Matemática. Lic. em Enologia, 2009/2010

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1 Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro Matemática Lic. em Enologia, 009/00 a Parte: Álgebra Linear Vectores em R n e em C n. Sejam u = (, 7,, v = ( 3, 0, 4 e w = (0, 5, 8. Calcule: a 3u 4v b u + 3v 5w.. Determine, y e z sabendo que a (3,, = (,, + y(,, 0 + z(, 0, 0 b (, 3, 3 = (,, 0 + y(0, 0, + z(0,,. 3. Sejam e = (, 0, 0, e = (0,, 0 e e 3 = (0, 0,. Mostre que para qualquer vector u = (a, b, c de R 3 se tem a u = ae + be + ce 3 b u e = a, u e = b e u e 3 = c. 4. Determine k de modo a que os vectores u e v sejam ortogonais: a u = (, k, 3 e v = (, 5, 4 b u = (, 3k, 4,, 5 e v = (6,, 3, 7, k. 5. Determine a distância entre os vectores u e v onde: a u = (, 7 e v = (6, 5 b u = (3, 5, 4 e v = (6,, c u = (0,,, 0, 3 e v = (0, 0, 0,,. 6. Determine k de modo a que d(u, v = 6, sendo u = (, k,, 4 e v = (3,, 6, Calcule a norma do vector u sendo onde: a u = (, 7 b u = (3,, 4 c u = (0,,, 0,. 8. Mostre que para quaisquer números compleos z e w se tem z + w z + w. 9. Sejam z = (7 i, + 5i e w = ( + i, 3 6i. Calcule

2 a z + w b iz c ( iw d z w e z e w. Espaços Vectoriais 0. Diga, justificando, se os seguintes conjuntos são ou não subespaços vectoriais de R : a S = {(, y R : = 0} b S = {(, y R : > 0, y > 0}.. Diga, justificando, se os seguintes conjuntos são ou não subespaços vectoriais de R 4 : a S = {(, y, z, t R 4 : + y = 0, z = t} b S = {(, y, z, t R 4 : + y + z = 0, t N} c S 3 = {(, y, z, t R 4 : + y + z + t = }.. Determine os valores de a para os quais o conjunto é um subespaço vectorial de R. {(, y R : 5y = a, a R} 3. Diga, justificando, se os seguintes conjuntos de vectores são ou não linearmente independentes: a {(,,, (,,, (7, 4, } b {(,, 3, (, 0,, (3,,, (, 3, 5} c {(,, 3, (, 3,, (,, 4} d {(, 3, 5, (0, 0,, (3,, }. 4. Sejam v, v e v 3 vectores linearmente independentes de um espaço vectorial real. Analise a dependência linear dos seguintes conjuntos: a v, v + v, v + v + v 3 b v + v, v + v 3, v + v 3 c v v, v v 3, v 3 v. 5. Dados os seguintes vectores de R 3 a verifique que {u, u, u 3 } é uma base de R 3 u = (, 3, 5, u = (0, 0, e u 3 = (3,,, b determine as coordenadas do vector v = (,, 3 nessa base. 6. Seja B = {, t, ( t, ( t 3 } uma base do espaço vectorial P 3 (conjunto dos polinómios de grau menor ou igual a 3. Determine as coordenadas, nesta base, dos seguintes polinómios a 3t + t + t 3 b 3 t t c a + bt + ct + dt 3.

3 7. Considere os seguintes subespaços vectoriais de R 3 : {(, y, z R 3 : z = 0}, B = {(, y, z R 3 : = 0} e de R 4 : C = {(, y, z, t R 4 : z =, t = y}, D = (, 0,, 0, (,,,, (0,, 0,. Determine uma base para cada um deles e indique a respectiva dimensão. 8. Considere o seguinte subespaço S = (,, 3, (, 5, 4, (, 3,. a Indique a dimensão deste subespaço b Determine uma condição em a e b de modo a que (, a, b S. Matrizes 9. Dadas as matrizes ( i i calcule: a 4A 3B + (5 + ic b 4C + 3A ib. ( 5 7 9i, B = i 5 e C = ( + i 3 5i 4 4 5i 0. No espaço vectorial M 3, (R considere o subconjunto y S = y 0 :, y, z R. z a Mostre que S é um subespaço vectorial de M 3, (R b Determine uma base para S e indique a sua dimensão.. Dado o conjunto B = {( ( 0, 0 ( 0, 0 0 ( 0 0, 0 } a Mostre que B é uma base de M (R ( 4 b Determine as coordenadas da matriz 7 na base B.. Sejam A, B M n (K. Imponha condições a estas matrizes por forma a serem satisfeitas as igualdades: a (A + B = A + AB + B b (A + B(A B = A B c (AB = A B. 3. Dadas as matrizes ( 0 (, B = 3 (, C = ( e D =, calcule 3

