Lista de Exercícios 05 Álgebra Matricial

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1 Lista de Exercícios 05 Álgebra Matricial Determine a quantidade desconhecida em cada uma das expressões: ( ) ( ) ( ) T 0 3 x + y w (a) 3.X = (b) = z. Uma rede de postos de combustíveis vende álcool e gasolina em 5 estabelecimentos diferentes, num mesmo estado, praticando os preços (por litro) indicados no quadro abaixo. Postos P 1 P P 3 P 4 P 5 Álcool, 50, 5, 5, 60, 55 Gasolina 3, 15 3, 15 3, 15 3, 3, 30 O governo estadual resolveu criar um imposto sobre a venda de combustíveis. O valor que cada estabelecimento deve repassar ao governo é de 0,0% sobre o valor arrecadado com a venda de combustível. (a) Use matrizes e produto por escalar para exibir um quadro constando a arrecadação de cada posto com álcool e gasolina sabendo que em um determinado intervalo de tempo, cada posto vendeu exatamente 3,5 mil litros de cada tipo de combustível. (b) Faça uma tabela (também usando matrizes e produto por escalar) mostrando a arrecadação do governo com cada tipo de combustível em cada estabelecimento. 3. Identifique cada uma das seguintes matrizes como simétrica, anti-simétrica ou nenhum dos dois (a) (b) (c) (d) ( Explique por quê o conjunto de todas as matrizes simétricas de ordem n n é fechado para a adição. Isto é, explique por quê a soma de duas matrizes simétricas de ordem n n é também uma matriz simétrica de ordem n n. O conjunto de todas as matrizes antissimétricas de ordem n n é fechado para a adição? 5. Mostre que se A é uma matriz real e simétrica, então a matriz B = i.a é anti-hermitiana. 6. Seja A uma matriz quadrada. (a) Mostre que A + A T é simétrica e que A A T é antissimétrica. (b) Mostre que existe uma, e somente uma, maneira de escrever A como uma soma de uma matriz simétrica com uma matriz antissimétrica. 7. Se A e B são duas matrizes de mesma ordem, mostre que cada uma das sentenças é verdadeira: (a) (A + B) = A + B (b) (αa) = α.a ) 1

2 8. Mostre que (A T ) T = A. 9. Dada uma matriz A C n n, quando ocorre A = A T? 10. É possível encontrar uma matriz que seja ao mesmo tempo simétrica e antissimétrica? E uma matriz que ao mesmo tempo seja hermitiana e anti-hermitiana? 11. Sendo A = , B = calcule os seguintes produtos quando possível: e C = (a) AB (b) BA (c) CB (d) C T B (e) A (f) B (g) C T C (h) C.C T (i) BB T (j) B T B (k) C T AC 1. Considere o seguinte sistema de equações: x 1 + x + x 3 = 3 4x 1 + x 3 = 10 x 1 + x = (a) Escreva a equação matricial do sistema (AX = B). (b) Escreva a solução S do sistema na forma coluna e verifique, usando multiplicação de matrizes, que S satisfaz a equação AX = B. (c) Escreva B como uma combinação das colunas de A Seja E = e seja A uma matriz arbitrária de ordem (a) Descreva as linhas de EA em termos das linhas de A. (b) Descreva as colunas de AE em termos das colunas de A. 14. Seja e j a j-ésima coluna unitária, isto é, a j-ésima coluna de uma matriz identidade de ordem n. Para uma matriz arbitrária A n n descreva os seguintes produtos: (a) A.e j (b) e T i.a (c) et i.ae j 15. Suponha que A e B são matrizes de ordem m n. Se ocorre Ax = Bx para todo vetor coluna x, mostre que A = B. [Sugestão: o que acontece se x é uma coluna unitária?] 16. Se C m 1 e R 1 n, então a matriz produto P m n = CR é, às vezes, chamada de produto externo de C com R. Para matrizes compatíveis A e B, explique como escrever o produto AB como uma soma de produtos externos envolvendo as colunas de A e as linhas de B. 17. Uma matriz quadrada U = [u ij ] é dita triangular superior sempre que u ij = 0 para i > j, isto é, as entradas abaixo da diagonal principal são todas nulas. (a) Se A e B são duas matrizes do tipo triangular superior, explique por que o produto AB também é uma matriz triangular superior. (b) Se A n n e B n n são duas matrizes do tipo triangular superior, o que está na diagonal principal de AB? 1 3

