1 Matrizes e Determinantes

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1 1 Matrizes e Determinantes 11 Introdução Definição (Matriz): Uma matriz A m n é um arranjo retangular de mn elementos distribuídos em m linhas horizontais e n colunas verticais: a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n A = = [a a i1 a i2 a ij a ij m n in a m1 a m2 a mj a mn A i-ésima linha de A é [ ai1 a i2 a in (1 i m); e a j-ésima coluna de A é a 1j a 2j a mj (1 j n) Nos referimos ao elemento a ij, que está na í-ésima linha e na j-ésima coluna de A, como o i,j-ésimo elemento de A ou o elemento (i,j) de A Os elementos de uma matriz podem ser números (reais ou complexos), funções, ou ainda outras matrizes Usaremos sempre letras maiúsculas para denotar matrizes, e quando quisermos especificar a ordem de uma matriz A (isto é, o número de linhas e colunas), escreveremos A m n Exemplo: A matriz é uma matriz 2 3, com A = [ a 11 = 1, a 12 = 0, a 13 = 4, a 21 = 4, a 22 = 3, a 23 = 2 Exemplo: A matriz a seguir fornece as distâncias de vôo entre as cidades indicadas (em km): São Paulo Rio de Janeiro Brasília Belo Horizonte São Paulo Rio de Janeiro Brasília Belo Horizonte

2 Exemplo: Suponha que um fabricante tem quatro fábricas, cada uma das quais manufatura três produtos Se denotarmos por a ij a quantidade do produto i manufaturada pela fábrica j em 1 semana, então a produção semanal do fabricante é dada pela matriz 3 4: Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3 Fábrica 4 Produto 1 [ Produto Produto Definição (Igualdade de matrizes): Duas matrizes A m n = [a ij m n e B r s = [b ij r s são iguais, A = B, se elas têm o mesmo número de linhas (m = r) e colunas (n = s), e todos os seus elementos correspondentes são iuais (a ij = b ij ) Exemplo: [ log = [ 9 sen90 o Tipos Especiais de Matrizes Consideremos uma matriz com m linhas e n colunas que denotamos por A m n : Matriz Quadrada é aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas (m = n) Exemplos: e [ No caso de matrizes quadradas A m m, costumamos dizes que A é uma matriz quadrada de ordem m Matriz Nula é aquela em que a ij = 0, para todo i e j [ [ Exemplos: A 2 2 = e B = Matriz-Coluna é aquela que possui uma única coluna (n = 1) 1 [ Exemplos: 4 x e y 3 Matriz-Linha é aquela onde m = 1 Exemplos: [ e [ 0 0 Matriz Diagonal é uma matriz quadrada (m = n) onde a ij = 0, para i = j, isto é, os elementos que não estão na diagonal são nulos Exemplos: e

3 Matriz Identidade Quadrada é aquela em que a ii = 1 e a ij = 0, para i = j [ Exemplos: I 3 = e I 2 = Matriz Triangular Superior é uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal são nulos, isto é, m = n e a ij = 0, para i > j [ Exemplos: a b e 0 c Matriz Triangular Inferior é aquela em que m = n e a ij = 0, para i < j Exemplos: e Matriz Simétrica é aquela onde m = n e a ij = a ji Exemplos: e a b c d b e f g c f h i d g i k Observe que, no caso da matriz simétrica, a parte superior é uma reflexão da parte inferior, em relação à diagonal 13 Operações com Matrizes 131 Adição A soma de duas matrizes de mesma ordem, A m n = [a ij e B m n = [b ij, é uma matriz m n, que denotaremos A+B, cujos elementos são somas dos elementos correspondentes de A e B Isto é, A+B = [a ij +b ij m n Exercício 11: Exercício 12: Considere as tabelas, que descrevem a produção de grãos em dois anos consecutivos Tabela 1: Produção de grãos (em milhares de toneladas) durante o primeiro ano soja feijão arroz milho Região A Região B Região C

4 Tabela 2: Produção de grãos (em milhares de toneladas) durante o segundo ano soja feijão arroz milho Região A Região B Região C Monte uma tabela que dê a produção por produto e por região nos dois anos conjuntamente Propriedades: Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem m n, temos: i) A+B = B+A ii) A+(B+C) = (A+B)+C iii) A+0 = A, onde 0 denota a matriz nula m n Observação: A diferença entre A e B é uma matriz A B = [a ij b ij m n 132 Multiplicação por Escalar Seja A = [a ij m n e k um número, então definimos uma nova matriz [ 2 10 Exercício 13: k A = [ka ij m n Exercício 14: Considere as tabelas do Exercício 12, que descrevem a produção de grãos de três regiões em dois anos consecutivos, e a seguinte situação: Existem muitos incentivos 4

