determinantes rita simões departamento de matemática - ua

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1 determinantes rita simões departamento de matemática - ua

2 determinante de uma matriz sejam l,..., l n as linhas de uma matriz do tipo n n; para cada n N, existe uma única função D : M n n R tal que: () D é linear para cada linha, ou seja, para cada i {,..., n} e todo α R e todas as linhas l,..., l n e l i : (a)d(l,..., l i + l i,..., l n) = D(l,..., l i,..., l n ) + D(l,..., l i,..., l n), (b)d(l,..., αl i,..., l n ) = αd(l,..., l i,..., l n ); (2) D é alternada, ou seja, para todas as linhas l,..., l i,..., l j,..., l n com l i = l j, D(l,..., l i,..., l i,..., l n ) = 0; (3) D(I n ) =. a esta função chamamos determinante, e denotamos por det; para uma matriz A = [a i,j ] M n n escrevemos também A ou a i,j, em vez de det(a) ou det ([a i,j ]). alga (TP2-5)

3 determinante de uma matriz a função D anterior satisfaz ainda as seguintes condições: D(l,..., l i + αl j,..., l j,..., l n ) = D(l,..., l i,..., l j,..., l n ), α R; D(l,..., l i,..., l j,..., l n ) = D(l,..., l j,..., l i,..., l n ). interpretação geométrica: sejam l,..., l n vectores de R n e seja P o paralelepípedo cujas arestas são l,..., l n, que se encontram no ponto (0,..., 0); o volume (ou área, no caso n = 2) de P é igual ao valor absoluto do determinante da matriz cujas linhas são l,..., l n. exemplos: a área do paralelogramo definido pelos vetores (, ) e (3, 4) é dado pelo valor absoluto do determinante 3 4 ; o volume do paralelepípedo definido pelos vetores (0,, ), (, 2, ) e (, 3, 4) é dado pelo valor 0 absoluto do determinante alga (TP2-5)

4 como calcular o determinante de uma matriz? no caso de matrizes do tipo prova-se que det[a] = a; e no caso de matrizes do tipo 2 2 verifica-se que: det a b = ad bc c d exemplos: det [ ] 4 = 4 det [ ] 6 = 6 det [ ] [ ] 2 det = 4 3 = det = 0 ( 2) 5 = [ ] 0 = 0 no caso de matrizes do tipo n n, com n 3, teremos dois processos; o primeiro é um algoritmo baseado no próximo resultado e o segundo é o denominado Teorema de Laplace; proposição: se A é uma matriz triangular superior (ou inferior) então o seu determinante é o produto dos seus elementos da diagonal principal. alga (TP2-5)

5 algoritmo para o cálculo do determinante pelo resultado anterior e, atendendo à definição de determinante, para calcular o determinante de uma matriz n n basta escalonar a matriz até obter uma matriz triangular e aplicar as propriedades dadas pela definição. nota: as operações elementares alteram o determinante da seguinte forma: se for do tipo L i := L i + αl j, não muda o valor do determinante; exemplo: = }{{} L 2 := L 2 +L se for do tipo L i L j, muda o sinal do valor do determinante; exemplo: = }{{} L 2 L se for do tipo L i := αl i, multiplica o determinante por α. exemplo: = }{{} L 2 := 2 L alga (TP2-5)

6 algoritmo para o cálculo do determinante exemplos: vamos calcular o determinante da matriz A = ; primeiro escalonamos até obter uma matriz triangular superior: 7 5 A = L 2 := L L L := L 3 7L 0 7 L 3 := L 3 2L = A como apenas se efectuámos operações do tipo L i := L i αl j, o valor do determinante não se altera; logo det(a) = det(a ) = 8 = 8. 5 vamos agora calcular o determinante da matriz B = ; como B = L 2 L L 2 := L 5 2 L L := 3 L = B como efectuámos uma operação do tipo L i L j e outra do tipo L i := 3 L i, o valor do determinante sofre duas alterações; logo det(a) = 3 det(a ) = 3 ( 2 ( )) = 6. alga (TP2-5)

7 teorema de Laplace exercício: calcule os seguintes determinantes: (a) soluções: (a) 0; (b) ; (b) seja A = [a ij ] M n n ; chamamos cofactor da entrada (i, j), e representamos por C ij, a C ij = ( ) i+j det(a(i j)), onde A(i j) representa a matriz que se obtém de A eliminando a linha i e a coluna j. exemplo: o cofactor da entrada (2, 3) da matriz da aĺınea (a) do exercício anterior é C 23 = ( ) 2+3 = ( 2 ( ) 3) = teorema de Laplace: o determinante de uma matriz A M n n é o número real obtido da seguinte forma: escolhemos uma linha (ou uma coluna); multiplicamos cada entrada dessa linha (ou coluna) pelo seu cofactor e somamos esses resultados. alga (TP2-5)

