Renato Martins Assunção

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1 Análise Numérica Renato Martins Assunção DCC - UFMG 2012 Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

2 Equação linear Sistemas de equações lineares A equação 2x + 3y = 6 é chamada linear porque seu conjunto solução é uma linha no R 2. Uma solução da equação é um par de números (α, β) R 2 tal que 2x + 3y = 6. Por exemplo, (3, 0) e (0, 2) são soluções. Alternativamente, podemos escrever a primeira solução como x = 3, y = 0. Conjunto Soluç ao é conjunto de TODOS os pontos (α, β) do plano que satisfazem a equação. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

3 Sistemas de equações lineares 2x + 3y = 6 Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

4 Sistemas de equações lineares Equação geral de uma reta: ax + by = c, em que x, y são variáveis e a, b, c são constantes (exceto para o caso a = b = 0). Se b 0, podemos escrever ax + by = c como y = c/b (a/b)x Nesta notação, c/b é o intercepto, a altura que a reta corta o eixo vertical. O valor de a/b é o coeficiente angular, a tangente do ângulo (sentido anti-horário) formado pelo eixo horizontal e a reta. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

5 Definição Sistemas de equações lineares Definição. Uma equação linear nas variáveis x 1, x 2,..., x n é uma equação da forma a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b, em que a 1,..., a n e b são constantes. Uma solução da equação é um arranjo de números (γ 1, γ 2,..., γ n ) R n tal que a 1 γ 1 + a 2 γ a n γ n = b. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

6 Sistemas de equações lineares Sistema de equações lineares a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Aqui x 1, x 2,..., x n são variáveis e a ij, b j são constantes. Uma solução do sistema é uma solução comum de todas equações no sistema. Muitos problemas na matemática e no mundo real necessitam da solução de sistemas de equações lineares. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

7 Sistemas de equações lineares Problema Encontre o ponto de interseção das retas x y = 2 e 2x +3y = 6 no R 2. { x y = 2 2x + 3y = 6 { x = y 2 2x + 3y = 6 { x = y 2 2(y 2) + 3y = 6 { x = y 2 5y = 10 { x = y 2 y = 2 { x = 0 y = 2 Solução: as retas interceptam no ponto (0, 2). Observação. O símbolo de equivalência significa que dois sistemas tem a mesma solução. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

8 Sistemas de equações lineares { x y = 2 2x + 3y = 6 x = 0, y = 2 Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

9 Sistemas de equações lineares { 2x + 3y = 2 2x + 3y = 6 sistema inconsistente (sem soluções) Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

10 Sistemas de equações lineares { 4x + 6y = 12 2x + 3y = 6 2x + 3y = 6 Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

11 Sistemas de equações lineares Resolvendo sistemas de equações lineares Método da eliminação de variáveis sempre funciona para sistemas de equações lineares. Algoritmo: (1) escolha uma variável, resolva uma das equações para ela, e elimine-a das outras equações; (2) deixe de lado a equação utilizada na eliminação, e volte ao passo (1). O algoritmo reduz o número de variáveis (assim como o número de equações), consequentemente ele para após um número finito de passos. Depois que o algoritmo para, o sistema está simplificado de modo que deve ser claro como completar a solução. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

12 Sistemas de equações lineares Exemplo. x y = 2 2x y z = 3 x + y + z = 6 Resolva a primeira equação para x: x = y + 2 2x y z = 3 x + y + z = 6 Elimine x das segunda e terceira equações: x = y + 2 2(y + 2) y z = 3 (y + 2) + y + z = 6 Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

13 Sistemas de equações lineares Simplifique: x = y + 2 y z = 1 2y + z = 4 Agora as segunda e terceira equações formam um sistema de duas equações lineares em duas variáveis. Resolva a segunda equação para y, então elimine y da terceira equação: x = y + 2 y = z 1 2y + z = 4 x = y + 2 y = z 1 2(z 1) + z = 4 Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

14 Sistemas de equações lineares Simplifique: x = y + 2 y = z 1 3z = 6 A eliminação está completa. substituição reversa. Agora o sistema é facilmente resolvido por Ou seja, encontramos z da terceira equação, então substituímos na segunda equação e encontramos y, então substituímos y e z na primeira equação e encontramos x. x = y + 2 y = z 1 z = 2 x = y + 2 y = 1 z = 2 x = 3 y = 1 z = 2 Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

