= o A MATRIZ IDENTIDADE. a(i, :) = (aii, ai2,, ai.) i = 1,, m

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1 Matrizes e Sistemas de Equações 9 para toda matriz A n X n. Vamos discutir, também, a existência e o cálculo de inversas multiplicativas. A MATRIZ IDENTIDADE Uma matriz muito importante é a matriz / n X n com ao longo da diagonal e fora da diagonal. Então, / = (8d, onde = o se i = j se i Se A é qualquer matriz n X n, AI = M = A. A matriz / age como uma identidade para a multiplicação de matrizes n X ne conseqüentemente é denominada matriz identidade. Por exemplo, e ( ( = ( ( ( = Em geral, se B é uma matriz m X n qualquer e C é uma matriz n X r qualquer, então BI =B e /C=C Notação. conjunto de todas as n-uplas de números reais é chamado de espaço euclidiano de dimensão n e é denotado por Rn. s elementos de Rn são chamados de vetores. Entretanto, observe que a solução da equação matricial AX = B é uma matriz n X, e não uma n-upla. Em geral, ao trabalhar com equações matriciais, é mais conveniente pensar em cada elemento de Rn CM um vetor coluna (matriz n X, em vez de vetor linha (matriz X n. A notação padrão para um vetor coluna é uma letra minúscula em negrito: ( 8 Xi X X = n XT = (Xi,, Xn vetor coluna vetor linha Seguindo essa convenção, vamos passar a usar a notação Ax = b, ern vez de AX = B, para representar um sistema de equações lineares. Dada uma matriz A m x n, é muitas vezes necessário fazer referência a uma determinada linha ou coluna. Vamos denotar a i-ésima linha de A por a(i, : e a j-ésima coluna por a(:, j. Vamos trabalhar principalmente com colunas. Por essa razão, vamos simplificar a notação usando ai no lugar de a(:, j. Como as referências a vetores linhas são bem menos freqüentes, não simplificaremos a notação para vetores linhas. Resumindo, se A é uma matriz m x n, as linhas de A são dadas por e as colunas, por a(i, : = (aii, ai,, ai. i =,, m (ali a j aj = a(:, j =. j =,..., n ami

2 0 Álgebra Linear com Aplicações Analogamente, se B é uma matriz n x r, então B = (bi,, b,.. A única exceção é a matriz identidade. A notação padrão para a j-ésima coluna de / é em vez de A matriz identidade n X n, então, é escrita na forma /, en MATRIZES DIAGNAIS E TRIANGULARES Uma matriz A n X né dita triangular superior se au = sempre que i > j; ela é triangular inferior se au = sempre que i < j. Além disso, A é simplesmente triangular se for triangular superior ou inferior. Por exemplo, as matrizes ( ( e 5 são ambas triangulares. A primeira é triangular superior, e a segunda é triangular inferior. Uma matriz triangular pode ter na diagonal. No entanto, para um sistema linear Ax = b estar em forma triangular, a matriz de coeficientes A tem que ser triangular sem elementos nulos na diagonal. Uma matriz An X né diagonal se au = sempre que i * j. As matrizes (ol ( ( são todas diagonais. Uma matriz diagonal é, ao mesmo tempo, triangular superior e inferior. INVERSÃ DE MATRIZES Definição. Uma matriz An X né dita invertível ou não -singular se existe uma matriz B tal que AB = BA = L A matriz B é uma inversa multiplicativa de A. Se B e C são ambas inversas multiplicativas de A, então B = BI = B(AC = (B AC = I C = C Logo, uma matriz pode ter, no máximo, uma inversa multiplicativa. Vamos chamar a inversa multiplicativa de uma matriz não-singular A simplesmente de inversa de A e denotá-la por EXEMPL. As matrizes são inversas uma da outra, já que e ( ( EXEMPL. As matrizes triangulares e -gt --g -g (0 o ( ( ( 0 = 7 5 ( e 5

