Apostila de Matemática 10 Matriz

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Rafaela Cármen Camelo Laranjeira
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1 Apostila de Matemática 10 Matriz 1.0 Definição m e n são números inteiros maiores que zero. Matriz mxn é uma tabela retangular formada por m.n números reais, dispostos é m linhas e n colunas. A tabela é fechada por colchetes [ ], parênteses ( ) ou 4 traços. Ordem: indica número de linhas e colunas: Matriz 2x3 - Matriz de ordem 2x3. Matriz de ordem 4x Tipos de Matrizes 2.1 Matriz Genérica Os números que aparecem na matriz são chamados de elementos ou termos da matriz. Para representar o elemento de uma matriz usa-se uma letra com 2 índices Coordenadas: O elemento genérico da Matriz M é indicado por a ij. i Indica em que linha o elemento se encontra. j Indica em que coluna o elemento se encontra.

2 2.2 Matriz Linha Matriz formada somente por 1 linha - Matriz de ordem 1xn. Pode ser chamada de vetor. Matriz de ordem 1x Matriz Coluna Matriz formada somente por 1 coluna Matriz de ordem mx1. Pode ser chamada de vetor. Matriz de ordem 3x Matriz Quadrada Número de linhas é igual ao número de colunas m = n. A ordem é pronunciada somente por 1 número Ordem m. Matriz de ordem 2, ou de Segunda ordem. Diagonal principal da matriz: Diagonal formada por elementos cujos índices são iguais i = j. Diagonal secundária da matriz A outra diagonal da matriz quadrada. i + j = n + 1.

3 2.5 Matriz Triangular Todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são nulos. 2.6 Matriz Diagonal Todos os elementos acima e abaixo da diagonal principal são nulos. 2.7 Matriz Identidade Todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 a ij = 1, para i = j. Todos os elementos acima e abaixo da diagonal principal são nulos a ij = 0, para i j. Símbolo: I n. 2.8 Matriz Nula Todos os elementos são iguais a zero.

4 2.9 Matriz Transposta A matriz transposta de A é a matriz cuja as linhas são, ordenadamente as colunas de A. Simbolizado por A t. Se a matriz A for mxn, então a matriz A t é nxm. A = A t = B = B t = 2.10 Matriz Inversa A matriz inversa é uma matriz que, ao multiplicar-se com a matriz original, gera uma matriz identidade. Simbolizado por: A -1. A.A -1 = I n Quando existe a matriz inversa de A, diz-se que A é uma matriz invertível ou não-singular A matriz é invertível se det 0. Processo: Troca-se a posição dos elementos eqüidistantes da diagonal principal. Troca-se o sinal dos elementos da diagonal secundária. Acha-se a determinante de A (Próxima Apostila). Divide a todos os elementos da matriz pela sua determinante. A = A -1 = det A = 10 A -1 = A -1 =

5 2.11 Matriz Simétrica Elementos opostos em relação à diagonal principal são iguais. A = A t. A = 2.12 Matriz Anti-Simétrica A diagonal principal é nula. Elementos opostos em relação a diagonal principal possuem sianis contrários. A t = -A. A = 3.0 Operações 3.1 Igualdade Condições: As matrizes devem ter a mesma ordem. Seus elementos correspondentes são iguais. A = B = A = B = = a 11 = b 11 ; a 12 = b 12 ; a 13 = b 13 ;...

6 3.2 Adição Condições: As matrizes devem ter a mesma ordem. Seus elementos correspondentes são adicionados. A = B = A + B = Subtração Exemplos: a 11 + b 11 ; a 12 + b 12 ; a 13 + b 13 ; Condições: As matrizes devem ter a mesma ordem. Seus elementos correspondentes são subtraídos. A = B = A B = - a 11 - b 11 ; a 12 - b 12 ; a 13 - b 13 ;...

7 3.4 Multiplicação Matriz e Número Real Ao multiplicar um número real em uma matriz, todos os elementos são multiplicados por ele. A = 3A =

8 3.4.2 Matriz e Matriz Multiplica-se ordenadamente os elementos da linha i da matriz A pelos elementos da coluna j da matriz B. Soma-se os produtos obtidos. Simboliza-se por: AB. Condições: O número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. O produto AB possui o número de linhas da matriz A e o número de colunas da matriz B. x = Primeiro, separa-se a primeira linha de A e a primeira coluna de B : Depois, multiplica-se o primeiro número da linha pelo primeiro da coluna, e assim por diante: 1x3 = 3 0x2 = 0 2x1 = 2 Depois, soma os resultados, sendo este o primeiro elemento da nova matriz: = 5. Note que, para achar o primeiro elemento (a 11 ), utilizou-se a primeira linha e a primeira coluna A linha de A representa o i e a coluna de B, o j. Depois, faz a mesma coisa com a primeira linha de A e a segunda coluna de B, para achar o elemento a 12, e assim por diante. 3.5 Observações A + B = B + A. A x B B x A. A x I n = A. A² = A x A A x A-1 = A-1 x A = In.

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