Testes e Sebentas. Exercícios resolvidos de Álgebra Linear (Matrizes e Determinantes)

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1 Testes e Sebentas Exercícios resolvidos de Álgebra Linear (Matrizes e Determinantes)

2 Índice: 1. Matrizes 1.1. Igualdade de matrizes Transposta de uma matriz Multiplicação por um escalar Produto entre matrizes Propriedades do produto entre matrizes Matrizes invertíveis Operações elementares sobre uma matriz Forma escalonada de uma matriz Algoritmo para a inversão de matrizes 8 2. Determinantes 2.1. Cálculo de determinates Propriedades dos determinantes Resolução de sistemas Sistemas de Cramer Sistemas Homogéneos Característica da matriz Discussão de sistemas

3 1. Matrizes 1.1. Igualdade de matrizes: Para que valores de e de as matrizes A e B são iguais? A = B = A = B = 1.2. Transposta de uma matriz: Considere as matrizes A, B e C. Calcule se possível: 1. A T + B 2. ( C A T ) T A = B = C = 1. A T + B Não é possível porque as matrizes têm ordens diferentes. Ordem: A T (3 2) B (3 2) 2. ( C A T ) T = C T A = = 1.3. Multiplicação por um escalar: Considere as matrizes A e C. Calcule: 3A ½ C T A = B = 3A ½ C T = = 3

4 1.4. Produto entre matrizes: 1. Considere as matrizes A e B. Calcule o produto: a. AB b. BA A = B = T a. AB = [ ( 2) 4] = [ 3] b. BA = = 2. Calcule todos os produtos possíveis (com 2 factores) com as seguintes matrizes: A = B = C = 3 D = E = I = CD = = IB = = CA = = = BC = = = DE = = 4

5 EA = = = BI = = = 1.5. Propriedades do produto entre matrizes: 1. Simplifique: A(BC 2CB) + A(2C B)C + (BA AB)C A(BC 2CB) + A(2C B)C + (BA AB)C = ABC 2ACB + (2AC AB)C + BAC ABC = ABC 2ACB + 2ACC ABC + BAC ABC = 2ACB + 2ACC ABC + BAC 2. Sendo A = e AB =, determine a 1ª e 2ª colunas de B = 3. Considere A = e B = ; resolva a seguinte equação matricial: BA + 5X = A BA + 5X = A 5X = A BA X = 1/5(A BA) 5

6 BA = = A BA = = X = 1/5(A BA) = 1/5 4. Dizemos que uma matriz M é simétrica se M = M. Supondo que A e B são matrizes simétricas tais que AB = BA, prove que AB também é simétrica. Hipótese: A é simétrica: A T = A B é simétrica B T = B AB = BA Tese: AB é simétrica: (AB) T = AB (AB) T = B T A T = BA = AB AB é simétrica, c.q.d Matrizes Invertíveis 1. Simplifique C T B(AB) 1 (C A T ) T Resolução : C T B(AB) 1 (C A T ) T = C T BB 1 A 1 (A T ) T (C 1 ) T = C T IA 1 A(C 1 ) T = C T II(C 1 ) T = C T (C 1 ) T = C T (C T ) 1 = I 2. Sejam A e B matrizes invertíveis; resolva as seguintes equações matriciais: a. AX + A 2 = B b. B 1 X 1 = AB 2 6

7 a. AX + A 2 = B A 1 AX = A 1 (B+A 2 ) X = A 1 B A 1 AA X = A 1 B A b. B 1 X 1 = AB 2 BB 1 X 1 = BAB 2 (X 1 ) 1 = (BAB 2 ) 1 X = (B 2 ) 1 A 1 X = B 2 A 1 B 1 3. Determine X tal que: (X 1 3I) T = 2 (X 1 3I) T = 2 [(X 1 3I) T ] T = T X 1 3I = X 1 = + 3 X 1 = + (X 1 ) 1 = 1 X = Operações elementares sobre uma matriz : Efectue operações elementares sobre a matriz A = de modo a obter uma matriz do tipo triangular superior. 7

8 1.8. Forma escalonada de uma matriz: Calcule a forma escalonada da seguinte matriz: A = A = forma escalonada reduzida de A forma escalonada de A 1.9. Algoritmo para a inversão de matrizes: Calcule a inversa da matriz A = e da matriz B = [ A I ] = = [ I A 1 ] A 1 = [ B I ] = 8