4 a B T A b A T B c (C T A + D T T d B T (C + D 4. Indique valores para as entradas a ij da matriz a Simétrica b Hemi-simétrica 5. Seja A M n (C. Mostre que a a + 3i a 4 + i a a 3 a 4 a 3 + 5i a i + i a 43 a 44 c Hermítica d Hemi-hermítica. e A T (A + D f (D T B + C T B T., de modo a que esta seja: a A + A T é simétrica b A A T é hemi-simétrica c A + A é hermítica d A A é hemi-hermítica. 6. Utilize o método de Gauss para determinar a característica das seguintes matrizes: ( 0 8 (, B = 8 7, C = Verifique que a α 0 é a inversa de α 0 β 0 β b α 0 não é a inversa de α 0. β γ β γ, D = 8. Recorrendo à definição, determine a inversa de cada uma das matrizes: ( 0 (, B = 3 e C = e E = Utilize o método de Gauss-Jordan para determinar a inversa de cada uma das seguintes matrizes ( 3 5 4, B = 3 6, C = 3, D = E = , F = e G = , 30. Resolva as seguintes equações, nas quais X é uma matriz de ordem conveniente: ( ( 3 0 a X = ( ( 3 b X = 4

5 ( c d X e X ( X X ( X = = ( 0 ( ( =. Determinantes 3. Calcule det (5e e 3, e onde {e, e, e 3 } é a base canónica de R Sabendo que det(v, v =, calcule det(3v v, 6v + v. ( 33. Sendo (v, v =, calcule det(4v + v, 6v. 34. Calcule o determinante das seguintes matrizes E = ( (, B = i 3 i i, F =, C = Determine o valor de λ que satisfaz a λ 4 λ 3 = 0 λ 3 3 b 3 λ λ 4 = 0. y z 36. Mostre que z y = 0 se + y + z = 0. y z 37. Sabendo que y y a y y y =, mostre que 0 y y d d d = ad. 0 y y Seja a Utilize a fórmula de Laplace para calcular o determinante de A, D =, G = 3 i b Sendo B uma matriz que se obteve de A por troca da a com a 3 a coluna, justifique que B eiste e calcule det ( A T B c Sendo C uma matriz que se obteve de A por multiplicação da a e da 3 a linha por 3, calcule det ( CA T d Sendo D uma matriz que se obteve de A, substituindo L por L + L, calcule det(d.. 5

6 39. Mostre que para qualquer matriz A se tem adj(adj( A. 40. Para cada uma das seguintes matrizes ( a calcule o seu determinante b calcule a sua matriz adjunta, B = e C = c diga se é ou não uma matriz invertível e em caso afirmativo, determine a sua inversa. 4. Dada a matriz a, a, b R, b a diga em que condições ela é invertível b calcule a sua matriz adjunta c nas condições da alínea a determine a sua inversa. Sistemas de equações lineares. 4. Resolva, pelo método de eliminação de Gauss, os seguintes sistemas: a b c d e y + z + t = 0 + 4y t = 0 + 6y z + 5u = 0 y + z = + z = 3y + 4z = + y + z = 3 + z = + y + 3z = 5 + y + z = y 3z = y + 8z = 0 y + z + t = y + z t = + y + 4z + t = 5y 7z + 6t + u = 7 f g j y z + t + u = 0 y z 3t = z t = y + t = 0 { + y + z + t + u = t + u = 0 y z t = 3 + 3y + z + t = h + y + z = 3 + 5y + 3z + t = { 3 y + 4z + t = 0 i + y 3z t = 0 y + z + t = + y z + t = + 7y 5z t = Indique os valores do escalar k para os quais os seguintes sistemas são possíveis e determinados, possíveis e indeterminados e impossíveis: a b 3 + 4y + z = k + 3y z = + y + kz = 3z = 3 + ky z = + y + kz = c d k + y + z = + ky + z = + y + kz = + y + kz = + ky + 8z = 3 y + z = 0 6

7 44. Considere os seguintes sistemas 3 + y + 4z = y + z = 0 + y + 3z = 0 + y z = 0 y z = 0 y + z = 0 y + z = + 3y z = 0 4 3y + z = + y z = + 6z = + y + z = 0 a Verifique que são sistemas de Cramer b Determine a sua solução usando a regra de Cramer. 45. Seja A uma matriz quadrada de orden n. O escalar λ diz-se um valor próprio da matriz A sse λ satisfaz a equação A λi = 0. Ao vector não nulo v R n que satisfaz (A λiv = 0, dá-se o nome de vector próprio associado ao valor próprio λ. Dadas as matrizes: a calcule os seus valores próprios ( 4 3 B = b determine os vectores próprios associados a cada valor próprio , a Parte: Análise Matemática Funções reais de variável real 46. Determine o domínio das seguintes funções: a f( = 3 b g( = ln( + c h( = ln d i( = sin(π e j( = tan( f k( = arccos( 47. Analise a injectividade das seguintes funções a f( = 3 c h( = 3 3 b g( = + d i( = 3 log 3 ( log 3 ( e j( = tan f k( = arcsin( Analise a paridade das seguintes funções: ( a f( = ln + b g( = c h( = d i( = sin Verifique se as seguintes funções são ou não limitadas: 7