3 Matrizes e Sistemas de Equações são inversas uma da outra, já que e EXEMPL. A matriz ( ( 5 ( 0 ( = 00 A ( não tem inversa. De fato, se B é qualquer matriz X, então Logo, BA não pode ser igual a L BA = ( bn \ bn b b ( = - I E Definição. Uma matriz é diia singular ou não-invertivel se ela não tem uma inversa multiplicativa. S ISTEMAS EQUIVALENTES Dado um sistema linear n X n Ax = b, podemos obter um sistema equivalente multiplicando ambos os lados da equação matricial por uma matriz invertível M. ( Ax = b ( MAx= Mb É claro que qualquer solução de ( é também uma solução de (. Por outro lado, se é uma solução de (, então M-(MMI= M-(Mb Ai = b de modo que os dois sistemas são equivalentes. Para chegar a um sistema equivalente que seja mais fácil de resolver, podemos multiplicar os dois lados da equação Ax = b por uma série de matrizes invertíveis Ek, obtendo Ux = c onde U = Ek.-E,A e c = Ek*.Eib. Esse novo sistema vai ser equivalente ao sistema original desde que M = Ek E, seja invertível. Entretanto, M é um produto de matrizes invertíveis. teorema a seguir mostra que qualquer produto de matrizes invertíveis é invertível. Teorema... Se A e B são matrizes invertíveis n X n, então AB é invertível e (AB- = Demonstração (B'A-AB = B-(A-AB = -B = I (AB(B-A-= A(BB-A- = AA- = I [ Por indução, segue que se Ei, Ek são todas invertfveis, então o produto EiE- -Ek é invertível e (Ei E Ek- = Ek- E-E-

4 Álgebra Linear com Aplicações Vamos mostrar a seguir que podemos efetuar qualquer uma das operações elementares sobre as linhas de uma matriz A multiplicando A por uma matriz invertível à esquerda. MATRIZES ELEMENTARES Uma matriz obtida a partir da matriz identidade /por uma das operações elementares é chamada de matriz elementar. Existem três tipos de matrizes elementares, uma para cada operação elementar. Tipo I Uma matriz elementar do tipo I é obtida trocando -se a ordem de duas linhas de L EXEMPL. Seja é uma matriz elementar do tipo II. ( I Ei ( E, é uma matriz elementar do tipo I, já que foi obtida trocando-se as duas primeiras linhas de /. Seja A uma matriz X. El A = ( aii ai ai AE = a a a a a a (ali ai al a a a an a a ai an a a a a ( ( ( a a a = aii ai an an a a a a ai aii ao = a a a a a a Multiplicando A à esquerda por Ei, trocamos as duas primeiras linhas de A. Multiplicar A à direita por E, equivale a efetuar a operação elementar sobre colunas que consiste na troca das duas primeiras colunas de A. E Tipo II Uma matriz elementar do tipo II é uma matriz obtida multiplicando-se uma linha de / por uma constante não-nula. EXEMPL 5. E = al ai a a a a ( aii ai ai aii ai an az' a a = an a a an a a an a a A multiplicação à esquerda por E efetua a operação elementar sobre as linhas que consiste em multiplicar a terceira linha por, enquanto a multiplicação à direita por E efetua a operação elementar sobre as colunas que consiste em multiplicar a terceira coluna por.

5 Matrizes e Sistemas de Equações Tipo III Uma matriz elementar de tipo III é uma matriz obtida de / somando-se um múltiplo de uma das linhas à outra linha. EXEMPL. E = é uma matriz elementar do tipo III. Se A é uma matriz X, então all + a ai + a ai + a E A = a a a a a a A E = ( an al ai I + ai a a a a a a - a Multiplicação à esquerda por E soma vezes a terceira linha à segunda. Multiplicação à direita por E soma vezes a primeira coluna à terceira. E Em geral, suponha que E é uma matriz elementar n X n. Podemos pensar em E como sendo obtida de / por uma operação elementar sobre as linhas ou sobre as colunas. Se A é uma matriz n X r, multiplicar A por E à esquerda tem o efeito de efetuar a mesma operação sobre as linhas de A. Se B é uma matriz m X n, multiplicar B por E à direita equivale a efetuar a mesma operação sobre as colunas de B. Teorema... Se E é uma matriz ekmentar, então E é invertível e E- é uma matriz elementar do mesmo tipo. Demonstração. Se E é uma matriz elementar do tipo I obtida trocando-se as i-ésima e j-ésima linhas, então podemos transformar E de volta em / trocando as mesmas linhas novamente. Isso significa que EE = I e, portanto, E é sua própria inversa. Se E é uma matriz elementar do tipo II obtida multiplicandose a i-ésima linha de A por um escalar não-nulo a, então E pode ser transformada de volta na identidade por uma multiplicação da sua i-ésima linha ou coluna por /a. Então E- = /ot i-ésima linha k / Por fim, suponha que E é uma matriz elementar do tipo III obtida de / somando-se m vezes a i-ésima linha à j-ésima linha. E = ésima linha j- ésima linha

