INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Mestrado Integrado em Engenharia Física Tecnológica Ano Lectivo: 2007/2008 Semestre: 1 o

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1 INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Mestrado Integrado em Engenharia Física Tecnológica Ano Lectivo: 27/28 Semestre: o MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Exercícios [4 Sendo A M n (C) mostre que: (a) n A 2 A n A 2 ; (b) n A A n A ; (c) n A A 2 n A ; (e) n A A n A ; (d) (f) n A A 2 n A ; n A 2 A n A 2 [42 Mostre que a norma matricial associada à norma da soma em C n tem a forma onde [a ij M n (C) A = max j n n a ij, i= [43 Mostre que a norma matricial associada à norma do máximo em C n tem a forma onde [a ij M n (C) A = max i n n a ij, j= [44 Mostre que a norma matricial associada à norma euclidiana em C n tem a forma A 2 = r σ (A A), onde M n (C) e A é a matriz tranposta conjugada de A [45 Seja A M n (C) Supondo que são conhecidos os valores próprios de A, determine: (a) os valores próprios de A (admitindo que A é invertível); (b) os valores próprios de A m, m =, 2, ;

2 2 (c) os valores próprios de A + c I, onde c é uma constante [46 Sendo A M n (C) uma matriz hermiteana, isto é, uma matriz tal que A = A, mostre que A 2 = r σ (A) [47 Seja U M n (C) uma matriz unitária, isto é, uma matriz tal que UU = U U = I Mostre que: (a) Os valores próprios de U têm módulo um (b) U 2 = = r σ (U) [48 Seja A, B, U M n (C), U unitária Mostre que: (a) As matrizes A e U AU têm os mesmos valores próprios (b) B 2 = UB 2 = BU 2 [49 Considere a norma de Frobenius, definida para qualquer [a ij M n (C) por ( n ) /2 A F = a ij 2 i,j= Mostre que: (a) se A, B M n (C) então AB F A F B F ; (b) se A, B M n (C) então AB F min{ A 2 B F + A F B 2 }; (c) se A M n (C) e x C n então Ax 2 A F x 2 ; (d) se A M n (C) então (e) se A M n (C) então A 2 A F ; A 2 = UA F = A F ; (f) se A M n (C) é hermitiana então A F = n λ 2 i, i=

3 3 onde λ i, i =,, n, são os valores próprios de A; (g) se A M n (C) é hermitiana então n A F A 2 A F [4 Seja M uma norma matricial associada a uma certa norma vectorial V Mostre que: (a) I M =, onde I é a matriz identidade; (b) se A é invertível, então A M A M [4 Mostre que a norma de Frobenius não está associada a nenhuma norma vectorial [42 Seja Q M n (C) uma matriz não singular (a) Mostre que a função V : C n R, V (x) = Q x, define uma norma no espaço vectorial C n (b) Verifique que a norma matricial M associada à norma V da alínea (a) tem a seguinte expressão: A M = Q A Q [43 Seja A M n (C) uma matriz tal que A < para alguma norma matricial associada a uma norma vectorial em C n Prove que a matriz I A é não singular e que (I A) A [44 Considere a matriz (a) Determine a matriz inversa de A usando o método de eliminação de Gauss com pesquisa parcial de pivot (b) Determine os valores próprios de A usando o método de Newton para calcular as raízes do polinómio característico de A

4 4 (c) Determine os números de condição da matriz A relativos às normas p, p =, 2, [45 Considere a matriz [ α + α α α β α, α (a) Mostre que os valores próprios da matriz A e os correspondentes vectores próprios são [ [ β α λ = α + β, u =, λ 2 = α β, u 2 =, onde β = α 2 + (b) Determine cond p (A), p =, 2, (c) Determine as soluções dos sistemas lineares Ax = b, A x = b, onde b = λ u, b = b + εu, ε R, e verifique a validade da desigualdade x x x cond (A) b b b (d) Determine as soluções dos sistemas lineares Ax = b, A x = b, onde b = λ u, b = b + εu2, ε R, e verifique a validade da desigualdade x x x cond (A) b b b [46 Considere a matriz A M n (R) da forma β α α, α, β (a) Determine a matriz inversa de A (b) Determine cond (A), cond (A) e cond (A)

