, 0, 1). Contudo, Teorema: dim C(A) = dim L(A) e as colunas de A que correspondem às colunas dos pivots da sua forma escalonada, formam uma base de C(A). Assim, as colunas 1 e 3 de A são l.i. e C(A) = (1, 2, 1), ( 4, 7, 3). Corolários: A caraterística de uma matriz é o máximo número de linhas (colunas) l.i. Uma matriz quadrada é invertível se e só se o conjunto das suas linhas (colunas) é l.i.

15 Exemplo Espaços L(A) e N (A) subespaços de R 3 [4 14] Sendo A uma matriz m 3, L(A) e N (A) são subespaços de R 3. Se car(a) = 0 (i.e. A é a matriz nula), então L(A) = {(0, 0, 0)} e N (A) = R 3. Se car(a) = 1 e (a, b, c) é a linha não nula da forma escalonada de A, L(A) é a reta que contém (0, 0, 0) e tem vetor diretor (a, b, c), N (A) é o plano ortogonal à reta anterior e que contém (0, 0, 0). Se car(a) = 2 e (a 1, b 1, c 1 ), (a 2, b 2, c 2 ) são as linhas não nulas da forma escalonada de A, L(A) é o plano que contém (0, 0, 0) e tem vetores diretores (a 1, b 1, c 1 ) e (a 2, b 2, c 2 ), N (A) é a reta ortogonal ao plano anterior e que contém (0, 0, 0). Se car(a) = 3, então L(A) = R 3 e N (A) = {(0, 0, 0)}.

16 Coordenadas de um vetor numa base [4 15] Seja B = (X 1,..., X n ) uma base ordenada de um e.v. V. Teorema: Cada vetor X V escreve-se de forma única como combinação linear dos elementos de B, ou seja, existem a 1,..., a n R, tais que X = a 1 X a n X n. Estes coeficientes a 1,..., a n dizem-se as coordenadas de X na base B. O vetor das coordenadas de X na base B é [X] B = Exemplo: Verifique que, relativamente à base B = ( (1, 1), (1, 2) ), [ ] [ ] 1 3 [(0, 1)] B = e [(1, 1)] B =. 1 2 a 1. a n.

17 Mudança de base [4 16] Nota: Para Y 1,..., Y r V, S base ordenada de V e a 1,..., a r R, [a 1 Y a r Y r ] S = a 1 [Y 1 ] S + + a r [Y r ] S. Sejam S, T = (Y 1,..., Y n ) duas bases ordenadas de V e X V. Qual a relação entre [X] S e [X] T? [X] T = a 1. a n X = a 1 Y a n Y n [X] S = a 1 [Y 1 ] S + + a n [Y n ] S ] a 1 = [[Y 1 ] S [Y n ] S. }{{} a n M S T }{{} [X] T

18 Matriz de mudança de base [4 17] Teorema: Sejam S e T = (Y 1,..., Y n ) duas bases ordenadas de V. Para cada X V, [X] S = M S T [X] T onde M S T = [ [Y 1 ] S [Y n ] S ] é a Matriz de mudança de base de T para S cujas colunas são os vetores das coordenadas na base S dos elementos da base T

19 Mudança de base Exemplo [4 18] Sejam S = ( (1, 1), (1, 2) ) e T = ( (0, 1), (1, 1) ) bases ordenadas de R 2. [ ] Dado X R 2 a tal que [X] T =, tem-se que b X = a (0, 1) + b (1, 1). Logo, [X] S = a[(0, 1)] S + b[(1, 1)] S. Pelo exemplo anterior, [ ] [ ] 1 3 [(0, 1)] S = e [(1, 1)] S =. 1 2 então [ ] 1 [X] S = a 1 [ ] 3 + b 2 = [ 1 3 ] 1 2 }{{} M S T [ ] a. b }{{} [X] T

20 Invertibilidade de uma matriz de mudança de base [4 19] Teorema: Sejam S e T duas bases de V. Então M S T é invertível e M 1 S T = M T S. Demonstração: Sejam M = M S T, dim V = n e Y R n tal que MY = 0. Existe X V tal que Y = [X] T. Então [X] S = M[X] T = M Y = 0 X = 0 V Y = 0. Mostrámos que o sistema homogéneo M Y = 0 possui apenas a solução trivial, ou seja, que M é invertível. Para cada X V, tem-se [X] S = M [X] T [X] T = M 1 [X] S, pelo que M 1 = M T S.