15 Sistemas de equações lineares Sistema de equações lineares: x y = 2 2x y z = 3 x + y + z = 6 Solução: (x, y, z) = (3, 1, 2) Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

16 Eliminação gaussiana Eliminação gaussiana A eliminação gaussiana ou escalonamento é uma modificação do método da eliminação de variáveis que permite somente as assim chamadas opereções elementares. Opereções elementares para um sistema de equações lineares: (1) multiplicar uma equação por um escalar não nulo; (2) adicionar uma equação multiplicada por um escalar a outra equação; (3) intercambiar duas equações. Teorema Aplicar operações elementares a um sistema de equações lineares não muda o conjunto solução do sistema. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

17 Eliminação gaussiana Operação 1: multiplique a i-ésima equação por r 0. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a i1 x 1 + a i2 x a in x n = b i a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m = a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 (ra i1 )x 1 + (ra i2 )x (ra in )x n = rb i a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Para desfazer a operação, multiplique a i-ésima equação por r 1. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

18 Eliminação gaussiana Operação 2: adicione r vezes a i-ésima equação à j-ésima equação. a i1 x 1 + a i2 x a in x n = b i = a j1 x 1 + a j2 x a jn x n = b j a i1 x 1 + a i2 x a in x n = b i (a j1 + ra i1 )x 1 + (a j2 + ra i2 )x (a jn + ra in )x n = b j + rb i Para desfazer a operação, adicione r vezes a i-ésima equação a j-ésima equação. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

19 Eliminação gaussiana Operação 3: troque as i-ésima e j-ésima equações. a i1 x 1 + a i2 x a in x n = b i a j1 x 1 + a j2 x a jn x n = b j = a j1 x 1 + a j2 x a jn x n = b j a i1 x 1 + a i2 x a in x n = b i Para desfazer a operação, aplique esta novamente. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

20 Eliminação gaussiana Exemplo. x y = 2 2x y z = 3 x + y + z = 6 Adicione 2 vezes a primeira equação à segunda equação: x y = 2 y z = 1 R2 := R2 2 R1 x + y + z = 6 Adicione 1 vezes a primeira equação à terceira equação: x y = 2 y z = 1 2y + z = 4 Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

21 Eliminação gaussiana Adicione 2 vezes a segunda equação à terceira equação: x y = 2 y z = 1 3z = 6 A eliminação está completa, e podemos resolver o sistema por substituição reversa. No entanto podemos também prosseguir com operações elementares. Multiplique a terceira equação por 1/3: x y = 2 y z = 1 z = 2 Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

22 Eliminação gaussiana Some a terceira equação à segunda equação: x y = 2 y = 1 z = 2 Some a segunda equação à primeira equação: x = 3 y = 1 z = 2 Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

23 Eliminação gaussiana Sistema de equações lineares. x y = 2 2x y z = 3 x + y + z = 6 Solução: (x, y, z) = (3, 1, 2) Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

24 Eliminação gaussiana Outro exemplo. x + y 2z = 1 y z = 3 x + 4y 3z = 1 Some a primeira equação à terceira equação: x + y 2z = 1 y z = 3 5y 5z = 2 Adicione 5 vezes a segunda equação à terceira equação: x + y 2z = 1 y z = 3 0 = 13 Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

25 Eliminação gaussiana Sistema de equações lineares. x + y 2z = 1 y z = 3 x + 4y 3z = 1 Solução: sem solução (sistema inconsistente). Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

26 Eliminação gaussiana Mais outro exemplo. x + y 2z = 1 y z = 3 x + 4y 3z = 14 Some a primeira equação à terceira equação: x + y 2z = 1 y z = 3 5y 5z = 15 Adicione 5 vezes a segunda equação à terceira equação: x + y 2z = 1 y z = 3 0 = 0 Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

27 Eliminação gaussiana Adicione 1 vezes a segunda equação à primeira equação: x + y 2z = 1 y z = 3 0 = 0 { x = z 2 y = z + 3 Aqui z é uma variável livre. x = z 2 Segue que y = z + 3 z = t para algum t R. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