8 a f( = sin c h( = b g( = cos d i( = π arccos(. 50. Defina as funções compostas f g e g f quando a f( = e g( = b f( = e g( = 5 c f( = + e g( = d f( = + 4 e g( =. 5. Resolva, em [0, π[ as seguintes inequações a cos b sin 0 c cos > 0 cos > sin d sin cos ( sin > 0 e cos < f tan cot 0 sin > Simplifique as seguintes epressões: a sin ( arcsin ( ( ( 0 3 b cos ( arccos ( c tan arccos 5 d tan (arccos (0 53. Calcule o valor das seguintes epressões: 3 a sin ( arcsin ( ( 3 arccos 3 5 b cos ( arcsin π 4 + arctan 3 c tan ( arctan arccos 7 8 ( d cos ( arctan 34 + arcsin Caracterize a função inversa de cada uma das seguintes funções: a f( = π 3 arcsin( + ( b g( = arccos + c h( = 4π 3 + arctan ( +3 d i( = + e j( = cos( + 3 f k( = tan(. Limites e continuidade sin 55. Sabendo que lim 0 + =, calcule sin a lim cos b lim 0 e 56. Sabendo que lim 0 e que lim e a lim e 3 0 sin( b lim 0 e 3 ln(+ 0, calcule c lim 0 sin(+sin sin(+sin cos cos(3 d lim 0 cos( ln( c lim d lim (ln( + ln Determine, se possível, o valor da constante k de modo a que as seguintes funções sejam contínuas nos respectivos domínios 8

9 a f( = b g( = { k, 0 sin(π, 0 < < { arctan k, = π e tan e tan +, ] π, 3π [ { 5 3 c h( =, 0 k, = 0 sin(π k, < 0 d j( = π, = 0 arctan, > Mostre que a equação = 0 tem três raízes reais, localizadas nos intervalos ], 0[, ]0, [ e ]6, 9[. 59. Sendo f uma f.r.v.r. definida por mostre que c ]0, [: f( = 0. { e f( =, < cos ( π π, 3, 60. Seja f( = tan. Verifique que f ( ( π 4 > 0, f 3π [ 4 < 0 e f( 0 para todo o π 4, ] 3π 4. Isto contradiz o teorema de Bolzano? Justifique. 6. Indique, justificando, o valor lógico da seguinte proposição: A f.r.v.r. definida por f( = sin mínimo em [0, ]. cos tem máimo e Derivadas 6. Determine a equação da recta tangente ao gráfico das funções que se seguem, no ponto de abcissa = : a f( = ln + b f( = cos c f( = e 3 d f( = sin (( π e f( = 4 f f( = log 63. Calcule a derivada das seguintes funções a f( = b f( = ( (ln c f( = 4 + d f( = e f( = cos(3 f f( = sin 5 g f( = arctan h f( = sin(cos i f( = ln ( ln j f( = arccos ( k f( = arcsin ( e l f( = cot(ln m f( = ( n f( = 6 3 o f( = 4 3 p f( = tan(e q f( = log 3 ( + r f( = sec { s f( =, + 5, > { sin t f( =, 0 0, = Regra de L Hôpital: Sejam f e g funções diferenciáveis em todos os pontos de um intervalo ]a, b[, ecepto possivelmente em c. Se g ( 0 para c e se lim g( é uma forma indeterminada do tipo 0 0 ou, então eistindo f lim ( f( c g ( também eiste lim c g( e Usando esta regra calcule c f( f( lim c g( = lim f ( c g (. 9

10 a lim arcsin cot 0 b lim 0 ( c lim 0 e d lim ( ( 0 ln cos ln( π + e lim f lim π ( g lim tan π 4 h lim 0 ( tan tan π Primitivas 65. Calcule a ( b ( c tan d 5 e e 3 3 f ln g cos sin 3 h arcot( 4+6 i j e e k 3 sin sin( l ( tan 3 + tan Usando o método de primitivação por partes, calcule a ( + e 4 b ( + ln( + c arcsin d arccos( e ln 3 f sin g cos sin h 7 ( Calcule as primitivas das seguintes funções racionais: a 4 b 3+ 3 c d e 3+ 3 f +4+3 g +4+8 h ( Usando o método de substituição de variável, calcule a 4 b + c ( + d 9 e f g + 3 h sin +3 cos Integral definido e aplicações 69. Calcule 0

11 a ( + 3 b π 4 cos π 4 c e d 0 sin(ln e +e e 4 f 3 g + y y dy y 5 y+ h i 0 j 0 k π 0 l π (4 3 sin y e y tan cos 70. Calcule a área das seguintes regiões do plano limitadas pelas curvas a y = 4 e y = b = y, = y, y = e y = c y = 4 e y = 0 d y = sin, y = cos, = 0, = π e y = 0 e y = ( ( e y = 0 f y = e y = Calcule o volume do sólidos gerado pelas revoluções em torno do eio dos e dos yy de a f( = e, [0, ] b g( = cos, [0, π 4 c h( = arctan, [0, ] d y = 3, [0, ]. 7. Calcule o comprimento do arco das seguintes curvas: a y = arcsin(e, entre = 0 e = b y = ln, entre = 3 e = 8 c + y = d y = 4 (, entre = e = 3.