Sistemas de equações lineares

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1 ALGA- / - Sistemas de Equações Lineares Sistemas de equações lineares Introdução Uma equação linear nas incógnitas ou variáveis x ; x ; :::; x n é uma expressão da forma: a x + a x + ::: + a n x n = b () onde a ; a ; :::; a n ; b são constantes reais A b chama-se termo independente da equação Exemplos: A equação x +x +x =, que representa um plano no espaço usual, é uma equação linear As equações x x + x =, x + p x = e x = cos x são exemplos de equações não lineares Um sistema de equações lineares nas incógnitas x ; x ; :::; x n é um conjunto nito de equações lineares nessas incógnitas, que se pode representar na forma: a x + a x + ::: + a n x n = b a x + a x + ::: + a n x n = b () a m x + a m x + ::: + a mn x n = b m Exemplos: O conjunto de equações ( x + x + x = x + x x = ; () que representa uma recta no espaço usual, é um sistema de equações lineares, com três incógnitas e duas equações O conjunto de equações x + x + x + x = x + x + x x = x x + x x = x + x x + x = ; () é um sistema de quatro equações e quatro incógnitas

2 ALGA- / - Sistemas de Equações Lineares Soluções de sistemas de equações Uma solução de uma equação linear da forma () é uma sequência (s ; s ; :::; s n ) de números reais para os quais, substituindo x = s ; x = s ; : : : ; x n = s n ; se obtém uma igualdade verdadeira, isto é, a s + a s + ::: + a n s n = b Exemplo: A sequência (; ; ) é uma solução da equação x + x + x = Uma solução de um sistema de equações lineares da forma () é uma sequência (s ; s ; :::; s n ) de números reais que é solução de cada uma das equações lineares que compõe o sistema Exemplos: ; ; é uma solução do sistema () Como foi referido atrás, (; ; ) é solução da primeira equação do sistema, mas não é solução do sistema pois não satisfaz a segunda equação s = ; s = 9 ; s = ; s = é a única solução do sistema () Claramente, um sistema de equações lineares pode não ter solução, pode ter uma só solução ou pode ter mais do que uma solução Chama-se solução geral ou conjunto solução de um sistema de equações lineares ao conjunto de todas as suas soluções Os sistemas de equações podem-se classi car da seguinte forma: - sistema impossível - não tem qualquer solução - o conjunto solução é vazio - sistema possível e determinado - tem uma única solução - o conjunto solução tem um elemento - sistema possível e indeterminado - tem mais do que uma solução - neste caso o conjunto solução é in nito Exemplos: O sistema ( x + x x = x x + x = é impossível O sistema () é possível e indeterminado A solução geral do sistema ou o conjunto solução é o conjunto S = (x ; x ; x ) R : x = x ; x = + x Atribuindo valores a x, conseguimos encontrar diferentes soluções particulares para o sistema Por exemplo, para x = ; obtém-se a solução ; ; e para x = ; temos a solução ; ; : :

3 ALGA- / - Sistemas de Equações Lineares O sistema () é possível e determinado, com solução ; 9 ; ; : Quando um sistema é indeterminado, a solução geral é do tipo da que foi obtida no exemplo, em que se obtêm umas variáveis em função das outras As variáveis dividem-se, então, em variáveis livres ou independentes (no exemplo, x é livre) e variáveis dependentes (no exemplo, x e x são dependentes) Dois sistemas de equações lineares são equivalentes se têm o mesmo conjunto de soluções Resolver um sistema signi ca determinar o seu conjunto solução Os processos de resolução de sistemas de equações procuram transformar os sistemas iniciais em sistemas equivalentes que forneçam de uma forma clara a solução geral Vamos ver como a teoria de matrizes se aplica à resolução de sistemas de equações lineares Forma matricial de um sistema de equações lineares Um sistema de equações lineares a x + a x + ::: + a n x n = b a x + a x + ::: + a n x n = b a m x + a m x + ::: + a mn x n = b m pode ser representado na forma a a a n a a a n x x = b b : a m a m {z a mn } A x n {z } X b m {z } B A matriz A denomina-se a matriz dos coe cientes ou matriz simples, a matriz X denomina-se matriz das incógnitas e a matriz B denomina-se matriz do termos independentes a a a n a A matriz a a n a m a m a mn abrevia por [AjB] : b b b m denomina-se matriz ampliada do sistema, que se Se (s ; : : : ; s n ) é solução de um sistema de equações lineares com a forma matricial AX = B, então, matricialmente podemos representar a solução por uma matriz coluna S = para a qual AS = B: s s n,