6 Álgebra Linear com Aplicações E pode ser transformada de volta em / subtraindo-se m vezes sua i-ésima linha de sua j-ésima linha, ou subtraindo-se m vezes sua j-ésima coluna de sua i-ésima coluna. Então, / E-I = m \ Definição. Uma matriz B é equivalente por linhas a A se existe uma seqüência finita de matrizes elementares El, E, Ek tal que B = EkEk_i El A Em outras palavras, B é equivalente por linhas a A se B puder ser obtida de A por um número finito de operações elementares. Em particular, duas matrizes aumentadas (Alb e (Blc são equivalentes por linhas se e somente se os sistemas Ax = b e Bx = c são equivalentes. As propriedades a seguir, para matrizes equivalentes por linhas, são conseqüências do Teorema... (i Se A é equivalente por linhas a B, então B é equivalente por linhas a A. (ii Se A é equivalente por linhas abebé equivalente por linhas a C, então A é equivalente por linhas a C. s detalhes das demonstrações de (i e (ii são deixados a cargo do leitor. Teorema... Seja A uma matriz n X n. Então, as seguintes afirmações são equivalentes: (a A é invertível; (b Ax = tem apenas a solução trivial ; (c A é equivalente por linhas a L Demonstração. Vamos provar primeiro que (a implica (b. Se A é invertível e é uma solução de Ax =, então = /i = (A-A0 = A-I (Ai = A-0 = Logo, Ax = tem apenas a solução trivial. Vamos mostrar agora que (b implica (c. Usando operações elementares, o sistema pode ser transformado em um sistema da forma Ux =, onde U está em forma escada. Se um dos elementos da diagonal de U fosse igual a zero, a última linha de U seria nula. Mas então Ax = seria equivalente a um sistema com mais incógnitas que equações e portanto, pelo Teorema.., teria uma solução não-trivial. Logo, U tem que ser uma matriz triangular com todos os elementos diagonais iguais a. Segue, então, que / é a forma escada reduzida por linha de A e, portanto, A é equivalente por linhas a /. Finalmente, vamos provar que (c implica (a. Se A é equivalente por linhas a /, existem matrizes elementares E,, E,..., E, tais que A = EkEk_i Ei/ = EkEk - Ei Como Ei é invertível para i =, k, o produto EkEk_i E, também é invertível. Logo, A é não-singular e A-I = (EkEk-i = EIT. Corolário 7... sistema n de equações lineares com n incógnitas Ax = b tem uma única solução se e somente se A é invertível.

7 Matrizes e Sistemas de Equações 5 Demonstração. Se A é invertível, então A-b é a única solução de Ax = b. Por outro lado, suponha que Ax = b tem uma única solução fl. Se A fosse singular, Ax = teria uma solução z. Seja y = + z. É claro que y ft e Ay = z = -I- Az = b+0= b Então y é também uma solução de Ax = b, o que é uma contradição. Portanto, se Ax = b tem uma única solução, A tem que ser invertível. Se A é invertível, então A é equivalente por linhas a /, logo existem matrizes elementares Ei,..., E, tais que EkEk_i EIA = / Multiplicando ambos os lados dessa equação à direita por A-, obtemos EkEk_i El/ = A- Logo, a mesma seqüência de operações elementares que transforma uma matriz invertível A em / transforma / em A-. Isso nos dá um método para calcular A-. Aumentando a matriz A com / e efetuando as operações elementares que transformam A em / sobre as linhas da matriz aumentada, / vai ser transformada em A-. Em outras palavras, a forma escada reduzida por linhas da matriz aumentada (Ali é (/A-. EXEMPL 7. Calcule A- se solução ( A = ( ( ( Portanto, ( 5 _ 5 = ( 5 ( 5 A- a a a EXEMPL 8. Resolva o sistema xi x x = xl x El x x x = 8 A matriz de coeficientes desse sistema é a matriz A do último exemplo. Logo, a solução do sistema é