28 Eliminação gaussiana Sistema de equações lineares. x + y 2z = 1 y z = 3 x + 4y 3z = 14 Solução: (x, y, z) = (t 2, t + 3, t), t R. Em forma vetorial, (x, y, z) = ( 2, 3, 0) + t(1, 1, 1). O conjunto de todas soluções é uma reta no R 3 ( 2, 3, 0) na direção (1, 1, 1). passando pelo ponto Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

29 Matrizes Eliminação gaussiana Definição. Uma matriz é um arranjo retangular de números. 2 7 ( ) Exemplos: , 2,, 4, /5 5/8 4, ( 2, 0, 3, 5 ), ( ). dimensões = (# de linhas) (# de colunas) n-por-n: matriz quadrada n-por-1: vetor coluna 1-por-n: vetor linha Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

30 Eliminação gaussiana Sistema de equações lineares: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Matriz de coeficientes e vetor coluna do lado direito: a 11 a a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn b 1 b 2. b m Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

31 Eliminação gaussiana Sistema de equações lineares: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Matriz aumentada: a 11 a a 1n b 1 a 21 a a 2n b a m1 a m2... a mn b m Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

32 Eliminação gaussiana Opereções elementares para um sistema de equações lineares correspondem a operações lineares de linha para matrizes aumentadas: (1) multiplicar uma linha por um escalar não nulo; (2) somar a i-ésima linha multiplicada por algum escalar r R a j-ésima linha; (3) itercambiar duas linhas. Observação. Linhas são somadas e multiplicadas por escalares como vetores (isto é, vetores linha). Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

33 Aplicações Aplicações de sistemas de equações lineares Problema 1. Encontre o ponto de interseção das retas x y = 2 e 2x + 3y = 6 no R 2. { x y = 2 2x + 3y = 6 Problema 2. Encontre o ponto de interseção dos planos x y = 2, 2x y z = 3 e x + y + z = 6 no R 3. x y = 2 2x y z = 3 x + y + z = 6 Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

34 Aplicações de sistemas de equações lineares Método dos coeficientes indeterminados frequentemente envolve a resolução de sistemas de equações lineares. Problema 3. Encontre um polinômio quadrático p(x) tal que p(1) = 4, p(2) = 3 e p(3) = 4. Suponha que p(x) = ax 2 +bx+c. Então p(1) = a+b+c, p(2) = 4a+2b+c, p(3) = 9a + 3b + c. a + b + c = 4 4a + 2b + c = 3 9a + 3b + c = 4 Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

35 Aplicações de sistemas de equações lineares Problema 4. Calcular 1 0 x(x 3) (x 1) 2 (x + 2) dx. Para calcular a integral, precisamos decompor a função racional R(x) = frações simples: x(x 3) (x 1) 2 na soma de (x+2) R(x) = a x 1 + b (x 1) 2 + c x + 2 = a(x 1)(x + 2) + b(x + 2) + c(x 1)2 (x 1) 2 (x + 2) = (a + c)x 2 + (a + b 2c)x + ( 2a + 2b + c) (x 1) 2 (x + 2) a + c = 1 a + b 2c = 3 2a + 2b + c = 0 Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

36 Fluxo de tráfego Aplicações de sistemas de equações lineares Problema. Determinar a quantidade de tráfego entre cada um dos quatro cruzamentos. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

37 Fluxo de tráfego Aplicações de sistemas de equações lineares x 1 =?, x 2 =?, x 3 =?, x 4 =? Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

38 Fluxo de tráfego Aplicações de sistemas de equações lineares Em cada cruzamento, o tráfego de entrada deve coincidir com o tráfego de saída. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

39 Aplicações de sistemas de equações lineares Cruzamento A: x = x Cruzamento B: x = x Cruzamento C: x = x 3 Cruzamento D: x 3 = x x = x x = x x = x 3 x 3 = x x 1 + x 4 = 160 x 1 x 2 = 240 x 2 x 3 = 600 x 3 x 4 = 520 Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

40 Circuito elétrico Aplicações de sistemas de equações lineares Problema. Determinar a quantidade de corrente em cada ramo do circuito. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

41 Circuito elétrico Aplicações de sistemas de equações lineares i 1 =?, i 2 =?, i 3 =? Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

42 Circuito elétrico Aplicações de sistemas de equações lineares Primeira lei de Kirchhof (lei dos nós): em cada nó, a soma das correntes de entrada é igual a soma das correntes de saída. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

