Espaços vectoriais reais

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1 Espaços Vectoriais - Matemática II /05 40 Introdução Espaços vectoriais reais O que é que têm em comum o conjunto dos pares ordenados de números reais, o conjunto dos vectores livres no espaço, o conjunto das matrizes reais de um determinado tipo, o conjunto dos polinómios reais numa indeterminada x e o conjunto das funções reais de variável real? À partida os elementos destes conjuntos são entes de natureza diferente, mas em todos os conjuntos se de ne uma operação denominada soma e, para cada um dos conjuntos, sabe-se efectuar o produto de um número real por um dos seus elementos. Quando se fala de soma não é habitualmente uma soma de números e pode nem sequer envolver qualquer soma de números, como se vê, por exemplo, no caso da soma de vectores no espaço. Veri ca-se, no entanto, que a soma de nida em qualquer dos conjuntos referidos goza de propriedades comuns em todos eles e comuns à soma usual: é comutativa, associativa, tem elemento neutro e qualquer elemento tem simétrico. Para o produto de um número real por um elemento de qualquer dos conjuntos também se encontram propriedades comuns. A observação dessas propriedades comuns conduz à de nição do conceito mais geral de espaço vectorial real. De nição Seja V um conjunto não vazio no qual estão de nidos uma soma + que associa a cada par de elementos de V um elemento de V e um produto escalar que associa a cada par formado por um número real e um elemento de V; um elemento de V, ou seja: 8v 1 ; v 2 2 V; v 1 + v 2 2 V. (V é fechado para a soma). 8 2 R; 8v 2 V; v 2 V: ( V é fechado para o produto escalar). V é um espaço vectorial real se são satisfeitas as seguintes propriedades para a soma e produto escalar: (S 1 ) 8u; v 2 V, u + v = v + u: (propriedade comutativa) (S 2 ) 8u; v; w 2 V, (u + v) + w = u + (v + w) : (propriedade associativa) (S 3 ) Existe um elemento em V; representado por 0 V ; tal que: 8v 2 V; v+0 V = v. (existência de elemento neutro) (S 4 ) Para todo o v 2 V; existe um elemento em V, representado por v; tal que v + ( v) = 0 V. (existência de simétricos) (P 1 ) 8 2 R; 8u; v 2 V; (u + v) = u + v: (P 2 ) 8; 2 R; 8v 2 V; ( + ) v = ( v) + ( v) : (P 3 ) 8; 2 R; 8v 2 V; () v = ( v) : (P 4 ) 8v 2 V, 1 v = v.

2 Espaços Vectoriais - Matemática II /05 41 Observações 1. Os elementos de V designam-se por vectores. 2. Os elementos de R designam-se por escalares. 3. A de nição de espaço vectorial não especi ca a natureza dos elementos de V, nem das operações de soma e produto escalar. Qualquer tipo de objecto pode ser um vector e as operações podem nada ter a ver com as operações de soma e produto de números. 4. Ao vector 0 V chama-se vector nulo do espaço vectorial V. 5. Ao vector v chama-se simétrico do vector v. 6. Quando não há ambiguidade omite-se o símbolo no produto escalar. 7. Há uma de nição análoga de espaço vectorial complexo, em que os escalares são números complexos. 8. A de nição de espaço vectorial pode ser ainda mais geral, sendo os escalares elementos de uma estrutura também mais geral chamada corpo. Exemplos de espaços vectoriais reais 1. O conjunto dos vectores no espaço, com a soma usual de vectores e o produto usual de um número real por um vector. 2. Para m; n 2 N; o conjunto das matrizes de tipo m n; com a soma usual e o produto escalar usual. Este conjunto designa-se por M mn (R) : 3. Como casos particulares do exemplo anterior têm-se os conjuntos M m1 (R) e M 1n (R) : 4. Para n 2 N;o conjunto R n = f(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) : x 1 ; x 2 ; :::; x n 2 Rg com as seguintes operações de soma e produto escalar: 8 (x 1 ; x 2 ; :::; x n ) ; (y 1 ; y 2 ; :::; y n ) 2 R n ; (x 1 ; x 2 ; :::; x n )+(y 1 ; y 2 ; :::; y n ) = (x 1 + y 1 ; x 2 + y 2 ; :::; x n + y n ) 8 (x 1 ; x 2 ; :::; x n ) 2 R n ; 8 2 R; (x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = (x 1 ; x 2 ; :::; x n ). 5. Como casos particulares do exemplo 4 destacam-se, pela sua importância, R (n = 1) ; R 2 e R 3 : 6. O conjunto R [x] dos polinómios reais na indeterminada x; com a soma usual de polinómios e o produto usual de um número real por um polinómio. 7. O conjunto R n [x] dos polinómios reais na indeterminada x com grau menor ou igual a n; com as operações referidas no exemplo 6.

