Neste módulo, não daremos a definição padrão de determinantes via somatório envolvendo sinais de permutações, pois não há necessidade de entrarmos em

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1 Neste módulo, não daremos a definição padrão de determinantes via somatório envolvendo sinais de permutações, pois não há necessidade de entrarmos em tantos detalhes para os concursos desejados. Assim, apresentaremos o cálculo de determinantes de matrizes de ordem, e 3 e em seguida utilizaremos o Teorema de Laplace para estender os determinantes para matrizes de ordem superior!

2 SUMÁRIO. DETERMINANTES DE º ORDEM 3. DETERMINANTE DE º ORDEM 3 3. DETERMINANTE DE 3º ORDEM REGRA DE SARRUS 3 4. TEOREMA DE LAPLACE 4 5. PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES 6 6. REGRA DE CHIÓ 7 7. MATRIZ DE VANDERMONDE 7 8. TEOREMA DE BINET 8 9. MATRIZ INVERSA 8 0. CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA 9. EXERCÍCIOS DE COMBATE 0 GABARITO

3 DETERMINANTES. DETERMINANTES DE º ORDEM uma matriz x então deta a a. Seja A a. DETERMINANTE DE º ORDEM Seja a A a então deta. Ex.: ( ).3 ( ) DETERMINANTE DE 3º ORDEM REGRA DE SARRUS a 3 a a a a a a A Regra de Sarrus é um dispositivo mnemônico para calcular o determinante de 3º ordem. TERMOS POSITIVOS diagonal principal e diagonais paralelas à ela TERMOS NEGATIVOS diagonal secundária e diagonais paralelas à ela 3

4 Ex.: = 35+()(3) ()5 (3)3 = TEOREMA DE LAPLACE Este nos dá uma maneira geral de calcular o determinante, recursivamente, de qualquer matriz quadrada. Vejamos alguns conceitos preliminares. 4.. MENOR COMPLEMENTAR Seja uma matriz quadrada de ordem n e a um elemento qualquer de A. O menor complementar elemento coluna j. M do a é o determinante da matriz de ordem (n ), obtid partir de A eliminando-se a linha i e a Vamos aplicar essa definição a uma matriz quadrada de ordem 3 e obter a expressão do menor complementar de alguns elementos. Considere a matriz a A a a M 3 = M 3 = M 3 = M 3 =

5 4.. COFATOR Seja uma matriz quadrada de ordem n e a um elemento qualquer de A. O cofator do elemento número definido por, onde M é o menor complementar de a. A ( ) M a é o Calculando os cofatores a partir dos menores obtidos no exemplo anterior: A ( ) M M A ( ) M M A ( ) M M A ( ) M M TEOREMA DE LAPLACE Seja A uma matriz quadrada de ordem n, o determinante de A é a soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) qualquer pelos respectivos cofatores. n det A a A a A pj pj iq iq j i n Usando o teorema de Laplace na 3ª linha para o cálculo do determinante abaixo: = 3A33A34= ( ) 3 3 ( ) = = 30 3(4) = 48 5

6 5. PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES Usando o teorema de Laplace para o cálculo do determinante conseguimos provar várias propriedades importantes que nos permitem calcular alguns determinantes específicos de uma maneira muita mais rápida e elegante. Vamos a elas: Propriedade : O determinante da matriz identidade vale Propriedade : Para toda matriz quadrada A temos que T det(a) det(a ); Propriedade 3: Seja B a matriz obtid partir da matriz A pela troca de duas filas (linhas ou colunas) paralelas. Desta forma, temos det(b) det(a) ; Propriedade 4: Toda matriz que possui duas filas paralelas iguais ou proporcionais tem determinante nulo; Propriedade 5: Toda matriz que possui uma fila com todos os seus elementos nulos tem determinante nulo; Propriedade 6: Seja B uma matriz obtid partir de uma matriz A de modo que a i-ésima fila de B é igual a i-ésima fila de A multiplicada por uma constante k, então temos det(b) k.det(a) ; Propriedade 7: Seja A uma matriz de ordem n e k um número real, então det(k.a) n k.det(a) ; Propriedade 8: a (b c ) a j j n a (b c ) a j j n a (b c ) a n nj nj nn a b c a j n j n a b c a j n j n a b c a n nj nn n nj nn 6

