ÁLGEBRA LINEAR I - MAT Em cada item diga se a afirmação é verdadeira ou falsa. Justifiquei sua resposta.

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA INTEGRAÇÃO LATINO-AMERICANA Instituto Latino-Americano de Ciências da Vida e Da Natureza Centro Interdisciplinar de Ciências da Natureza ÁLGEBRA LINEAR I - MAT a Lista de exercícios 1. Em cada item diga se a afirmação é verdadeira ou falsa. Justifiquei sua resposta. (a) Se V é um espaço vetorial e W é um subconjunto de V que é espaço vetorial então W é um subespaço vetorial de V. (b) O conjunto vazio é subespaço vetorial de todo espaço vetorial. (c) Se V é um espaço vetorial diferente do espaço vetorial zero então V contem um subespaço vetorial W tal que W V. (d) A interseção de dois subconjuntos quaisquer de V é um subespaço vetorial de V. (e) Seja W = {(x, y, 0); (x, y) R 2 } então W = R Seja R ( ) o subconjunto de R = F (N, R) formado pelas sequências v = (x 1, x 2,..., x n,...) que têm apenas um número finito de termos x n diferentes de zero. Mostre que R ( ) é um subespaço vetorial de R e que as sequências que têm um único termo não nulo constituem um conjunto de geradores para R ( ). 3. Determine qual dos seguintes conjuntos são subespaços de R 3 sob as operações de adição e multiplicação por um escalar definidos em R 3. Justifique sua resposta (a) W 1 = {(x, y, z) R 3 ; x = 3y e z = y} (b) W 2 = {(x, y, z) R 3 ; x = z + 2} (c) W 3 = {(x, y, z) R 3 ; 2x 7y + z = 0} (d) W 4 = {(x, y, z) R 3 ; x 4y z = 0} (e) W 5 = {(x, y, z) R 3 ; x + 2y 3z = 1} (f) W 6 = {(x, y, z) R 3 ; 5x 2 3y 2 + 6z 2 = 0} 4. Seja W 1, W 3 e W 4 como no Exercicio 3. Descreva W 1 W 3, W 1 W 4 e W 3 W 4, e observe que cada um é subespaço de R Sejam v 1, v 2 vetores em R n. Mostre que o conjunto de todos os vetores v em R n tal que v é perpendicular a v 1 e v 2 é um subespaço vetorial de R n. 6. Generalize o Exercício 5 e prove: Sejam v 1,..., v r vetores em R n. Seja W o conjunto dos vetores v em R n tal que v, v i = 0 para todo i = 1,..., r. Mostre que V é subespaço de R n. 7. Seja F um corpo. Prove que W 1 = {(x 1, x 2,..., x n ) F n ; x 1 + x x n = 0} é subespaço de F n, mas W 2 = {(x 1, x 2,..., x n ) F n ; x 1 + x x n = 1} não é subespaço. 8. Verifique se é subespaço vetorial de F ([a, b]; R) o conjunto das funções f : [a, b] R tais que: 9. (a) f(a) = f(b) = 0. (b) f(a) = f(b) = 1. (c) f(x) 0 para todo x [a, b]. (d) f derivável e f + 2f = 0. É o conjunto W = {f(x) P(F ); f(x) = 0 ou f(x) tem grau n} um subespaço vetorial de P(F ) para n 1? Justifique sua resposta. 10. Seja A uma matriz m n. Dizemos que A é chamada triangular superior se todas as entradas que encontram-se abaixo da diagonal são zero, isto é, se A ij = 0 sempre que i > j. Prove que o conjunto de matrizes superiores é um subespaço vetorial de M m n (F ). Dizemos que A é chamada triangular inferior se todas as entradas que encontram-se acima da diagonal são zero, isto é, se A ij = 0 sempre que i < j. Prove que o conjunto de matrizes inferiores é um subespaço vetorial de M m n (F ). 1

