Lista de Exercícios III. junho de 2005

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1 ÁLGEBRA LINEAR II Prof Amit Bhaya Lista de Exercícios III junho de 2005 Ortogonalidade, espaços fundamentais 1 Se Ax = b possui solução e A T y = 0, então y é perpendicular a 2 Se Ax = b não possui solução e A T y = 0, explique porque y não é perpendicular a 3 Se Ax Nul(A T ), então Ax = 0 Porque? 4 Seja A simétrica V ou F: Col(A) Nul(A) 5 Seja S = EG{(1, 1, 1)} Calcule S (complemento ortogonal de S) 6 Seja S = EG{(2, 0, 0), (0, 0, 3)} Calcule S (complemento ortogonal de S) 7 Seja P o hiperplano em R 4 cujos vetores satisfazem x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 Dê uma base para P Construa uma matriz cujo espaço nulo é P 8 Seja A R n n inversível, ie, AA 1 = I Então a primeira coluna de A é ortogonal ao espaço gerado por 9 Ache uma matriz A tal que v = (1, 2, 3) pertence ao espaço Col(A) e, ao mesmo tempo, ao espaço Col(A T ) Ache outra matriz B tal que v Nul(B) e v Col(B) (NOTE A CORREÇÃO DO ERRO DA LISTA MANUSCRITA) Projeções 10 Desenhe a projeção de b sobre a e calcule esta projeção pela fórmula p = ˆxa, onde ˆx = (b T a)/(a T a), para: (a) b = (cosθ, sin θ), a = (1, 0); (b) b = (1, 1) e a = (1, 1) 11 Calcule as matrizes de projeção (a i a T i )/(a T i a i ) sobre as retas definidas por: (i) a 1 = ( 1, 2, 2); (ii) a 2 = (2, 2 1) Calcule o produto destas matrizes de projeção e explique seu resultado 12 Projete b = (1, 0, 0) sobre as retas definidas por a 1, a 2 no problema anterior, e também sobre a reta definida por a 3 = (2, 1, 2) Faça a soma das três projeções calculadas (p 1 + p 2 + p 3 ) Denotando as respectivas matrizes de projeção de P 1, P 2, P 3, verifique que P 1 + P 2 + P 3 = I 13 Projete b sobre o espaço coluna de A através da solução da equação normal A T Aˆx = A T b e p = Aˆx para:

2 (a) A = (b) A = e b = (2, 3, 4); e b = (4, 4, 6) 14 Seja A R 4 3 com as primeiras três colunas iguais as primeiras três colunas da matriz identidade I R 4 4 Projete b = (1, 2, 3, 4) sobre o espaço coluna de A Calcule a matriz de projeção P 15 Qual combinação linear dos vetores (1, 2, 1) e (1, 0, 1) fica mais próximo ao vetor b = (2, 1, 1)? 16 Para achar a matriz de projeção P sobre o plano x 1 x 2 2x 3 = 0, ache um vetor n perpendicular ao plano Compute a projeção Q = nn T /n T n e, em seguida, P = I Q Explique porque estes passos, de fato, produzem a matriz de projeção desejada Mínimos quadrados 17 Seja y = 0, 8, 8, 20 para os quatro valores x = 0, 1, 3, 4 Escreva a equação linear que corresponde ao ajuste de uma reta que passaria por estes quatro pontos Ela admite solução? Caso afirmativo, dê a solução; caso contrário, resolva no sentido de mínimos quadrados (Obs: Equação da reta desejada y = mx + c) 18 Repita o problema anterior, com o mesmo y, porém x = 1, 5, 13, Ache a parábola de melhor ajuste (y = c 0 +c 1 x+c 2 x 2 ) para os mesmos dados do problema 17, apenas montando as equações normais (NÃO HÁ NECESSIDADE DE REALIZAR OS CÁLCULOS) 20 Dê exemplos (um para cada item): (a) uma matriz Q que possui coluna ortonormais, porém QQ T I (b) dois vetors ortogonais que não são li (c) uma base ortogonal para R 4 na qual cada vetor possui elementos (1/2) ou (1/2) 21 Ache vetores ortonormais q 1, q 2, q 3 tais que q 1 e q 2 geram o espaço coluna de A = Qual dos quatro subsespaços fundamentais contém q 3? Resolva Ax = 2 4 (1, 2, 7) por mínimos quadrados Decomposiçao QR 22 Ache a decomposição QR da matriz A =