4 ALGA- / - Sistemas de Equações Lineares 9 Resolução de sistemas de equações lineares As seguintes operações, quando efectuadas sobre um sistema de equações lineares, transformam-no num sistema equivalente, ou seja, não alteram o seu conjunto solução: (Op) Trocar a ordem de duas equações; (Op) Multiplicar ambos os lados da equação por uma constante não nula; (Op) Adicionar a uma equação, outra multiplicada por uma constante Efectuar cada uma destas operações sobre um sistema de equações lineares é equivalente a efectuar a correspondente operação elementar sobre as linhas da matriz ampliada do sistema Isto conduz aos seguintes métodos de resolução de sistemas: Método de eliminação de Gauss-Jordan Utilizando o método de eliminação de Gauss descrito para matrizes pode-se obter, a partir da matriz ampliada do sistema, uma matriz em forma condensada Esta matriz representa um sistema equivalente ao primeiro e permite obter a solução geral do sistema inicial Cada pivot da matriz condensada corresponde a uma variável dependente na solução do sistema As colunas onde não guram pivots correspondem às variáveis independentes Exemplos: Ao sistema corresponde a matriz ampliada x + x + x = x + x x = x + x x = : () A forma condensada desta matriz é ;

5 ALGA- / - Sistemas de Equações Lineares à qual corresponde o sistema x + x = x x = x + x + x = ; ainda equivalente a x = x x = + x = que, como foi referido atrás, é equivalente ao sistema inicial Daqui conclui-se facilmente que a solução geral do sistema é dada por S = (x ; x ; x ) R : x = x ; x = + x : As variáveis dependentes são x e x e a variável livre é x : A solução geral pode-se ainda expressar na forma S = x ; + x ; x = ou na forma matricial x S = + x x = ; ; ; +( x ; x ; x ) = ; ; +x ( ; ; ) ; x R; + x x x = + x ; x R: Ao sistema corresponde a matriz ampliada x + x + x = x + x x = x + x x = : A forma condensada desta matriz é ; à qual corresponde o sistema x + x = x x = x + x + x = ; que é claramente impossível

6 ALGA- / - Sistemas de Equações Lineares Ao sistema x + x + x = x + x x = x + x + x = () corresponde a matriz ampliada A forma condensada desta matriz é à qual corresponde o sistema x = x = x = Conclui-se que o sistema é possível e determinado, com solução S = ; : : ; ; Método de eliminação de Gauss Utilizando também o método de eliminação de Gauss chega se, a partir da matriz ampliada do sistema, a uma matriz em forma de escada O sistema correspondente a essa matriz resolve-se então por substituição, até obter a solução geral Grau de indeterminação de um sistema Considere-se um sistema AX = B; com A do tipo m n (m equações e n incógnitas) O número de variáveis livres na solução geral do sistema chama-se grau de indeterminação do sistema O sistema () da página 9 tem grau de indeterminação, a única variável livre é x : Um sistema possível e determinado, como o sistema () da página, tem grau de indeterminação Como o número de variáveis livres é igual ao número total de incógnitas menos o número de pivots da matriz em forma de escada obtida a partir da matriz ampliada do sistema e o número de pivots é exactamente a característica da matriz, podemos concluir que o grau de indeterminação é n car [AjB] : Pode-se concluir, ainda, que um sistema possível é determinado se car [AjB] = n:

7 ALGA- / - Sistemas de Equações Lineares Solução geral matricial de um sistema indeterminado Seja AX = B (A mn ) um sistema possível e indeterminado, tal que car [AjB] = r Como já foi exempli cado atrás (sistema () da página 9), a solução geral do sistema pode-se apresentar na forma matricial S = S + x i C + x i C + : : : + x in r C n r ; com x i ; x i ; x in r R em que S ; C ; : : : ; C n r são matrizes coluna de tipo n e x i ; x i ; : : : ; x in r correspondem às variáveis livres da solução Fazendo todas as possíveis concretizações para as variáveis x i ; x i ; : : : ; x in r obtêm-se todas as possíveis soluções do sistema Em particular S é solução (basta fazer x i = x i = : : : = x in r = ): Sistemas homogéneos Um sistema de equações lineares AX = B diz-se homogéneo se B = ; ou seja, se o termo independente de cada equação é : Qualquer sistema de equações homogéneo é possível, dado admitir sempre a solução nula, isto é, a solução x = x = : : : = x n = ; que se chama solução trivial Caso o sistema seja indeterminado as outras soluções dizem-se não triviais A qualquer sistema de equações AX = B corresponde um sistema homogéneo, o sistema AX = ; que se chama sistema homogéneo associado ao sistema AX = B Se S = S + x i C + x i C + : : : + x in r C n r é a solução geral do sistema AX = B então S = x i C +x i C +: : :+x in r C n r é a solução geral do sistema homogéneo associado Pode-se concluir que um sistema de equações lineares possível tem o mesmo grau de indeterminação do sistema homogéneo que lhe está associado Exemplo: O sistema homogéneo associado ao sistema x + x + x = x + x x = x + x x = (sistema () resolvido na página 9) é x + x + x = x + x x = x + x x = ;

8 ALGA- / - Sistemas de Equações Lineares que tem, portanto, como solução geral, em forma matricial: x S = x ; x R: x Discussão e classi cação de um sistema Considere-se um sistema AX = B de m equações e n incógnitas Utilizando o método de eliminação de Gauss-Jordan, através da análise da matriz condensada obtida a partir da matriz ampliada [AjB] pode-se concluir que: impossível se e só se cara = car [AjB] possível e determinado se e só se cara = car [AjB] e cara = n O sistema é: possível e indeterminado se e só se cara = car [AjB] e cara < n (com grau de indeterminação n cara) Nota: Para classi car um sistema basta, portanto, determinar a característica de [AjB] ; para o que não é necessário condensar a matriz, sendo su ciente obter uma forma de escada da matriz inicial Exemplo: Ao sistema corresponde a matriz ampliada x + y + z = x + z = x + y + z = ; ; R; : Uma forma de escada da matriz ampliada pode ser : A partir desta matriz efectua-se a discussão do sistema em função do parâmetro : Se = e =, ou seja, quando todos os pivots são diferentes de, car = e car = ; pelo que o sistema é + possível Como a característica é igual ao número de incógnitas, o sistema é possível e determinado (neste caso o grau de indeterminação é )

9 ALGA- / - Sistemas de Equações Lineares Se = ; (um dos casos em que um dos pivots é ) car = e car = ; pelo que o sistema é possível Como a característica é e o número de incógnitas é, o grau de indeterminação é Se = ; (o outro caso em que um pivot é nulo) car = e car = ; pelo que o sistema é impossível Conclusão: O sistema é possível e determinado se e só se = e = : O sistema é possível e indeterminado, com grau de indeterminação, se e só se = : O sistema é impossível se e só se = : Cálculo da inversa de uma matriz pelo método de Gauss-Jordan Seja A uma matriz invertível Pretende-se encontrar uma matriz de ordem n tal que AB = I n : h i Seja B = B B B B n uma matriz com colunas B ; B ; B ; ; B n Tem-se: AB = I n, h i, A B B B B n = I n, h i, AB AB AB AB n = I n,, AB = ; AB = ; AB = ; ; AB n = Cada uma das igualdades anteriores corresponde a um sistema de equações lineares A determinação da inversa da matriz A pode então fazer-se pela resolução de n sistemas de equações lineares, todos com a mesma matriz simples Como a inversa de uma matriz é única, cada um dos sistemas anteriores é possível e determinado, pelo que car (A) = n e a forma condensada da matriz A é I n :

10 ALGA- / - Sistemas de Equações Lineares Usando o método de Gauss-Jordan é possível resolver os n sistemas em simultâneo, condensando a matriz aumentada: A Quando se chega, no lado esquerdo à forma condensada de A, que é I n, do lado direito temos em cada coluna a solução do sistema correspondente, ou seja, temos a matriz A : Resumindo: Para calcular a inversa de uma matriz A : [AjI n ]! {z!!} In ja Método de eliminação de Gauss-Jordan Pode-se ainda concluir o seguinte resultado que fornece um modo de determinar quais são as matrizes invertíveis: Teorema Uma matriz quadrada A; de ordem n; é invertível se e só se cara = n: