Sistemas de Equações Lineares e Matrizes

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1 Sistemas de Equações Lineares e Matrizes. Quais das seguintes equações são lineares em x, y, z: (a) 2x + 2y 5z = x + xy z = 2 (c) x + y 2 + z = 2 2. A parábola y = ax 2 + bx + c passa pelos pontos (x, y ), (x 2, y 2 ), (x 3, y 3 ). Mostre que os números reais a, b, c são soluções de um sistema linear cuja matriz ampliada (aumentada) é: x 2 x y x 2 2 x 2 y 2 x 2 3 x 3 y 3 3. Discuta a posição relativa das rectas ax + by = k, cx + dy = p, ex + fy = s de forma a que o sistema definido por estas três equações:. (a) não tenha solução; tenha exclusivamente uma solução; (c) tenha infinitas soluções. 4. Sejam A = [ 2 2, B = e C = [. (a) Calcule, se possível, AB e BA. R: AB = [ 2, BA =

2 Verifique que (BC) T = C T B T Seja A = Verifique que A2 = 25I Considere as matrizes A = (a) Verifique que AB = 3B /2 4 /2 0 3 /2 4 /2 e B = 6/5 4/5 Utilize o resultado anterior para calcular A 2 B. R: A 2 B = 9B Dadas as matrizes A = 4 5, B = 3 5 e C = 3 4, mostre que: 2 3 (a) AB = BA = 0 AC = A (c) CA = C 8. As matrizes seguintes representam a matriz ampliada de um sistema de equações lineares depois da utilização do método de eliminação de Gauss Tendo em conta a característica da matriz simples e da matriz ampliada de cada sistema, o que pode concluir quanto à solução? Determine-a quando possível. 9. Resolva os seguintes sistemas de equações lineares, utilizando o método de eliminação de Gauss: 2.

3 (a) (c) 2x + y z + w = 3x 2y + 2z 3w = 2 5x + y z + 2w = 2x y + z 3w = 4 Imp y z + w = 2 x y z = 0 x + y + z + w = y + w = 3 x = 5, y = 6, z =, w = 9 x + y z + w = 2 2x + y z + w = x + 2y 2z + 2w = 5 x y + z = x =, y = 2+z, w = 5, z qualquer 0. Discuta, em função dos parâmetros reais a, b, c os seguintes sistemas de equações: x + y + z = 3 (a) x y + z = 2x 2y + az = 2 (c) (d) a = 2, sistema indeterminado (de grau ); a 2, sistema determinado. x + y + z = x y + 2z = a 2x + bz = 2 b = 3, a =, sistema indeterminado (de grau ); b = 3, a, sistema impossível; b 3, sistema determinado 2x + y = b 3x + 2y + z = 0 x + ay + z = 2 b = 2, a =, sistema indeterminado (de grau ); a =, b 2, sistema impossível; a, sistema determinado ax + by + z = x + aby + z = b x + by + az = a =, b =, sistema indeterminado (de grau 2); a =, b, sistema impossível; a = 2, b = 2, sistema indeterminado (grau ); a = 2, b 2, sistema impossível; b = 0, sistema impossível; a, 2, b 0, sistema determinado. 3

4 . Resolva os seguintes sistemas de equações lineares, utilizando o método de eliminação de Gauss: (a) x + y + 2z = 8 x 2y + 3z = 3x 7y + 4z = 0 x y + 2z w = 2x + y 2z 2w = 2 x + 2y 4z + w = 3w = 3 Na alíneas seguintes i C x = 3, y =, z = 2 Imp (c) [ + i i 2 x = ( + i)x 2, x 2 C (d) [ 2 i + i Sistema impossível. [ x x 2 [ x x 2 = = [ 0 0 [ 0 2. Discuta em termos dos parâmetros reais λ, α e β a existência de solução dos sistemas: x + 4y + 3z = 0 (a) 2x + 7y 2z = 0 x + 5y + αz = β α, sistema determinado; α =, β = 20, sistema indeterminado; α =, β 20 sistema impossível. { (λ 2)x = 0 x + (λ 3)y = 0 λ = 3 ou λ = 2, sistema indeterminado; λ 3 e λ 2, sistema determinado. 3. Considere o sistema de equações lineares x + y + 3z = b 2x + 2y z = b 2 4x + 4y + 5z = b 3 4