8 Álgebra Linear com Aplicações EXERCÍCIS - - x = A-lb = ( Z "," 5 (- 8 = ( E. Quais das matrizes a seguir são matrizes elementares? Classifique cada matriz elementar por tipo. R \ (a ib\ ( \ k (c ( (d ( 5 5. Encontre a inversa de cada uma das matrizes do Exemplo. Para cada matriz elementar, verifique que sua inversa é uma matriz elementar do mesmo tipo.. Para cada par de matrizes dado a seguir, encontre uma matriz elementar E tal que EA = B. (a A = ( 5 (b A = ( (c A = ( \ ' 5,, B = (- 5 ( B = ( B =. Para cada par de matrizes dado a seguir, encontre uma matriz elementar E tal que AE = B. (a A = (b A = 5. Considere as matrizes ( (c A = ( \ ', ( B = B = (, B = ( 5 5 ( A=, B =, C= 0-- (a Encontre uma matriz elementar E tal que EA = B. (b Encontre uma matriz elementar F tal que FB = C. (c C é equivalente por linhas a A? Explique.. Seja A = ( 5

9 Matrizes e Sistemas'cle Equações 7 (a Encontre matrizes elementares E,, E, E, tais que EEEA = U onde U é uma matriz triangular superior. (b Determine as inversas de Ei, E, E, e defina L = fique que A = LU. 7. Seja (a Verifique que A = ( ( A- = (b Use A- para resolver Ax = b para as seguintes escolhas de b: (i b = (,, T (ii b = (,, T (iii b = (-,, 0T 8. Encontre a inversa de cada uma das matrizes a seguir. (a (- (e ( 9. Dadas (b ( 5 ( 5 (f A = ( 5 (c ( 8 ( (g e B = (i calcule A- e use-a para: (a encontrar uma matriz X X tal que AX = B; (b encontrar uma matriz Y X tal que YA = B. 0. Considere as matrizes. Seja 8 ( 5 ( A = B = C = ' ' Resolva cada uma das equações matriciais a seguir. (a AX + B = C (b XA + B = C (c AX + B = X (d XA + C = X Mostre que, se d = a a aiai *, então A. (aii al C/ a A- = a au, ( d c ai. Que tipo de matriz é L? Veri- (d (h 9 \

10 8 Álgebra Linear com Aplicações. Seja A uma matriz não-singular. Mostre que A- também é não-singular e que (A- - = A.. Prove que, se A é invertível, então AT é invertível e (A T = [Sugestão:, ( By = BT AT.. Seja A uma matriz invertível n X n. Use indução matemática para provar que Arn é invertível e que (Am - = (A- "' para m =,,, A transposta de uma matriz elementar é uma matriz elementar do mesmo tipo? produto de duas matrizes elementares é uma matriz elementar?. Seja U e R matrizes triangulares superiores n X ne seja T = UR. Mostre que T também é triangular superior e que ti; = ujiril para j =, n. 7. Sejam A e B matrizes nxne seja C = AB. Prove que, se B é singular, então C tem que ser singular. [Sugestão: Use o Teorema...] 8. Seja U uma matriz triangular superior com todos os elementos diagonais diferentes de zero. (a Explique por que U tem que ser invertível. (b Explique por que U- tem que ser triangular superior. 9. Sejam A uma matriz invertível n X neb uma matriz n X r. Mostre que a forma escada reduzida por linhas de (AIB é (AC, onde C = A-B. 0. Em geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa (isto é, AB * BA. No entanto, existem certos casos especiais em que a comutatividade é válida. Mostre que: (a se D, e D são matrizes diagonais, então DD = DD,, (b se A é uma matriz nxne B = aol + aia + aa akak onde ao, a,,..., ak são escalares, então AB = BA.. Mostre que, se A é uma matriz simétrica invertível, então A- também é simétrica.. Prove que, se A é equivalente por linhas a B, então B é equivalente por linhas a A.. (a Prove que, se A é equivalente por linhas a B e se B é equivalente por linhas a C, então A é equivalente por linhas a C. (b Prove que duas matrizes invertíveis n X n quaisquer são equivalentes por linha.. Prove que B é equivalente por linhas a A se e somente se existe uma matriz invertível M tal que B = MA. 5. Dado um vetor X E Rn+, a matriz V (n + X (n +, definida por é chamada de matriz de Vandermonde. (a Mostre que, se e então se j = vii = I J- xi para j =,..., n + P(x = V c = y + cx + + cn.fixn p(xi = yi, i =,,..., n (b Suponha que x,, x,..., xn+, são todos distintos. Mostre que, se c é uma solução de Vx =, então os coeficientes c c, c têm que ser todos nulos e, portanto, V tem que ser invertível.