Matemática I. Licenciatura em Economia. 1 Álgebra Linear. 1 o semestre 2012/13. Vectores e Matrizes Sejam 3 A = Determinar as matrizes:

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1 Matemática I 1 o semestre 1/1 Licenciatura em Economia Exercícios com soluções 1 Álgebra Linear Vectores e Matrizes 1.1. Sejam 1 A = 5, B = Determinar as matrizes: 1 4 5, C = a) A + B; b) A B; c) AB; d) BA; e) (AB)C; f) A(BC) Solução: a) 9 b) 1 4 f) idem c) d) e) Sejam [ A = 1 5 [, B =. Determine A T, B T, (A + B) T, AB, (AB) T, B T A T, A T B T e identifique as propriedades da transposição de matrizes que os cálculos ilustram. Solução: [ 1 A T = ; B 5 T = [ 4 A T B T = 1 14 [ ; (A + B) T = [ 1 4 ; AB = [ ; (AB) T = [ ;

2 1.. Determine os valores de a para os quais a matriz seguinte é simétrica a a 1 a + 1 a + 4 4a 1 Solução: a =. Matriz inversa 1.4. Prove que a inversa de [ 1 [ [ 1 [ Solução: 1 = = 1 1 [ 1 é e a inversa de 1 [ 1 ; [ [ 1 = ; é = Determine os valores de a e b tais que a matriz A é inversa de B, sendo A = B = a 4 b e Solução: { a + b = a b = 1 { a = 4 b = 4 Page

3 1.6. Usando operações elementares, determine as matrizes inversas de 4 [ 1 1 a) 4 1 b) c) 1 d) e) [ 1 4 f) g) h) Solução: a) [ 1 e) f) 1 [ 5 b) g) c) h) d) Dependência e independência linear. Característica de uma matriz 1.. Determine, nos espaços vectoriais respectivos, se os vectores seguintes são linearmente independentes: a) (, 1) e (4, ) de R. b) (, 1), (4, ) e (, ) de R. c) (,, 1), (, 4, 1) e (, 8, 5) de R. d) ( 1,,, ), (5,, 1, 1) e (8, 6, 1, 5) de R 4. { α1 = α Solução: a) Linearmente independentes; b) Linearmente dependentes:, α α = 1α R; { α1 = α c) Linearmente independentes; d) Linearmente dependentes:, α α = α R Discuta, em função do parâmetro real α, a independência linear dos vectores a = (1, ) e b = (α, 1) de R. Solução: Se α 1 = Linearmente independentes; se α = 1 = Linearmente dependentes: x 1 = x, x R. Page

4 1.9. Determine a característica das seguintes matrizes a) c) [ e) b) d) f) [ Solução: a) r(m)=1; b) r(m)=; c) r(m)=; d) r(m)=; e) r(m)=; f) r(m)= Determine a característica das seguintes matrizes, em função dos valores dos parâmetros. x x 1 x y t a) 1 1 b) -1 t -6 c) z w 1 1 x y 1 1 x x t + 4 z w 1 Solução: a) Se x = 1 ou x =, então r(m) =. Nos restantes casos, r(m) = ; b) Se t = ± ou t = 4, então r(m) =. Nos restantes casos, r(m) = ; c) Se z = e w =, então r(m) =. Nos restantes casos, r(m) = Encontre um exemplo, com matrizes, que ilustre o facto de em geral se ter r(ab) r(ba). [ Solução: A= 1 [, B= 1 [ ; AB= [, BA= 1 ; r(ab) = r(ba) = 1. Page 4

