A A e A é invertível, então

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Antônio Figueiredo Aquino
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1 PROFESSOR: Equipe BANCO DE QUESTÕES - MATEMÁTICA - ª SÉRIE - ENSINO MÉDIO - PARTE 4 ============================================================================================= MATRIZES a Considere a matriz A, b 1 onde a e b são números reais. Se A A e A é invertível, então (A) a 1 e b 1. (B) a 1 e b 0. (C) a 0 e b 0. (D) a 0 e b Uma reserva florestal foi dividida em quadrantes de 1m de área cada um. Com o objetivo de saber quantas samambaias havia na reserva, o número delas foi contado por quadrante da seguinte forma: O elemento Número de samambaias por quadrante a ij da matriz A corresponde ao elemento samambaia, 1 quadrantes contêm 1 samambaia. Número de quadrantes A71 3 B b ij da matriz B, por exemplo, 8 quadrantes contêm 0 (zero) Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a operação efetuada entre as matrizes A e B, que resulta no número total de samambaias existentes na reserva florestal. t (A) A B t t (B) B A (C) A B t t (D) A B (E) A B 03- Se a matriz 1 x y z 3y z y z 3 z 0 é simétrica, o valor de x é: (A) 0 (B) 1 (C) 6 (D) 3 (E) 5 Página 1 de 7-7/04/016-9:46

2 04- Uma empresa da construção civil faz 3 tipos de casa: tipo 1, para casal sem filhos; tipo, para casal com até filhos e tipo 3, para casal com 3 ou mais filhos. A empresa de material de construção Barateiro Umbizal fornece ferro, madeira, telha e tijolo, para a primeira etapa da construção, conforme tabelas de material e de preço. Quantidade de Material Fornecido pela Empresa Barateiro Umbizal Tipo da Casa Ferro (feixe) Madeira 3 (m ) Telha Tijolo Tipo Tipo Tipo Preço por Unidade de Material Fornecido em reais Feixe de ferro Madeira 3 (m ) Telha Tijolo 500,00 600,00 400,00 300,00 Sabendo que a empresa construirá, 4 e 5 casas dos tipos 1, e 3, respectivamente, o preço unitário de cada tipo de casa e o custo total do material fornecido, para esta primeira etapa de construção, pela empresa, em reais, é de: (A) (B) (C) (D) (E) Tipo 1 Tipo Tipo 3 Custo total 5.00, , , ,00 Tipo 1 Tipo Tipo 3 Custo total 4.400, , , ,00 Tipo 1 Tipo Tipo 3 Custo total 4.400, , , ,00 Tipo 1 Tipo Tipo 3 Custo total 4.400, , , ,00 Tipo 1 Tipo Tipo 3 Custo total 4.500, , , , Considerando as matrizes abaixo, sendo det A 5, detb 1 e detc, assinale o que for correto. x z x y x A,B e x z y C 3 1 (01) x y z (0) AC (04) BC 4 (08) y x 6 4 (16) A B 6 5 Soma: Página de 7-7/04/016-9:46

3 06- Um modelo matemático usado para a ampliação de uma imagem consiste em considerar uma transformação linear dada pela multiplicação de uma matriz escala E s por uma matriz coluna A, composta pelas coordenadas do ponto P, que forma a imagem que será ampliada. Considerando as matrizes A e E s dadas por em que x A y e Ex 0 E s, 0 E y E x e E y são fatores multiplicativos que indicam a mudança da escala, então a matriz Q que indica as novas coordenadas do ponto P, obtidas pela multiplicação das matrizes xex (A) ye y yex (C) xe y Ex x (E) y E y Ex x (B) Ey y xex 0 (D) 0 ye y E s e A, é: 07- Três amigos foram a uma papelaria para comprar material escolar. As quantidades adquiridas de cada produto e o total pago por cada um deles são mostrados na tabela. Os preços unitários, em reais, de um caderno, de uma caneta e de um lápis, são, respectivamente, x, y e z. Dessa forma, das igualdades envolvendo matrizes fornecidas a seguir, a única que relaciona corretamente esses preços unitários com os dados da tabela é: (A) x y z Amigo Quantidades compradas de cadernos canetas lápis Total pago (R$) Júlia ,00 Bruno ,00 Felipe ,00 (B) x y z (C) x y z (D) (E) x y z 79 x y z Página 3 de 7-7/04/016-9:46