2 11. (a) Prove que os únicos subespaços de R são R e o subespaço zero. (b) Prove que os subespaços de R 2 é R 2, ou o subespaço zero, ou o conjunto que consiste de todos os múltiplos de um vetor fixo em R 2. (c) É possível descrever os subespaços de R3? 12. Prove que um subconjunto W do espaço vetorial V é subespaço de V se, e somente se, W, e, sempre que a F e x, y W, então ax W e x + y W. 13. Prove que um subconjunto W do espaço vetorial V é subespaço de V se, e somente se, 0 W e ax + y W sempre que a F e x, y W. 14. Sejam W 1 e W 2 subespaços do espaço vetorial V. Prove que W 1 W 2 é um subespaço de V se, e somente se, W 1 W 2 ou W 2 W Prove que se W é um subespaço do espaço vetorial V e w 1, w 2,..., w n W, então a 1 w 1 + a 2 w a n w n W para quaisquer escalares a 1, a 2,..., a n. 16. Mostre que o conjunto das sequências convergentes (a n ) (isto é, aqueles para os quais lim n a n existe) é um subespaço do espaço vetorial V do Exercício 22 da Lista Sejam W 1 o subespaço das matrizes triangulares inferiores e W 2 o subespaço das matrizes triangulares superiores de M m n (F ). Mostre que M m n (K) = W 1 + W 2 e que não se tem M m n (K) = W 1 W Seja V = F (R; R). Para X R qualquer, ponhamos N(X) = {f V ; f(x) = 0 para todo x X}. Prove: (a) Para todo X R, N(X) é um subespaço vetorial de V. (b) X Y então N(Y ) N(X). (c) N(X Y ) = N(X) N(Y ). (d) N(X) = {0} se, e somente se, X = R. (e) N(X Y ) = N(X) + N(Y ). (f) N(X) N(Y ) = V se, e somente se, Y = R \ X. 19. No espaço vetorial V = F (R; R) sejam: V 1 = {f V ; f(x) = 0 para todo x [0, 1]} e V 2 = {g V ; g(x) = 0 para todo x [2, 3]}. Mostre que V 1 e V 2 são subespaços vetoriais de V, que V = V 1 + V 2 e que não se tem V = V 1 V Considere os subespaços V 1 = {(x, x, x); x R} e V 2 = {(x, y, 0); (x, y) R 2 } de R 3. Mostre que R 3 = V 1 V Dados u = (1, 2) e v = ( 1, 2), sejam V 1 = S(u) e V 2 = S(v) os subespaços de R 2. Mostre que R 2 = V 1 V Sejam V 1 = S(u 1, v 1 ) e V 2 = S(u 2, v 2 ) os subespaços de R 3 gerado pelos vetores u 1 = (0, 1, 2), v 1 = (1, 1, 1), u 2 = ( 1, 0, 3) e v 2 = (2, 1, 0). Ache números a 1, b 1, c 1 e a 2, b 2, c 2 tais que se tenha: V 1 = {(x, y, z) R 3 ; a 1 x + b 1 y + c 1 z = 0} e V 2 = {(x, y, z) R 3 ; a 2 x + b 2 y + c 2 z = 0}. 23. No exercício anterior, mostre que u 2 / V 1 e que V 1 + V 2 = R 3. Exiba um vetor não nulo w V 1 V 2 e conclua que não se tem R 3 = V 1 V Prove que S(X) é a interseção de todos os subespaços vetoriais que contêm o conjunto X V. 25. Exiba três vetores u, v, w R 3 com as seguintes propriedades: nenhum deles é múltiplo do outro, nenhuma das coordenadas é igual a zero e R 3 não é gerado por eles. 26. Em cada item diga se a afirmação é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta. (a) Se X Y então S(X) S(Y ). (b) Se S(X) S(Y ) então X Y. 2