3 Espaços Vectoriais - Matemática II / O conjunto F (R) das funções reais de variável real, com as operações usuais de soma de funções e de produto de um número real por uma função: 8f; g 2 F (R) ; (f + g) (x) = f (x) + g (x) : 8f 2 F (R) ; 8k 2 R; (kf) (x) = kf (x) : Propriedades: Seja V um espaço vectorial real. Então: 1. O vector nulo é único. 2. O simétrico de cada vector de V é único. 3. 8v 2 V; 0 v = 0 V R; 0 V = 0 V. 5. 8v 2 V; ( 1) v = v. 6. Se v = 0 V, então = 0 ou v = 0 V : Subespaços vectoriais De nição: Seja V um espaço vectorial real. Um subconjunto F de V diz-se um subespaço vectorial de V se, com as mesmas operações de soma e produto escalar de nidas em V, F é um espaço vectorial. Apesar de um subespaço vectorial ter de veri car todas as propriedades da de nição de espaço vectorial, para identi car se um determinado conjunto é subespaço vectorial de um espaço vectorial, basta veri car que é não vazio e que é fechado para a soma e para o produto escalar; como se estabelece na seguinte proposição: Proposição: Seja V um espaço vectorial real. Um subconjunto F de V é um subespaço vectorial de V se e só se, simultaneamente se veri cam: 1. F 6=? (em particular, 0 V 2 F ); 2. 8u; v 2 F; u + v 2 F ; R; 8u 2 F; u 2 F:

4 Espaços Vectoriais - Matemática II /05 43 Exemplos: 1. Para qualquer espaço vectorial real V; os subconjuntos V e f0 V g são subespaços vectoriais de V. O subespaço f0 V g denomina-se subespaço nulo. 2. Se é um valor próprio de uma matriz quadrada de ordem n, A; o subespaço próprio U = fx 2 M n1 (R) : AX = Xg é um subespaço vectorial de M n1 (R). 3. Seja A uma matriz real de tipo m n. O conjunto F = fx 2 M n1 (R) : AX = 0g formado pelas soluções do sistema homogéneo. AX = 0 é um subespaço vectorial de M n1 (R) (ou de R n ). A este subespaço chama-se núcleo ou espaço nulo da matriz A: 4. O conjunto F = fa 2 M nn (R) : A é triangular inferiorg é subespaço vectorial de M nn (R) : 5. O conjunto F = ff 2 F (R) : f é contínuag é subespaço vectorial de F (R) : 6. Para cada n 2 N; R n [x] é subespaço vectorial de R [x] : 7. O conjunto F = f(x 1 x 2 ; x 3 ) 2 R 3 : x 1 x 2 = 0 e 2x 1 x 3 = 0g é subespaço vectorial de R 3 : Este exemplo é um caso particular ( do exemplo 3, pois os elementos de F são x 1 x 2 = 0 as soluções do sistema homogéneo ; ou seja, as soluções do sistema 2x 1 x 3 = 0 " # AX = 0; em que A = : O conjunto F = f(x 1 ; x 2 ; x 3 ) 2 R 3 : x 1 x 2 = 1 e 2x 1 x 3 = 2g não é subespaço vectorial de R 3 ; dado que (0; 0; 0) =2 F: 9. Mais geralmente, sendo A uma matriz real de tipo mn, o conjunto de soluções de um sistema de equações AX = B; não homogéneo (B 6= 0), nunca é subespaço vectorial de M n1 (R) ; pois o vector nulo não pertence a F: 10. O conjunto F = f(x 1 ; x 2 ; x 3 ) 2 R 3 : x 2 1 x 2 = 0g não é subespaço vectorial de R 3 : Embora (0; 0; 0) pertença a F; o conjunto não é fechado para a soma. Combinações lineares Seja V um espaço vectorial real. Um vector u 2 V é combinação linear dos vectores u 1 ; u 2 ; :::; u n 2 V se existem escalares 1 ; 2 ; :::; n 2 R tais que u = 1 u u 2 + ::: + n u n : Os escalares 1 ; 2 ; :::; n são os coe cientes da combinação linear.