4 08- Se T A e matriz 1 A representam, respectivamente, a transposta e a inversa da matriz T 1 B A A é igual a: 3 A, 4 8 então o determinante da (A) 111 (B) 83 (C) 166 (D) 97 (E) Dadas as matrizes quadradas A, B e C, de ordem n, e a matriz identidade I, n de mesma ordem, considere as proposições a seguir, verificando se são verdadeiras (V) ou falsas (F). ( ) A B A AB B ( ) A B A B ( ) CI C A sequência correta de preenchimento dos parênteses, de cima para baixo, é: (A) V V V. (B) V F V. (C) F V V. (D) F F V. (E) F F F. 10- Sendo A uma matriz quadrada e n um inteiro maior ou igual a 1, define-se A n como a multiplicação de A por A, n vezes No caso de A ser a matriz é correto afirmar que a soma A A A A A é igual à matriz (A). (B) (C) (D) (E). 0 0 Página 4 de 7-7/04/016-9:46

5 GABARITO 01- [B] Sabendo que A I A e 1 A A I, com I sendo a matriz identidade de segunda ordem, temos A A A A A 1 1 A A A A A A I I A I. Por conseguinte, segue que a 1 e b [A] O número total de samambaias existentes na reserva florestal é dado pela expressão Portanto, a operação necessária entre as matrizes A e B, a fim de obter a expressão anterior, é t A B. 03- [C] A matriz dada é simétrica se tivermos x y z 4 x y z 4 3y z y z 3 y z 1 z 5 z 5 x 6 y 3. z [C] Sejam 3 3 Q e 600 C A matriz V (v. ij) 31, definida por V Q C, é dada por Portanto, sendo cada elemento v i1 da matriz V o custo unitário da casa Tipo i, com i 1,, 3, segue o resultado = 07. Desde que x z 5 4x z 5, 1 4 x y x 5 1 e 1 x 5y 5x 1 3x 5y 1 x z y x 3y z, 3 1 Página 5 de 7-7/04/016-9:46

6 temos x, y 1 e z 3. Portanto, vem A, B e 1 1 C. 3 1 [01] Correto. Temos x y z 1 ( 3) 0. [0] Correto. De fato, somando a matriz A com a oposta de C, vem A C [04] Correto. Com efeito, efetuando o produto, encontramos B C [08] Incorreto. Tem-se que x y. [16] Incorreto. Efetuando a adição, obtemos A B [A] Ex 0 x Ex x 0 y x Ex ES A 0 E y y 0 x Ey y y E y 07- [D] Os totais pagos por Júlia, Bruno e Felipe são dados, respectivamente, por 5x 5y 3z 96, 6x 3y 3z 105 e 4x 5y z 79. Portanto, a única alternativa que relaciona corretamente os preços unitários com os dados da tabela é a alternativa [D]. 08- [B] O determinante de A é igual a Logo, 1 A Daí, 1 4. A e, portanto, B O resultado pedido é Página 6 de 7-7/04/016-9:46

7 09- [D] A identidade (A B) A AB B vale apenas se as matrizes A e B comutarem, isto é, se AB BA. Portanto, a proposição é falsa. A identidade Sejam (A B) A B é falsa, valendo apenas quando AB BA. C (c jk ) n n e I (i k ) nn. Assim, o termo geral da matriz A CI é dado por n aj cjk i k. k1 Além disso, como i k 0, se k e i k 1, se k, segue-se que aj cj para todo j e todo, com j, 1,,, n. Portanto, temos A C e a proposição é verdadeira. 10- [A] A A A partir daí pode-se observar que A elevada a expoente ímpar resulta em em. A soma pedida poderá ser representada por: 0 1 e A elevada a expoente par resulta A A A A A MCS/1503/BANCO DE QUESTOES/MATEMATICA/015/MATEMATICA - a SERIE - ENSINO MEDIO - 1a ETAPA CLAUDIO DIAS - PARTE 4 - MATRIZES.DOC Página 7 de 7-7/04/016-9:46

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