Indique, NÃO CALCULE, as operações necessárias COM AS MATRIZES A, B, C, para obter a matriz custo da salada de frutas em cada supermercado.

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1 . 16. Situação Problema: operações com matrizes. Problema da salada de frutas: João comeu uma salada de frutas com a, m e p porções de 100g de abacaxi, manga e pera, respectivamente, conforme a matriz X abaixo. A matriz A representa as quantidades de calorias em Kcal, vitamina C e cálcio em mg, e a matriz B indica os preços em reais, dessas frutas em 3 diferentes supermercados. A matriz C mostra que João ingeriu com essa salada 95,6 cal, 143,9 mg de vitamina C e 93 mg de cálcio. Matriz X Matriz A Matriz B porções de 100g por 100 g por 100g abacaxi manga pera abacaxi manga pera abacaxi a calorias 5 64,3 63,3 ComaBem 0,15 0,30 0,40 manga m Vitamina C 7, 43 3,5 CompreMais 0,16 0,5 0,45 pêra p Cálcio BoaCompra 0,0 0,7 0,35 Matriz C Calorias 95,6 Vitamina C 143,9 Cálcio 93 Indique, NÃO CALCULE, as operações necessárias COM AS MATRIZES A, B, C, para obter a matriz custo da salada de frutas em cada supermercado. 0,15a 0,30m 0,40p Resolução: B 3x3 X 3x1 = 0,16a 0,5m 0,45p 3x1 0,0a 0,7m 0,35p Esse é o resultado adequado, não somente porque as matrizes B e X são compatíveis para multiplicação. Ainda não resolvemos o problema, pois não sabemos o número de porções de abacaxi, manga e pera que João usará na sua salada. Temos que encontrar quem é a matriz X, ou seja, seus elementos a, m e p. Ainda não usamos as matrizes A e C. Podemos constatar que: A 3x3 X 3x1 = C 3x1. Quem é a matriz X? Se A, X e C fossem números reais, passaríamos A dividindo. Isso equivale resolver uma equação matricial, pois a incógnita é uma matriz. Podemos fazer isso com matrizes? Existe divisão de matrizes? As propriedades das operações podem ajudar a resolver este problema? Todas essas perguntas serão respondidas ao longo dos itens deste documento..17. Não existe divisão entre matrizes Vamos traçar um paralelo com os números reais para entender porque não existe divisão entre matrizes, tendo em mente a definição de números inversos. A multiplicação entre números reais quaisquer é comutativa. Para quaisquer a, b R temos a.b = b.a; Todo número real, exceto o zero, possui inverso multiplicativo, ou seja: Para todo a R*, existe b = a -1 R tal que: a.a -1 = a -1.a = 1. Nos números reais a -1 = a 1. Para os números reais se o produto de quaisquer dois números é zero é porque um deles (ou os dois) é zero. Para quaisquer a, b R, a.b = 0, então a = 0 ou b = 0. Essa propriedade resolve o problema do zero não ter inverso multiplicativo. Existe elemento neutro da multiplicação, e este é único. Para qualquer a R: a.1 = 1.a = a; 60 Matrizes

2 Conclusão: Nos números reais o produto de um número pelo inverso de outro define a divisão nos reais, pois todo número diferente de zero tem inverso e multiplicar pelo inverso equivale a dividir pelo número original. Exemplo: Para resolver uma equação, pensemos em algo bem simples: 3x = 15 (1) Se pudéssemos reproduzir os mesmos procedimentos com as matrizes, poderíamos falar em divisão entre matrizes. Veremos a seguir que nem todas as matrizes possuem inverso multiplicativo..17.a. Qual seria a matriz equivalente ao número 1 dos números reais? Ou seja, o elemento neutro da multiplicação entre matrizes. Cabe reforçar que o elemento neutro da multiplicação nos reais é único. Estamos buscando uma matriz X tal que AX = A. Será que temos sempre AX = XA = A? Exemplo:.17.b. Divisores de zero. Outro problema muito grave é que o conjunto das matrizes possui divisores de zero. O que isso quer dizer? Se A.B = O, então pode acontecer que A O e B O. Por exemplo: Nem A, nem B é matriz nula, mas o produto é. Esse fato gera uma grande inconsistência nas operações com matrizes. Se houvesse divisão nas matrizes, como operação inversa da multiplicação teríamos: A.B = O B = A O B = O?! Como assim??? A matriz B não é a matriz nula. Se admitíssemos a divisão com as matrizes estaríamos admitindo o absurdo que: Conclusão: A DIVISÃO ENTRE MATRIZES NÃO PODE SER DEFINIDA. 61 Matrizes