5 5 (c) Considere os sistemas lineares Ax = b, à x = b, onde A é tomada com α = β =, b R n é tal que b =, b difere de b a menos de 2m em cada uma das componentes e à é obtida a partir de A por adição de 2m aos seus elementos; m é tal que n m µ < Apresente uma estimativa para o erro relativo da solução x em relação à solução x [47 Considere a matriz [ 6 e o sistema Ax = b, com b = [ 6 T, que tem por solução exacta x = [ T (a) Determine cond (A) (b) Considere o sistema A x = b, onde b = [ + ɛ 6 T Obtenha δ b = b b b e δ x = x x x (c) Considere ainda o sistema A x = b, onde b = [ 2 6 T Obtenha δ b = b b b e δ x = x x x [48 Considere a matriz (a) Determine cond (A) [ 5 (b) Ao resolver um sistema Ax = b com a matriz A, sabendo-se que o segundo membro é afectado por um erro cuja norma, em termos relativos, satisfaz δ b ε, determine um majorante da norma correspondente do erro relativo da solução, δ x [49 Considere a matriz a a (a) Verifique que A = a + a 2 + a 2 a + a 2 + a 2

6 6 (b) Calcule cond (A) e cond (A) (c) Para que valores de a R há mau condicionamento da matriz? E se considerar a C? [42 Considere a matriz a 3 onde a R Suponha que ao resolver o sistema A x = b, com um certo valor de a, obteve a solução x = (,, ) Supondo que o valor de a está afectado de um certo erro, de valor absoluto não superior a ε, determine um majorante de x, onde x é a diferença entre a solução obtida e a que se obteria se fosse conhecido o valor exacto de a, [42 Considere um sistema Ax = b em que o segundo membro é dado com um erro relativo δ b < Sabendo que a matriz é simétrica e que A 7, A, determine um majorante para δ x [422 Seja A M n (R) uma matriz com a forma (a) Calcule A (b) Determine cond (A) e cond (A) (c) Sejam b e b 2 dois vectores de R n tais que b b 2 b 5 Sendo x e x 2 as soluções dos sistemas A x = b e A x = b 2, respectivamente, determine um majorante de x x 2 x no caso de n = 2 Comente [423 (a) Sendo A, X M n (R), A não singular, e uma norma matricial associada a uma certa norma vectorial em R n, mostre que I XA cond(a) I AX

7 7 (b) Considere a matriz e a seguinte aproximação para a matriz inversa A X = Calcule I AX e I XA Obtenha uma estimativa para cond (A) [424 Considere o sistema linear Ax = b, onde A M n (R) é uma matriz triangular, superior ou inferior, não singular Mostre que quer o método de Jacobi quer o método de Gauss-Seidel, com condição inicial arbitrária, permitem obter a solução exacta do sistema num número finito de iteradas e determine quantas [425 Considere o sistema linear [ [ x x 2 Compare as dez primeiras iteradas dos métodos de Jacobi e de Gauss-Seidel, partindo da aproximação inicial x () = [ T = [ 3 4 [426 Considere o sistema linear [ [ x x 2 = [ Aplique o método de Gauss-Seidel a este sistema partindo da aproximação inicial x () = [336 7 T [427 A matriz A M n (R) diz-se uma matriz de diagonal estritamente dominante por linhas (MDEDL) se n a ii > a ij, i {,, n} j= j i Mostre que uma MDEDL é não-singular [428 Considere a matriz 3 + cos θ 4 3

8 8 (a) Mostre que os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel convergem para a solução do sistema Ax = b (com b R 3 qualquer), dado x () = [ 22 5 T (b) Estabeleça uma estimativa de erro para o método de Jacobi, efectuando a primeira iteração com x () = [ 5 6 T (c) Ao fim de quantas iterações n é possível garantir um erro e n 6? [429 Considere o sistema linear Ax = b, onde 5 3, b = (a) Por reordenação das linhas obtenha um sistema A x = b para o qual os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel sejam convergentes para a sua solução para qualquer condição inicial Justifique (b) Determine um valor aproximado da solução do sistema A x = b com um erro absoluto inferior a pelo método de Jacobi com condição inicial x () = [ T (c) Determine um valor aproximado da solução do sistema A x = b com um erro absoluto inferior a pelo método de Gauss-Seidel com condição inicial x () = [ T [43 Considere o sistema de equações lineares x x 2 x 3 = (a) Reordene as linhas de modo a que matriz do novo sistema tenha a diagonal estritamente dominante (b) Aplique o método de Jacobi ao novo sistema e efectue 4 iterações Calcule um majorante para o erro na 4 a iterada Considere x () = [ T (c) Aplique o método de Gauss-Seidel até que x (k) x (k ) < 2 Conclua sobre o erro da iterada x (k) [43 Considere o sistema x x 2 x 3 = (a) É possível reordenar as linhas do sistema de modo que os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel sejam convergentes? Justifique