5 Espaços Vectoriais - Matemática II /05 44 Exemplos: 1. O vector nulo é combinação linear de qualquer sistema de vectores, com os coe cientes todos nulos. Por exemplo, 0 (2; 2; 3) + 0 (1; 1; 0) + 0 (0; 0; 1) = (0; 0; 0) : 2. Pode-se escrever o vector nulo como combinação linear dos mesmos vectores do exemplo anterior, mas com coe cientes diferentes de 0: 1 (2; 2; 3)+( 2) (1; 1; 0)+( 3) (0; 0; 1) = (0; 0; 0) : Quando uma combinação linear origina o vector nulo chama-se combinação linear nula. 3. O vector (2; 3; 5) não é combinação linear de u 1 = (1; 0; 0) e u 2 = (0; 1; 0) ; pois qualquer combinação linear destes dois vectores tem a última coordenada nula: 8 1 ; 2 2 R, 1 (1; 0; 0) + 2 (0; 1; 0) = ( 1 ; 2 ; 0) : 4. Como (2; 3; 5) = 2 (1; 0; 0)+3 (0; 1; 0)+( 5) (0; 0; 1) ; o vector (2; 3: 5) é combinação linear de (1; 0; 0) ; (0; 1; 0) e (0; 0; 1) com coe cientes 2; 3 e 5; respectivamente. 5. Mais geralmente qualquer vector (a 1 ; a 2 ; a 3 ) 2 R 3 é combinação linear (1; 0; 0) ; (0; 1; 0) e (0; 0; 1) ; com coe cientes a 1 ; a 2 e a 3 : respectivamente. 6. A partir da fórmula fundamental da trigonometria, sen 2 (x) + cos 2 (x) = 1; 8x 2 R, veri ca-se que a função real constante f (x) = 1; 8x 2 R, é combinação linear das funcões sen 2 (x) e cos 2 (x) ; sendo os dois coe cientes iguais a 1: Independência e dependência linear Chama-se sistema de vectores de um espaço vectorial V a qualquer grupo de vectores de V. Um sistema de vectores difere de um conjunto de vectores por admitir vectores repetidos. Para diferenciar um sistema de vectores de um conjunto de vectores, em vez de f g vai-se utilizar [ ] : De nição: Seja [v 1 ; v 2 ; :::; v n ] um sistema de vectores de V. Diz-se que o sistema é linearmente independente se a única combinação linear nula de v 1 ; v 2 ; :::; v n é a que tem todos os coe cientes iguais a 0, isto é: 1 v v n v n = 0 V ) 1 = 2 = ::: = 0 Se o sistema não é linearmente independente, diz-se que é linearmente dependente, ou seja um sistema [v 1 ; v 2 ; :::; v n ] é linearmente dependente se e só se existem números reais 1 ; 2 ; :::; n não todos nulos tais que 1 v v 2 + ::: + n v n = 0 V, ou, ainda, se existe uma combinação linear nula de v 1 ; v 2 ; :::; v n em que nem todos os coe cientes são nulos.

6 Espaços Vectoriais - Matemática II /05 45 Exemplos: 1. O sistema de vectores de R 3 ; [(1; 0; 0) ; (0; 1; 0) ; (0; 0; 1)] é linearmente independente 8 >< 1 = 0 pois 1 (1; 0; 0) + 2 (0; 1; 0) + 3 (0; 0; 1) = (0; 0; 0), ( 1 ; 2 ; 3 ) = 0, 2 = 0 >: 3 = 0 2. O sistema de vectores de R 3 ; [(2; 2; 3) ; (1; 1; 0) ; (0; 0; 1)] é linearmente dependente pois, como foi visto acima, 1 (2; 2; 3) + ( 2) (1; 1; 0) + ( 3) (0; 0; 1) = (0; 0; 0). A proposição seguinte fornece um método prático de reconhecer a dependência ou independência linear de um sistema de vectores, sobretudo quando envolve poucos vectores: Proposição: Um sistema de vectores [v 1 ; v 2 ; :::; v n ] é linearmente dependente se e só se algum dos vectores é combinação linear dos restantes. Demonstração: ) Seja [v 1 ; v 2 ; :::; v n ] um sistema de vectores linearmente dependente. Então existem números reais 1 ; 2 ; :::; n não todos nulos tal que 1 v v 2 + ::: + n v n = 0 V ; Sendo i 6= 0, tem-se: 1 v v n v n = 0 V,, i v i = 1 v 1 i 1 v i 1 i+1 v i+1 ::: n v n,, v i = 1 i 1 i+1 n v 1 v i 1 v i+1 ::: v n i i i i Conclui-se que v i ; pelo menos, é combinação linear dos restantes vectores. ( Por outro lado, se um dos vectores v 1 ; v 2 ; :::; v n é combinação linear dos outros, então v i = 1 v i 1 v i 1 + i+1 v i+1 + ::: + n v n,, 1 v i 1 v i 1 + v i + i+1 v i+1 + ::: + n v n = 0 V (1) e a expressão (1) é uma combinação linear nula de v 1 ; v 2 ; :::; v n em que nem todos os coe - cientes são nulos. Corolário: Um sistema de vectores [v 1 ; v 2 ; :::; v n ] é linearmente independente se e só se nenhum dos vectores é combinação linear dos restantes. Proposição: Sejam V um espaço vectorial real e v 1 ; v 2 ; :::; v n vectores de V. 1. Se algum dos vectores é o vector nulo; então o sistema é linearmente dependente. 2. Se o sistema tem dois vectores iguais, então é linearmente dependente.