5 e calcule os vectores (b, b 2, b 3 ) R 3 para os quais o sistema é possível. (b 3 2b b 2 = 0) 4. Determine um sistema de equações lineares cujo conjunto solução seja (a) S = {( + t, t) : t R} (x + y = 2) S = {(t, 2t, ) : t R} (2x + y =, z = ) (c) S = {(3t, 2t, t) : t R} (x 3z = 0, y 2z = 0) (d) S = {(3t, 2s, t ) : s, t R} (x + 0y 3z = 3) (e) S = {( t, 2s, t) : s, t R} (x + 0y + z = ) 5. Considere as matrizes A, B, C, D e E com as dimensões: A 3 5, B 3 5, C 5 2, D 3 2, E 5 3 Determine quais das expressões estão definidas, e neste caso, indique a dimensão da matriz resultante. (a) BA AC + D (c) E(A + B) (d) E T A (e) B T ACD T 6. Para cada alínea, determine a matriz A = [a ij 5 5, que satizfaça as condições. Dê uma resposta o mais geral possível usando letras em vez de números. (a) a ij = 0 se i j a ij = 0 se i > j (c) a ij = 0 se i j > { se i j > (d) a ij = se i j 7. Considere as matrizes: A = e B = (a) Determine a a linha de AB. Determine a a coluna de BA. (c) Determine a 3 a coluna de AA = A 2. 5

6 (d) Exprima cada coluna de AB como combinação linear das colunas de A. (e) Diga, justificando, se as matrizes A e B admitem inversa. 8. Sejam A e B duas matrizes. Verifique as igualdades seguintes, indicando em cada caso, de que tipo têm de ser as matrizes A e B, para que as operações em causa estejam definidas: (a) (A T ) T = A (A + B) T = A T + B T (c) (αa) T = αa T (d) (AB) T = B T A T (e) (A ) T = (A T ). 9. Determine uma matriz não nula A, 3 3, que verifique : (a) A = A T A = A T 20. Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se existir p N \ {} tal que A p = A e, para qualquer k N \ {}, k < p, temos A k A então, A diz-se matriz periódica de período p. [ 0 (a) Verifique que A = é uma matriz periódica de período 5 e [ 0 0 que A = é uma matriz periódica de período 3. 0 Determine o período da matriz A = 2. Uma matriz quadrada de ordem n para a qual diz-se idempotente. A 2 = A Dê exemplo de uma matriz idempotente. 6 [ 0 0.

7 22. Sejam A uma matriz quadrada de ordem n e p N. A matriz A diz-se involutiva de ordem p, se A p = I n e A k I n para k {,..., p }. [ 0 Mostre que A = é uma matriz involutiva de ordem Se para uma matriz A quadrada de ordem n existir p N tal que A p = O n,n e, para qualquer k N com k < p, temos A k O n,n, dizemos que A é nilpotente de grau p. [ 0 Verifique que a matriz é uma matriz nilpotente de ordem [ Mostre que a matriz não é nilpotente nem involutiva. 0 [ Mostre que a matriz não é nilpotente, nem periódica, nem idempotente, nem 0 2 involutiva. 26. Uma matriz A diz-se simétrica se A = A T e anti-simétrica se A = A T. Mostre que, se B é uma matriz quadrada, então: (a) BB T e B + B T são simétricas. B B T é anti-simétrica. 27. Seja A = [a ij uma matriz n n. Determine os casos em que A é simétrica ou anti-simétrica: (a) a ij = i 2 + j 2 a ij = i 2 j 2 (c) a ij = i 2 + j 3 (d) a ij = 2i + 3j 28. Determine a característica da matriz 2 3 A =

8 e mostre que a matriz é a inversa da matriz 3 2 B = Indique a forma geral das matrizes triangulares inferiores de terceira ordem que permutam com (a) M = N = 30. Seja A = [ 0. (a) Mostre que A 2 = [ 2 0. Deduza uma expressão geral para A n. (c) Determine uma expressão geral para as matrizes que são permutáveis com A. (d) Utilizando a alínea anterior determine A Considere as matrizes A = 2 3, B = 0 2 e C = Determine a matriz X que verifique: 2 5 (a) A + X T = B T + C (A + B) T + X = BC T (c) X + AB = C T A (d) (A + X) T = BC + A 2 8

