Revisão de Álgebra Linear

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1 Introdução: Revisão de Álgebra Linear Antonio Elias Fabris Instituto de Matemática e Estatística Universidade de São Paulo Map 2121 Aplicações de Álgebra Linear Antonio Elias Fabris (IME-USP) Revisão de Álgebra Linear 1 / 14

2 Definições Básicas C m n : espaço das matrizes m n (C complexos) Produto Matriz-Vetor b = Ax (A C m n, x C n ) b i = n a ij x j, j=1 i = 1,... m Produto b = Ax como combinação linear das colunas de A a 1 a 2 a n x 1 x 2. x n b = Ax = n x j a j j=1 = x 1 a 1 +x 2 a 2 + +x n a n Antonio Elias Fabris (IME-USP) Revisão de Álgebra Linear 2 / 14

3 Imagem, Núcleo e Posto de uma Matriz Imagem ou espaço-coluna de A Im(A) = Todas combinações lineares das colunas de A = Espaço gerado pelas colunas de A Núcleo de A = Todos os vetores que podem ser escritos como Ax Ker(A) = {x C n : Ax = 0} Posto coluna: dimensão do espaço-coluna Im(A) Teorema posto coluna = posto linha (por definição, posto de A) Matriz inversível ou não-singular: matriz quadrada de posto máximo Antonio Elias Fabris (IME-USP) Revisão de Álgebra Linear 3 / 14

4 Matriz Transposta e Adjunta (Matrizes Reais) Transposta A = a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32 [ = A T a11 a = 21 a 31 a 12 a 22 a 32 (Matrizes Complexas) Adjuntas ou conjugadas A = a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32 [ = A a11 a = 21 a 31 a 12 a 22 a 32 ] ] Se A = A T, então A é denominada simétrica Se A = A, então A é denominada hermitiana Antonio Elias Fabris (IME-USP) Revisão de Álgebra Linear 4 / 14

5 Produto Interno Produto interno de dois vetores coluna x, y C m x y = m x i y i i=1 Comprimento euclidiano de x C m Ângulo α entre x, y C m x = ( m ) 1/2 x x = x i 2 cos α = i=1 x y x y Antonio Elias Fabris (IME-USP) Revisão de Álgebra Linear 5 / 14

6 Vetores Ortogonais Os vetores x, y C m são ortogonais se x x = 0 Os conjuntos de vetores X, Y são ortogonais se qualquer x X é ortogonal a qualquer y Y Um conjunto de vetores S (não-nulos) é ortogonal se x, y S, x y = x y = 0 S é ortonormal se for ortogonal e x = 1 para todo x S Antonio Elias Fabris (IME-USP) Revisão de Álgebra Linear 6 / 14

7 Matrizes Unitárias e Ortogonais Q C m m é unitária (ortogonal no caso real) se Q = Q 1 q 1 q 2. q m 1 q 1 q 2 q m = Interpretação do produto Matriz Unitária Vetor x = Q b = solução do sistema linear Qx = b = coeficientes da expansão de b na base das colunas de Q Matrizes unitárias (ortogonais) preservam a estrutura da geometria Antonio Elias Fabris (IME-USP) Revisão de Álgebra Linear 7 / 14

8 Preservação da Estrutura Geométrica A multiplicação por matriz unitária Q preserva o produto interno (Qx) (Qy) = x y (Qx) (Qy) = x Q Qy = x y Portanto, comprimentos de vetores e ângulos entre vetores são preservados. No caso real, multiplicação por matriz ortogonal Q corresponde a ou uma rotação rígida (se det Q = 1) ou uma reflexão(se det Q = 1) Antonio Elias Fabris (IME-USP) Revisão de Álgebra Linear 8 / 14

9 Normas de Vetores Uma norma é uma função : C m R que satisfaz 1 x 0, e x = 0 somente se x = 0 2 x + y x + y 3 αx = α x (α C) Exemplo: a função comprimento euclidiano x 2 = x x x 2 é um caso especial das normas-p ( m x p = i=1 x i p ) 1/p (1 p < ) Antonio Elias Fabris (IME-USP) Revisão de Álgebra Linear 9 / 14

10 Exemplos de Normas de Vetores x 1 = m x i i=1 ( m ) 1/2 x 2 = x i 2 = x x i=1 x = max 1 i m x i ( m ) 1/2 x W = Wx = w i x i 2 (W diagonal c/ pesos w ii 0) i=1 Antonio Elias Fabris (IME-USP) Revisão de Álgebra Linear 10 / 14

11 Normas de Matrizes Induzidas Norma de uma matriz A C m n induzida (m) e (n) Ax (m) A (m,n) = sup = sup Ax x C n x (m) (n) x C n x 0 x (n) =1 (m,n) representa a dilatação máxima por A da bola unitária {x C m : x (n) = 1} Antonio Elias Fabris (IME-USP) Revisão de Álgebra Linear 11 / 14

12 Cálculo de Normas de Matrizes Induzidas A 1 = max 1 j n m x i máximo das somas das colunas i=1 A = max 1 i m n x i máximo das somas das linhas j=1 A 2 = λ max (A A) (próximas aulas) Antonio Elias Fabris (IME-USP) Revisão de Álgebra Linear 12 / 14

13 Norma de Frobenius Não é norma induzida m A F = i=1 j=1 n a ij 2 1/2 Equivalente à norma-2 da matriz A vista como um vetor num espaço de dimensão mn A F = tr(a A) = tr(aa ) Antonio Elias Fabris (IME-USP) Revisão de Álgebra Linear 13 / 14

14 Propriedades das Normas Induzidas e de Frobenius (Limite Superior para o Produto) Vale para as normas induzidas e para a norma de Frobenius AB A B mas não necessariamente para outras normas! (Invariância sob Multiplicação Unitárias) Se A C m n e Q C m m é unitária, então QA 2 = A 2 e QA F = A F Antonio Elias Fabris (IME-USP) Revisão de Álgebra Linear 14 / 14