n. 1 Matrizes Cayley (1858) As matrizes surgiram para Cayley ligadas às transformações lineares do tipo:

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1 n. Matrizes Foi um dos primeiros matemáticos a estudar matrizes, definindo a ideia de operarmos as matrizes como na Álgebra. Historicamente o estudo das Matrizes era apenas uma sombra dos Determinantes. Foi Joseph Sylvester, o primeiro a dar um nome ao novo ramo da matemática, mas coube a Arthur Cayley, amigo de Sylvester, não somente a prova, mas também a demonstração das utilidades das Matrizes em 858. Cayley (858) As matrizes surgiram para Cayley ligadas às transformações lineares do tipo: ax + by = Y { cx + dy = X As matrizes servem para representar dados e efetuar o cruzamento de informações.

2 As matrizes são muito utilizadas para a resolução de sistemas de equações lineares e transformações lineares. { x + y z = 5 3 y + z = x + z = 5 3 ] Exemplo: Resultados podem ser apresentados em uma tabela, com as respectivas disciplinas e o aproveitamento de cada turma por disciplina: Matemática Português História Geografia Turma A Turma B Turma C Turma D A partir dessas informações podemos construir uma matriz:

3 Aplicações: Na Engenharia Elétrica: para resolver circuitos, pois envolve sistemas de n equações e n incógnitas. Na Física é feito o uso das matrizes a partir de tabelas relacionando o deslocamento e o tempo. Para calcular um curto circuito ou uma tensão, ou corrente em um sistema de energia. Na Computação Gráfica, editores de imagem, a configuração do próprio teclado. Movimentos rígidos (efeitos especiais de cinema, games, simuladores científicos, pode-se usar matrizes para reproduzir os movimentos de rotação, translação, reflexões). Na economia é uma ferramenta na interpretação de gráficos que também podem ser originados de tabelas que usamos as matrizes. Na Engenharia Civil as matrizes são de extrema importância para a divisão dos metros e distribuição de material na construção de uma estrutura de sustentação (lage), cálculos estruturais. Metereologia. Ocenografia. Nos assuntos ligados à Álgebra, as matrizes são responsáveis pela solução de sistemas lineares. MATRIZES

4 As matrizes são estruturas matemáticas organizadas na forma de tabela com linhas e colunas, utilizadas na organização de dados e informações. Definições:. Ordem: Se a matriz A tem m linhas e n colunas, dizemos que a ordem da matriz é m n. Posição de um elemento: a posição de cada elemento a ij = a( i, j) é indicada pelo par ordenado (i, j). Onde: i = linha j = coluna a ij = a a ij = a 3 a a a 3 A = a a a 3 a 3 a 3 a 33 ]

5 Figura disponível em: 3. Notação para a matriz: Indicamos uma matriz por letras maiúsculas A, B, C, D,..., P,... O símbolo P m n (R) indicará o conjunto de todas as matrizes de ordem m n de elementos reais. 4. Diagonal principal: A diagonal principal da matriz é indicada pelos elementos da forma a( i, j) onde i = j. a a a 3 A = a a a 3 a 3 a 3 a 33 ] 5. A diagonal secundária de uma matriz quadrada de ordem n é indicada pelos n elementos. a a a 3 A = a a a 3 a 3 a 3 a 33 ]

6 Exemplo: Escreva a matriz A = (a ij ) x3 tal que a ij = i + j, se i > j { i j, se i = j i j, se i < j Resolução: a a a 3 A matriz é do tipo: A = a a ] a 3 Portanto, i = j para os elementos a e a : = = 4 i > j para o elemento a : + () = + = 4 i < j para os elementos a, a 3 e a 3 : () = ; () 3 = - ; () 3 = Ordem de uma matriz: A = ] 4 4 ] matriz de ordem 3 x (3 linhas e coluna). 3

7 ] matriz de ordem 3 x (3 linhas e colunas) matriz de ordem 4 x (4 linhas e colunas) 4 ] 3 7] matriz de ordem x 4 ( linha e 4 colunas) Definição: O posto de uma matriz M é o número de linhas não nulas de qualquer matriz escada obtida a partir de M por operações elementares sobre linhas. 3 ] ] Observamos que existe outra definição de posto de matriz, sem utilizar escalonamento: se M for quadrada e invertível o posto de M é a ordem da maior submatriz quadrada de M com determinante não nulo.