3 .18. Definição de matrizes inversas. Lembrando da definição do inverso multiplicativo para os números reais: a.b = b.a = 1 Devemos estabelecer uma definição equivalente a essa, mas com matrizes. Definição de matrizes inversas: Se A e B são duas matrizes quadradas de ordem n, serão inversas entre si se: AB = BA = I n A multiplicação entre matrizes não é comutativa. E aí? Vimos diversos casos em que AB existe e o produto BA, não. Isso já nos garante a impossibilidade de uma matriz qualquer possuir inversa, pois em primeiro lugar. AB= BA. Analisaremos quando isso PODE acontecer. Para existir o produto na ordem AB e na ordem BA, as matrizes A e B devem ser dos tipos mxn e nxm, respectivamente. AmxnBnxm = C BnxmAmxn = D A possibilidade de C = D acontece apenas se m = n, ou seja: O produto de A por B e B por A só existe e são do mesmo tipo se A e B forem quadradas da mesma ordem. Conclusão:. Por enquanto apenas excluímos um conjunto de matrizes que não possui inversa. Será que toda matriz quadrada possui inversa? Temos que lembrar que o fato de AB e BA existirem e serem do mesmo tipo não garante que sejam iguais. Exemplos: Calcule os produtos AB e BA, sendo A e B = Calcule os produtos AB e BA, sendo A e B = = 1 3. Verifique se A e B abaixo são matrizes inversas entre si A e B Matrizes

4 .18.. Como encontrar a inversa de uma matriz? Dada uma matriz A quadrada, procuramos uma candidata B, do mesmo tipo de A que satisfaça a definição de matriz inversa: AB = BA = I n. Não sabendo quem é B atribuímos aos seus elementos, incógnitas. Resolvendo AB = I n, cairemos num sistema. Resolvendo o sistema, encontraremos os valores das incógnitas, consequentemente B. Se a B encontrada for tal que BA = I n, então B = A -1. Exemplo: Determine a inversa de A, abaixo, se existir. A Observação: Para encontrar a inversa de uma matriz de ordem foi necessário resolver dois sistemas de duas equações e duas incógnitas. Isto quer dizer que para encontrar a inversa de uma matriz de ordem 3 serão necessários resolver três sistemas de três equações e três incógnitas, e assim por diante. Veremos mais tarde como calcular as inversas sem o cálculo de sistemas, mas precisamos definir determinantes ou método de diagonalização de matrizes Será que toda matriz quadrada possui inversa? Para isso basta que façamos o mesmo procedimento para a matriz A abaixo: 1 A 6 3 Pense: Será que teremos que resolver, ou tentar resolver os sistemas formados para percebermos que a inversa não existe? Então observe os coeficientes dos sistemas criados pela multiplicação de A por B. Os coeficientes são exatamente os mesmos elementos da matriz A. Associe porque o sistema é impossível a partir dos elementos da matriz A..19. Equações Matriciais Depois de todo este estudo podemos resolver o problema de João, mesmo sem existir divisão entre matrizes podemos utilizar a definição de matriz inversa para o fim que queremos: "isolar a matriz incógnita X". 63 Matrizes

5 Exemplo 1: Exemplo do João: A matriz custo da salada é dada por R = BX, por sua vez AX=C. Resolvendo esta, substituiremos naquela. Exercício: Faça o cálculo indicado para R, pois afinal qual é o supermercado mais barato para João comprar os ingredientes de sua salada? Exemplo:. Resolva as equações matriciais abaixo, considerando X, A, B, O e C matrizes de tipos compatíveis. a. X + A = B. Observação: A operação adição para as matrizes tem as mesmas propriedades dos números reais, então podemos admitir o mesmo procedimento de resolver equações em R. b. X + B = A c. XB + A = C b. D -1.X = C.0. Exercícios Verifique se e são inversas entre si.. Determine se existir, a inversa de: 1 4 (a) (b) y 3 3. A inversa de x é a matriz x x 5 x 4 1. Determine x e y. 4. Determine a matriz inversa de Matrizes