3 (c) L = [l ij ] é dita triangular inferior quando l ij = 0 para i < j. É verdade que o produto de duas matrizes do tipo triangular inferior, é também uma matriz triangular inferior? 18. Seja A m n uma matriz arbitrária. Mostre que A.A e A.A são matrizes hermitianas. 19. Se A e B são duas matrizes simétricas que comutam, mostre que o produto AB também é simétrico. Se AB BA, AB é simétrica? 0. Seja f : A B uma função. Mostre que se f (c.x + Y) = c. f (X) + f (Y), então f é uma função linear. 1. Sejam A, B duas matrizes. Sob que condições tem-se (AB) n = A n.b n?. O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos de sua diagonal principal, ou seja: traço(a) = a 11 + a a nn (a) Qual o traço da matriz I 3? (b) Qual o traço da matriz I n? (c) Qual o traço da matriz A = [a ij ] n n tal que a ij = i j? [Sugestão: n = n(n + 1) e n n(n + 1)(n + 1) = ]. 6 (d) Sejam X n m e Y m n. Mostre que traço(xy) = traço(yx). 3. Quando possível, encontre a inversa de cada matriz abaixo. Confira sua resposta através da multiplicação de matrizes A = [ 1 3 D = ], B = Encontre X tal que X = AX + B onde A = [ ], E =, C = , B = Para uma matriz quadrada A, explique por que cada uma das sentenças a seguir é verdadeira: (a) Se A possui uma linha ou coluna nula, então ela é singular. (b) Se A possui duas linhas ou duas colunas iguais, então ela é singular. (c) Se uma linha (ou coluna) é um multiplo de outra linha (ou coluna), então A é singular. 3

4 6. Responda as questões abaixo: (a) Sob que condições uma matriz diagonal é não singular? Descreva a estrutura da inversa de uma matriz diagonal. (b) Sob que condições uma matriz triangular é não singular? Descreva a estrutura da inversa de uma matriz triangular. 7. Se A é não singular e simétrica, mostre que A 1 é simétrica. 8. Se A é uma matriz quadrada tal que I A é não singular, mostre que A(I A) 1 = (I A) 1 A 9. Se A, B e A + B são não singulares, mostre que A(A + B) 1 B = B(A + B) 1 A = (A 1 + B 1 ) Seja S uma matriz antissimétrica com entradas reais. (a) Mostre que I S é não singular. [Sugestão: X T X = 0 = X = 0] (b) Se A = (I + S)(I S) 1, mostre que A 1 = A T. 31. Suponha que A, B, C, D são matrizes de ordem n n tais que AB T e CD T são simétricas e AD T BC T = I. Mostre que A T D C T B = I 3. Seja U = A + i.b uma matriz hermitiana, onde A, B R n n. Mostre que A é simétrica e que B é antissimétrica. 33. Seja A R n m. Mostre que se A T.A = 0 então A = (a) Uma matriz A R n n é dita normal quando A T.A = A.A T. Mostre que toda matriz simétrica é normal. (b) Uma matriz A R n n é dita ortogonal quando A T.A = A.A T = I. Mostre que toda matriz ortogonal é normal. 35. Demonstre ou dê um contra-exemplo: Para A e B quadradas, de mesma ordem e não singulares, (A + B) 1 = A 1 + B Dada uma matriz quadrada A onde os elementos fora da diagonal secundária são todos nulos, quais as restrições sobre os elementos da diagonal secudária para que exista A 1? Descreva a estrutura da inversa A 1 quando esta existir. 37. Uma matriz quadrada tem uma coluna nula. O que se pode falar sobre a existência de sua inversa? E se a matriz tiver uma linha nula? 38. Um sistema S não homogêneo com n equações e n variáveis. Prove ou dê um contraexemplo: S terá única solução se, e somente se, A for não singular. 39. Sob que condições tem-se (AB) 1 = A 1.B 1? Lembre que, seguramente, tem-se (AB) 1 = B 1.A 1. 4

5 40. Mostre que (A 1 ) = (A ) 1. O resultado continua válido para (A 1 ) n? 41. Verdadeiro ou falso? Se A é uma matriz quadrada que possui coluna não básica, então sua inversa A 1 também possui uma coluna não básica. 4. Um sistema S tem número de equações igual ao número de variáveis, digamos, 8. Sua solução geral é X = α 1.h 1 + α.h + α 3.h 3 + p onde h 1, h, h 3 e p são matrizes colunas (não nulas) de ordem 8 1 e α 1, α, α 3 variando em C. Existe inversa para a matriz dos coeficientes de S? Justifique. 43. A forma escalonada reduzida de uma matriz A 5 5 apresentou uma coluna da seguinte forma: [ ] T. A é não singular? Justifique. 5