7 Propriedade 9: (Teorema de Jacobi) Adicionando-se a uma fila uma combinação linear de outras filas paralelas, o determinante não se altera. Propriedade 0: Para toda matriz triangular (superior ou inferior) tem determinante igual ao produto dos elementos da diagonal. 6. REGRA DE CHIÓ Este algoritmo serve, assim como o teorema de Laplace, para baixar a ordem do determinante. Importante saber é que só podemos aplicar a regra de Chió se existir algum elemento igual a. ALGORITMO: ) Seja um determinante de ordem n onde a, suprimem-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna; ) De cada elemento restante a pq do determinante subtraímos a pj.a iq ; 3) O novo determinante tem ordem n- e quando multiplicado por original. i j ( ) torna-se igual ao determinante EXEMPLO: MATRIZ DE VANDERMONDE Chamamos de matriz de Vandermonde a uma matriz da forma, a3 a n V a3 a n. n n n n a3 a n 7

8 O determinante de matrizes de Vandermonde é dado pelo produto de todas as possíveis diferenças ai aj ondei j. 8. TEOREMA DE BINET Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem, então vale a igualdade det(ab) det(a).det(b). 9. MATRIZ INVERSA Dizemos que uma matriz A quadrada de ordem n é inversível se existe uma matriz B também de ordem n tal que AB BA I. Neste caso, dizemos que B é a matriz inversa de A e denotamos B A. PROPRIEDADES: Todas as matrizes aqui citadas serão quadradas de ordem n e inversíveis. i) Se AB I, necessariamente B A e então podemos garantir que BA I. ii) A A t iii) A A t k k iv) A A A A A A k v) A A k vi) deta e assim A é inversível se, e somente se, seu determinante é não nulo. deta 8

9 0. CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA Veremos agora o método do cálculo da matriz inverstravés da matriz chamaddjunta. No próximo módulo, de sistemas lineares, veremos como calcular a matriz inversa resolvendo sistemas lineares. Dada uma matriz quadrada A, definimos a matriz adjunta de A como t adjunta é a transposta da matriz dos cofatores. adj A cofa, ou seja, a matriz Assim, temos o seguinte resultado: A adj A deta Este método é útil quando queremos encontrar um elemento específico da matriz inversa ou quando queremos inverter uma matriz de ordem baixa ( ou 3 em geral). Dada uma matriz a c b d inversível, sua inversa é dada por d b adbc c a. 9

10 . Observe a matriz a seguir. senx cos x senx cosx 0 senx Resolvendo seu determinante, será obtido o seguinte resultado: a) b) sen x c) sen x d) sen 3 x. O número de raízes da equação a) 0 b) c) d) 3 e) 4 x 0 3 x x é: 3. Seja A (a ) uma matriz quadrada de ordem 3 tal que, a condições, é correto afirmar que, necessariamente, det A é múltiplo de a) b) 3 c) 5 d) 7 e) p, se i j p, se i j com p inteiro positivo. Em tais 0

11 4. Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 3. Se B será a) 4 b) 6 c) 3 d) /6 e) /4 3 A 0 0 e B é tal que B A, o determinante de 5. Seja A uma matriz quadrada de ordem 3, cujo determinante é igual a 4, qual o valor de x na equação T det(aa ) a) 4 b) 8 c) 6 d) 3 e) 64 4x? 6. Quaisquer que sejam os números reais a, b e c, o determinante da matriz a) ab+ac+bc b) abc c) zero d) abc+ e) a b c vale: 7. Se o determinante mostrado na figura é igual a zero, então x pode ser: x x 3 x a) / b) /4 c) d) 4 e)

