Q1. Seja V um espaço vetorial e considere as seguintes afirmações: um conjunto de geradores de um subespaço S 2 de V, então A 1 A 2

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1 Q1. Seja V um espaço vetorial e considere as seguintes afirmações: (I) se A 1 é um conjunto de geradores de um subespaço S 1 de V e A 2 é um conjunto de geradores de um subespaço S 2 de V, então A 1 A 2 é um conjunto de geradores do subespaço S 1 + S 2 ; (II) se A 1 é um conjunto de geradores de um subespaço S 1 de V e A 2 é um conjunto de geradores de um subespaço S 2 de V, então A 1 A 2 é um conjunto de geradores do subespaço S 1 S 2 ; (III) se S 1, S 2 e S 3 são subespaços de V tais que então S 1 (S 2 + S 3 ) = {0}. S 1 S 2 = {0} e S 1 S 3 = {0}, (a) apenas a afirmação (I) é necessariamente verdadeira; (b) apenas as afirmações (I) e (II) são necessariamente verdadeiras; (c) todas as afirmações são necessariamente verdadeiras; (d) apenas as afirmações (I) e (III) são necessariamente verdadeiras; (e) apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras. Q2. Considere o subconjunto A do espaço vetorial R 4 dado por A = { (1, 2, 0, 1), (0, 1, 1, 2), (1, 3, 1, 3), (0, 2, 2, 4) } e seja S o subespaço de R 4 gerado por A. O número de subconjuntos de A que são uma base de S é igual a: (a) 2; (b) 5; (c) 1; (d) 4; (e) 6. Q3. Considere os subespaços S 1 e S 2 de P 4 (R) definidos por: S 1 = [t 4 + 1, t 3 t, t 2 ] e S 2 = { p P 4 (R) : p(0) = 0 e p (1) = 0 }. (a) S 1 S 2 = {0} e S 1 + S 2 = P 4 (R); (b) dim(s 1 ) = 3 e dim(s 1 S 2 ) = 2; (c) dim(s 1 ) = dim(s 2 ) e S 1 S 2 = {0}; (d) dim(s 1 S 2 ) = 1 e S 1 + S 2 = P 4 (R); (e) dim(s 2 ) = 3 e dim(s 1 + S 2 ) = 4.

2 Q4. Considere os subespaços de P 3 (R) definidos por: S 1 = { p P 3 (R) : p (1) = 0 }, S 2 = [t 2 2t, t 3 3t, t 3 t 2 t], S 3 = [1, (t 1) 2, (t 1) 3 ]. (a) S 1 = S 2, S 1 S 3 e S 3 está contido em S 1 ; (b) dim(s 1 ) = dim(s 2 ) = dim(s 3 ) = 3; (c) S 1 = S 2 = S 3 ; (d) S 1 = S 3 e S 1 está contido em S 2 ; (e) S 1 = S 3, S 1 S 2 e S 2 está contido em S 1. Q5. Seja a R e considere o subespaço S de R 3 definido por: S = [(1, a, 1), (a, 1, 1), (1, 1, a)]. Temos que dim(s) = 2 se, e somente se: (a) a = 1 ou a = 2; (b) a = 2; (c) a = 2; (d) a = 1; (e) a = 0. Q6. Considere o subespaço S de R 5 definido por: S = { (x, y, z, t, w) R 5 : x + y z t w = 0 e 2x + z + t + w = 0 }. Assinale a alternativa correspondente a uma base de S: (a) { ( 1, 3, 2, 0, 0), ( 1, 3, 0, 2, 0), ( 1, 3, 0, 0, 2) } ; (b) { ( 1, 3, 1, 1, 0), ( 1, 3, 1, 0, 1) } ; (c) { ( 1, 3, 2, 0, 0), ( 1, 3, 0, 2, 0), ( 1, 3, 1, 1, 0) } ; (d) { (1, 1, 1, 1, 1), (2, 0, 1, 1, 1) } ; (e) { ( 1, 3, 2, 0, 0), ( 1, 3, 1, 0, 1), ( 1, 3, 0, 0, 2) }.

3 Q7. Seja V um espaço vetorial e considere as seguintes afirmações: (I) se para todo inteiro n 1 existe um subconjunto linearmente independente de V com n elementos, então nenhum subconjunto finito de V gera V ; (II) se S 1 e S 2 são subespaços de V tais que S 1 S 2 = {0} e se v 1, w 1 S 1, v 2, w 2 S 2 são tais que v 1 + v 2 = w 1 + w 2, então v 1 = w 1 e v 2 = w 2 ; (III) se S 1 e S 2 são subespaços de V tais que S 1 S 2 é um subespaço de V, então S 1 está contido em S 2 ou S 2 está contido em S 1. (a) apenas as afirmações (I) e (II) são necessariamente verdadeiras; (b) apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras; (c) apenas as afirmações (I) e (III) são necessariamente verdadeiras; (d) todas as afirmações são necessariamente verdadeiras; (e) apenas a afirmação (I) é necessariamente verdadeira. Q8. Considere a base { (1 ) 0 B =, ( ) 1 1, ( ), 2 0 ( ) } 1 1 do espaço vetorial M 2 (R). Se (a, b, c, d) denotam as coordenadas do vetor ( ) na base B, então a + b + c + d é igual a: (a) 13; (b) 0; (c) 7; (d) 6; (e) 16.