43 Circuito elétrico Aplicações de sistemas de equações lineares Veja que as equações são idênticas. Nó A: i 1 = i 2 + i 3 Nó B: i 2 + i 3 = i 1 Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

44 Aplicações de sistemas de equações lineares Circuito elétrico Segunda lei de Kirchhof (lei das tensões): em torno de cada loop a soma algébrica das tensões é zero. Lei de Ohm: para cada resistor a diferença de potencial E, a corrente i, e a resistência R satisfazem E = ir. Laço superior: 9 i 2 4i 1 = 0 Laço inferior: 4 2i 3 + i 2 3i 3 = 0 Grande laço: 4 2i 3 4i i 3 = 0 Observação. A terceira equação é a soma das duas primeiras equações. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

45 Aplicações de sistemas de equações lineares i 1 = i 2 + i 3 9 i 2 4i 1 = 0 4 2i 3 + i 2 3i 3 = 0 i 1 i 2 i 3 = 0 4i 1 + i 2 = 9 i 2 + 5i 3 = 4 Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

46 Matrizes Álgebra matricial Definição. Uma matriz m-por-n é um arranjo retangular de números que tem m linhas e n colunas: a 11 a a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn Notação. A = (a ij ) 1 i n,1 j m ou simplesmente A = (a ij ) se as dimensões são conhecidas. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

47 Álgebra matricial Um vetor n-dimensional pode ser representado como uma matriz 1 n (vetor linha) ou como uma matriz n 1 (vetor coluna): ( x1, x 2,..., x n ) x 1 x 2. x n Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

48 Álgebra matricial Uma matriz m n A = (a ij ) pode ser considerada como uma coluna de vetores linhas n-dimensionais ou com uma linha de vetores colunas m- dimensionais: A = v 1 v 2. v n, v i = ( ) a i1, a i2,..., a in A = ( ) w 1, w 2,..., w n, wi = a 1j a 2j. a mj Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

49 Álgebra vetorial Álgebra matricial Sejam a = (a 1, a 2,..., a n ) e b = (b 1, b 2,..., b n ) vetores n-dimensionais e r R um escalar. Soma vetorial: a + b = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,..., a n + b n ) Múltiplo escalar: ra = (ra 1, ra 2,..., ra n ) Vetor nulo: 0 = (0, 0,..., 0) Negativo de um vetor: b = ( b 1, b 2,..., b n ) Diferença vetorial: a b = a + ( b) = (a 1 b 1, a 2 b 2,..., a n b n ) Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

50 Álgebra matricial Dado v 1, v 2,..., v k vetores n-dimensionais e r 1, r 2,..., r k escalares, a expressão r 1 v 1 + r 2 v r k v k é chamada uma combinação linear de vetores v 1, v 2,..., v k. Além disso, adição vetorial e multiplicação escalar são chamadas operações lineares. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

51 Álgebra matricial a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Representação vetorial do sistema: a 11 a 12 a 21 x 1. + x a x n a m1 a m2 a 1n a 2n. a mn = b 1 b 2. b m Teorema. O sistema acima é consistente (ou possu solução) se e somente se o vetor do lado direito é uma combinação linear de colunas da matriz de coeficientes. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

52 Álgebra matricial Álgebra matricial Definição. Sejam A = (a ij ) e B = (b ij ) matrizes m n. A soma A + B é definida ser C = (c ij ), a matriz m n, tal que c ij = a ij + b ij para todo índice i, j. Ou seja, duas matrizes com mesmas dimensões podem ser somadas através da soma de suas entradas correspondentes. a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32 + b 11 b 12 b 21 b 22 b 31 b 32 = a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 21 + b 21 a 22 + b 12 a 31 + b 31 a 32 + b 12 Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

53 Álgebra matricial Definição. Dado A = (a ij ), uma matriz m n, e um número r, o múltiplo escalar ra é definido ser D = (d ij ), a matriz m n, tal que d ij = ra ij para todo índice i, j. Ou seja, para multiplicar uma matriz por um escalar r, multiplica-se cada entrada da matriz por r. r a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = ra 11 ra 12 ra 13 ra 21 ra 22 ra 23 ra 31 ra 32 ra 33 Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

54 Álgebra matricial A matriz nula m n (todas as entradas são zeros) é denotada por O mn ou simplesmente O. Negativo da matriz: A é definida como ( 1)A. Matriz diferença: A B é definida como A + ( B). Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