12 8. Para todo x e y reais, com x y, o quociente entre os determinantes a) b) c) d) e) x xy y x y x xy y x y x xy y x y x xy y x y x xy y x y x y x y 0 0 y 0 x x y x y y x 0, se i j 9. Sej matriz A = (ai j)x tal que a 4. O determinante da inversa de A é: i j, se i j j a) b) c) d) e) é equivalente a: 0. (EFOMM 00) Sejam as matrizes A , B e X AB. O determinante da matriz X é igual a: a) /6 b) /3 c) d) 8/3

13 e) 6. (EFOMM 009) Se o determinante da matriz a) zero b) cinco c) quinze d) trinta e) quarenta e cinco a b c A d e f g h i é 5, então b 3c d d e 3f g g h 3i é igual a. (EFOMM 0) Sejam A, B e C matrizes de ordem 3 x 3 inversíveis tais que det AB I4 determinante de C é igual a a) 8/3 b) 3/3 c) 9 d) 54 e) 88 deta 3 e. Sabendo-se que I é a matriz identidade de ordem 3 tal que T I 3C B A, o 3. (EFOMM 0) Considere a matriz onde fx a) 8 b) c) 36 d) 8 e) 70 deta é: x x A 3x, então o valor de f no ponto de abscissa, 4x 0 4. (EFOMM 05) Sabendo-se que /3 e det a , calcule, em função de a, 3

14 /3 e det a) a b) a c) a d) a e) 3a. 5. (AFA 05) Considere as seguintes simbologias em relação à matriz M: t M é a matriz transposta de M M é a matriz inversa de M detm é o determinante da matriz M t Da equação X A B C que: I. II., em que A e (B+C) são matrizes quadradas de ordem n e inversíveis, afirma-se t X A B C detx deta det B C III. X B C A t t t São corretas a) apenas I e II b) apenas II e III c) apenas I e III c) I, II e III t 6. (EN-) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n, cujos determinantes são diferentes de zero. Nas proposições abaixo, coloque ( V ) na coluna à esquerda quando a proposição for verdadeira e ( F ) quando for falsa. ( ) det ( A) ( ) n deta, onde A é a matriz oposta de A. t ( ) det A deta, onde ( ) det A (deta), onde ( ) det (3A.B) 3.det A.detB. ( ) det (A B) det A detb. t A é a matriz transposta de A. A é a matriz inversa de A. Lendo a coluna da esquerda, de cima para baixo, encontra-se: 4

15 a) ( V ) ( F ) ( V ) ( F ) ( F ). b) ( F ) ( F ) ( F ) ( V ) ( F ). c) ( F ) ( V ) ( F ) ( V ) ( V ). d) ( V ) ( V ) ( V ) ( F ) ( F ). e) ( V ) ( F ) ( V ) ( F ) ( V ). 7. Sejam L, D e U matrizes quadradas de ordem n, cujos elementos da i-ésima linha e j-ésimacoluna, d e u, respectivamente, são dados por: d u i, para i j i.j, 0, para i j i, para i j i, 0, para i j i, para i j i j 0, para i j O valor do determinante de a) 0. b). c) n. d) n. n e). n A LDU é igual a: 8. Dad matriz A, a soma do módulo dos valores de x que tornam o determinante da matriz A nulo é: x 0 0 x x A x x x a) 7. b) 8. c) 9. d) 0. e). 5

16 9. Considere AM 5 5 (R) com a) b) c) 6. d). e) 6. det(a) 6 e t t α R \ 0 Se det(αa A A ) 6 α, o valor de é: 0. Seja A uma matriz quadrada inversível de ordem 4 tal que o resultado da soma (A 4 3A 3 ) é uma matriz de elementos nulos. O valor do determinante de A é: a) 8. b) 7. c) 3. d) 7. e) 8.. Sejam a, b, c e d reais não nulos. Determine o determinante da matriz produto de números reais. bcd acd b b abd c c abc d d na forma de um 6