9 9 (b) Escreva o sistema na forma iterativa e determine 4 iteradas do método de Gauss-Seidel com x () = [ T [432 Considere o sistema linear Ax = b, onde , b = Verifique que este sistema pode ser resolvido por um processo iterativo da forma x (k+) = Bx (k) + c, k =,, Identifique a matriz B e o vector c Se x () = [ T estime a norma do erro de x (k) [433 Considere o sistema linear Ax = b, com [ a a 2, b = a 2 a 22 [ b b 2, onde a a 22 a 2 a 2 (a) Mostre que os métodos iterativos de Jacobi e Gauss-Seidel convergem para qualquer aproximação inicial x () se e só se ρ <, onde ρ = a 2a 2 a a 22 (b) Supondo que para ambos os métodos a convergência está garantida calcule o limite ( ) e (k) /k lim k e () (c) Nas condições da alínea (b), partindo de uma aproximação inicial arbitrária x (), quantas iterações é necessário efectuar (utilizando cada um dos métodos) para obter uma aproximação x (k), tal que e (k) ε? (d) No caso do método de Jacobi, mostre que se a matriz do sistema tiver a diagonal estritamente dominante por linhas, se verifica x (k+) x α α x(k+) x (k) ( onde x é a solução do sistema, x (k) a2 é a k-ésima iterada e α = max a, a 2 a 22 (e) Considere o sistema [ [ [ 3 x 8 = 2 4 x 2 )

10 Efectue a primeira iteração do método de Jacobi, partindo da aproximação inicial x () = [2 T Com base na alínea (d) determine um majorante do erro do resultado obtido [434 Considere as matrizes da forma α β α β β α β β α onde < β < α (a) Mostre que, qualquer que seja a iterada inicial, o método de Jacobi converge e o de Gauss-Seidel não converge para a solução de um sistema Ax = b (b) Considere β =, α = 2, e b = [ T A solução única do sistema Ax = b será x = [ T (i) Mostre que se começar com x () = [ 2 T ou outro vector qualquer, ao fim de três iterações obtemos a solução exacta pelo método de Jacobi (Verifique que o raio espectral da matriz C associada ao método de Jacobi é ) (ii) Mostre que se começar com x () = [ 2 T, aplicando o método de Gauss-Seidel, obtém x (2) = x () = [ 2 T Verifique que esse vector é um vector próprio associado ao valor próprio da matriz C (do método de Gauss-Seidel) e não é solução do sistema, [435 Pretende-se determinar a solução do sistema 2 n x 2 n x 2 2 n 2 n x n x n = 2 n 2 n (a) Mostre que os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel convergem para a solução do sistema (b) Estabeleça uma estimativa de erro para o método de Jacobi, assumindo que e () = [ 2 n T (c) Comente quanto à rapidez de convergência quando n [436 Considere a matriz 4 3 α 3 4 α 2

11 onde α R (a) Determine os valores de α para os quais a matriz A é definida positiva Nota Uma matriz simétrica A M n (R) diz-se definida positiva se e só se x T Ax >, x R n \{} Uma matriz é definida positiva se e só se são positivos os determinantes de todos os menores principais de A; chama-se menor principal de A à submatriz de dimensão k de A cujos elementos são os elementos das primeiras k linhas e k colunas de A, com k =, 2,, n (b) Determine os valores de α para os quais a matriz 2D A, onde D é uma matriz diagonal com a mesma diagonal principal que A, é definida positiva (c) Determine os valores de α para os quais o método de Gauss-Seidel converge para a solução do sistema Ax = b, b R 3, x () R 3 (d) Determine os valores de α para os quais o método de Jacobi converge para a solução do sistema Ax = b, b R 3, x () R 3 [437 Considere o sistema linear Ax = b, onde , b = para o qual foi verificado no Exercício [436 que o método de Gauss-Seidel converge para a sua solução para qualquer condição inicial enquanto que o método de Jacobi não converge para todas as condições iniciais Mostre que o método de Jacobi converge para a solução do sistema Ax = b se e só se as condições iniciais pertencerem ao plano, { x = (x, x 2, x 3 ) R 3 : x + x 2 + x 3 2 = 8 } [438 Considere o sistema linear 2 3 x x 2 x 3 = 2 (a) Prove que o método de Jacobi converge para a solução exacta deste sistema, qualquer que seja a aproximação inicial (b) Mostre que, caso utilizar o método de Gauss-Seidel, a convergência depende da aproximação inicial Indique uma aproximação inicial (diferente da solução exacta) para a qual o método é convergente e uma aproximação inicial para a qual o método é divergente [439 Seja A M n (R) uma matriz simétrica e definida positiva

