Determinantes - Matemática II / Determinantes

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1 Determinantes - Matemática II - 00/05 19 Permutações Determinantes Seja n N Uma permutação p = (p 1 ; p ; : : : ; p n ) do conjunto f1; ; ; ng é um arranjo dos n números em alguma ordem, sem repetições ou omissões Denota-se por S n o conjunto de todas as permutações do conjunto f1; ; ; ng É fácil veri car que este conjunto tem n! = n (n 1) (n ) : : : 1 elementos (Note-se que p é uma aplicação bijectiva de f1; ; ; ng em f1; ; ; ng) À permutação (1; ; : : : ; n) chama-se permutação identidade Considerando uma permutação p, chama-se paridade da permutação à paridade do número de trocas que é necessário efectuar em p para voltar a pôr os números na ordem inicial Esse número não é único, mas a sua paridade é sempre a mesma Diz-se que a permutação é par se o número de trocas for par e ímpar se o número é ímpar De ne-se o sinal de uma permutação p; sgn (p) ; da seguinte forma:sgn ( +1 se p é par sgn (p) = 1 se p é ímpar A permutação identidade tem sinal +1 e qualquer permutação que só troque dois números tem sinal 1: Alternativamente a paridade da permutação pode ser encontrada da seguinte forma: Diz-se que ocorre uma inversão na permutação sempre que um número maior precede um menor O número total de inversões que ocorre numa permutação p = (p 1 ; p ; : : : ; p n ) calcula-se do seguinte modo: 1) Contam-se os números menores que p 1 que estão à sua frente na permutação ) Contam-se os números menores que p que estão à sua frente na permutação ) Continua-se esta contagem para p ; : : : ; p n 1 : ) Somam-se os números obtidos em cada passo, o que dá o número total de inversões Como o número total de inversões corresponde a um possível número de trocas para transformar a permutação na identidade, a paridade desse número é a paridade da permutação 1 A permutação identidade (1; ; : : : ; n) tem sinal mais +1; pois efctuam-se 0 trocas Qualquer permutação que só troque dois números tem sinal 1: Por exemplo, em S ; as permutações (; 1; ) e (; ; 1) tem sinal 1: A permutação em S ; (; 1; ; ; 5; ) é par pois ocorrem 8 inversões ( = 8) A permutação em S ; (; 1; ; ; ; 5) é ímpar, pois são necessárias trocas para obter a ordem usual

2 Determinantes - Matemática II - 00/05 0 Produtos elementares Seja A = [a ij ] nn uma matriz quadrada de ordem n Chama-se produto elementar de A a um produto de n entradas da matriz A contendo exactamente uma entrada de cada linha e de cada coluna de A; isto é, um produto da forma a 1p1 a p a npn ; em que p = (p 1 ; p ; : : : ; p n ) é uma permutação A cada produto elementar está, portanto, associada uma permutação e vice-versa Consequentemente, para uma matriz de ordem n, há n! produtos elementares 1 Numa matriz n n; a 11 a : : : a nn é o produto elementar associado à permutação identidade (1; ; : : : ; n) : Numa matriz de ordem, a 1 a 1 a a a 55 a é o produto elementar associado a à permutação (; 1; ; ; 5; ) : Numa matriz de ordem, a 1 a 1 a a a 5 a 5 é o produto elementar associado a à permutação (; 1; ; ; ; 5) : Na matriz ; = 8 é o produto elementar associado à permutação (; ; 1) : 5 Um produto elementar assinalado é um produto elementar multiplicado pelo sinal da permutação que lhe está associada, ou seja +a 1p1 a p a npn ou a 1p1 a p a npn : 1 +a 11 a : : : a nn porque sgn (1; ; : : : ; n) = +1 Numa matriz de ordem, +a 1 a 1 a a a 55 a é o produto elementar assinalado associado à permutação (; 1; ; ; 5; ) ; que tem sinal +1: Numa matriz de ordem, a 1 a 1 a a a 5 a 5 é o produto elementar assinalado associado à permutação (; 1; ; ; ; 5) ; que tem sinal 1: Na matriz ; ( 1) = 8 é o produto elementar assinalado 5 associado à permutação (; ; 1) :