55 Exemplos Álgebra matricial ( A = ( 2 0 C = 0 1 ( A + B = ( 4 0 2C = 0 2 ( 7 3 2C + 3D = 0 5 ) ( 2 0 1, B = ), D = ( ). ), A B = ), 3D = ( ), ( ), ), A + D não é definida. ), Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

56 Álgebra matricial Propriedades das operações lineares (A + B) + C = A + (B + C) A + B = B + A A + O = O + A = A A + ( A) = ( A) + A = O r(sa) = (rs)a r(a + B) = ra + rb (r + s)a = ra + sa 1A = A 0A = O Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

57 Produto interno Álgebra matricial Definição. O produto interno de vetores n-dimensionais x = (x 1, x 2,..., x n ) e y = (y 1, y 2,..., y n ) é um escalar x y = x 1 y 1 + x 2 y x n y n = n x k y k. k=1 O produto interno também é chamado produto escalar. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

58 Multiplicação matricial Álgebra matricial A produto de matrizes A e B é definido se o número de colunas em A coincide com o número de linhas em B. Definição. Seja A = (a ik ) uma matriz m n e B = (b kj ) uma matriz n p. O produto AB é definido ser C = (c ij ), a matriz m p, tal que c ij = n k=1 a ikb kj para todo índice i, j. Ou seja, as matrizes são multiplicadas linha por coluna: ( ) * ( * = * * * * * c ij = produto interno de linha i de A pela coluna j de B. ) Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

59 Álgebra matricial a 11 a a 1n v 1 a 21 a a 2n A = = v 2. a m1 a m2... a mn v m b 11 b b 1n b 21 b b 2n B = = ( ) w 1, w 2,..., w p b m1 b m2... b mn v 1 w 1 v 1 w 2... v 1 w p v 2 w 1 v 2 w 2... v 2 w p AB = v m w 1 v m w 2... v m w p Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

60 Álgebra matricial Exemplos. y 1 y 2. y n ( ) x1, x 2,..., x n y 1 y 2. y n ( n ) = x k y k, k=1 y 1 x 1 y 1 x 2... y 1 x n ( ) y 2 x 1 y 2 x 2... y 2 x n x1, x 2,..., x n = y n x 1 y n x 2... y n x n. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

61 Álgebra matricial Exemplo. ( ) ( = ) ( não está definida ) Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

62 Álgebra matricial Sistema de equações lineares: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Representação matricial do sistema: a 11 a a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn x 1 x 2. x n = b 1 b 2. b m Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

63 Álgebra matricial Propriedades da multiplicação matricial: (AB)C = A(BC) (lei associativa) (A + B)C = AC + BC (primeira lei distributiva) C(A + B) = CA + CB (segunda lei distributiva) (ra)b = A(rB) = r(ab) Qualquer uma das identidades acima valem desde que somas e produtos matriciais estejam bem definidos. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

64 Álgebra matricial Se A e B são matrizes n n, então AB e BA são matrizes bem definidas n n. Entretanto, em geral, AB BA. Exemplo. Sejam A = Então AB = ( ( ) ( 1 1, B = 0 1 ) ( 2 1, BA = 0 1 ). ). Se AB é igual BA, dizemos que as matrizes A e B comutam. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

65 Matrizes diagonais - Matriz inversa Problema. Sejam A e B matrizes n n arbitrárias. (A B)(A + B) = A 2 B 2? É verdade que (A B)(A + B) = (A B)A + (A B)B = (AA BA) + (AB BB) = A 2 + AB BA B 2 Portanto, (A B)(A + B) = A 2 B 2 se e somente se A comuta com B. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

66 Matrizes diagonais Matrizes diagonais - Matriz inversa Se A = (a ij ) é uma matriz quadrada, então as entradas a ii são chamadas entradas diagonais. Uma matriz quadrada é chamada diagonal se todas as entradas que não pertencem a diagonal são zeros. Exemplo , denotada por diag(7, 1, 2). Sejam A = diag(s 1, s 2,..., s n ), B = diag(t 1, t 2,..., t n ). Então A + B = diag(s 1 + t 1, s 2 + t 2,..., s n + t n ), ra = diag(rs 1, rs 2,..., rs n ). Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

