Segunda prova de Álgebra Linear Aplicada - 20/02/2013 Prof. Juliana Coelho - 07h00-09h00

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1 Segunda prova de Álgebra Linear Aplicada - 20/02/2013 Prof Juliana Coelho - 07h00-09h00 QUESTÃO 1 (2,0 pts - Considere os seguintes vetores de R3 : u = (3, 2, 2, v = (1, 3, 1 e w = ( 1, 4, 4 Responda as questões abaixo justificando sua resposta: (a u, v, w são linearmente dependentes ou independentes? Resp: Os três vetores u, v, w de R 3 são linearmente independentes se e somente se a matriz formada colocando os vetores nas colunas é inversível, isto é, tem determinante não nulo Esta matriz é M = Calculando o determinante, temos 3 4 det(m = 3 det 1 4 ( det 2 4 ( det = 3( (8 + 8 ( = = 28 Assim, como det(m 0, vemos que os três vetores são linearmente independentes (b w é combinação linear de u e v? Resp: Como pelo item (a os vetores u, v e w são linearmente independentes, temos que nenhum deles é combinação linear dos outros dois Em particular, w não é combinação linear de u e v Resolvendo de outro modo: O vetor w é combinação linear de u e v se existem escalares a, b R tais que w = au + bv, isto é, ( 1, 4, 4 = a(3, 2, 2 + b(1, 3, 1 = (3a + b, 2a 3b, 2a + b Assim, w é combinação linear de u e v se e somente se o sistema linear 3a + b = 1 2a 3b = 4 2a + b = 4 é possível Escalonando a matriz do sistema, temos: M = = M

2 onde realizamos as operações L 1 L 1 +L 2, L 3 L 3 +L 2, L 2 L 2 +2L 1, L 2 L 2 /7 e L 3 L 3 2L 2 Montando o sistema associado a M, obtemos a 2b = 5 b = 2 0 = 4 que é claramente um sistema impossível Assim, vemos que não existem a, b R tais que w = au + bv, mostrando que w não é combinação linear de u e v (c w pertence ao subespaço u, v gerado por u e v? Resp: O subespaço u, v gerado por u e v é o conjunto das combinações lineares de u e v Vimos no item (a que w não é combinação linear de u e v e portanto w não pertence ao subespaço u, v QUESTÃO 2 - Considere os subespaços vetoriais de R4 dados por W = {(x, y, z, w R 4 x 2y 3z + 2w = 0 e y + z 2w = 0}, W = {(x, y, z, w R 4 x 2y 3z w = 0 e y + 2z w = 0} (a (1,5 pts Encontre uma base de W e determine sua dimensão Resp: Para encontrar uma base para W notamos que os vetores de W satisfazem y + z 2w = 0 y = z + 2w x 2y 3z + 2w = 0 x = 2y + 3z 2w = 2( z + 2w + 3z 2w e portanto são da forma x = z + 2w (x, y, z, w = (z + 2w, z + 2w, z, w = (z, z, z, 0 + (2w, 2w, 0, w = z(1, 1, 1, 0 + w(2, 2, 0, 1 Vemos então que os vetores de W são combinações lineares de u = (1, 1, 1, 0 e v = (2, 2, 0, 1, ou seja, W = u, v Além disso, os vetores u e v são linearmente independentes já que não são múltiplos um do outro Portanto u e v formam uma base para W e logo dim(w = 2 (b (1,1 pts Encontre o complemento ortogonal W ao subespaço W Resp: Pelo item (a temos que W = u, v onde u = (1, 1, 1, 0 e v = (2, 2, 0, 1 Portanto o complemento ortogonal de W é o conjunto dos vetores de R 4 que são ortogonais a u e v Um vetor (x, y, z, w R 4 é ortogonal a u e v se satisfaz (x, y, z, w (1, 1, 1, 0 = 0 x y + z = 0, (x, y, z, w (2, 2, 0, 1 = 0 2x + 2y + w = 0 Portanto o complemento ortogonal a W é W = {(x, y, z, w R 4 x y + z = 0 e 2x + 2y + w = 0} 2

