Determinantes. Juliana Pimentel. juliana.pimentel. Sala Bloco A, Torre 2

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Yago Palha Rijo
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1 Determinantes Juliana Pimentel juliana.pimentel Sala Bloco A, Torre 2

2 Para uma matriz quadrada A o determinante de A é um número real.

3 Para uma matriz quadrada A o determinante de A é um número real. Esse número sempre existe!

4 Para uma matriz quadrada A o determinante de A é um número real. Esse número sempre existe! Notação: det(a)

5 Para uma matriz quadrada A o determinante de A é um número real. Esse número sempre existe! Notação: det(a) Casos: 1) Se A = [a], definimos o determinante de A como sendo o número real a.

6 2) Se A é uma matriz de ordem 2: [ ] a11 a A = 12 a 21 a 22

7 2) Se A é uma matriz de ordem 2: [ ] a11 a A = 12 a 21 a 22 det(a) = a 11.a 22 a 21.a 12

8 2) Se A é uma matriz de ordem 2: [ ] a11 a A = 12 a 21 a 22 Exemplo: det(a) = a 11.a 22 a 21.a 12 A = [ ]

9 2) Se A é uma matriz de ordem 2: [ ] a11 a A = 12 a 21 a 22 Exemplo: det(a) = a 11.a 22 a 21.a 12 A = [ ] det(a) = 2.3 (4.( 1)) = 6 ( 4) = 10.

10 3) Se A é uma matriz de ordem 3: A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Então podemos calcular o det(a) através de uma regra prática: det(a) = a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 31 a 12 a 23 (a 13 a 22 a 31 + a 23 a 32 a 11 + a 33 a 21 a 12 ).

11 Mas se a matriz tem ordem n onde n 3?

12 Mas se a matriz tem ordem n onde n 3? Qual a definição de determinante?

13 Mas se a matriz tem ordem n onde n 3? Qual a definição de determinante? Vamos proceder no caso de n = 3, a expansão em co-fatores

14 Mas se a matriz tem ordem n onde n 3? Qual a definição de determinante? Vamos proceder no caso de n = 3, a expansão em co-fatores Para j = 1, 2, 3, vamos denotar por M 1j a matriz 2 2 obtida a partir de A retirando-se a 1a. linha e a j-ésima coluna de A.

15 Mas se a matriz tem ordem n onde n 3? Qual a definição de determinante? Vamos proceder no caso de n = 3, a expansão em co-fatores Para j = 1, 2, 3, vamos denotar por M 1j a matriz 2 2 obtida a partir de A retirando-se a 1a. linha e a j-ésima coluna de A. Esta é a expansão em co-fatores através da 1a. linha, e estas matrizes são chamadas menores. Vamos escrever os menores M 11, M 12, M 13.

16 O determinante de A é dado por: det(a) = a 11 M 11 a 12 M 12 + a 13 M 13

17 O determinante de A é dado por: det(a) = a 11 M 11 a 12 M 12 + a 13 M 13 Para cada elemento a ij da matriz A, o co-fator de a ij é denotado por A ij e dado por:

18 O determinante de A é dado por: det(a) = a 11 M 11 a 12 M 12 + a 13 M 13 Para cada elemento a ij da matriz A, o co-fator de a ij é denotado por A ij e dado por: A ij = ( 1) i+j det(m ij )

19 O determinante de A é dado por: det(a) = a 11 M 11 a 12 M 12 + a 13 M 13 Para cada elemento a ij da matriz A, o co-fator de a ij é denotado por A ij e dado por: A ij = ( 1) i+j det(m ij ) Importante: A diferença entre co-fator e menor de um elemento a ij é somente um sinal

20 O determinante da matriz A de ordem 3 é também pode ser definido por:

21 O determinante da matriz A de ordem 3 é também pode ser definido por: det(a) = a 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13

22 O determinante da matriz A de ordem 3 é também pode ser definido por: det(a) = a 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13 Vamos calcular o determinante da matriz:

23 O determinante da matriz A de ordem 3 é também pode ser definido por: det(a) = a 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13 Vamos calcular o determinante da matriz: A =

24 Caso geral Seja A = (a ij ) de ordem n. O determinante de A é definido por: det(a) = a 11 A 11 + a 12 A a 1n A 1n ( ) onde A 1j é o cofator do elemento a 1j.

25 Caso geral Seja A = (a ij ) de ordem n. O determinante de A é definido por: det(a) = a 11 A 11 + a 12 A a 1n A 1n ( ) onde A 1j é o cofator do elemento a 1j. A expressão dada por ( ) é chamada desenvolvimento em cofatores do determinante de A em termos da 1a. linha.

26 Exemplo Podemos calcular o determinante de uma matriz A fazendo desenvolvimento em cofatores em termos da qualquer linha ou coluna.

27 Exemplo Podemos calcular o determinante de uma matriz A fazendo desenvolvimento em cofatores em termos da qualquer linha ou coluna

28 Exemplo Encontre os valores de λ para os quais o determinante da matriz abaixo é 0.

29 Exemplo Encontre os valores de λ para os quais o determinante da matriz abaixo é 0. [ 2 λ 4 ] 3 3 λ

30 Exercício Calcule o determinante de A utilizando expansão em co-fatores ao longo da primeira linha:

31 Exercício Calcule o determinante de A utilizando expansão em co-fatores ao longo da primeira linha: A = Resposta. det(a)=-1.

32 Propriedades Sejam A e B matrizes de ordem n. Então:

33 Propriedades Sejam A e B matrizes de ordem n. Então: 1) det(ab) = det(a)det(b)

34 Propriedades Sejam A e B matrizes de ordem n. Então: 1) det(ab) = det(a)det(b) 2) det(a T ) = det(a)

35 Propriedades Sejam A e B matrizes de ordem n. Então: 1) det(ab) = det(a)det(b) 2) det(a T ) = det(a) 3) det(a 1 ) = 1 det(a)

36 Propriedades Sejam A e B matrizes de ordem n. Então: 1) det(ab) = det(a)det(b) 2) det(a T ) = det(a) 3) det(a 1 ) = 1 det(a) Decorre destas propriedades que: A é uma matriz inversível se e somente se det(a) 0

37 Encontre matrizes A e B tais que: i) det(a + B) = det(a) + det(b) ii) det(a + B) det(a) + det(b) iii) det(ka) = k n det(a); onde n é a ordem da matriz e k R

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