21 Mudança de base Caso particular de R n [4 20] S, T: bases de R n C: base canónica de R n [X] T M S T [X] S M C T M C S M S C = M 1 C S [X] C M C S : matriz cujas colunas são os vetores da base S M C T : matriz cujas colunas são os vetores da base T M S T = M S C M C T = M 1 C S M C T

22 Matriz de mudança de base Caso particular de R n [4 21] Dadas as bases de R n S = (X 1,..., X n ), T = (Y 1,..., Y n ) e C canónica, [ ] [ ] [ ] M C S M C T = X 1 X n Y 1 Y n I n M S T método de eliminação de Gauss-Jordan Exemplo: Para obtermos a matriz M S T de mudança da base T = ( (0, 1), (1, 1) ) para a base S = ( (1, 1), (1, 2) ), temos de calcular [ [(0, 1)] S = [ [(1, 1)] S = α 1 α 2 β 1 β 2 ] (0, 1) = α 1 (1, 1) + α 2 (1, 2), ] (1, 1) = β 1 (1, 1) + β 2 (1, 2).

23 Matriz de mudança de base Caso particular de R n (exemplo) [4 22] Tal conduz a dois sistemas 1 1 α 1 = α 2 1 e β 1 β 2 = 1 1 com a mesma matriz dos coeficientes (cujas colunas são os vetores de S). Os sistemas anteriores podem-se resolver em simultâneo, formando a matriz ampliada: M S T = α 1 β 1 α 2 β 2 = ,

24 Conjunto ortogonal e ortonormado em R n [4 23] Um conjunto {X 1,..., X k } de vetores de R n diz-se ortogonal se X i X j = 0, i j, i, j = 1,..., k, e diz-se ortonormado (o.n.) se é ortogonal e também se verifica X i X i = 1, i = 1,..., k. Exemplo: 1. {(1, {( 1, 0), (2, 2, 1)} é ortogonal; , ) 2 2, 0, ( 2 3, 2 3, 1 3) } é o.n. Teorema: Todo o conjunto ortogonal de vetores não nulos é l.i. Corolário: Todo o conjunto o.n. é l.i.

25 Coordenadas de um vetor de R n numa base o.n. [4 24] Uma base ortogonal/o.n. é uma base que é um conjunto ortogonal/o.n. Nota: Todo o conjunto o.n. de n vetores de R n é uma base de R n. Teorema: Seja X R n e B = (X 1,..., X n ) uma base o.n. de R n. Então X X 1 [X] B =., X X n isto é, X = a 1 X a n X n, sendo a i = X X i, i = 1,..., n. Exemplo: Determinar as coordenadas do vetor (1, 5) na base o.n. de R 2 (( 2 2, ) ( 2 2, 2 2, )) 2. 2

26 Projeção ortogonal em R n [4 25] Y R n é ortogonal ao subespaço W de R n se Y Z = 0 para cada Z W. Teorema: Seja Y R n e B uma base de um subespaço W de R n. Então, Y é ortogonal a W se e só se Y é ortogonal a cada vetor de B. A projeção ortogonal de X R n sobre o subespaço W de R n é o vetor Z = proj W X W tal que X = Y + Z, sendo Y ortogonal a W. Exemplo: Sejam W = X 1 uma reta, {X 1 } base o.n. de W e X = OP. Logo, Z = proj W X = αx 1 e Y X 1 = 0. Então, se X = Y + Z = Y + αx 1, X X 1 = Y X 1 + αx 1 X 1 = α. Portanto, proj W X = (X X 1 )X 1. O X X 1 P Y W H Z Y = dist(p, W)

27 Projeção ortogonal sobre um plano em R 3 [4 26] Exemplo: Sejam W um plano gerado pela base o.n. {X 1, X 2 } e X = OP = Z + Y, com Z = proj W X = α 1 X 1 + α 2 X 2 Y X 1 = Y X 2 = 0. Então, sendo X = Y + Z = Y + α 1 X 1 + α 2 X 2, X X 1 = α 1 e X X 2 = α 2. Logo, proj W X = (X X 1 )X 1 +(X X 2 )X 2. e X 1 O X X 2 Z P Y W H Y = dist(p, W) Teorema: A projeção ortogonal de X R n sobre o subespaço W de R n é proj W X = (X X 1 )X (X X k )X k W, em que {X 1,..., X k } é uma base o.n. de W.

28 Método de ortogonalização de Gram-Schmidt (opcional) [4 27] Teorema: Todo o subespaço W {0} de R n possui uma base o.n. Demonstração: Dada {X 1,..., X m } uma base de W, sejam Y 1 = X 1 X 1, Z 1 = Y 1 e X k = X k proj Zk 1 X k, Y k = X k X k, Z k = Y 1,..., Y k, para k = 2,..., m. Então B = {Y 1,..., Y m } é um conjunto o.n., logo l.i. em W. Sendo dim W = m, conclui-se que B é uma base o.n. de W. Exemplo: Determinar uma base o.n. de (1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 3), (2, 1, 2, 2).