3 (c (1,1 pts Ache a interseção W W e determine sua dimensão Resp: A interseção W W é o conjunto dos vetores (x, y, z, w R 4 que satisfazem às equações de W e de W, isto é, tais que Escalonando a matriz do sistema, temos M = x 2y 3z + 2w = 0 y + z 2w = 0 x 2y 3z w = 0 y + 2z w = = M onde realizamos as operações L 3 L 3 L 1, L 4 L 4 L 2 e L 3 L 4 Resolvendo o sistema associado a M temos x 2y 3z +2w = 0 y +z 2w = 0 z +w = 0 3w = 0 Portanto W W = {(0, 0, 0, 0} e dim(w W = 0 x = y = z = w = 0 QUESTÃO 3 (1,5 pts - Ache a lei da transformação linear T : R2 M 2 2 tal que 1 3 T (2, 3 = e T (1, 2 = Resp: Precisamos escrever os vetores (x, y de R 2 como combinação linear de u = (2, 3 e v = (1, 2 Temos então que achar a e b tais que Obtemos então Portanto (x, y = au + bv = a(2, 3 + b(1, 2 = (2a + b, 3a + 2b { 2a + b = x 3a + 2b = y a = 2x y b = 2y 3x T (x, y = T (au + bv = at (u + bt (v 1 3 = (2x y + (2y 3x x y 6x + 3y 4y 6x 2y 3x = + 0 4x 2y 4y 6x 3x 2y 4x + 3y 9x + 5y = 6x + 4y 7x 4y 3

4 Portanto a transformação linear procurada é T : R 2 ( M 2 2 4x + 3y 9x + 5y (x, y 6x + 4y 7x 4y QUESTÃO 4 - Em cada item abaixo determine se a afirmação é Verdadeira ou Falsa justificando sua resposta (Atenção: em cada item, uma resposta correta sem justificativa vale 0,2 pts (a (0,7 pts O operador linear T : R 2 R 2 que faz a projeção sobre o eixo x é inversível Resp: FALSO Um operador linear de R 2 é inversível se sua matriz associada é inversível Como o operador que ( faz a projeção sobre o eixo x é dado por T (x, y = (x, 0, 1 0 sua matriz associada é M = que não é inversível já que det(m = (b (0,7 pts O conjunto W = {p(x P 2 p(1 = 0} é um subespaço vetorial do espaço P 2 de polinômios de grau menor ou igual a 2 Resp: VERDADEIRO Note que um polinômio p(x = ax 2 + bx + c está no conjunto W se p(1 = a + b + c = 0 Logo Portanto W = {ax 2 + bx + c P 2 a + b + c = 0} 0 W pois o vetor nulo de P 2 é 0x 2 + 0x + 0 e logo satisfaz = 0 dois polinômios p(x = ax 2 + bx + c e q(x = a x 2 + b x + c em W satisfazem a + b + c = 0 e a + b + c = 0 Logo a soma p(x + q(x = (a + a x 2 + (n + b x + (c + c satisfaz (a + a + (b + b + (c + c = (a + b + c + (a + b + c = = 0, mostrando que p(x + q(x está em W dado um escalar k R e um polinômio p(x = ax 2 + bx + c em W temos que a + b + c = 0 Portanto a multiplicação por escalar kp(x = kax 2 + kb(x + kc satisfaz ka + kb + kc = k(a + b + c = k 0 = 0, mostrando que kp(x está em W Assim vemos que o vetor nulo está em W e a soma e a multiplicação por escalar de vetores em W está em W, mostrando que W é um subespaço vetorial de P 2 4

5 (c (0,7 pts Os vetores v = (1, 3, 4 e u = ( 3, 2, 5 formam uma base de R 3 Resp: FALSO Como dim(r 3 = 3, uma base de R 3 deve ser formada por três vetores Logo u e v não podem formar uma base de R 3 (d (0,7 pts A função T : R 2 R 2 dada por T (x, y = (e x, e y é um operador linear Resp: FALSO Um operador linear leva vetor nulo em vetor nulo O vetor nulo de R 2 é a origem (0, 0 e temos T (0, 0 = (e 0, e 0 = (1, 1 (0, 0, mostrando que T não é um operador linear 5