Geometria Analítica e Álgebra Linear

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1 UNIFEI - Universidade Federal de Itajubá campus Itabira Geometria Analítica e Álgebra Linear Parte 1 Matrizes 1

2 Introdução A teoria das equações lineares desempenha papel importante e motivador da álgebra linear. Muitos problemas de álgebra linear equivalem ao estudo de um sistema de equações lineares, por exemplo, a determinação do núcleo de uma aplicação linear e a caracterização do subespaço gerado por um conjunto de vetores. Um dos principais métodos utilizados para obter a solução de um sistema linear é o algoritmo de eliminação Gaussiana que opera sobre a forma matricial do sistema. Desta forma, as matrizes e suas operações estão estreitamente relacionadas com os sistemas de equações lineares e sua solução. 2

3 Matrizes Os elementos das matrizes, em geral, provirão de algum corpo K arbitrário. Os elementos de K são chamados escalares. Nada de essencial se perderá se admitirmos que K seja o corpo dos númeos reais ou dos números complexos. n n Além disso, os elementos de R ou são representados convenientemente por vetores linha ou vetores coluna, que são casos especiais de matrizes. C 3

4 Dados dois números m e n não nulos, chamase matriz m por n (indica-se m x n) toda tabela M formada por escalares de um corpo K distribuídos em m linhas e n colunas. Em uma matriz M, cada elemento é indicado por a ij. O índice i indica a linha e o índice j a coluna às quais o elemento pertence. Uma matriz M do tipo m x n também pode ser indicada por: com i { 1,2,3,, m} e j { 1,2,3,, n} M ( a ij ) ou simplesmente M ( a ) ij m n 4

5 Matrizes especiais Matriz Linha: matriz do tipo 1 x n, ou seja, que tem uma única linha (também chamada vetor linha). Exemplo: ( ) Matriz Coluna: matriz do tipo m x 1, ou seja, que tem uma única coluna (também chamada vetor coluna). Exemplo: 5

6 Matriz Nula: matriz que tem todos os elementos iguais a zero. Exemplos: matriz nula do tipo 1 por 4: ( ) matriz nula do tipo 2 por 3: 6

7 Matriz Quadrada de ordem n: matriz do tipo n por n, isto é, uma matriz que tem igual número de linhas e colunas: Chama-se diagonal principal de uma matriz quadrada de ordem n o conjunto dos elementos que têm os dois índices iguais. Chama-se diagonal secundária de uma matriz quadrada de ordem n o conjunto dos elementos que têm soma dos índices igual a n+1. 7

8 Matriz Diagonal: matriz quadrada em que os elementos que não pertencem à diagonal principal são iguais a zero: Exemplos: Obviamente, a soma, o produto por escalar e o produto de matrizes diagonais são também diagonais. As matrizes diagonais formam uma álgebra comutativa de matrizes, pois quaisquer duas matrizes diagonais de ordem n comutam. 8

9 Matriz Triangular Superior: matriz quadrada em que todos os elementos abaixo da diagonal principal são iguais a zero: Exemplos: Analogamente, uma matriz triangular inferior é um matriz quadrada cujos elementos acima da diagonal principal são iguais a zero. 9

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11 Matriz Identidade de ordem n: matriz diagonal em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1. Exemplos: Matriz Oposta: dada a matriz A de ordem mxn, chama-se oposta de A (indica-se por -A) a matriz tal que A + (-A) = 0. 11

12 Operações com matrizes Igualdade Adição 12

13 Operações com matrizes Teorema (adição) 13

14 Operações com matrizes Diferença Multiplicação por escalar 14

15 Operações com matrizes Teorema (Multiplicação por escalar) 15

16 Operações com matrizes Produto de matrizes 16

17 Teorema 17

18 Observações: 18

19 Observações: 19

20 Operações com matrizes Matriz Transposta 20

21 Operações com matrizes Teorema 21

22 Matriz Simétrica 22

23 Matriz Anti-Simétrica 23

24 Matriz Ortogonal 24

25 Matriz Ortogonal 25

26 Matriz Normal 26

27 Matriz Complexa Hermitiana 27

28 Matriz Complexa Unitária 28

29 Matriz Complexa Normal 29

30 Exercícios 30

31 Exercícios 31

32 Exercícios 32

33 Exercícios 33

34 Exercícios 34

35 Exercícios 35

36 Exercícios 36

37 Exercícios 37

38 Exercícios 38

39 Exercícios 39

40 Exercícios 40

41 Algumas Respostas 41

42 Algumas Respostas 42