12 2 (a) Mostre que o método de Gauss-Seidel converge para a solução do sistema Ax = b, qualquer que seja x () R n (b) Mostre que se, além de A M n (R) ser simétrica e definida positiva, também a matriz 2D A, onde D = diag(a, a 22,, a nn ) é definida positiva, então o método de Jacobi converge para a solução do sistema Ax = b, qualquer que seja x () R n [44 Considere o sistema linear Ax = b, onde [ α α, < α <, e b é um vector arbitrário Estude a convergência do método de Gauss- Seidel modificado com parâmetro ω > para a solução do sistema Ax = b para qualquer condição inicial para todos os valores de α e ω [44 Considere o sistema linear Ax = b, onde A é a matriz e b é um vector arbitrário Determine os valores do parâmetro ω R + para os quais o método de Jacobi modificado converge para a solução do sistema Ax = b para qualquer condição inicial e o valor ω opt para o qual o método converge mais rapidamente, [442 (a) Mostre que a condição ω (, 2) é necessária para que o método das relaxações sucessivas convirja para a solução do sistema Ax = b (b) Prove que, se A M n (R) for simétrica e definida positiva, então a condição ω (, 2) é suficiente [443 Seja A M 2 (R) uma matriz tal que os seus valores próprios são complexos: λ,2 = a ± ib Considere o seguinte método iterativo para a resolução numérica de um sistema linear Ax = b, conhecido por método da iteração simples: x (k+) = x (k) ω(ax (k) b), k =,,, x () R 2, onde ω é um parâmetro real Determine: (a) método; o intervalo de valores de ω, para os quais está garantida a convergência do

13 3 (b) o valor ω opt, para o qual se obtém, em princípio, a maior rapidez de convergência, e o valor correspondente do raio espectral da matriz iteradora do método C(ω) = I ωa [444 Considere o sistema linear Ax = b, com 5 5 5, b = (a) Sabendo que os valores próprios de A satisfazem λ i [5 3, 5 + 3, i =,, 5, determine os valores de ω para os quais o método iterativo x (k+) = x (k) ω(ax (k) b), k =,, converge para x qualquer que seja a aproximação inicial x () (b) Seja ω = 2 Partindo de x () = [ T, calcule as três primeiras iteradas pelo método da alínea a) Estime o erro da iterada x (3) na norma [445 Considere o sistema linear Ax = b com 2 ω 2 2ω onde ω R 2, b = (a) Mostre que tanto o método iterativo de Jacobi como o de Gauss-Seidel convergem para a solução deste sistema, qualquer que seja a aproximação inicial x () R 3, se e só se ω < 4 Prove também que o método de Gauss-Seidel converge mais rapidamente, 3 desde que ω Como é que os dois métodos convergem quando ω =? (b) Seja ω = 2 e x() = [ T Calcule as três primeiras iteradas pelo método de Gauss-Seidel Obtenha uma estimativa para o erro x x (3) (c) Determine os valores de ω para os quais a matriz A é definida positiva, [446 Seja A M n (R) uma matriz não-singular e seja C M n (R) uma aproximação de A Considere o seguinte método iterativo para a resolução numérica do sistema linear Ax = b, conhecido por método de correcção residual: x (k+) = x (k) + Cr (k), k =,, r (k) = b Ax (k), k =,, x () R n

14 4 (a) Mostre que se I CA <, então o método converge para x qualquer que seja x () R n (b) Seja A(ε) = A + εb, com A = 2 2 2, B = onde < ε Aproxime a solução do sistema A(ε)x = b, com b = [ T e ε = 4 pelo método de correcção residual com um erro inferior a 5 Tome C = A, isto é, C = ,