3 Determinantes Quais permutações das matrizes J 3 e J 4 abaixo mostram que detj 3 = 1 e detj 4 = 1? J 3 = ; J 4 = Prove que uma matriz ortogonal possui determinante 1 ou 1 (Sugestão: utilize a propriedade detab = detadetb) [ cos θ senθ 24 Ache os determinantes de uma rotação R = e de uma reflexão F = [ senθ cos θ 1 2 cos 2 θ 2 cos θ senθ 2 cos θ senθ 1 2sen 2 θ 25 Seja CD = DC Ache o erro no seguinte raciocínio: Tomando determinantes, tem-se detcdetd = detddetc Logo, detc = 0, ou detd = 0, isto é, uma ou ambas as matrizes C, e D é singular 26 Utilize operações elementares por linha para mostrar que a matriz de Vandermonde definida abaixo possui o determinante indicado: 1 a a 2 det 1 b b 2 = (b a)(c a)(c b) 1 c c 2 27 Ache os determinantes de uma matriz de posto um e uma anti-simétrica definidas abaixo: A = 2 [1 4 5 (posto um); K = (anti-simétrica) Utilize operações elementares por linha para simplificar e computar os seguintes determinantes: t t 2 det ; det t 1 t t 2 t 1 29 Se duas operações elementares são realizadas simultaneamente, eg, [ [ a b a αc b αd A = B = c d c βa d βb det A = det B? Justifique sua resposta 30 Para o exemplo específico da fatoração A = LU abaixo: A = = Calcule os determinantes de L,U,A,U 1 L 1,U 1 L 1 A = LU

4 31 A matriz C n R n n possui 1s na sub- e na superdiagonal, eg: [ C 1 = 0, C 2 =, C = 1 0 1, C 4 = Calcule detc i,i = 2, 3, 4 Utilizando cofatores, ache a relação entre detc n, detc n 1, detc n 2 e utilize esta recorrência para achar detc Introduzindo zeros via operações elementares por linhas calcule o determinante de G 4 = Ache também detg 2 e detg 3 que possuem zeros na diagonal principal e 1s nos demais elementos Consegue prever o valor de detg n? Regra de Cramer 33 Resolva as seguintes equações utilizando a regra de Cramer: (a) 2x 1 + 3x 2 = 1 x 1 + 4x 2 = 2 (b) 2x 1 + x 2 = 1 x 1 + 2x 2 + x 3 = 0 x 2 + 2x 3 = 0 Autovalores e autovetores [ Considere a matriz A = Mostre, utilizando esta matriz, que uma operação 2 7 elementar por linha poderia modificar os autovalores de A [ Considere a matriz A = V ou F: Todos os autovalores de A são modificados 1 2 quando operações elementares são realizados na matriz A Explique sua resposta 36 Ache os autovalores e autovetores das seguintes matrizes: [ [ A = ; A + I = Em função das respostas obtidas, complete a seguinte frase: A matriz A + I possui autovetores de A Os autovalores são por 1 37 Ache os autovalores de A, B, e A + B: [ [ A =, B = [ 2 1, A + B = 1 2 Qual a frase correta: Autovalores de A + B (são)(não são) iguais aos autovalores de A somados aos autovalores de B?

5 38 Para as mesmas matrizes A e B da questão anterior, calcule os autovalores de AB e BA Qual a frase correta: Autovalores de AB (são)(não são) iguais aos produtos dos autovalores de A e B Autovalores de AB (são)(não são) iguais aos autovalores de BA? 39 Prove que, se Ax = λx (a) λ 2 é autovalor de A 2 (b) λ 1 é autovalor de A 1 (c) λ + 1 é autovalor de A + I 40 Ache os autovalores e autovetores para as matrizes de projeção P e P 100, onde: P = Cada matriz de permutação deixa o vetor x = (1, 1,,1) invariante Isto significa que é autovalor de qualquer matriz de permutação Ache os outros dois autovalores para as seguintes matrizes: P 1 = 42 Preencha a segunda linha de A = [ 0 1 ; P 2 = de modo que A tenha autovalores 4 e 7 43 A matriz B possui autovalores 1, 2, C possui autovalores 3, 4, e D possui autovalores 5, 7 Ache os autovalores de A, onde [ B C A = = D Ache a fatoração A = XΛX 1 para as seguintes matrizes: [ [ A 1 = ; A = Escreva uma matriz (a mais geral possível) que tenha autovetores [ 1 1 [ e 46 Seja G n uma sequência de números gerados seguindo a regra G k+2 = 1 2 (G k+1 + G k ) (ie, cada número na sequência é a média dos dois anteriores) Dado G 0 = 0,G 1 = 1, ache o limite da sequência (lim n G n ) 1 1

6 [ Diagonalize B = Para A = [ a b c d e B = e compute XΛX 1 para verificar a fórmula [ q r s t [ 3 B k k 3 = k 2 k 0 2 k, prove que traço(ab) = traço(ba) 49 Utilizando o resultado do item anterior, mostre que a equação AB BA = I nunca pode ser satisfeita [ Ache uma matriz ortogonal que diagonaliza A = 6 7 [ Mostre que a matriz A = não é diagonalizável Para quais números b e c as seguintes matrizes são positivas definidas: [ [ 1 b 2 4 B = ; C = b 9 4 c Fatore cada matriz em LDL T 53 Teste para ver se a matriz A T A é positiva definida, para [ A = ; A = 1 2 ; A = [ Mostre, quando possível, que A e B são similares, achando a matriz T tal que B = TAT 1 ou explicando porque ela não poderia existir: [ [ A = B = A = [ B = [ Observação: Seja bem claro na apresentação formal da resolução dos problemas; a apresentação da solução tão somente, não é o objetivo desta lista de exercícios

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