6 As matrizes e 5 comutam? Em caso afirmativo, o que 4 poderíamos fazer para encontrarmos a inversa dessas matrizes? 6. (Desafio no site) Estabeleça uma fórmula para determinar a inversa de uma matriz de ordem sem depender da resolução de sistemas embasados nos exemplos citados no corpo deste documento. Verifique se essa fórmula satisfaz a definição de matriz inversa: AB = BA = I Se A = 1 3 calcule: A. O que podemos afirmar sobre A? 8. Resolvas as equações matriciais abaixo, mostrando a aplicação de cada propriedade relacionada. Considere A, B, C, O e I n de tipos compatíveis. (a) (A + O) X = I nb (b) AXB -1 = C (c) AX = I n (d) XA XB = C (e) AX + CX = B 9. Lembre-se das matrizes das transformações lineares R: rotação em torno da origem no sentido anti-horário e E: ampliação/redução de largura e altura. Determine a inversa das matrizes R e E. 10. X é um ponto do plano cartesiano, determine as coordenadas de X nas seguintes situações: (a) À X é aplicada uma rotação de 60º no sentido anti-horário em relação resultando no ponto A = [ 3 6]. (b) À X é aplicada uma redução na largura de fator 3 e uma ampliação da altura de fator 7, resultando no ponto B = [ 1 3 ]. 11. Julgue em verdadeiras ou falsas as sentenças abaixo, justificando em qualquer caso, sem fazer cálculos: (a) A matriz M = possui inversa. 5 (b) A matriz M = não possui inversa (c) A matriz transposta de uma matriz M é sempre de tipo diferente de M. (d) Toda matriz quadrada possui inversa. (e) Para resolver uma equação matricial, como por exemplo: 3BX = (A + C)D, onde A, B, C e D são matrizes conhecidas e a matriz X é a matriz incógnita, basta proceder como uma equação com números reais. (f) Se A=B t, então é verdade que B = A t. (g) O único problema que impossibilita definir divisão com as matrizes é o fato da multiplicação entre matrizes não ser comutativa. (h) O produto de matrizes que comutam é sempre diagonal. (i) Sendo A e B matrizes quadradas de ordem n, se AB = I n, então BA = I n. 1. (UFV-MG) Considere A, B e I n, matrizes quadradas de mesma ordem e com elementos arbitrários. Se B é a inversa de A, calcule (A + 3B)(A B). 13. Caroline anotou suas médias bimestrais de 009 de matemática, português, biologia, filosofia e física construindo uma matriz e quer criar 65 Matrizes

7 a partir desta matriz uma outra que mostre a média aritmética das suas notas. Por que matriz Caroline deve multiplicar sua matriz notas para ter a matriz médias? Importante: pense nos tipos das matrizes e a ordem da multiplicação..1. Anexo: Propriedades das operações com matrizes Adição e subtração: Considere as matrizes A, B e C, todas do tipo mxn. O matriz nula do tipo mxn. (a) Comutatividade: A + B = B + A = R (b) Associatividade: (A + B) + C = A + (B + C) = R (c) Elemento neutro da é adição: A + O = A = R (d) Matriz oposta: (A) tal que : A + (A) = O = R.1.. Multiplicação por escalar: Considere as matrizes A e B e C, dos tipos convenientes e k,t R. (a) Associatividade: k(ta) = (kt)a, k(ab) = (ka)b = A(kB) = R (b) Distributividade da multiplicação em relação a adição: k(a B) = ka kb = R (c) Elemento neutro da multiplicação por escalar: 1.A = A = R.1.3. Multiplicação entre matrizes: Considere as matrizes A, B e C, todas do tipo mxn. O matriz nula do tipo mxn. I n a matriz identidade de ordem n. (a) Associatividade: (AB)C = A(BC) = R (b) Elemento neutro: à esquerda I ma = A e à direita AI n = A R (c) Distributiva à direita em relação à adição: (AB)C = AC BC lr (d) Distributividade à esquerda em relação à adição: C(AB) = CA CB lr É importante diferenciar a distributividade à direita e à esquerda, pois a multiplicação a entre matrizes NÃO É COMUTATIVA, por isso as propriedades b, c e d são assinaladas como diferentes das propriedades dos reais... Respostas dos exercícios (a) x4 (b) x1 (c) não existe (d) x (e)não existe (f) não existe.(a) (b) [ 4 ] (c) não existe 3. (a) (b) 6 4 (c) 1 6 (d) (a) 6 6 (b) (c) A (d) A (e) O (a) 8 1 (b) (c) são diferentes (a) (e) (b) (f) (c) (g) (d) X = 3 66 Matrizes

8 8. (a) Falsa. Veja o exercício 5. (b) Falsa. Veja exercício 6 f e g. (c) Verdadeiro. (d) Falsa. Veja exercício 4e. (e) apesar de I n ter características de elemento neutro da multiplicação os tipos não são compatíveis 9. A operação em questão é a multiplicação entre as matrizes M e T. xa ya Sx cos Sysen Sendo M = xb y b e T = x c y Sxsen Sy cos c 10.(a) A = B = (b) C = AB = Desafio (poste no site) (a) 1 3 (b) (c) 0 1 (d)p n 1 n = 0 1 n N* ,9 14. MD = 1, (a) Camila, com 15 chocolates quentes. (b) Amanda com chocolates quentes. (c) 67 Matrizes