5 Determinantes 1.1. Sejam A = [ 1 4 e B = [ Calcule A, A T, AB, B, B T, A T B T e identifique as propriedades que os cálculos ilustram. Solução: A = = A T ; B = B T = ; AB = 4 = A T B T ; 1.1. Calcule os determinantes seguintes a) 1 9 b) e) a b c d f) c) g) d) a b c Solução: a) b) c) d) abc e) abcd f) 6 g) Mostre que os determinantes seguintes são nulos. 1 1 a b + c x y x y x y a) 4 5 b) 1 b c + a c) 1 1 x + y c a + b y 1 x Solução: a) C = C 1 b) (a + b + c)c 1 = C + C c) (x y)l = L Considere as matrizes A = da matriz C. [ [, B = 1 1 e C = A B. Determine o determinante Solução: C = Page 5

6 [ Sendo A = 1 e B = 1 1, calcule o determinante da matriz C = (B A) T. Solução: C = 1.1. Determine os valores de a para os quais a matriz A = valor 1. a 1 1 a a tem como determinante o Solução: a = ± Sistemas de equações Usando a Regra de Cramer, resolva os sistemas de equações x + y = x + y z = 5 x + z = a) x y + z = 6 b) y + z + u = 6 x y z = y + u = 1 c) Determine p de forma a que o sistema seguinte tenha solução. Encontre as soluções. px + y = 1 x y + z = y z = Solução: a) x = 1, y =, z = b) x =, y = 6, z = 5, u = 5 c) O sistema tem solução se e só se p 1. A solução é x = p 1, y = p 1 p 1, z = p+1 p Prove que o sistema seguinte tem solução única quaisquer que sejam b 1, b, b e determine-a x 1 + x = b 1 x 1 x + x = b x 1 + x x = b Solução: A matriz do sistema é invertível, pelo que o mesmo admite solução única, qualquer que seja o segundo membro. A solução é x 1 = 1 b b 1 5 b, x = 1 b b + 5 b, x = 1 b b + 5 b. Page 6

7 1.. Mostre que o sistema homogéneo ax + by + cz = bx + cy + az = cx + ay + bz = tem soluções não triviais se e só se a + b + c abc =. Solução: Um sistema homogéneo só pode ter soluções não triviais (não nulas) se a matriz de sistema não for invertível, isto é, se o seu determinante for zero. Neste caso o determinante da matriz de sistema é justamente a + b + c abc, donde se segue o resultado pretendido Discuta as soluções do sistema em função dos parâmetros a e b. x + y + z = 1 x + ay 1z = x + y + az = b Solução: Se a a o sistema tem solução única independentemente do parâmetro b. Se a =, o sistema apenas tem solução se b = 9. Se a =, o sistema tem solução apenas se b = Considere o sistema x 1 + x + x = q x 1 x + x = 4q x 1 x + px = q onde p e q são constantes arbitrárias. Determine para que valores destas constantes o sistema possui: a) uma única solução; b) várias soluções; c) nenhuma solução. Solução: a) p b) p = q = c) p = q 1.. Mostre que o sistema { x + y = k x + cy = 1 tem uma única solução, excepto para um valor particular c de c. Determine essa solução. Mostre também que para c = c, o sistema não tem soluções excepto para um valor particular k de k. Encontre a solução para k = k. Solução: O determinante da matriz de sistema só é zero quando c =. Assim, para c,o sistema tem uma e uma só solução que é y = k +c, x = +kc +c. Quando c = o sistema só tem solução se k =, neste caso a solução é da forma ( x, (1 x)). Page

8 é possível mas indeter- x y z = 1.4. Encontre os valores de a e b para os quais o sistema x + y z = x y + az = b minado. Solução: O sistema é possível e indeterminado (com 1 grau de liberdade) para a = 5 b = 1.5. Discuta a natureza do sistema, em função do parâmetro α x + y + z + w = x + 4y + z + w = 1 x + y + z + w = α Solução: Se α = 1, o sistema é possível e indeterminado (com 1 grau de liberdade). Se α 1, o sistema é impossível Discuta a existência de soluções para os sistemas que se seguem, determinando, sempre que possível, o número de graus de liberdade e as soluções. { { x y + z + w = 1 x y + z = x + y z + w = x + y z + w = a) b) c) 4x + 6y z = 1 x y + z w = 1 x + 5y 8z + w = 1 4x + 5y z + w = x + y + z + w = 5 d) x + y z w = 4x + 5y + z = x + y z = 1 g) x y + z = x + y + z = 1 x + y + z = 1 x y + z = j) y + z = 1 x + y + 4z = x y + z = y z + w = m) x + y + z + w = 1 y + w = x y + z + w = 1 x + y + z w = 1 p) y + z + w = x y + w = x y + z = e) x + y z = x + y + z = x + y z + w = 1 x y + z w = h) x + y z = x y z = 1 x + y + z + w = 1 y + z + w = k) x + z + w = 1 x + y + z w = x + y z + w = 1 x + y + z w = n) x + z + w = 1 x + 5y z + 5w = 5 x + y z + w = x + y z + w = 1 q) x + y z + w = 5 x y + z = 1 x + y + z + w = f) x + y + z + 4w = x + y w = x + y z + w = 1 x y + z w = i) 5x + y z + w = 1 x y + z w = 4 x + y + z w = 1 l) 4x y + z w = 5 x + y + z + w = y z + w = 4 x + y + z + w = 1 o) x + z + w = x + y + z w = x y + z + w = 1 x + z + w = r) x + y + w = 1 x + 8y 1z w = Page 8

9 Solução: a) Sistema impossível. b) Sistema possível e indeterminado ( graus de liberdade). Soluções da forma ( 1 + w, 1 5 w + z, z, w). c) Sistema possível e indeterminado (1 grau de liberdade). Soluções da forma ( 1 z, 5 z, z, 1). d) Sistema impossível. e) Sistema possível e determinado. A solução é (,, ). f) Sistema possível e indeterminado (1 grau de liberdade). Soluções da forma (w, w, w, w). g) Sistema possível e determinado. A solução é ( 1 4, 4, 1 4). h) Sistema possível e determinado. A solução é ( 1, 1, 1 1, 1). i) Sistema impossível. j) Sistema possível e determinado. A solução é ( 1 4, 1, 1 4). k) Sistema possível e indeterminado ( graus de liberdade). Soluções da forma ( 1 + z + w, z w, z, w). l) Sistema impossível. m) Sistema possível e determinado. A solução é ( 5, 4, 1, ). n) Sistema impossível. o) Sistema possível e indeterminado (1 grau de liberdade). Soluções da forma ( + w,, 1 + w, w). p) Sistema possível e indeterminado ( graus de liberdade). Soluções da forma ( z w, z w, z, w). q) Sistema possível e indeterminado (1 grau de liberdade). Soluções da forma ( 1, + z, z, 5). r) Sistema possível e indeterminado ( graus de liberdade). Soluções da forma ( w z, w + 4 z, z, w). Page 9

10 1.. Discuta, em função dos parâmetros a,b e c, os seguintes sistemas lineares: x + y + z = x + y + z = y + az = a) x y + z = 1 b) x y + z = 1 c) x + by = x y z = a x y + az = by + az = 1 x + y + z = 1 d) x y + z = a x + bz = ax + y + (a + 1)z = b g) x + ay + z = 1 ax + y z = x + (a + )y bz = j) x + bz = 1 x + 4y + bz = b Solução: x + y = b e) x + y + z = x + ay + z = x + y + z = h) ax + z = x + y + z = 6 x y + z = 1 x + az = 1 m) x + y + z = b x y + (a + )z = a) Qualquer que seja a: sistema possível e determinado. ax + y z + aw = f) (a + 1)y + z + w = 1 x + y + (a + 1)w = b x + y = a i) x + y = a x + y = a x + 4y + bz = x + (a + )y = 1 n) x + by + az = 1 x + y = c b) Se a sistema possível e determinado; Se a =, sistema possível e indeterminado (com 1 grau de liberdade). Page 1