67 Matrizes diagonais - Matriz inversa Exemplo = Teorema. Sejam A = diag(s 1, s 2,..., s n ), B = diag(t 1, t 2,..., t n ). Então A + B = diag(s 1 + t 1, s 2 + t 2,..., s n + t n ), ra = diag(rs 1, rs 2,..., rs n ), AB = diag(s 1 t 1, s 2 t 2,..., s n t n ). Em particular, matrizes diagonais sempre comutam. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

68 Matrizes diagonais - Matriz inversa Exemplo a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = 7a 11 7a 12 7a 13 a 21 a 22 a 23 2a 31 2a 32 2a 33 Teorema. Sejam D = diag(d 1, d 2,..., d m ) e A uma matriz m n. Então a matriz DA é obtida de A multiplicando a i-ésima linha por d i para i = 1, 2,..., m: A = v 1 v 2. v m = DA = d 1 v 1 d 2 v 2. d m v m. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

69 Matrizes diagonais - Matriz inversa Exemplo. a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a = 7a 11 a 12 2a 13 7a 21 a 22 2a 23 7a 31 a 32 2a 33 Teorema. Sejam D = diag(d 1, d 2,..., d n ) e A uma matriz m n. Então a matriz AD é obtida de A multiplicando a i-ésima coluna por d i para i = 1, 2,..., n: A = ( w 1, 2 2,..., w n ) = AD = ( d 1 w 1, d 2 2 2,..., d n w n ). Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

70 Matriz identidade Matrizes diagonais - Matriz inversa Definição. A matriz identidade (ou matriz unidade) é uma matriz diagonal com todas entradas diagonais iguais a 1. A matriz identidade n n é denotada por I n ou simplesmente I. I 1 = (1), I 2 = ( ), I Em geral, I = Teorema. Seja A uma matriz m n arbitrária. Então I m A = AI n = A.. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

71 Matriz inversa Matrizes diagonais - Matriz inversa Denote por M n (R) o conjunto de todas matrizes n n com entradas reais. Podemos somar,subtrair e multiplicar elementos de M n (R). E a divisão? Definição. Seja A M n (R). Suponha que exista uma matriz B n n tal que AB = BA = I n. Então a matriz A é dita invertível e B é chamada a inversa de A (denotada por A 1 ). Uma matriz quadrada não-invertível é dita singular. AA 1 = A 1 A = I Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

72 Exemplos Matrizes diagonais - Matriz inversa A = ( ( 1 1 AB = 0 1 ( 1 1 BA = 0 1 ( 1 0 C 2 = 0 1 ) ( 1 1, B = 0 1 ) ( ) 1 1 = 0 1 ) ( ) 1 1 = 0 1 ) ( ) ( 1 0, C = 0 1 ( ( ) ( 1 0 = 0 1 Assim, A 1 = B, B 1 = A e C 1 = C. ), ), ). ). Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

73 Matrizes diagonais - Matriz inversa Propriedades básicas de matrizes inversas: Se B = A 1 então A = B 1. Em outras palavras, se A é invertível, então A 1 também é, e A = (A 1 ) 1. A matriz inversa (se esta existe) é única. Além disso, se AB = CA = I para quaisquer matrizes B, C M n (R) então B = C = A 1. De fato, B = IB = (CA)B = C(AB) = CI = C. Se as A, B M n (R) são invertíveis, então AB também é, e (AB) 1 = B 1 A 1. B 1 A 1 (AB) = B 1 (A 1 A)B = B 1 IB = B 1 B = I, (AB)(B 1 A 1 ) = A(BB 1 )A 1 = AIA 1 = AA 1 = I. Similarmente, (A 1 A 2... A k ) 1 = A 1 k... A 1 2 A 1 1. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

74 Outros exemplos D = D 2 = ( ( Matrizes diagonais - Matriz inversa ) ( 1 1, E = 1 1 ) ( ) = ). ( ). Segue que D não é invertível, caso contrário E 2 = D 2 = O = D 1 D 2 = D 1 O = D = O. ( ) ( ) ( ) = = 2E Segue que E não é invertível, caso contrário E 2 = 2E = E 2 E 1 = 2EE 1 O = E = 2I. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