8 regra de Sarrus exemplo: para calcular o determinante da matriz A = terceira coluna: , escolhemos, por exemplo, a det(a) = ( ) C C C 33 = C 3 + 3C 23 = ( ) ( ) = (0 ( 4) 2 2) 3 (3 ( 4) 2 2) = 52 regra de Sarrus: para calcular o determinante de matrizes 3 3 podemos também aplicar a regra de Sarrus: a a 2 a 3 a a 2 a 2 a 22 a 23 a 2 a 22 = a a 22a 33 + a 2a 23a 3 + a 3a 2a 32 a 3 a 32 a 33 a 3 a 32 a 3 a 22 a 3 a 32 a 23 a a 33 a 2 a 2 alga (TP2-5)

9 propriedades do determinante propriedades dos determinantes: sejam A, B M n n ; então: det(ab) = det(a) det(b); det(αa) = α n det(a); det ( A t) = det(a); A é invertível sse det(a) 0 e, nesse caso, det ( A ) = det(a). exemplo: sejam A, B M 4 4 tais que det(a) = 3 e det(b) = 2 ; então det ( 2A t BA ) = 2 4 det ( A t) ( det(b) det A ) = 6 det (A) det(b) det (A) = 8 exercício: sejam A, B M 3 3 tais que det(a) = 2 e det(b) = 4 ; calcule: ( (a) det AB A t) ( ) ; (b) det (3A) ; (c) det B A 4 B ; ( ( (d) det ( B) ; (e) det A ) ) ( t ( ; (f) det B ) ) t. 2 soluções: (a) 6; (b) 54; (c) 6; (d) 4 ; (e) ; (f) 2. 2 alga (TP2-5)

10 matriz adjunta seja A uma matriz do tipo n n; chamamos matriz adjunta de A, e denotamos por adj(a), à transposta da matriz cujos coeficientes são os [ ] t. cofactores de A, isto é, adj(a) = C ij 3 2 exemplo: a matriz ajunta da matriz A = 6 3 é t C C 2 C adj(a) = C 2 C 22 C 23 = C 3 C 32 C t = teorema: seja A M n n invertível; então A = exemplo: do exemplo anterior, como det(a) = 64 (porquê?), então 3 A = = det(a) adj(a) alga (TP2-5)

11 sistemas de Cramer seja A uma matriz do tipo n n; dizemos que o sistema de equações lineares Ax = b é um sistema de Cramer se a matriz A é invertível. x + y z = exemplo: o sistema de equações lineares 2x + 3z = 0 é um sistema de Cramer; de facto, a matriz 2 x y + 2z = 3 do sistema A = é invertível pois det(a) = 4 0 (porquê?). 2 consideremos um sistema de Cramer Ax = b então Ax = b A (Ax) = A b I n x = A b x = A b ou seja, o sistema é possível e determinado e a sua única solução é x = A b. [ t exemplo: consideremos o sistema de Cramer do exemplo anterior, como b = 0 3] e 3 A = (porquê?) 4 então a sua solução é x = = alga (TP2-5)

12 regra de Cramer dado um sistema de Cramer, existe um método para calcular a sua (única) solução, conhecido como a regra de Cramer; assim, dado um sistema de Cramer Ax = b, se x = (x, x 2,..., x n ) é a solução então x i = det(a[i b]), com i {, 2,..., n} det(a) onde A[i b] é a matriz que se obtém de A substituindo a coluna i pela coluna dos termos independentes do sistema b. x + y + z = 2 exemplo: para encontrar a solução do sistema 2x y + 2z = 2, utilizando a regra de Cramer, x y 3z = 6 primeiro, devemos escrever a matriz A dos coeficientes do sistema e calcular o seu determinante: det(a) = 2 2 = 2. (porquê?) 3 alga (TP2-5)

13 regra de Cramer de seguida, devemos determinar A[ b], ou seja, substituir a primeira coluna da matriz dos coeficientes pela coluna dos termos independentes do sistema 2, 2 e 6, e calcular o determinante: 2 det(a[ b]) = 2 2 = 36. (porquê?) 6 3 agora, fazemos o mesmo com a segunda coluna da matriz dos coeficientes das incógnitas. 2 det(a[2 b]) = = 48. (porquê?) 6 3 repetindo o mesmo procedimento para a terceira coluna, obtemos: 2 det(a[3 b]) = 2 2 = 60. (porquê?) 6 segundo a regra de Cramer, a solução do sistema é ( 36 (x, y, z) = 2, 48 2, 60 ) = (3, 4, 5). 2 alga (TP2-5)