4 Q9. Seja a R e considere o subconjunto B = { a + t, 1 + t + t 2, t + t 2 + t 3, t 2 + at 3} do espaço vetorial P 3 (R). Temos que B é uma base de P 3 (R) se, e somente se: (a) a 1 2 ; (b) a = 1; (c) a 1; (d) a = 1 2 ; (e) a 1. Q10. Assinale a alternativa em que o conjunto S não é um subespaço do espaço vetorial V : (a) V = P (R) e S = { p V : p(1) = 0 e p (3) = 0 } ; (b) V = M 3 (R) e S = { A V : A + A t = 0 }, onde A t denota a transposta da matriz A; (c) V = R 3 e S = { (x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 = 0 } ; (d) V = M 2 (R) e S = { A V : det(a) = 0 } ; (e) V é o espaço vetorial das funções f : R R que são deriváveis e S é o subconjunto de V formado pelas funções f V tais que vale a igualdade e x f (x) + f(x) = 0, para todo x R. Q11. Seja V o espaço vetorial das funções f : R R e considere as funções f 1, f 2, f 3, f 4 V definidas por f 1 (x) = x 2, f 2 (x) = 1, f 3 (x) = sen 2 x e f 4 (x) = cos 2 x, para todo x R. Assinale a alternativa correspondente a um subconjunto linearmente dependente de V : (a) {f 2 + f 3, f 2 + f 4, f 3 + f 4 }; (b) {f 1, f 2, f 3 }; (c) {f 1 + f 2 + f 3, f 3, f 4 }; (d) {f 1 + f 2 + f 3, f 2 + f 3, f 3 }; (e) {f 1, f 2 + f 3, f 2 + f 4 }.

5 Q12. Sejam A e B matrizes reais tais que B é obtida de A por operações elementares de escalonamento em linhas. Considere as seguintes afirmações: (I) o subespaço gerado pelas linhas de A coincide com o subespaço gerado pelas linhas de B; (II) o subespaço gerado pelas colunas de A coincide com o subespaço gerado pelas colunas de B; (III) se a matriz B está escalonada e não possui linhas nulas, então as linhas da matriz A são linearmente independentes. (a) apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras; (b) apenas a afirmação (I) é necessariamente verdadeira; (c) apenas as afirmações (I) e (III) são necessariamente verdadeiras; (d) todas as afirmações são necessariamente verdadeiras; (e) apenas a afirmação (III) é necessariamente verdadeira. Q13. Sejam S 1, S 2 e S 3 subespaços de M 3 4 (R) tais que dim(s 1 ) = 10, dim(s 1 S 2 ) = 1, S 1 + S 2 = M 3 4 (R), S 2 S 3 = {0} e S 2 + S 3 é o subespaço de M 3 4 (R) formado pelas matrizes que tem a primeira linha nula. Temos que a dimensão de S 3 é igual a: (a) 9; (b) 4; (c) 7; (d) 5; (e) 6. Q14. Considere o subespaço S de R 4 definido por S = [(1, 1, 0, 2), (2, 1, 1, 2), (1, 5, 2, 2)] e sejam a, b R. Se (2, a, 1, b) pertence a S, então: (a) ab = 2; (b) ab = 1; (c) ab = 0; (d) ab = 3; (e) ab = 1.

6 Q15. Sejam n 2 um inteiro, V um espaço vetorial de dimensão n e sejam dados vetores dois a dois distintos v 1, v 2,..., v n+1 V. Considere as seguintes afirmações: (I) se V = [v 1, v 2,..., v n, v n+1 ], então V = [v 1, v 2,..., v n ]; (II) se o conjunto A = {v 1, v 2,..., v n 1 } é linearmente independente, então A {v} é uma base de V, para qualquer v V que não pertença a A; (III) se o conjunto B = {v 1, v 2,..., v n } é linearmente independente, então B {v} é linearmente dependente, para qualquer v V que não pertença a B. (a) apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras; (b) apenas a afirmação (III) é necessariamente verdadeira; (c) apenas as afirmações (I) e (III) são necessariamente verdadeiras; (d) nenhuma das afirmações é necessariamente verdadeira; (e) todas as afirmações são necessariamente verdadeiras. Q16. Considere o espaço vetorial V = { (x, y) R 2 : x > 0 e y > 0 } munido das operações de soma e multiplicação por escalar definidas por: (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (x 1 x 2, y 1 y 2 ), (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) V, λ (x, y) = (x λ, y λ ), λ R, (x, y) V. (a) { (x, y) V : y = 2x } é um subespaço de V ; (b) os vetores (1, 2) e (1, 8) são linearmente independentes em V ; (c) { (x, y) V : y = x 2} é um subespaço de V ; (d) o vetor (6, 2) pertence ao subespaço de V gerado pelos vetores (2, 1) e (4, 1); (e) dados (a, b), (c, d) V, vale que os vetores (a, b) e (c, d) são linearmente dependentes em V se, e somente se, o determinante da matriz ( ) a b c d é igual a 1.