3 Determinantes - Matemática II - 00/05 1 De nição de erminante de uma matriz quadrada O erminante da matriz A ( A ou jaj) é a soma de todos os produtos elementares assinalados de A; isto é: A = X sgn (p) a 1p1 a p a npn : ps n Determinantes de ordem 1, e Ordem 1: A = [a 11 ] Ordem : Para A = a 11 a 1 a 1 a # ; tem-se: (A) = a 11 : Produtos elementares Permutação associada Paridade Prod elem assinalado a 11 a (1; ) par +a 11 a a 1 a 1 (; 1) ímpar a 1 a 1 Assim: (A) = a 11 a a 1 a 1 : Ordem : Para A = a 11 a 1 a 1 a 1 a a a 1 a a 5 tem-se: Produtos elementares Permutação associada Paridade Prod elem assinalado a 11 a a (1; ; ) par +a 11 a a a 1 a a 1 (; ; 1) par +a 1 a a 1 a 1 a 1 a (; 1; ) par +a 1 a 1 a a 1 a a 1 (; ; 1) ímpar a 1 a a 1 a 1 a 1 a (; 1; ) ímpar a 1 a 1 a a 11 a a (1; ; ) ímpar a 11 a a Assim: (A) = a 11 a a + a 1 a a 1 + a 1 a 1 a a 1 a a 1 a 1 a 1 a a 11 a a : Por razões óbvias, os erminantes de ordem superior a três não se calculam por de nição Vamos ver de seguida como pode ser efectuado esse cálculo Começamos por ver alguns casos particulares em que o cálculo do erminante, seja qual for a ordem, se efectua por de nição

4 Determinantes - Matemática II - 00/05 Determinantes de matrizes de tipo especial Seja A = [a ij ] i=1;:::;n uma matriz quadrada de ordem n: j=1;:::;n Matriz diagonal: Se A é uma matriz diagonal, então Como casos particulares tem-se que: (A) = a 11 a a nn : 1 (I n ) = 1 (O n ) = 0 Se A é escalar e o elemento da diagonal é k, então, (A) = k n : Matriz triangular: Se A = é uma matriz triangular (inferior ou superior), então (A) = a 11 a a nn : Propriedades Seja A = [a ij ] nn uma matriz quadrada de ordem n : 1 (A) = A > Se a matriz A 0 pode ser obtida da matriz A por troca de duas linhas (ou duas colunas), então (A 0 ) = (A) Se A é uma matriz com uma linha (ou com uma coluna) de zeros, então (A) = 0 Se a matriz A tem duas linhas iguais (ou duas colunas iguais), então (A) = 0 5 Se L 1 ; : : : ; L i ; : : : ; L n designam as linhas da matriz A e L i = kl 0 i, k R, então (A) = k L 1 L 0 i L n 5 Se a matriz A tem uma linha (coluna) múltipla de outra, então (A) = 0 Se L 1 ; : : : ; L i ; : : : ; L n designam as linhas da matriz A e L i = L 0 i + L 00 i (A) = L 1 L 0 i + 5 L 1 L 00 i 5 então L n L n

5 Determinantes - Matemática II - 00/05 8 Se C 1 ; : : : ; C i ; h : : : ; C n designam as colunas i h da matriz A e C i = Ci 0 + Ci 00 (A) = C 1 Ci 0 : : : C n + C 1 Ci 00 : : : C n i então 9 Se C 1 ; : : : ; C i ; : h : : ; C n designam as colunas i da matriz A e C i = kci; 0 k R, então (A) = k C 1 Ci 0 : : : C n : 10 Se k R, então (ka) = k n (A) 11 Se B é também uma matriz de ordem n, então (AB) = (A) (B) 1 A matriz A é invertível se e só se (A) = 0 (e se e só se car (A) = n) 1 Se A é invertível, então (A 1 ) = ( A) 1 Efeitos das operações elementares no erminante Tipo I: Se a matriz B foi obtida da matriz A por troca de duas linhas, então (B) = (A) Exemplo: 9 5 = 1 L 1 $ L Tipo II Se multiplicarmos uma linha da matriz por um número real diferente de zero então multiplica-se o erminante pelo inverso desse número 9 1 Exemplo: = L 1 Tipo III Se adicionarmos a uma linha da matriz outra linha multiplicada por um número real o erminante não se altera 1 1 Exemplo: = = L 1 + L Determinantes das matrizes elementares Tipo I: Se E é uma matriz elementar de tipo I, então (E) = 1 Tipo II Se E é uma matriz elementar de tipo II, então (E) = Tipo III Se E é uma matriz elementar de tipo III, então (E) = 1

6 Determinantes - Matemática II - 00/05 Cálculo do erminante através do método de eliminação Reduz-se a matriz a uma forma de escada Quando se efectuam operações nas linhas da matriz sabe-se qual o efeito no erminante e, como a forma de escada de uma matriz quadrada é uma matriz triangular, o erminante desta obtém-se, como foi visto atrás, multiplicando os elementos da diagonal principal = = L 1 $ L L 1 L 1 1 = = L L 1 + L L 10L + L = ( ) ( 55) = = = = L L 1 + L = L L 1 + L = L $ L L L 1 + L = L L + L = = L L + L L L + L =