5 para se incrementar a produção, condições climáticas favoráveis, etc, de tal forma que a previsão para a safra do terceiro ano será o triplo da produção do primeiro Obtenha a matriz de estimativa da produção do terceiro ano Propriedades: Dadas matrizes A e B de mesma ordem m n e números k, k 1 e k 2, temos: i) k(a+b) = ka+kb ii) (k 1 +k 2 )A = k 1 A+k 2 A iii) 0 A = 0, isto é, se multiplicarmos o número zero por qualquer matriz A, teremos a matriz nula iv) k 1 (k 2 A) = (k 1 k 2 )A 133 Transposição Dada uma matriz A = [a ij m n, podemos obter uma outra matriz A = [b ij n m, cujas linhas são as colunas de A, isto é, b ij = a ji A é denominada transposta de A Exercício 15: 2 1 a) A = 0 3 Determine A 1 4 [ 1 3 b) B = Determine B 3 2 c) [ 1 2 5

6 Propriedades: i) Uma matriz é simétrica se, e somente se, ela é igual à sua transposta, isto é, A = A ii) A = A iii) (A+B) = A + B iv) (ka) = ka, onde k é qualquer escalar 134 Multiplicação de Matrizes Sejam A = [a ij m n e B = [b rs n p Definimos AB = [c uv m p, onde c uv = n a uk b kv = a u1 b 1v + +a un b nv k=1 Observações: i) Só podemos efetuar o produto de duas matrizes A m n e B l p se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda, isto é, n = l Além disso, a matriz-resultado C = AB será de ordem m p ii) O elemento c ij (i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz produto) é obtido multiplicando os elementos da i-ésima linha da primeira matriz pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna da segunda matriz, e somando estes produtos Exercício 16: 2 1 a) b) c) [ Propriedades: [ [ i) Em geral AB BA (podendo mesmo um dos membros estar definido e o outro não) Exercício 17: Sejam A = e B =

7 a) AB b) BA Desde que sejam possíveis as operações, as seguintes propriedades são válidas: ii) AI = IA = A iii) A(B+C) = AB+AC iv) (A+B)C = AC+BC v) (AB)C = A(BC) vi) (AB) = B A vii) 0 A = 0 e A 0 = 0 Exercício 18: Joga-se pesticida nas plantas para eliminar os insetos daninhos Entretanto, parte do pesticida é absorvida pela planta Os pesticidas são absorvidos pelos herbívoros que comem essas plantas Suponha que temos três tipos de pesticidas e quatro tipos de plantas Denotando por a ij a quantidade do pesticida i (em miligramas) que foi absorvida pela planta j, essa informação pode ser representada pela matriz A = Planta 1 Planta 2 Planta 3 Planta 4 [ Pesticida Pesticida Pesticida 3 Suponha, agora, que temos três herbívoros Denotando por b ij o número de plantas do tipo i que um herbívoro do tipo j come por mês, esta informação pode ser representada pela matriz Herbívoro 1 Herbívoro 2 Herbívoro Planta 1 B = Planta Planta Planta 4 Determine a quantidade de cada tipo de pesticida absorvida por cada tipo de herbívoro 7

8 135 Potência de uma Matriz Uma matriz quadrada A = [a ij pode ser multiplicada n vezes por si mesma A matriz que resulta dessas operações, e que se representa por A n, é chamada potência n da matriz A [ 1 2 Exercício 19: Se A = 4 3 a) A 2 = b) A 3 = 14 Operações elementares sobre as linhas de uma matriz São três as operações elementares sobre as linhas de uma matriz: i) Permuta das i-ésima e j-ésima linhas (L i L j ) Exemplo: L 2 L ii) Multiplicação da i-ésima linha por um escalar não-nulo k (L i kl i ) Exemplo: L 2 3L i) Substituição da i-ésima linha pela i-ésima linha mais k vezes a j-ésima linha (L i L i +kl j ) Exemplo: L 3 L 3 +2L Definição (Matriz elementar): Uma matriz elementar é uma matriz obtida a partir da identidade, através da aplicação de uma operação elementar com linhas Teorema: Se A é uma matriz, o resultado da aplicação de uma operação com as linhas de A é o mesmo que o resultado da multiplicação da matriz elementar E correspondente à operação com linhas pela matriz A 8