3 (c) Para quaisquer subconjuntos X, Y V tem-se S(X Y ) = S(X) + S(Y ) e S(X Y ) = S(X) S(Y ). (d) Se uma variedade afim H V contém o vetor zero então H é subespaço vetorial de V. 27. Quais dos seguintes conjuntos são subespaços vetoriais? (a) O conjunto X R 3 formado pelos vetores v = (x, y, z) tais que xy = 0. (b) O conjunto F F (R; R) formado pelas funções f : R R tais que f(x + 1) = f(x) para todo x R. (c) O conjunto L R n dos vetores v = (x, 2x,..., nx), onde x R é arbitrário. (d) O conjunto dos vetores de R 5 que têm duas ou mais coordenadas nulas. (e) O conjunto dos vetores de R 3 que têm pelo menos uma coordenada não negativa. (f) Os vetores de R n cujas coordenadas formam uma progressão geométrica. (g) Os vetores de R n cujas coordenadas formam uma progressão aritmética de razão fixada. (h) Os vetores de R n cujas coordenadas formam uma progressão geométrica de razão fixada. (i) Os vetores de R n cujas primeiras k-coordenadas são iguais. (j) As sequências (x n ) R tais que x n+2 3x n = x n+1 para todo n. (k) os vetores (x, y) R 2 tais que x 2 + 3x = y 2 + 3y. (l) As funções f C (R) tais que f 2f + f = Sejam v 1, v 2, v 3 os vetores-linha e w 1, w 2, w 3 os vetores-coluna da matriz Verifique as relações v 3 = 2v 2 v 1 e w 3 = 2w 2 w 1. Exprima w 1 e w 2 como combinações lineares de v 1 e v 2, e vice-versa. Conclua que os vetores-linha e os vetores-coluna da matriz dada geram o mesmo subespaço de R Dê exemplo de uma matriz 3 3 cujos vetores-linha geram um subespaço de R 3 diferente daquele gerado pelos vetores-coluna. 30. Diz-se que um subconjunto X de um espaço vetorial V é simétrico quando v X então v X. Prove que um cone convexo simétrico e não vazio é um subespaço vetorial de V. 31. Dê exemplo de um cone convexo que não é simétrico e um cone simétrico que não seja convexo. 32. Uma matriz quadrada A = (A ij ) chama-se simétrica (respectivamente, anti-simétrica) quando A ij = A ji (respectivamente A ij = A ji ) para todo i e j. Prove que o conjunto S das matrizes simétricas e o conjunto A das matrizes anti-simétricas n n são subespaços vetoriais de M n n (R) e que se tem M n n (R) = S A. 33. Seja V = F (R; R). Fixada g V, mostre que o conjunto W de todas as funções f V tais que f g = f é um subespaço de V. Para qual função g tem-se que W = conjuntos das funções periódicas de período a? E se fosse g f = f? Ou f g = g? 34. Prove que o subespaço vetorial gerado por um cone convexo C V é o conjunto das diferenças u v, onde u, v C. Conclua que o conjunto das funções f : X R que só assumem valores positivos é um conjunto de geradores de F (X; R). 35. Diz-se que uma função f : X R é limitada quando existe k > 0 (dependendo de f) tal que f(x) k para todo x X. Prove que o conjunto das funções limitadas é um subespaço vetorial de F (X; R), o qual é gerado pelas funções limitadas positivas. 36. Sejam W 1,..., W k V subespaços vetoriais. Prove: (1) O subespaço gerado pela união W 1... W k é o conjunto W W k das somas x x k, onde x 1 W 1,..., x k W k. 3