75 Matrizes inversa Invertendo matrizes diagonais Teorema. Uma matriz diagonal D = diag(d 1, d 2,..., d n ) é invertível se e somente se todas suas entradas diagonais são não-nulas: d i 0 para 1 i n. Se D é invertível então D 1 = diag(d1 1, d 2 1,..., d n 1 ). 1 d d d d = d n dn 1 Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

76 Matrizes inversa Invertendo matrizes diagonais Teorema. Uma matriz diagonal D = diag(d 1, d 2,..., d n ) é invertível se e somente se todas suas entradas diagonais são não-nulas: d i 0 para 1 i n. Se D é invertível então D 1 = diag(d 1 1, d 1 2,..., d 1 n ). Prova: Se todo d i 0 então, claramente, diag(d 1,..., d n )diag(d1 1,..., d n 1 ) = diag(1, 1,..., 1) = I diag(d1 1,..., d n 1 1,..., d n ) = diag(1, 1,..., 1) = I Agora suponha que d i = 0 para algum i. Então para qualquer matriz B n n a i-ésima linha da matriz DB é uma linha de zeros. Então DB I. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

77 Matrizes inversa Invertendo matrizes 2-por-2 Definição. O determinante de uma matriz 2 2 ( ) a b A = é det A = ad bc. c d ( ) a b Teorema. Uma matriz A = é invertível se e somente se det A c d 0. Se det A 0 então ( ) 1 a b = c d 1 ad bc ( d b c a ). Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

78 Matrizes inversa ( ) a b Teorema. Uma matriz A = é invertível se e somente se det A c d 0. Se det A 0 então ( ) 1 a b = c d ( d b Prova: Seja B = c a ). Então 1 ad bc ( d b c a ). ( ad bc 0 AB = BA = c ad bc ) = (ad bc)i 2. No caso que det A 0, temos A 1 = (det A) 1 B. No caso que det A = 0, a matriz A não é invertível, caso contrário AB = O = A 1 AB = A 1 O = B = O = A = O, mas a matriz nula é singular. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

79 Matrizes inversa { 4x + 3y = 5 Problema. Resolver um sistema 3x + 2y = 1. O sistema é equivalente a equação matricial ( ) ( x y ) = ( 5 1 ( ) 4 3 Seja A =. Temos que det A = Então é A é invertível. Vamos multiplicar os dois lados da equação matricial por A 1 pela esquerda: ( ) 1 ( ) ( x y ) = ( ). ) 1 ( 5 1 ), ( x y ) = ( ) 1 ( 5 1 ) = 1 ( ) ( 5 1 ) = ( ). Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

80 Matrizes inversa Sistema de n equações lineares em n variáveis: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 Ax = b, a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n em que a 11 a a 1n a 21 a a 2n A =......, x = a n1 a n2... a nn x 1 x 2. x n, b = b 1 b 2. b n. Teorema. Se a matriz A é invertível então o sistema tem uma solução única, que é x = A 1 b. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

81 Matrizes inversa Problema. Resolver a equação matricial XA + B = X, em que ( ) ( ) A =, B = Como B é uma matriz 2 2, segue que XA e X também são matrizes 2 2. XA + B = X X XA = B X (I A) = B X = B(I A) 1 desde que I A é uma matriz invertível. ( ) 3 2 I A =. 1 0 Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

82 Matrizes inversa I A = ( ), det(i A) = ( 3) 0 2 ( 1) = 2, (I A) 1 = 1 2 ( ), ( ) 5 2 X = B(I A) 1 = 3 0 ( ) ( ) = = 1 2 ( ) ( ) 2 16 = 0 6 ( ). Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

83 Matrizes inversa Resultados fundamentais sobre matrizes inversas Teorema 1 Dada uma matriz quadrada A, as seguintes afirmações são equivalentes: (i) A é invertível; (ii) x = 0 é a única solução da equação matricial Ax = 0; (iii) a forma escalonada por linhas de A não tem linhas nulas; (iv) a forma escalonada reduzida de A é a matriz identidade. Teorema 2 Suponha que uma sequência de operações elementares de linha converte a matriz A na matriz identidade. Então a mesma sequência de operações converte a matriz identidade na matriz inversa A 1. Teorema 3 Para quaisquer matrizes A e B n n, BA = I AB = I. Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84

84 Matrizes inversa Forma escalonada por linhas de uma matriz quadrada: Renato Martins Assunção (DCC - UFMG) Análise Numérica / 84