8 TIPOS ESPECIAIS DE MATRIZES. Matriz quadrada é a matriz que tem o número de linhas igual ao número de colunas, isto é m = n A 8 B C. Matriz linha é aquela onde m = 3 9 A 3 B 3. Matriz coluna é aquela onde n = 9 7 A 3 B 4. Matriz diagonal é a que tem elementos nulos fora da diagonal principal. Alguns elementos da diagonal principal podem ser nulos. É uma matriz quadrada (m = n) onde a ij = para i j.

9 A = a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 ] 4 A B 5. Matriz nula é aquela que possui todos os elementos iguais à zero. A B 6. Matriz unidade ou identidade, denotada por I ou Id, tem os elementos da diagonal principal iguais a e zero fora da diagonal principal. É uma matriz diagonal onde j i para a e j i para a ij ij Muitas vezes a matriz identidade de ordem n é indicada por n n I ou apenas n I.

10 A = a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 ] A B C 7. Matriz oposta: dada uma matriz B, a matriz oposta a ela é B. Exemplo: Se tivermos uma matriz B = ] 3 x A matriz oposta a ela é: B = ] 3 x Para encontrar a matriz oposta de uma matriz qualquer basta trocar os sinais dos elementos.

11 Matrizes iguais ou igualdade de matrizes: dada uma matriz A e uma matriz B, as duas poderão ser iguais se somente seus elementos correspondentes forem iguais. 5 5 A = 63 7 B = ] 3 x 8 ] 3 x As matrizes A e B são iguais, pois seus elementos correspondentes são iguais. 8. Matriz Triangular Superior é uma matriz quadrada onde a para i > j. ij a a a 3 A = a a a 3 a 3 a 3 a 33 ]

12 7 9 A 9 B C 9. Matriz Triangular Inferior é uma matriz quadrada onde ij a para i < j. A = a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 ] A 3 B C OPERAÇÕES COM MATRIZES Adição de matrizes e suas propriedades

13 Adição Dadas duas matrizes de mesma ordem m n: A m x n = a ij ] e B m x n = b ij ], então: A + B = a ij + b ij ] Exemplos: Se A e B, então B A Propriedades da soma de matrizes A: Associativa: Para quaisquer matrizes A, B e C, de mesma ordem m n, vale a igualdade: (A + B) + C = A + (B + C) A: Comutativa: Para quaisquer matrizes A e B, de mesma ordem m n, vale a igualdade: A + B = B + A

14 A3: Elemento neutro: Existe uma matriz nula que somada com qualquer outra matriz A de mesma ordem, fornecerá a própria matriz A, isto é: + A = A A4: Elemento oposto: Para cada matriz A, existe uma matriz A, denominada a oposta de A, cuja soma entre ambas fornecerá a matriz nula de mesma ordem, isto é: A + ( A) = Multiplicação de matriz por escalar Dada uma matriz A m x n = a ij ] m x n e um escalar α R, então: A a ij ] a ] m n ij m n Exemplos:. Se 3 A 9 6 e 7 4, então 6 A A B e 3 5. Se 9 6, então B 3 B 5 3 6

15 Propriedades da multiplicação de escalar por matriz E: Multiplicação pelo escalar : A multiplicação do escalar por qualquer matriz A, fornecerá a própria matriz A, isto é:. A = A E: Multiplicação pelo escalar zero: A multiplicação do escalar por qualquer matriz A, fornecerá a matriz nula, isto é:. A = E3: Distributividade das matrizes: Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem e para qualquer escalar k, tem-se: k (A+B) = k A + k B E4: Distributividade dos escalares: Para qualquer matriz A e para quaisquer escalares p e q, tem-se: (p + q) A = p A + q A Multiplicação de matrizes

16 Dadas duas matrizes A m a n ] ij m n e B n p b jk ] n p, então: A B C ] c ik, onde m p c ik ai b k ai bk ai3 b3k... a in b nk n j a ij b jk Observação: Somente podemos multiplicar duas matrizes se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda. A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B(n): Se A 3 x e B x 5, então ( A. B ) 3 x 5 Se A 4 x e B x 3, então não existe o produto Se A 4 x e B x, então ( A. B ) 4 x

17 Exemplo: Se a a b b b3 A a a e b b b3 onde c ik a i b k c c c C, c c c3 B 3, então a i b k j a ij b jk, isto é: a. b + a. b a. b + a. b a. b 3 + a. b 3 ] a. b + a. b a. b + a. b a. b 3 + a. b 3 Exercícicio: Calcule A. B, sendo A = 3 ] e B = ].