4 (2) As seguintes afirmações são equivalentes: (a) Cada x W W k se escreve de modo único como soma x = x x k. (b) Para cada j = 1,..., k tem-se W j (W W j 1 + W j W k ) = {0}. Quando uma das condições (a) ou (b) vale, escreve-se W 1... W k em vez de W W k e diz-se que este subespaço é a soma direta de W 1,..., W k. 37. Seja V = W 1 W 2 = U 1 U 2. Se W 1 U 1 e W 2 U 2, prove que W 1 = U 1 e W 2 = U Sejam V e W F -espaços vetoriais. Uma função f : V W chama-se par (respectivamente impar) quando f( v) = f(v) (respectivamente f( v) = f(v)) para todo v V. Prove: (a) O conjunto A das funções pares e o conjunto B das funções ímpares são subespaços vetoriais de F (V ; W )(ver Exercício 13 Lista 1) e vale F (V ; W ) = A B. (b) Alem do conjuntos A, dos polinômios pares, e B, dos polinômios ímpares, considere também o conjunto A dos polinômios da forma p(x) = a i x 2i, que só contêm expoentes pares e o conjunto B dos polinômios da forma q(x) = b i x 2i+1, que só contêm expoentes ímpares. Prove que A e B são subespaços vetoriais do espaço P(R) de todos os polinômios, que A A e B B e P(R) = A B. Conclua que A = A e B = B. 39. Para todo n N seja Q n o conjunto dos polinômios (de graus arbitrários) que são divisíveis por x n. Prove que Q n é um subespaço vetorial de P(R). Ache um subespaço F P(R) tal que P(R) = F Q n. 40. Seja X V, seja Y o conjunto obtido de X substituindo um de seus elementos v por v + αu, onde u X e α R. Prove que X e Y geram o mesmo subespaço vetorial de V. Conclua daí que os conjuntos {v 1,..., v k } V e {v 1, v 2 v 1,..., v k v 1 } V geram o mesmo subespaço vetorial de E. 41. Prove que a reunião de três subespaços vetoriais só pode ser uma subespaço vetorial quando um deles contém os outros dois. 42. Sejam F 1, F 2 subespaços vetoriais de V. Se existir algum a V tal que a + F 1 F 2, prove que F 1 F Seja H V uma variedade afim. Dados v 1,..., v m H e α 1,..., α m R com α α m = 1, prove que α 1 v α m v m H. 44. Para todo subespaço vetorial F R n, prove que existe um subespaço G R n tal que R n = F G. 45. Dado o subconjunto não-vazio X do espaço vetorial V, a variedade afim gerada por X é, por definição, o conjunto H(X) de todas as combinações lineares α 1 v 1 + α n v n, com v 1,..., v n X e α α n = 1. Prove que (a) H(X) é uma variedade afim. (b) Fixado qualquer v 0 X, tem-se V (X) = v 0 + W, onde W é o subespaço vetorial de V gerado pelos vetores v v 0, onde v X. 46. Seja W um subespaço do espaço vetorial V sobre o corpo F. Para qualquer v V o conjunto {v} + W = {v + w; w W } é chamado de co-cojunto de W contendo v. É habitual denotar o co-conjunto por v + W ao invés {v} + W. (a) Prove que v + W é um subespaço de V se, e somente se, v W. (b) Prove que v 1 + W = v 2 + W se, e somente se, v 1 v 2 W. Adição e produto escalar por escalares em F são definidos na coleção S = {v + W ; v V } de todos os co-conjuntos de W como segue: para quaisquer v 1, v 2 V e (v 1 + W ) + (v 2 + W ) = (v 1 + v 2 ) + W para qualquer v V e α F. α(v + W ) = αv + W 4

5 (c) Prove que as operações anteriores são bem definidas, isto é, mostrar que se v 1 + W = v 1 + W e v 2 + W = v 2 + W, então e para qualquer α F. (v 1 + W ) + (v 2 + W ) = (v 1 + W ) + (v 2 + W ) α(v 1 + W ) = α(v 1 + W ) (d) Prove que o conjunto S é um espaço vetorial com as operações definidas em (c). Este espaço vetorial é chamado espaço quociente de V modulo W e é denotado por V/W. Foz do Iguaçu, 22 de março de 2018 Víctor Arturo Martínez León 5