Segunda prova de Álgebra Linear Aplicada - 20/02/2013 Prof. Juliana Coelho - 11h00-13h00

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1 Segunda prova de Álgebra Linear Aplicada - 20/02/2013 Prof. Juliana Coelho - 11h00-13h00 QUESTÃO 1 (1,2 pts) - Determine os valores de a R para os quais os vetores u = (1, 0, a), v = ( 2, 1, 0) e w = (a, 1, 3) formam uma base de R 3. Resp.: Os três vetores u, v, w formam uma base de R 3 se e somente se a matriz formada colocando os vetores nas colunas tem determinante não nulo. Esta matriz é a matriz M = Calculando o determinante, temos ( ) 1 1 det(m) = 1 det a a 0 3 ( det a 3 ) ( a det a 0 = 1(3 0) + 2(0 a) + a(0 a) = a 2 2a + 3. Portanto u, v, w formam uma base de R 3 se e somente se a 2 2a Temos a 2 2a + 3 = 0 a = 1 ou a = 3 e portanto u, v, w formam uma base de R 3 se e somente se a 1 e a 3. QUESTÃO 2 - Considere os seguintes vetores de R4 u = ( 1, 2, 3, 1), v = (3, 1, 2, 2) e w = (1, 0, 1, 3). (a) (1,5 pts) Determine o subespaço vetorial W = u, v de R 4 gerado por u e v. Resp.: Buscamos condições para que um vetor (x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 esteja em u, v, isto é, para que seja combinação linear de u e v. Assim, buscamos condições para que existam a e b tais que (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = au+bv = a( 1, 2, 3, 1)+b(3, 1, 2, 2) = ( a+3b, 2a+b, 3a 2b, a+2b). A igualdade acima nos dá o sistema a +3b = x 1 2a + b = x 2 3a 2b = x 3 a +2b = x 4 )

2 Buscamos então condições para que existam a, b satisfazendo o sistema, ou seja, para que sistema seja possível. Escalonando a matriz do sistema, temos 1 3 x x x x x 2 + 2x x 3 + x 1 x x (7x 4 3x 1 5x 2 )/7 onde realizamos as operações L 2 L 2 + 2L 1, L 3 L 3 + 3L 1, L 4 L 4 + L 1, L 3 L 3 L 2 e L 4 L 4 5L 2 /7. Portanto, o sistema é possível se e somente se x 3 + x 1 x 2 = 0 e 7x 4 3x 1 5x 2 7 = 0, ou seja, se e somente se Portanto o subespaço procurado é x 3 + x 1 x 2 = 0 e 7x 4 3x 1 5x 2 = 0. W = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 x 3 + x 1 x 2 = 0 e 7x 4 3x 1 5x 2 = 0}. (b) (1,0 pts) Os vetores u e v são linearmente dependentes ou independentes? Estes vetores formam uma base para W? Qual a dimensão de W? Justifique suas respostas! Resp.: Os vetores u e v são linearmente independentes pois não são múltiplos um do outro. Assim, como u e v claramente geram W (já que W = u, v ), temos que u e v formam uma base de W. Logo dim(w ) = 2. (c) (0,5 pts) O vetor w é combinação linear de u e v? Por quê? Resp.: O vetor w é combinação linear de u e v se w está no subespaço W = u, v. Vimos no item (a) que um vetor (x 1, x 2, x 3, x 4 ) está em W se e somente se x 3 +x 1 x 2 = 0 e 7x 4 3x 1 5x 2 = 0. Como w = (1, 0, 1, 3), vemos que x 3 + x 1 x 2 = = 2 0 e 7x 4 3x 1 5x 2 = = 18 0 o que implica que w não está em W, ou seja, w não é combinação linear de u e v. (d) (1,5 pts) Ache o complemento ortogonal W ao subespaço W. Qual a dimensão de W? Resp.: Como W = u, v, temos que um vetor de R 4 está em W se e somente se é ortogonal a u e a v. Um vetor (x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 é ortogonal a u e v se satisfaz (x 1, x 2, x 3, x 4 ) ( 1, 2, 3, 1) = 0 x 1 + 2x 2 + 3x 3 + x 4 = 0, (x 1, x 2, x 3, x 4 ) (3, 1, 2, 2) = 0 3x 1 + x 2 2x 3 + 2x 4 = 0. 2

