2012/2013-1º SEMESTRE- 1ª ÉPOCA EXAME DE ÁLGEBRA LINEAR (1303) 2 de Janeiro de 2013

Transcrição

1 / - º SEMESTRE- ª ÉPOCA EXAME DE ÁLGEBRA LINEAR () de Janeiro de Grupo - Considere o conjunto C t,,t : t..- Mostre que C é um sub-espaço de. [/].- Mostre que qualquer vector z C é uma combinação linear única dos vectores x,, e y,,. Será que este facto mostra que os vectores x e y são uma base de C? Porquê? Se a resposta for não exiba uma base de C. Qual a dimensão de C? [/].- Seja agora D o sub-espaço gerado por x e y, D spanx,y. Será que os vectores x e y são uma base de D? Dê uma interpretação geométrica para os sub-espaços C e D. Qualé a relação entre eles? [/].- É fácil de ver que qualquer combinação linear de vectores de C está em C. Com efeito tomemos a,,a C e b,,b C. Então teremos a,,a b,,b a b,,a b C para quaisquer e reais..- Claro que t,,t t,, t,, para qualquer t real. No entanto os vectores x,, e y,, não são uma base de C porque não pertencem a C. O vector,, é uma base de C porque qualquer vector de C se escreve t,,. Daqui decorre que dimc..- Os vectores x e y são claramente linearmente independentes logo são uma base de D spanx,y. Repare que D é o plano XOZ de enquanto que C é a diagonal dos quadrantes impares desse plano. Claro que C é sub-espaço de D.

2 / - º SEMESTRE- ª ÉPOCA EXAME DE ÁLGEBRA LINEAR () de Janeiro de Grupo - Considere o sistema de equações lineares Ax b e admita que sabemos que a sua solução geral é da forma: x com e em Admita ainda que a matriz A é m n e designe por A,...,A n as suas colunas. Com base nesta informação responda, justificando, às seguintes perguntas. No caso de a informação fornecida não ser suficiente para responder diga-o..- Quanto vale n? [/].- Quanto vale m? [/].- Quanto vale ranka? [/].4- Escreva b como combinação linear das colunas de A. [/].5- Escreva uma combinação linear (não trivial!) das colunas de A que seja igual ao vector nulo m. [/].- Repare que n designa a dimensão de x logo n 5..- Não há informação sobre o valor exacto de m mas, da resposta a., pode-se concluir que m..- Sabemos que a dimensão do espaço nulo de A, NA, somada com a dimensão do espaço da linhas de A, LA, én pois são complementos ortogonais em n. Da solução geral deduzimos que dimna e como sabemos que dimla ranka vem ranka 5ousejarankA..4- Qualquer solução do sistema de equações dá uma combinação linear das colunas de A igual ao segundo membro b logo temos, por exemplo, A A A 4 b..5- Qualquer solução do sistema homogénio associado dá uma combinação linear das colunas de A igual ao vector nulo m logo temos, por exemplo, A A A m.

3 / - º SEMESTRE- ª ÉPOCA EXAME DE ÁLGEBRA LINEAR () de Janeiro de Grupo - Considere a matriz A e os vectores v e w que se seguem: A,v,w.- Mostre que v e w são vectores próprios de A e encontre os valores próprios associados. [/].- Diagonalize a matriz A, isto é, encontre uma matriz B e uma matriz diagonal D tais que B AB D. A partir dos cálculos já efectuados mostre que A tem inversa e diga como diagonalizar A sem efectuar mais cálculos. [/].- Dada a seguinte igualdade, indique quanto valem as constantes a e b. [/] A A 8 a 7 5 b 5.- Av ao valor próprio Aw 6 v logo v corresponde w logo w corresponde ao valor próprio.- Para encontrar o terceiro valor próprio podiamos escrever o polinómio caracteristico A I e baixar-lhe o grau dividindo-o por mas é mais prático usar o facto de tra ser a soma dos valores próprios. Como tra concluimos que o valor próprio que falta é. Como os valores próprios são todos diferentes temos a garantia da existencia de uma base de vectores próprios. Vamos calcular o vector próprio que falta resolvendo o sistema homogenio A Ix para. x y z Para tal formamos a matriz aumentada e reduzimo-la ao formato reduzido em escada

4 por linhas: /5 /5 4/5 4/5 /5 7/5 /5 /5 x donde uma solução é y logo a matriz B pretendida é z B. Claro que a matriz A tem inversa pois A e temos B AB onde designa a matriz diagonal dos valores próprios. Invertendo ambos os membros da igualdade vem B A B logo B também diagonalisa A..- Do facto de sabermos que A AdjA T / A concluimos que a matriz do lado direito da igualdade é AdjA T.Entãoa é o cofactor da posição,, ouseja a det 7 5, e b é o cofactor da posição,, ouseja b det. 4

5 / - º SEMESTRE- ª ÉPOCA EXAME DE ÁLGEBRA LINEAR () de Janeiro de Grupo 4 4- Considere a seguinte forma quadrática Qx,x,x 7x x 7x x x 4.- Escreva a matriz real e simétrica A,, quearepresentanaforma Qx,x,x x T Ax. [/] 4.- Classifique Qx,x,x. ( Sugestão: use a cadeia dos menores principais ) [/] 4.- Mostre que se uma forma quadrática em n variáveis x T Ax for definida positiva então os elementos diagonais de A têm que ser números positivos. ( Sugestão: pense na base canónica de n ) [/] 7 4.-A Seguindo a sugestão temos deta 7, deta det deta det , logo Qx,x,x é definida positiva. 4.- Repare que se e i designar o i-ésimo vector da base canónica de n,istoé,see i for um vector com todas as componentes iguais a zero excepto a i-ésima que vale ( por exemplo e,,...,) teremos que A definida positiva implica e i T Ae i ouseja a ii parai,...n. 5