18 Figura disponível em: Propriedades da multiplicação de matrizes Para todas as matrizes A, B e C que podem ser multiplicadas, temos algumas propriedades: M: Nem sempre vale a comutatividade Em geral A x B é diferente de B x A

19 M: Distributividade da soma à direita A (B+C) = A B + A C M3: Distributividade da soma à esquerda (A + B) C = A C + B C M4: Associatividade A (B C) = (A B) C M5: Nulidade do produto: Pode acontecer que o produto de duas matrizes seja a matriz nula, isto é: AB =, embora nem A nem B sejam matrizes nulas. M6: Nem sempre vale o cancelamento: Se ocorrer a igualdade AC = BC, então nem sempre será verdadeiro que A = B. A transposta de uma matriz e suas propriedades Dada uma matriz A=a(i,j)] de ordem m n, definimos a transposta da matriz A como a matriz A t = a(j,i)]

20 e segue que as linhas de A se transformam nas colunas de A t A = 4 7 A t = ] 3 9] Propriedades das matrizes transpostas T: A transposta da transposta da matriz é a própria matriz. (A t ) t = A T: A transposta da multiplicação de um escalar por uma matriz é igual ao próprio escalar multiplicado pela transposta da matriz. (ka) t = k (A t ) T3: A transposta da soma de duas matrizes é a soma das transpostas dessas matrizes. (A + B) t = A t + B t T4: A transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas das matrizes na ordem trocada. (A B) t = B t A t

21 Matrizes simétricas e anti-simétricas e suas propriedades Uma matriz A é simétrica se é uma matriz quadrada tal que: A t = A 5 9 Seja A = 5 3 8] Logo, a transposta de A será: A T = 5 3 8] Uma matriz A é anti-simétrica se é uma matriz quadrada tal que: A t = - A 3 4 Seja A = 3 6] Logo, a transposta de A será: A T = 3 6 ] A oposta de A será: A = 3 6 ] 4 6

22 Exercícios sobre matrizes:. Calcule o produto das matrizes: 3 a. A.B, sendo A e 4 B R: A. B = ] x b. M.N, sendo M = 3 5 4] e N = y] 4 7 z x + 3 y + 4z R: M. N = 3x + 5y 4z 4x + 7y z ]. Sejam: 5 7 a. A = ] e B = ], calcule A.B e B.A R: A. B = ] e B. A = ]

23 3 3 b. A = ] e B = ], calcule A.B e B.A. 7 7 R: A. B = ] e B. A = ] 3. Calcule m e n para que a matriz B seja a inversa da matriz A: m 5 a. A = ] e B = ] R: m = 9 e n = 5 n m b. A = ] e B = ] R: m = - 5 e n = n 4. Sejam A = 3 ], B = D = ], encontre: a. A + B R: 4 5 ] b. A. C R: 5 4 ] c. C. D R: 4 ] 8 4 d. D. A R: 3 7] 3 ], C = ] e 4

24 e. D. B R: 7 ] 3 f. A R: ] 5. Se podemos efetuar o produto AA, então A é uma matriz quadrada. Se A = AA, então 3 ] =? R: 7 7 ] x y 6. Ache x, y, z, w se z w ] ] = ]. R: x = - 4 y = 3 z = 3 w = - 7. Encontre a solução do sistema dado por x + y z + w x y z w ] = 3 5 ] R: x =, y =, z = 3, w = Sejam A = 3 4 ] e B = ], encontre: a. AB R: AB = 4 ] b. BA R: BA não é definido. 9. Sejam A = ] e B = 5 ], encontre: a. AB R: AB = 5 ] 9 5

25 5 9 b. BA R: BA = 3 ]. Encontre a transposta A t da matriz A = 3 4 5] R: ] Sejam A = matrizes de M x 3. Calcule: 3 (A R: ]. Dadas as matrizes A = ] ], B = ] e C = ] B) + C e B = ], calcule (AB) T R: (AB) T = ] 3. Seja A = ]. Encontre: 4 3 a. A R: A = ]