9 Definição (Matrizes linha equivalentes): Se A e B são matrizes m n, dizemos que B é linha equivalente a A, se B for obtida de A através de um número finito de operações elementares sobre as linhas de A, e denotamos por A B ou A B Exercício 110: Verifique que é linha equivalente a

10 Definição (Forma escada): Uma matriz m n é linha reduzida à forma escada se a) O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1 b) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero c) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas (isto é, daquelas que possuem pelo menos um elemento não nulo) d) Se as linhas 1,,r são linhas não nulas, e se o primeiro elemento não nulo da linha i ocorre na coluna k i, então k 1 < k 2 < < k r A última condição impõe a forma escada à matriz Isto é, o número de zeros precedendo o primeiro elemento não nulo de uma linha aumenta a cada linha, até que sobrem somente linhas nulas, se houver Exemplos: Não é forma escada pois a segunda condição não é satisfeita Não é forma escada pois não satisfaz a primeira e a quarta condições Não satisfaz a primeira nem a terceira condição É forma escada pois todas as condições são satisfeitas Teorema: Toda matriz A m n é linha equivalente a uma única matriz linha reduzida à forma escada Definição (Posto e nulidade): Dada uma matriz A m n, seja B m n a matriz linha reduzida à forma escada linha equivalente a A O posto de A, denotado por p, é o número de linhas não nulas de B A nulidade de A é o número n p Exercício 111: Encontre o posto e a nulidade das matrizes a) A =

11 b) B =

12 15 Determinante de uma matriz Definição (Permutação): Dados n objetos distintos a 1,a 2,,a n, uma permutação destes objetos consiste em dispô-los em uma determinada ordem A quantidade de permutações de n objetos é dada por n! Exemplo: (1 2 3) é uma permutação dos números 1, 2 e 3; (2 1 3) é outra permutação; etc Definição (Inversão): Dada uma permutação dos inteiros 1,2,,n, existe uma inversão quando um inteiro precede outro menor que ele Exemplo: Considere as permutações de 1, 2 e 3, e veja em cada permutação o número de inversões Permutação Número de inversões (1 2 3) 0 (1 3 2) 1 (2 1 3) 1 (2 3 1) 2 (3 1 2) 2 (3 2 1) 3 Definição (Determinante): deta = ρ ( 1) J a 1j1 a 2j2 a njn onde J = J(j 1,,j n ) é o número de inversões da permutação (j 1 j 2 j n ) e ρ indica que a soma é estendida a todas as n permutações de (1 2 n) Em relação a esta definição podemos fazer três observações: i) Se a permutação(j 1 j 2 j n ) tem um número ímpar de inversões, o coeficiente ( 1) J do termo correspondente na somatória terá sinal positivo; caso contrário, terá sinal negativo ii) Em cada termo da somatória, existe um e apenas um elemento de cada linha, e um e apenas um elemento de cada coluna da matriz iii) Através de uma reordenação conveniente dos termos, mostra-se que também é possível definir um determinante por det[a ij = ρ ( 1) J a j1 1a j2 2 a jnn variando os primeiros e deixando fixos os segundos índices Propriedades: i) Se todos os elementos de uma linha (ou coluna) de uma matriz A são nulos, deta = 0 ii) deta = deta iii) Se multiplicarmos uma linha da matriz por uma constante, o determinante fica multiplicado por esta constante 12

13 iv) Uma vez trocada a posição de duas linhas, o determinante muda de sinal v) O determinante de uma matriz que tem duas linhas (ou colunas) iguais é zero a 11 a 1n a 11 a 1n a 11 a 1n vi) b i1 +c i1 b in +c in = b i1 b in + c i1 c in a n1 a nn a n1 a nn a n1 a nn vii) O determinante não se altera se somarmos a uma linha outra linha multiplicada por uma constante viii) det(a B) = deta detb 151 Cálculo do determinante de ordem 2 Seja a matriz [ a11 a A = 12 a 21 a Permutação Número de inversões (1 2) 0 (2 1) 1 deta = ( 1) 0 a 11 a 22 +( 1) 1 a 12 a 21 deta = a 11 a 22 a 12 a 21 Exercício 112: Calcular o determinante das matrizes: [ 7 5 a) A = 2 4 [ 3 8 b) A = 5 2 [ 1 0 c) A = 0 1 [ 6 3 d) A = Cálculo do determinante de ordem 3 Seja a matriz A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a