3 Portanto o complemento ortogonal a W é W = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 x 1 + 2x 2 + 3x 3 + x 4 = 0 e 3x 1 + x 2 2x 3 + 2x 4 = 0}. Para achar a dimensão de W, lembramos que se W é um subespaço de R n então dim(w ) + dim(w ) = dim(r n ) = n. Logo, como W é um subespaço de R 4 de dimensão 2, temos que dim(w ) = 4 dim(w ) = 4 2 = 2. De outro modo: podemos achar a dimensão de W achando uma base para este subespaço. Os vetores de W satisfazem x 1 + 2x 2 + 3x 3 + x 4 = 0 x 1 = 2x 2 + 3x 3 + x 4 e substituindo na outra equação temos 3x 1 + x 2 2x 3 + 2x 4 = 0 3(2x 2 + 3x 3 + x 4 ) + x 2 2x 3 + 2x 4 = 0 7x 2 + 7x 3 + 5x 4 = 0 x 2 = x x 4. Portanto temos ( x 1 = 2x 2 + 3x 3 + x 4 = 2 x 3 5 ) 7 x 4 + 3x 3 + x 4 = x x 4. Assim, os vetores de W são da forma (x 3 37 x 4, x 3 57 ) x 4, x 3, x 4 = (x 3, x 3, x 3, 0) + ( 37 x 4, 57 ) x 4, 0, x 4 ( = x 3 (1, 1, 1, 0) + x 4 3 ) 7, 5 7, 0, 1 mostrando que os vetores u = (1, 1, 1, 0) e v = ( 37 ), 57, 0, 1 sâo geradores de W. Além disso, como estes vetores são linearmente independentes (pois não são múltiplos um do outro), temos que {u, v} é uma base de W. Portanto dim(w ) = 2. 3

4 QUESTÃO 3 (1,5 pts) - Ache a lei da transformação linear T : R2 P 2 tal que T (1, 1) = 2x 2 3x + 1 e T ( 1, 2) = x 2 + x 2. Resp.: Precisamos escrever os vetores (a, b) de R 2 como combinação linear de u = (1, 1) e v = ( 1, 2). Temos então que achar r e s tais que (a, b) = ru + sv = r(1, 1) + s( 1, 2) = (r s, r + 2s). Obtemos então { r s = a r + 2s = b Portanto r = 2a + b s = a + b. T (a, b) = T (ru + sv) = rt (u) + st (v) = (2a + b)(2x 2 3x + 1) + (a + b)( x 2 + x 2) = ((4a + 2b)x 2 + ( 6a 3b)x + (2a + b)) + (( a b)x 2 + (a + b)x + ( 2a 2b)) = (3a + b)x 2 + ( 5a 2b)x b Portanto a transformação linear procurada é T : R 2 P 2 (a, b) (3a + b)x 2 + ( 5a 2b)x b. QUESTÃO 4 - Em cada item abaixo determine se a afirmação é Verdadeira ou Falsa justificando sua resposta. (Atenção: em cada item, uma resposta correta sem justificativa vale 0,2 pts.) (a) (0,7 pts) O operador linear T : R 2 R 2 que faz a rotação de vetores de R 2 por um ângulo θ é inversível. Resp.: VERDADEIRO. Um operador linear de R 2 é inversível se sua matriz associada é inversível. Como o operador que ( faz a rotação ) de vetores por um ângulo θ tem cos θ senθ matriz associada dada por M = que é inversível já que det(m) = senθ cos θ cos 2 θ + sen 2 θ = 1. (b) (0,7 pts) O conjunto W = {p(x) P 2 p(0) = 1} é um subespaço vetorial do espaço P 2 de polinômios de grau menor ou igual a 2. Resp.: FALSO. O conjunto W não é um subespaço vetorial de P 2 por o vetor nulo não está em W. De fato, o vetor nulo de P 2 é o polinômio p(x) = 0x 2 + 0x + 0 que satisfaz p(0) = 0 1 e portanto não está em W. 4

5 (c) (0,7 pts) Os vetores v 1 = (1, 3, 4), v 2 = ( 3, 2, 5), v 3 = (1, 2, 0) e v 4 = ( 2, 1, 3) são linearmente dependentes. Resp.: VERDADEIRO. Lembre que se temos uma quantidade de vetores maior que a dimensão do espaço, então estes vetores são sempre linearmente dependentes. Portanto estes vetores são linearmente dependentes pois são quatro vetores de R 3 e dim(r 3 ) = 3. (d) (0,7 pts) A função T : P 2 P 1 dada por T (ax 2 +bx+c) = 2ax+b é uma transformação linear. Resp.: VERDADEIRO. Temos que: T preserva somas pois T ((ax 2 +bx+c)+(a x 2 +b x+c )) = T ((a+a )x 2 +(b+b )x+(c+c )) = 2(a+a )x+(b+b ) é igual a T (ax 2 + bx + c) + T (a x 2 + b x + c ) = (2ax + b) + (2a x + b ) = 2(a + a )x + (b + b ); T preserva multiplicação por escalares pois T (k(ax 2 + bx + c)) = T (kax 2 + kbx + kc) = 2kax + kb é igual a k T (ax 2 + bx + c) = k (2ax + b) = 2kax + kb. Assim, como T preserva somas e multiplicação por escalares, vemos que T é uma transformação linear. 5