26 b. A 3 R: A = 6 67 ] c. f (A) Onde f (x) = x x + 5 R: 4 7 ] Resolução dos exercícios:. Calcule o produto das matrizes: 3 a. A.B, sendo A e 4 B ( 4) + 3(5) + ( )( ) () + 3( ) + ( )() (3) + 3( ) + ( )() ( ) + 3() + ( )(6) A. B = ] ( 4) + ( )(5) + ( ) () + ( )( ) + () (3) + ( )( ) + () ( ) + ( )() + (6) A. B = ] R: A. B = ] x b. M.N, sendo M = 3 5 4] e N = y] 4 7 z x + 3 y + 4z R: M. N = 3x + 5y 4z 4x + 7y z ]. Sejam: 5 7 a. A = ] e B = ], calcule A.B e B.A R: A. B = ] e B. A = ]

27 3 3 b. A = ] e B = ], calcule A.B e B.A. 7 7 R: A. B = ] e B. A = ] Obs: quando A.B = B.A = I diz-se que uma matriz é a inversa da outra. 3. Calcule m e n para que a matriz B seja a inversa da matriz A: m 5 a. A = ] e B = ] n 9 m 5 5 m ]. ] = ]. n 9 9 ] = ] n m(5) + ( ) (5) + n() m() + ( )9 5(m) + ( ) ] = () + n(9) (m) + 9( ) 5( ) + (n) ] = ] ( ) + 9(n) Portanto, m = 9 5(m) + ( ) = (m) + 9( ) = E, portanto, n = 5 5( ) + (n) = ( ) + 9(n) = R: m =9 e n = m b. A = ] e B = ] R: m = - 5 e n = n 4. Sejam A = 3 ], B = 3 ], C = ] e D = ], 4 encontre:

28 a. A + B R: 4 5 ] b. A. C R: 5 4 ] c. C. D () ( )( ). ] = () ( ) R: 4 4 ] 4() 4( ) ] 8 4] d. D. A R: 3 7] e. D. B R: 7 ] 3 f. A R: ] 5. Se podemos efetuar o produto AA, então A é uma matriz quadrada. Se A = AA, então 3 ] =? R: 7 7 ] x y 6. Ache x, y, z, w se z w ] ] = ]. R: x = - 4 y = 3 z = 3 w = - 7. Encontre a solução do sistema dado por x + y z + w x y z w ] = 3 5 ] R: x =, y =, z = 3, w = Sejam A = 3 4 ] e B = ], encontre: a. AB R: AB = 4 ] b. BA R: BA não é definido.

29 9. Sejam A = ] e B = 5 ], encontre: a. AB R: AB = 5 ] b. BA R: BA = 3 ] 4. Encontre a transposta A t 3 4 da matriz A = 3 4 5]. R: ] Sejam A = ], B = ] e C = ] matrizes de M x 3. Calcule: 3 (A B) + C R: 6 ]. Dadas as matrizes A = ] e B = ], Calcule (AB) T. R: (AB) T = Seja A = ]. Encontre: ] a. A R: A = ] b. A 3 R: A = 6 67 ] c. f (A) Onde f (x) = x 3 4 x + 5 O escalar 5 deve ser multiplicado pela matriz unidade ou matriz identidade, para que possamos operar com a matriz. f(a) = ] ] + 5 ]

30 4 6 = 34 ] ] ] 8 5 = 4 ] ] 3 5 R: 4 7 ] Observação: A = A.A A 3 = A. A A = I (identidade ou unidade) a = termo independente Polinômio: f (x) = a + a x + a x + a 3 x a n x n Polinômio de matrizes: f (A) = a A + a A + a A + a 3 x a n A n f (A) = a I + a A + a A + a 3 x a n A n Referências Bibliográficas CALLIOLI, C. A. et al. Álgebra linear e aplicações. São Paulo: Atual, 99. LIPSCHUTZ, S. Álgebra linear. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 97. NUNES, Luiz Fernando. Notas de aula: Matemática. Professor do Departamento de Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR. STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Álgebra linear. São Paulo: Pearson-Makron Books,.