14 Permutação Número de inversões (1 2 3) 0 (1 3 2) 1 (2 1 3) 1 (2 3 1) 2 (3 1 2) 2 (3 2 1) 3 deta = ( 1) 0 a 11 a 22 a 33 +( 1) 1 a 11 a 23 a 32 +( 1) 1 a 12 a 21 a 33 +( 1) 2 a 12 a 23 a ( 1) 2 a 13 a 21 a 32 +( 1) 3 a 13 a 22 a 31 deta = a 11 a 22 a 33 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 Exercício 113: Calcular o determinante das matrizes: a) A = b) A = Desenvolvimento de Laplace deta n n = n a ij ij j=1 onde ij é o cofator do elemento a ij, definido por ij = ( 1) i+j A ij sendo que A ij representa uma submatriz da matriz inicial A, da qual foram retiradas a i-ésima linha e a j-ésima coluna Exercício 114: Calcule o determinante das matrizes a) A =

15 b) A =

16 Cálculo do determinante através de redução por linhas Teorema: Se A é uma matriz triangular de ordem n, então deta é o produto dos elementos da diagonal principal da matriz; ou seja, deta = a 11 a 22 a nn Exercício 115: Calcule o determinante da matriz A =

17 16 Inversa de uma matriz Definição (Matriz inversa): Dada uma matriz quadrada A de ordem n, chamamos de inversa de A a uma matriz B tal que A B = B A = I n, onde I n é a matriz identidade de ordem n Escrevemos A 1 para a inversa de A Exemplos: [ [ 2 3 A= A 1 = [ 1 4 [ 6 2 B= B 1 = 11 4 Observações: , pois A A 1 = A 1 A = I 2, pois B B 1 = B 1 B = I 2 i) Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, ambas inversíveis, então A B é inversível e (A B) 1 = B 1 A 1 ii) Se A é uma matriz quadrada e existe uma matriz B tal que BA = I, então A é inversível, ou seja, A 1 existe e, além disso, B = A 1 iii) Nem toda matriz tem inversa [ 0 2 Exemplo: 0 1 Suponhamos agora que A n n tenha inversa, isto é, existe A 1 tal que A A 1 = I n Usando o determinante temos Então: det(a A 1 ) = deta deta 1 e deti n = 1 deta deta 1 = 1 Desse produto concluímos que se A tem inversa, i) deta 0 ii) deta 1 = 1 deta Teorema: Uma matriz quadrada A admite inversa se, e somente se, deta 0 Procedimento para a inversão de matrizes Teorema: Se A é uma matriz inversível, sua matriz-linha reduzida à forma escada, R, é a identidade Além disso, A é dada por um produto de matrizes elementares Suponha que, ao reduzir uma matriz A à forma escada linha reduzida, a matriz identidade seja obtida como resultado Neste caso, como a cada operação com linhas corresponde uma multiplicação por uma matriz elementar E i, teremos: I = E k E k 1 E 2 E 1 A ou que implica I = (E k E k 1 E 2 E 1 I)A E k E k 1 E 2 E 1 I = A 1 17

18 Teorema: Se uma matriz A pode ser reduzida à matriz identidade por uma sequência de operações elementares com linhas, então A é inversível e a matriz inversa de A é obtida da matriz identidade, aplicando-se a mesma sequência de operações com linhas Na prática, operamos simultaneamente com as matrizes A e I, através de operações elementares, até chegarmos à matriz I na posição correspondente à matriz A A matriz obtida no lugar correspondente à matriz I será a inversa de A ( ) ( ) A I I A 1 Exercício 116: Obtenha a inversa das matrizes a) A =

19 b) A = Referências BOLDRINI, J L et al Álgebra Linear São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1980 KOLMAN, B; HILL, D R Introdução à Álgebra Linear com Aplicações Rio de Janeiro: LTC, 2006 STEINBRUCH, A; WINTERLE, P Álgebra Linear São Paulo: Pearson Makron Books,