9 = [ I B 1 ] B 1 = 1/2 2. Determinantes 2.1. Cálculo de determinantes: 1. Calcule os seguintes determinantes: a) A = b) B = c) C = a. = 3 ( 2) 4 1 = 6 4 = 10 b. Pela Regra de Sarrus: = ( 1) ( 1) = 104 c. det B = 0 C C C C41 = M21 = 9

10 = = ( 1 C C C31) = = C11 C31 = M11 M31 = = = (0 24) (3 9) = = Propriedades dos determinantes: Sejam A, B M3 3 (R) tais que det A = 2 e det B = ¼ Calcule: 1. det (2A) 2. det (A 4 B T ) 3. det ( B) 4. det (5A T B) 5. det (AB 1 A T ) 6. det (B 1 A 2 B) 7. det [1/2 (B 1 ) T ] 1. det (2A) = 23 det A = 8 det A = 8 ( 2) = det (A 4 B T ) = det (A 4 ) det (B T ) = det(a 4 ) det B = = det A det A det A det A det B = (det A) 4 det B = ( 2) 4 1/4 = = 4 3. det ( B) = 1 3 det B = det B = 1/4 4. det (5A T B) = 5 3 det (A T B) = 5 3 det(a T ) det B = = 5 3 det A det B = 125 ( 2) (1/4) = 125/2 5. det (AB 1 A T ) = det A det (B 1 ) det (A T ) = det A (1/det B) det A = = 2 4 ( 2) = det (B 1 A 2 B) = det (B 1 ) det (A 2 ) det (B) = = (1/det B) (det A) 2 det B = ( 2) 2 = 4 7. det [1/2 (B 1 ) T ] = (1/2) 3 det[(b 1 ) T ] = (1/8) det (B 1 ) = = (1/8) (1/det B) = ½ 2.3. Resolução de sistemas : Resolve os seguintes sistemas:

11 C.S. = 2. SIST. IMP. C.S. =

12 C.S. = 2.4. Sistemas de Cramer: Verifique se os seguintes sistemas são de Cramer: A = det A = 2 ( 2) 3 1 = 4 3 = 7 0 É sistema de Cramer. 2. A = det A = 1 C11 = M11 = = 2 2 = 0 Não é sistema de Cramer Sistemas homogéneos: Considere o sistema 1. Mostre que (-2, 1, 0) é a solução do sistema dado. 2. Determine o conjunto solução desse sistema. 12

13 1. AX = B onde A =, X = e B = X1 = AX1 = B AX1 = = = = B 2. Pela alínea anterior, X1 = Sistema homogéneo associado: AX = 0 SIST. POSS. E INDET. (grau de ind. = 1) C.S.M = C.S. = = 2.6. Característica da matriz: Diga qual a característica das seguintes matrizes: A = B = C = SIST. IMP. SIST. POSS. E IND. SIST. POSS. E DET. A) car A = 2 Car (A B) = 3 B) car A = 2 car (A B)=2 n.º inc. = 3 C) car A = 3 car(a B) = 3 n.º inc. =

14 2.7. Discussão de Sistemas: Discute os sistemas em função dos parâmetros: Caso 1: se (3 5k)/2 = 0 k = 3/5 car A = 2 car(a A) = 2 n.º inc. = 3 Se k = 3/5 então SIST. POSS. E IND. (grau de ind. = 3 2 = 1) Caso 2: se (3 5k)/2 0 k 3/5 car A = 3 car (A B) = 3 n.º inc. = 3 Se k R\ então SIST. POSS. E DET. 2. = 14

15 Caso 1: se a 1 = 0 a = 1 então = car A = 1 car(a B) = 1 n.º inc. = 3 Se a = 1 então SIST. POSS. E IND. (grau de ind. = 3 1 = 2) Caso 2: se a 1 0 a 1 então Caso 2.1: se 2 a = 0 a = 1 a = 2 = car A = 2 car(a B) = 3 Se a = 2 (a 1) então SIST. IMP. Caso 2.2: se 2 a 0 a 1 a 2 car A = 3 car(a B) = 3 n.º inc. = 3 Se a 1 e a 2 então SIST. POSS. E DET. 3. = Caso 1: se c = 0 então: = Caso 1.1: se 1 + (d/2) = 0 d = 2 então car A = 2 car(a B) = 2 n.º inc. = 3 Se c = 0 e d = 2 então SIST. POSS. E IND. (grau de ind. = 3 2 = 1) 15