9 (e) (A 3X) T = 2C 2 4B 32. Considere as matrizes A = e B = /2 /2 /2 (a) Indique as características de A e B. Justifique que são invertíveis. Determine as matrizes inversas de A e B. 2x y + z + w = Determine a solução do sistema homogéneo 4x + y z w = 0 2x + 2y 2z 2w = 0 x + y 3z + w = 34. Determine a solução do sistema 2x y + z 2w = 2 7x + y 7z + 3w = 3 Indique a característica de A, onde A é a matriz dos coeficientes Seja A = Verifique que A é não singular Calcule A, utilizando o algoritmo de Gauss-Jordan. [ [ n 36. Dadas as matrizes A = e B =, calcule m e n para que 7 4 m 9 B seja a inversa de A. 37. Sabendo que A, B, C e D são matrizes quadradas da mesma ordem e invertíveis, resolva as equações matriciais em X: (a) ADX = ABC DX T = DC (c) ABCX 2 D 2 = ABCXD (d) D XD = AC (e) CX + 2B = 3B. 9

10 [ Determine o valor de k para que a matriz A = 6 k 39. Considere a matriz A = 0 0 α α 0 0 α β , com α, β R. (a) Diga para que valores de α e β, A é uma matriz invertível. Admita que α = e β = 0. Determine A. não tenha inversa. (c) Ainda para α = e β = 0, considere a matriz B que se obtém de A, por troca da 2 com a 3 coluna. Calcule B e compare-a com A. (d) A partir da alínea anterior, verifique o que deveria ter em conta se, além de utilizar o método de Gauss-Jordan no cálculo da inversa, trocasse duas colunas na matriz simples do sistema. 40. Considere as matrizes A = α µ +, b = µ 3 com µ, α R, e o sistema de equações lineares Au = b. (a) Determine os valores de µ e α para os quais o sistema é: i. Possível e determinado; ii. impossível. Resolva o sistema para µ = e α = Considere o sistema de equações lineares x + y + kz = x + ky + z = k kx + y + z = k 2 com k R. (a) Diga para que valores de K a matriz simples do sistema é invertível. Para k = 0, resolva o sistema, utilizando a inversa da matriz simples. 0

11 42. Resolva os sistemas: 2x + 4y = 6 5x 2y = 4 (a) 3x + y = 9 4x 5y = 7 { 2x 8y + 24z + 8w = 84 4x 4y + 52z + 42w = Discuta em termos dos parâmetros reais α, β, γ e π a existência de solução dos sistemas: (a) (c) (d) (e) x + y + z = 2 x y + z = 3 x + z = /2 3x y + 3z = α 2x + y + w = 2 3x + 3y + αz + 5w = 3 3x 3z 2w = β x + 2y = α 2x + y = β x + y = γ x + 3y = α 2x y = β 2x + y = γ 3x + y = π x + 2y = 3x + 4y = β 2x y = Uma matriz A M m n (K) diz-se ortogonal se AA T = I = A T A. (a) Verifique que uma matriz ortogonal é uma matriz invertível e que A = A T. Para que valores de k é ortogonal a matriz /3 2/3 k 2/3 /3 2/3 M 3 3 (R)? k 2/3 /3

12 Porquê? (c) Questão análoga à anterior para a matriz k 0 2 M 3 3 (R)? 0 (d) Mostre que a matriz A = [ é uma matriz ortogonal. 45. Chamamos matriz conjugada de A, A, à matriz que se obtém de A substituindo cada elemento pelo respectivo conjugado. Seja A uma matriz quadrada. i) A é uma matriz hermítica se A T = A. ii) A é uma matriz hemi-hermítica se A T = A. [ 2 i Mostre que a matriz A = é hermítica e que a matriz B = [ 2 + i 2 2i i é hemi-hermítica. i Classifique as seguintes matrizes de simétricas, anti-simétricas, hermíticas e hemi-hermíticas: [ 5 4 2i (a) 4 + 2i [ 0 2i 2i 0 [ 2i 2i (c) 2i 0 [ 2 (d) Mostre que a equação X 2 5X + 4I 2 = 0 é satisfeita por cada uma das seguintes matrizes reais: [ [ [ A =, B =, C =

13 [ Mostre que as matrizes reais que comutam com [ α 3β. β α [ Considere a matriz real A = e calcule AA 4 3 T. são da forma 3